SUR
UNE MANIÈRE PARTICULIÈRE
D’EXPRIMER LE TEMPS DANS LES SECTIONS CONIQUES,
DÉCRITES PAR DES FORCES TENDANTES AU FOYER ET RÉCIPROQUEMENT PROPORTIONNELLES AUX CARRÉS DES DISTANCES.
(Nouveaux Mémoires de l’Académie royale des Sciences et Belles-Lettres
de Berlin, année 1778.)
1. Feu M. Lambert, dans son excellent Traité sur les Propriétés des Orbites des Comètes, a démontré ce beau Théorème, que dans les ellipses décrites par des forces tendantes vers l’un des foyers, et agissantes en raison inverse du carré des distances, le temps employé à parcourir un arc quelconque ne dépend que du grand axe, de la corde qui sous-tend l’arc parcouru, et de la somme des rayons vecteurs qui joignent les deux extrémités de cet arc ; en sorte que ces trois éléments étant supposés les mêmes, le temps sera aussi le même, quelle que soit d’ailleurs la forme de l’ellipse.
La démonstration qu’il en donne est purement synthétique, et dépend d’une transformation ingénieuse des secteurs elliptiques de laquelle il résulte que si, dans différentes ellipses qui aient le même grand axe, on prend des secteurs tels que les cordes et les sommes des deux rayons vecteurs soient les mêmes, ces secteurs sont proportionnels aux racines carrées des paramètres respectifs ; d’où il s’ensuit que les temps employés à parcourir les arcs de ces secteurs doivent être les mêmes, puisqu’en général le temps est comme l’aire du secteur divisée par la racine carrée du paramètre.
Ce Théorème offre, comme l’on voit, un moyen de ramener la détermination du temps par un arc d’une ellipse donnée à celle du temps par un arc d’une autre ellipse quelconque qui ait le même grand axe, et même au temps par une partie de ce grand axe, en supposant que l’ellipse se confonde avec l’axe par l’évanouissement de l’axe conjugué, et qu’un corps tombe par le même axe en partant d’une de ses extrémités, et étant continuellement attiré vers l’autre par la même force centrale par laquelle il circulerait dans l’ellipse ; et comme dans ce dernier cas l’arc se confond avec sa corde, qui devient égale à la différence des deux rayons vecteurs, il s’ensuit que si l’on nomme a le grand axe de l’ellipse proposée, la somme des deux rayons vecteurs qui répondent aux deux bouts de l’arc parcouru, la corde sous-tendue par cet arc, le temps employé à parcourir ce même arc sera égal au temps qu’un corps, qui parcourrait l’axe de la manière que nous avons dite, mettrait à s’approcher de l’extrémité inférieure de cet axe, depuis la distance jusqu’à la distance Or en considérant la chute rectiligne d’un corps poussé vers un point fixe par une force étant la distance du corps à ce point, on trouve aisément que si ce corps part du repos à la distance le temps employé à arriver à la distance sera exprimé par
donc si l’on fait
on aura, pour le temps employé à décrire l’arc d’ellipse qui sous-tend la corde la différence de ces deux intégrales
expression qui est surtout remarquable en ce qu’elle ne dépend que du grand axe de l’ellipse proposée et nullement de son excentricité, et qui fournit par conséquent un moyen facile de réduire en Table la détermination du temps employé à parcourir un arc d’une orbite elliptique quelconque car si l’on fait
en sorte que
le temps répondant à la corde dans l’ellipse dont le grand axe est sera exprimé par
or lorsque auquel cas on a aussi devient et et l’on a le temps depuis une apside à l’autre, c’est-à-dire le temps de la demi-révolution ; donc, si l’on construit une Table qui, pour chaque valeur de , depuis jusqu’à donne la valeur correspondante de
divisée par le double de la valeur qui répond à on n’aura qu’à prendre dans cette Table la différence des nombres qui répondent à
et multiplier ensuite cette différence par le temps de la révolution entière dans l’ellipse proposée, pour avoir sur-le-champ le temps répondant à l’arc sous-tendu par la corde .
