SUR
UNE MANIÈRE PARTICULIÈRE
D’EXPRIMER LE TEMPS DANS LES SECTIONS CONIQUES,
DÉCRITES PAR DES FORCES TENDANTES AU FOYER ET RÉCIPROQUEMENT PROPORTIONNELLES AUX CARRÉS DES DISTANCES.
(Nouveaux Mémoires de l’Académie royale des Sciences et Belles-Lettres
de Berlin, année 1778.)
1. Feu M. Lambert, dans son excellent Traité sur les Propriétés des Orbites des Comètes, a démontré ce beau Théorème, que dans les ellipses décrites par des forces tendantes vers l’un des foyers, et agissantes en raison inverse du carré des distances, le temps employé à parcourir un arc quelconque ne dépend que du grand axe, de la corde qui sous-tend l’arc parcouru, et de la somme des rayons vecteurs qui joignent les deux extrémités de cet arc ; en sorte que ces trois éléments étant supposés les mêmes, le temps sera aussi le même, quelle que soit d’ailleurs la forme de l’ellipse.
La démonstration qu’il en donne est purement synthétique, et dépend d’une transformation ingénieuse des secteurs elliptiques de laquelle il résulte que si, dans différentes ellipses qui aient le même grand axe, on prend des secteurs tels que les cordes et les sommes des deux rayons vecteurs soient les mêmes, ces secteurs sont proportionnels aux racines carrées des paramètres respectifs ; d’où il s’ensuit que les temps employés à parcourir les arcs de ces secteurs doivent être les mêmes, puisqu’en général le temps est comme l’aire du secteur divisée par la racine carrée du paramètre.
Ce Théorème offre, comme l’on voit, un moyen de ramener la détermination du temps par un arc d’une ellipse donnée à celle du temps par un arc d’une autre ellipse quelconque qui ait le même grand axe, et même au temps par une partie de ce grand axe, en supposant que l’ellipse se confonde avec l’axe par l’évanouissement de l’axe conjugué, et qu’un corps tombe par le même axe en partant d’une de ses extrémités, et étant continuellement attiré vers l’autre par la même force centrale par laquelle il circulerait dans l’ellipse ; et comme dans ce dernier cas l’arc se confond avec sa corde, qui devient égale à la différence des deux rayons vecteurs, il s’ensuit que si l’on nomme a le grand axe de l’ellipse proposée,
la somme des deux rayons vecteurs qui répondent aux deux bouts de l’arc parcouru,
la corde sous-tendue par cet arc, le temps employé à parcourir ce même arc sera égal au temps qu’un corps, qui parcourrait l’axe
de la manière que nous avons dite, mettrait à s’approcher de l’extrémité inférieure de cet axe, depuis la distance
jusqu’à la distance
Or en considérant la chute rectiligne d’un corps poussé vers un point fixe par une force
étant la distance du corps à ce point, on trouve aisément que si ce corps part du repos à la distance
le temps employé à arriver à la distance
sera exprimé par
![{\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2\mathrm {F} }}}\int {\frac {zdz}{\sqrt {z-{\cfrac {z^{2}}{a}}}}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3cb48939f217d584d9969b38a232237f7edfbb05)
donc si l’on fait
![{\displaystyle {\frac {b+c}{2}}=p,\quad {\frac {b-c}{2}}=q,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a24deaee8e2f2f260f9dbfbc2d387e8eebc1bc6d)
on aura, pour le temps employé à décrire l’arc d’ellipse qui sous-tend la corde
la différence de ces deux intégrales
![{\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2\mathrm {F} }}}\int {\frac {pdp}{\sqrt {p-{\cfrac {p^{2}}{a}}}}}-{\frac {1}{\sqrt {2\mathrm {F} }}}\int {\frac {qdq}{\sqrt {q-{\cfrac {q^{2}}{a}}}}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a2692ff21cab841d64238111d0849a4c501f8c02)