Dans le troisième Volume des Tables Astronomiques de l’Académie, page 25, on trouve une pareille Table sous le nom de Chute elliptique des Comètes, dans laquelle la première colonne, intitulée Distances, représente les valeurs de en millièmes parties, et la seconde colonne, intitulée Temps, donne les nombres correspondants en parties millionièmes.
Ce que je viens de dire suffit pour faire sentir l’utilité du Théorème dont il s’agit ; mais ce Théorème mérite particulièrement l’attention des Géomètres par lui-même, et parce qu’il paraît difficile d’y parvenir par le calcul ; en sorte qu’on pourrait le mettre dans le petit nombre de ceux pour lesquels l’Analyse géométrique semble avoir de l’avantage sur l’Analyse algébrique. Il est vrai que dans mes Recherches sur le mouvement d’un corps attiré à la fois vers deux centres fixes par des forces en raison inverse des carrés des distances [voyez le tome IV des Mémoires de Turin[1]], j’ai été conduit à ce même Théorème, en supposant que la force qui agit vers l’un des centres s’évanouisse, et que ce même centre soit placé sur la circonférence de la section conique que le corps décrit alors ; mais cette méthode est indirecte et demande des calculs assez compliqués ; elle est par conséquent peu convenable pour démontrer un Théorème qui se distingue surtout par sa simplicité. J’ai donc cru qu’il serait avantageux aux progrès de l’Analyse d’avoir une voie plus simple et plus naturelle pour parvenir à ce but, et je me flatte que celle que je vais proposer ne laissera rien à désirer sur ce sujet et pourra même être utile dans plusieurs autres occasions.
2. Soient le demi-grand axe de l’ellipse proposée, son excentricité, l’anomalie excentrique qui répond à une anomalie vraie quelconque le temps employé à décrire l’angle on sait que
le rapport entre et étant donné par l’équation
et le rayon vecteur étant exprimé ainsi par
Ces propositionssont démontrées dans tous les livres d’Astronomie.
Par le Théorème de M. Lambert, le temps par un arc quelconque de cette ellipse est réduit à la différence des temps par deux arcs d’une autre ellipse qui ait le même grand axe mais dont l’excentricité soit égale à ce qui réduit l’ellipse au grand axe en y faisant évanouir l’axe conjugué dont la valeur est et par conséquent zéro lorsque
Soit la valeur de ui répond au commencement de l’arc pour lequel on demande le temps, on aura
pour le temps par l’arc dont le commencement répond à l’anomalie excentrique et dont la fin répond à l’anomalie excentrique Il faut donc réduire cette expression à la différence de deux expressions de la forme
donc, si l’on dénote par et les deux anomalies, excentriques dans l’ellipse où on aura
Donc, comparant ensemble les parties algébriques et les parties transcendantes, on aura ces deux équations
d’où l’on tirera et en, ce qui n’a point de difficulté.
En effet, si l’on met la deuxième sous cette forme
qu’ensuite on y substitue pour sa valeur tirée de la première équation, on aura
mais
donc, divisant de part et d’autre par on aura
d’où l’on tire
de là, et de ce que
on tirera sur-le-champ
Ainsi l’on connaîtra par ces formules les arcs cherchés et en et
3. Je remarque maintenant que étant le rayon vecteur qui répond à l’anomalie excentrique dans l’ellipse proposée, si l’on nomme pareillement le rayon vecteur qui répond à l’anomalie excentrique dans la même ellipse, on aura
d’où l’on tire
De plus, étant l’anomalie vraie qui répond à l’anomalie excentrique si l’on nomme aussi l’anomalie vraie qui répond à l’anomalie excentrique on aura
et il est clair que sera l’angle intercepté entre les rayons et de sorte que, si l’on nomme encore la corde qui joint les extrémités des rayons et on aura, par la Trigonométrie,
Qu’on substitue dans cette expression à la place de et de leurs valeurs en et et pour cela on remarquera que les expressions ci-dessus de et donnent
et de même
de sorte que, comme
on trouvera
donc enfin, on aura
et, tirant la racine carrée,
Faisant donc ces substitutions dans les expressions ci-dessus de et on aura
et de là
Or et étant deux anomalies excentriques dans l’ellipse où si l’on nomme et les rayons vecteurs correspondants, on aura
donc
et le temps employé à parcourir l’arc sous-tendu par la corde dans l’ellipse dont l’excentricité est sera égal à la différence des temps qui répondent aux rayons vecteurs et dans l’ellipse où mais nous avons déjà vu que cette ellipse se confond avec l’axe, et que ses deux foyers tombent aux extrémités de l’axe donc le temps dont il s’agit sera égal au temps employé à parcourir dans cet axe la partie interceptée entre les abscisses et ce qui est le Théorème de M. Lambert.
4. Quoique la démonstration précédente soit assez simple, il semble qu’on pourrait la simplifier encore, en employant immédiatement le rayon vecteur à la place de l’anomalie excentrique ; nous allons donc envisager la question de cette manière, et sans faire usage des propriétés connues de l’anomalie excentrique.
Pour cela nous remarquerons que le temps employé à décrire un arc quelconque d’une section conique, par un corps attiré vers l’un des foyers de cette section en vertu d’une force en raison inverse du carré de la distance, est toujours proportionnel à l’aire du secteur compris par l’arc dont il s’agit et les deux rayons vecteurs menés du foyer aux extrémités de cet arc, divisée par la racine carrée du paramètre de la section conique ; c’est ce que Newton a démontré le premier, et une foule d’Auteurs après lui.
Or, si l’on nomme le rayon vecteur, l’angle de ce rayon avec le grand axe, le demi-paramètre de l’orbite, son excentricité, on a par la nature de l’ellipse
donc, comme l’élément du secteur décrit par le rayon est exprimé par si l’on substitue dans cette expression la valeur de en tirée de l’équation précédente, et qu’on la divise par on aura l’élément du temps employé à parcourir l’arc égal à la quantité
Mais, en nommant le demi-grand axe de l’ellipse, on a
substituant donc à la place de et multipliant le haut et te bas de la fraction par on aura, pour l’élément dont il s’agit,
Donc, si l’on fait
et qu’on remette
à la place de
on aura cette formule différentielle
dont l’intégrale prise, par exemple, depuis jusqu’à donnera le temps employé à parcourir l’angle compris entre les rayons vecteurs et
5. Soit
la formule précédente deviendra
dont l’intégrale est évidemment
et la question se réduira à faire en sorte que la différence de deux intégrales de cette espèce pour deux différentes valeurs de soit égale à la différence de deux autres intégrales semblables, mais dans lesquelles la constante soit Ainsi il faudra satisfaire à l’équation
laquelle, en comparant la partie algébrique avec la partie algébrique et la transcendante avec la transcendante, se partage en ces deux-ci
dont la seconde donne par les Théorèmes connus
et ces deux équations serviront à déterminer et en et
6. Faisons, pour abréger,
et les équations dont il s’agit deviendront
(1)
|
|
|
(2)
|
|
|
Or l’équation (1) étant carrée et ensuite ajoutée à l’équation (2) multipliée par on aura
d’où l’on tire sur-le-champ
Ensuite l’équation (1) étant multipliée par et divisée par donne
cette équation étant carrée et ensuite retranchée de l’équation (2) multipliée par on a
savoir
et, substituant pour
sa valeur ci-dessus,
d’où l’on tire immédiatement
Ainsi, connaissant la somme et la différence de et on aura chacune de ces deux quantités.
Donc le temps employé à parcourir l’arc compris entre les rayons vecteurs dans une ellipse dont le demi-grand axe serait et l’excentricité sera égal au temps employé à parcourir l’arc compris entre les rayons vecteurs dans une autre ellipse qui aurait le même grand axe et où l’excentricité serait c’est-à-dire égale au temps employé à parcourir dans le grand axe même la différence de ces rayons.