expression qui est surtout remarquable en ce qu’elle ne dépend que du grand axe de l’ellipse proposée et nullement de son excentricité, et qui fournit par conséquent un moyen facile de réduire en Table la détermination du temps employé à parcourir un arc d’une orbite elliptique quelconque car si l’on fait
![{\displaystyle {\frac {b+c}{2a}}=r,\quad {\frac {b-c}{2a}}=s,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e7b88b02f0144214266e8bb50c0d99e6ad4c91e5)
en sorte que
![{\displaystyle p=ar,\quad q=as,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/825e563038921d1cb53cab08e34520b2528523bf)
le temps répondant à la corde
dans l’ellipse dont le grand axe est
sera exprimé par
![{\displaystyle {\frac {a^{\frac {3}{2}}}{\sqrt {2\mathrm {F} }}}\left(\int {\frac {rdr}{\sqrt {r-r^{2}}}}-\int {\frac {sds}{\sqrt {s-s^{2}}}}\right)\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e7cee88463af70aef9688eda8c9cfdfe4fcc04bc)
or lorsque
auquel cas on a aussi
devient
et
et l’on a le temps depuis une apside à l’autre, c’est-à-dire le temps de la demi-révolution ; donc, si l’on construit une Table qui, pour chaque valeur de
, depuis
jusqu’à
donne la valeur correspondante de
![{\displaystyle \int {\frac {ydy}{\sqrt {y-y^{2}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4b943d07c655fa142a9499846f959aed9592c56f)
divisée par le double de la valeur qui répond à
on n’aura qu’à prendre dans cette Table la différence des nombres qui répondent à
![{\displaystyle y={\frac {b+c}{2a}}\quad {\text{et}}\quad y={\frac {b-c}{2a}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/50cf0461964727fb00cc8b5d71271668cd7efe2c)
et multiplier ensuite cette différence par le temps de la révolution entière dans l’ellipse proposée, pour avoir sur-le-champ le temps répondant à l’arc sous-tendu par la corde
.
Dans le troisième Volume des Tables Astronomiques de l’Académie, page 25, on trouve une pareille Table sous le nom de Chute elliptique des Comètes, dans laquelle la première colonne, intitulée Distances, représente les valeurs de
en millièmes parties, et la seconde colonne, intitulée Temps, donne les nombres correspondants en parties millionièmes.
Ce que je viens de dire suffit pour faire sentir l’utilité du Théorème dont il s’agit ; mais ce Théorème mérite particulièrement l’attention des Géomètres par lui-même, et parce qu’il paraît difficile d’y parvenir par le calcul ; en sorte qu’on pourrait le mettre dans le petit nombre de ceux pour lesquels l’Analyse géométrique semble avoir de l’avantage sur l’Analyse algébrique. Il est vrai que dans mes Recherches sur le mouvement d’un corps attiré à la fois vers deux centres fixes par des forces en raison inverse des carrés des distances [voyez le tome IV des Mémoires de Turin[1]], j’ai été conduit à ce même Théorème, en supposant que la force qui agit vers l’un des centres s’évanouisse, et que ce même centre soit placé sur la circonférence de la section conique que le corps décrit alors ; mais cette méthode est indirecte et demande des calculs assez compliqués ; elle est par conséquent peu convenable pour démontrer un Théorème qui se distingue surtout par sa simplicité. J’ai donc cru qu’il serait avantageux aux progrès de l’Analyse d’avoir une voie plus simple et plus naturelle pour parvenir à ce but, et je me flatte que celle que je vais proposer ne laissera rien à désirer sur ce sujet et pourra même être utile dans plusieurs autres occasions.