7. Il reste encore à prouver qu’en nommant la corde qui joint les deux rayons vecteurs et on aura
savoir
Pour cela je remarque d’abord que l’on a entre les mêmes équations qu’entre ce qui est visible par les premières formules du numéro précédent ; donc, en changeant ces dernières quantités en celles-là dans les formules finales du même numéro, on aura aussi
savoir
mais on a
donc
Pour introduire maintenant la corde je remarque que si l’on nomme et les coordonnées rectangles de l’ellipse prises depuis le foyer et dont l’une soit dans le grand axe, on aura
de sorte que, par l’équation de l’ellipse
on aura
donc
mettant à la place de et à la place de on aura
nommant de même les coordonnées qui répondent au rayon vecteur on aura
or il est évident que la corde qui joint les extrémités des deux rayons est
donc, ayant déjà nommé cette corde on aura
et par conséquent
Ayant donc
on aura
Cette démonstration du Théorème dont il s’agit a, ce me semble, toute la simplicité qu’on y peut désirer.
8. De là résulte donc ce Théorème analytique assez remarquable,
en supposant
et
ce qui donne
donc
et
9. Voyons maintenant comment on peut généraliser ce Théorème, et, considérant pour cela la formule différentielle
cherchons à la réduire à la somme ou à la différence d’autres formules semblables qui contiennent des coefficients arbitraires. Pour y parvenir de la manière la plus générale et la plus simple, je suppose
étant une nouvelle variable, et des coefficients constants quelconques il est clair qu’en ôtant l’irrationnalité, on aura une équation du second degré entre et De cette manière la différentielle proposée se changera d’abord en celle-ci
Maintenant je prends deux autres variables et et je suppose
en sorte que les quantités et demeurent les mêmes en échangeant et entre elles ; on aura ainsi
Or l’équation entre et étant carrée et ensuite différentiée donne
mais
donc, substituant,
donc, à cause de
on aura
Changeant en on aura done aussi
par conséquent
donc, en prenant une quantité quelconque on aura, en général,
Maintenant j’ai, à cause de
d’où l’on tirera en
Pour cela je carre cette équation et je l’ordonne par rapport à j’ai
d’où je tire, en multipliant par complétant le carré et extrayant la racine,
en faisant, pour abréger,
or le premier membre de l’équation précédente se réduit à
savoir à
Ainsi l’on a
et, changeant en on aura pareillement
où sera une fonction de semblable à la fonction de en sorte que l’on aura
et l’on remarquera que l’on peut prendre dans les équations précédentes les radicaux en ou en à volonté.
Faisant donc ces substitutions dans l’équation ci-dessus, et prenant le radical en et le radical en on aura enfin
étant une quantité quelconque ; où l’on voit qu’en supposant constante, la différentielle proposée est réduite à la différence de deux autres différentielles analogues, mais beaucoup plus générales.
10. Si l’on développe la quantité et qu’on fasse, pour plus de simplicité,
on aura
et pareillement
donc, substituant dans la formule du numéro précédent, on aura
et, comme les quantités renferment les trois constantes arbitraires on pourra regarder ces quantités elles-mêmes comme des constantes arbitraires ; et la constante sera pareillement arbitraire.
11. En regardant les quantités comme données, on aura par les formules ci-dessus
ensuite
ainsi l’on connaîtra les trois quantités en
Ensuite, pour la détermination de et en on aura d’abord
mais
donc
Si donc on fait
on aura
et la quantité sera
12. Comme les constantes sont arbitraires, on peut les supposer nulles ; on aura alors
Ainsi la différentielle proposée est réduite à la différence de deux autres différentielles semblables dans lesquelles ce qui revient au cas du Théorème de M. Lambert.
Mais on peut faire cette même réduction d’une manière plus générale en supposant
ce qui donne[2]
et par conséquent
de cette manière, si l’on fait, pour abréger,
on aura
et supposant ce qui donne
on aura les mêmes formules que ci-dessus, mais avec cette différence que les variables
et
contiendront encore la constante arbitraire
.