2. Soient
le demi-grand axe de l’ellipse proposée,
son excentricité,
l’anomalie excentrique qui répond à une anomalie vraie quelconque
le temps employé à décrire l’angle
on sait que
![{\displaystyle t=a^{\frac {3}{2}}(\varphi +e\sin \varphi ),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/adb219aae434fb7fb3e7cdf5cf4b105308396736)
le rapport entre
et
étant donné par l’équation
![{\displaystyle \operatorname {tang} {\frac {\varphi }{2}}={\sqrt {\frac {1+e}{1-e}}}\operatorname {tang} {\frac {u}{2}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ec4ba37570d598f7764c4946aac221742b37c826)
et le rayon vecteur
étant exprimé ainsi par ![{\displaystyle \varphi }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/33ee699558d09cf9d653f6351f9fda0b2f4aaa3e)
![{\displaystyle r=a(1+e\cos \varphi ).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/943b8cee7c8fead4dc9f06bdb2e800e00efaa4e7)
Ces propositionssont démontrées dans tous les livres d’Astronomie.
Par le Théorème de M. Lambert, le temps par un arc quelconque de cette ellipse est réduit à la différence des temps par deux arcs d’une autre ellipse qui ait le même grand axe
mais dont l’excentricité
soit égale à
ce qui réduit l’ellipse au grand axe en y faisant évanouir l’axe conjugué dont la valeur est
et par conséquent zéro lorsque
Soit
la valeur de
ui répond au commencement de l’arc pour lequel on demande le temps, on aura
![{\displaystyle a^{\frac {3}{2}}\left[\varphi -\alpha +e(\sin \varphi -\sin \alpha )\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cc4be812efde6a73b4f249d11119f90d67067344)
pour le temps par l’arc dont le commencement répond à l’anomalie excentrique
et dont la fin répond à l’anomalie excentrique
Il faut donc réduire cette expression à la différence de deux expressions de la forme
![{\displaystyle a^{\frac {3}{2}}(\varphi +\sin \varphi )\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9bf1676861cde98e206c7a1138ae0bf1bec4ff6e)
donc, si l’on dénote par
et
les deux anomalies, excentriques dans l’ellipse où
on aura
![{\displaystyle a^{\frac {3}{2}}\left[\varphi -\alpha +e(\sin \varphi -\sin \alpha )\right]=a^{\frac {3}{2}}(x+\sin x)-a^{\frac {3}{2}}(y+\sin y).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8393750da02a9df170ec4b939ede79a8291e44ef)
Donc, comparant ensemble les parties algébriques et les parties transcendantes, on aura ces deux équations
![{\displaystyle {\begin{aligned}&\varphi -x=x-y,\\&e(\sin \varphi -\sin \alpha )=\sin x-\sin y\,;\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f5572f80a6cdfc76fced6372646dd9bc69aac9ca)
d’où l’on tirera
et
en, ce qui n’a point de difficulté.
En effet, si l’on met la deuxième sous cette forme
![{\displaystyle e(\sin \varphi -\sin \alpha )=2\cos {\frac {x+y}{2}}\sin {\frac {x-y}{2}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e679b6ba7c3a55ddfd82c29aa441e74099a8d987)
qu’ensuite on y substitue pour
sa valeur
tirée de la première équation, on aura
![{\displaystyle e(\sin \varphi -\sin \alpha )=2\sin {\frac {\varphi -\alpha }{2}}\cos {\frac {x+y}{2}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/657a554e4a81a44aff6eb5eecc9e72411d03efe2)
mais
![{\displaystyle \sin \varphi -\sin \alpha =2\cos {\frac {\varphi +\alpha }{2}}\sin {\frac {\varphi -\alpha }{2}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9eb62d049e0ec40a799faec116b3fd41ab135a8b)
donc, divisant de part et d’autre par
on aura
![{\displaystyle \cos {\frac {x+y}{2}}=e\cos {\frac {\varphi +\alpha }{2}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/62ff775be5a20f953c5c98f926cefb3f6b3f8450)
d’où l’on tire
![{\displaystyle \sin {\frac {x+y}{2}}={\sqrt {1-e^{2}\cos ^{2}{\frac {\varphi +\alpha }{2}}}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b93a3ac0964e9ee1da3b4fc854c44dd2bc639c97)
de là, et de ce que
![{\displaystyle \sin {\frac {x-y}{2}}=\sin {\frac {\varphi -\alpha }{2}},\quad \cos {\frac {x-y}{2}}=\cos {\frac {\varphi -\alpha }{2}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2a18fd3009f3a7b174b1c86a8dc4e8169c307bed)
on tirera sur-le-champ
![{\displaystyle {\begin{aligned}\sin x=&\cos {\frac {\varphi -\alpha }{2}}{\sqrt {1-e^{2}\cos ^{2}{\frac {\varphi +\alpha }{2}}}}+e\sin {\frac {\varphi -\alpha }{2}}\cos {\frac {\varphi +\alpha }{2}},\\\sin y=&\cos {\frac {\varphi -\alpha }{2}}{\sqrt {1-e^{2}\cos ^{2}{\frac {\varphi +\alpha }{2}}}}-e\sin {\frac {\varphi -\alpha }{2}}\cos {\frac {\varphi +\alpha }{2}},\\\cos x=&e\cos {\frac {\varphi +\alpha }{2}}\cos {\frac {\varphi -\alpha }{2}}-\sin {\frac {\varphi -\alpha }{2}}{\sqrt {1-e^{2}\cos ^{2}{\frac {\varphi +\alpha }{2}}}},\\\cos y=&e\cos {\frac {\varphi +\alpha }{2}}\cos {\frac {\varphi -\alpha }{2}}+\sin {\frac {\varphi -\alpha }{2}}{\sqrt {1-e^{2}\cos ^{2}{\frac {\varphi +\alpha }{2}}}}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ce3d90ef262d879a07c3b3207f3187ddbb87499d)
Ainsi l’on connaîtra par ces formules les arcs cherchés
et
en
et ![{\displaystyle \alpha .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/794850adc0db51d11a6d8cfa857538183424909c)
3. Je remarque maintenant que
étant le rayon vecteur qui répond à l’anomalie excentrique
dans l’ellipse proposée, si l’on nomme pareillement
le rayon vecteur qui répond à l’anomalie excentrique dans la même ellipse, on aura
![{\displaystyle r=a(1+e\cos \varphi ),\quad \rho =a(1+e\cos \alpha ),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cd8dbbebbc524900d9b46297b4876cbcacbf32f5)
d’où l’on tire
![{\displaystyle e\cos {\frac {\varphi +\alpha }{2}}\cos {\frac {\varphi -\alpha }{2}}=e{\frac {\cos \varphi +\cos \alpha }{2}}={\frac {r+\rho }{2a}}-1.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bc4e7a2541a37efb69f92894a7efe4f3161899b4)
De plus,
étant l’anomalie vraie qui répond à l’anomalie excentrique
si l’on nomme aussi
l’anomalie vraie qui répond à l’anomalie excentrique
on aura
![{\displaystyle \operatorname {tang} {\frac {u}{2}}={\sqrt {\frac {1-e}{1+e}}}\operatorname {tang} {\frac {\varphi }{2}},\quad \operatorname {tang} {\frac {v}{2}}={\sqrt {\frac {1-e}{1+e}}}\operatorname {tang} {\frac {\alpha }{2}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/50fe8c0e16e9890a2822f9f39cedc29905887f08)
et il est clair que
sera l’angle intercepté entre les rayons
et
de sorte que, si l’on nomme encore
la corde qui joint les extrémités des rayons
et
on aura, par la Trigonométrie,
![{\displaystyle \delta ^{2}=r^{2}+\rho ^{2}-2r\rho \cos(u-v).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d9ced22cdbdb3871046388bc05ebba0912a939e1)
Qu’on substitue dans cette expression à la place de
et de
leurs valeurs en
et
et pour cela on remarquera que les expressions ci-dessus de
et
donnent
![{\displaystyle \sin u={\frac {a{\sqrt {1-e^{2}}}\sin \varphi }{r}},\quad \cos u=a{\frac {e+\cos \varphi }{r}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/40635a57f410693bdfcb4c6838d00c72035dea99)