13. Je vais faire voir maintenant que l’équation entre et du no 11 est celle d’une ellipse dans laquelle serait le rayon vecteur partant d’un des foyers, et où serait un autre rayon vecteur partant d’un autre point fixe quelconque placé dans le plan de l’ellipse ou non.
En nommant, comme plus haut, le paramètre, l’excentricité, le rayon vecteur, et les coordonnées rectangles, on a, comme on sait, cette équation à l’ellipse
d’où l’on tire, à cause de
Soient maintenant les coordonnées rectangles qui déterminent la position du centre des rayons vecteurs on aura évidemment
en faisant, pour abréger,
et substituant pour et leurs valeurs en
Cette expression de en est, comme on voit, tout à fait semblable à celle du no 11, et, comparant les termes homologues, on aura
et ces cinq équations serviront à déterminer les cinq quantités dont les deux premières déterminent l’ellipse, et dont les trois dernières déterminent la position du centre des rayons par rapport au plan de l’ellipse et au foyer des rayons .
Dans ce cas le radical devient
ou, nommant le demi-grand axe et mettant à la place de
de sorte que la différentielle
deviendra
c’est-à-dire proportionnelle à l’élément du temps dans la même ellipse (4).
Donc on peut représenter ce temps par la différence de deux expressions de la forme
les quantités étant des constantes arbitraires, et la variable étant dans l’une des deux expressions la somme, et dans l’autre la différence de deux rayons vecteurs de l’ellipse, dont l’un parte à l’ordinaire du foyer, et dont l’autre parte d’un autre point fixe quelconque dépendant des constantes
14. Si l’on suppose que le centre des rayons tombe sur la circonférence même de l’ellipse, alors on aura et entre la même équation qu’entre et ainsi il faudra substituer à la place de et à la place de dans les formules du no 13 ; mais comme ces substitutions mènent à des formules un peu compliquées, voici une manière plus simple et plus directe d’analyser le cas dont il s’agit.
Je remarquequ’en faisant ( étant par le no 13, et par conséquent égale à la distance du centre des rayons au foyer des rayons ) on doit avoir et par conséquent (11).
Je reprends maintenant les deux formules du no 9,
dans la première desquelles je donne le signe au radical conformément à ce que j’ai dit dans le même numéro. Soustrayant la première de la seconde, j’ai celle-ci
et il faudra qu’en faisant on ait par conséquent, à cause de
sont deux valeurs de et de qui doivent satisfaire à l’équation précédente. Or par ces suppositions le premier membre devient nul, et le second devient en supposant
donc on doit avoir par conséquent doit être une racine des équations semblables Mais cela ne suffit pas encore pour satisfaire à l’équation ci-dessus ; il faut encore qu’en supposant et très-peu différent de l’équation puisse subsister et donne une relation possible entre et donc il faudra qu’en faisant
et regardant
et
comme très-petites, on ait une équation possible entre
et
Or, faisant ces substitutions et rejetant les termes du second ordre, on a, en supposant
mais donc l’équation devient
laquelle, étant divisée par donne
donc la quantité doit être infiniment petite de l’ordre donc doit être
De là il est aisé de conclure, par la théorie connue, que doit être une racine double de l’équation ainsi que de l’équation
De sorte que les quantités et seront de la forme
ou, ce qui revient au même, de la forme
et comparant cette forme avec la forme générale des quantités et du no 10, on trouvera
de sorte que la constante
demeurera arbitraire, à cause qu’elle contient l’arbitraire
.
On aura donc précisément le cas du no 12 en prenant
de sorte qu’en supposant de plus on aura
savoir (13)
où (11)
Or il est visible que et sont deux rayons vecteurs, et que est alors la corde qui joint ces rayons ; donc, puisque lorsque auquel cas il s’ensuit que la différence des intégrales de
exprimera justement le temps employé à parcourir l’angle compris entre les deux rayons vecteurs et c’est-à-dire l’arc sous-tendu par la corde ce qui est le Théorème de M. Lambert.