et de même
![{\displaystyle \sin v={\frac {a{\sqrt {1-e^{2}}}\sin \alpha }{\rho }},\quad \cos v=a{\frac {e+\cos \alpha }{\rho }},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dc0cbefdfc0eb22c491854754f4adbec3a1af14d)
de sorte que, comme
![{\displaystyle \cos(u-v)=\cos u\cos v+\sin u\sin v,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/df04d00f1ce2d6f7adeb100c84a9f1121013d745)
on trouvera
![{\displaystyle {\begin{aligned}r\rho \cos(u-v)=&a^{2}\left[(e+\cos \varphi )(e+\cos \alpha )+\left(1-e^{2}\right)\sin \varphi \sin \alpha \right]\\=&a^{2}\left[\cos(\varphi -\alpha )+e(\cos \varphi ++\cos \alpha )+e^{2}(1-\sin \varphi \sin \alpha )\right]\,;\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f7e1f0dd661e266d61f8aca5d293f8f012b6a89d)
![{\displaystyle {\begin{aligned}r^{2}+\rho ^{2}=&a^{2}\left[(1+e\cos \varphi )^{2}+(1+e\cos \alpha )^{2}\right]\\=&a^{2}\left[2+2e(\cos \varphi +\cos \alpha )+e^{2}\left(\cos ^{2}\varphi +\cos ^{2}\alpha \right)\right]\,;\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b10bb1cc6ca957249e64985762eb1fb743ea9aae)
donc enfin, on aura
![{\displaystyle {\begin{aligned}\delta ^{2}=&a^{2}\left[2-2\cos(\varphi -\alpha )+e^{2}\left(\cos ^{2}\varphi +\cos ^{2}\alpha -2+2\sin \varphi \sin \alpha \right)\right]\\=&a^{2}\left[2-2\cos(\varphi -\alpha )-e^{2}(\sin \varphi -\sin \alpha )^{2}\right]\\=&4a^{2}\left(\sin ^{2}{\frac {\varphi -\alpha }{2}}-e^{2}\sin ^{2}{\frac {\varphi -\alpha }{2}}\cos ^{2}{\frac {\varphi +\alpha }{2}}\right),\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/957577828631e68fe131342f4ba116bc54a53c63)
et, tirant la racine carrée,
![{\displaystyle \delta =2a\sin {\frac {\varphi -\alpha }{2}}{\sqrt {1-e^{2}\cos ^{2}{\frac {\varphi +\alpha }{2}}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/af5d6a6a0aa4b56d1e5ed99bd152450f57f196c0)
Faisant donc ces substitutions dans les expressions ci-dessus de
et
on aura
![{\displaystyle {\begin{aligned}\cos x=&{\frac {r+\rho -\delta }{2a}}-1,\\\cos y=&{\frac {r+\rho +\delta }{2a}}-1,\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1934b030c73da68d064586883cd6885331713a3e)
et de là
![{\displaystyle {\begin{aligned}a(1+\cos x)=&{\frac {r+\rho -\delta }{2a}},\\a(1+\cos y)=&{\frac {r+\rho +\delta }{2a}}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8a7f289688be66d4c11f125e27ea16fe74391eb6)
Or
et
étant deux anomalies excentriques dans l’ellipse où
si l’on nomme
et
les rayons vecteurs correspondants, on aura
![{\displaystyle p=a(1+\cos x),\quad q=a(1+\cos y),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5f623e929988e1ad4fa265c8edddc777ca1eb093)
donc
![{\displaystyle p={\frac {r+\rho -\delta }{2a}},\quad q={\frac {r+\rho +\delta }{2a}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/407b028b8a9a488871b76e37ed893482922cf185)
et le temps employé à parcourir l’arc sous-tendu par la corde
dans l’ellipse dont l’excentricité est
sera égal à la différence des temps qui répondent aux rayons vecteurs
et
dans l’ellipse où
mais nous avons déjà vu que cette ellipse se confond avec l’axe, et que ses deux foyers tombent aux extrémités de l’axe
donc le temps dont il s’agit sera égal au temps employé à parcourir dans cet axe la partie interceptée entre les abscisses
et
ce qui est le Théorème de M. Lambert.
4. Quoique la démonstration précédente soit assez simple, il semble qu’on pourrait la simplifier encore, en employant immédiatement le rayon vecteur à la place de l’anomalie excentrique ; nous allons donc envisager la question de cette manière, et sans faire usage des propriétés connues de l’anomalie excentrique.
Pour cela nous remarquerons que le temps employé à décrire un arc quelconque d’une section conique, par un corps attiré vers l’un des foyers de cette section en vertu d’une force en raison inverse du carré de la distance, est toujours proportionnel à l’aire du secteur compris par l’arc dont il s’agit et les deux rayons vecteurs menés du foyer aux extrémités de cet arc, divisée par la racine carrée du paramètre de la section conique ; c’est ce que Newton a démontré le premier, et une foule d’Auteurs après lui.
Or, si l’on nomme
le rayon vecteur,
l’angle de ce rayon avec le grand axe,
le demi-paramètre de l’orbite,
son excentricité, on a par la nature de l’ellipse
![{\displaystyle r={\frac {p}{1+e\cos \varphi }}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/025eb8e74a26ef169528b21e38998732a0d275b7)
donc, comme l’élément du secteur décrit par le rayon
est exprimé par
si l’on substitue dans cette expression la valeur de
en
tirée de l’équation précédente, et qu’on la divise par
on aura l’élément du temps employé à parcourir l’arc
égal à la quantité
![{\displaystyle {\frac {{\sqrt {p}}dr}{\sqrt {e^{2}-1+{\cfrac {2p}{r}}-{\cfrac {p^{2}}{r^{2}}}}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a2d730e5ae6b25a05d25f717c6320e92e14558ff)
Mais, en nommant
le demi-grand axe de l’ellipse, on a
![{\displaystyle p=a\left(1-e^{2}\right)\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f08a6c292355afa361fd17bc4e2ec07f5dae21cc)
substituant donc
à la place de
et multipliant le haut et te bas de la fraction par
on aura, pour l’élément dont il s’agit,
![{\displaystyle {\frac {rdr}{\sqrt {-p+2r-{\cfrac {r^{2}}{a}}}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0272b6cb7b305c9b506e05cc6c62e252c28ecf25)
Donc, si l’on fait
![{\displaystyle r=az,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/02646bd83336498744c6e485bf7fc85d1f8da536)
et qu’on remette
![{\displaystyle 1-e^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/52f24f3e5770529ceb95fa4c037da88e53280fc8)
à la place de
![{\displaystyle {\frac {p}{a}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/01af8097a5d9875d52a366f3c4de4d606bfe1a3b)
on aura cette formule différentielle
![{\displaystyle {\frac {a^{\frac {3}{2}}zdz}{\sqrt {e^{2}-1+2z-z^{2}}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6e1d75342e49279d5490dafd383728f4f50895ca)
dont l’intégrale prise, par exemple, depuis
jusqu’à
donnera le temps employé à parcourir l’angle compris entre les rayons vecteurs
et ![{\displaystyle na.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/71f60214bc451bcf4175a1350cc9966af8ed9911)
5. Soit
![{\displaystyle z=1-u,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/56753aa858680b69083084e2fe0e3e180bd35d64)
la formule précédente deviendra
![{\displaystyle {\frac {a^{\frac {3}{2}}(udu-du)}{\sqrt {e^{2}-u^{2}}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ca5e88c94b6b4d7d3f323f07fdb10338ab048830)
dont l’intégrale est évidemment
![{\displaystyle a^{\frac {3}{2}}\left(\operatorname {arc} \cos {\frac {u}{e}}-{\sqrt {e^{2}-u^{2}}}\right)\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1fd35757984b69b7e399989c2149a2f3fd65975b)
et la question se réduira à faire en sorte que la différence de deux intégrales de cette espèce pour deux différentes valeurs de
soit égale à la différence de deux autres intégrales semblables, mais dans lesquelles la constante
soit
Ainsi il faudra satisfaire à l’équation
![{\displaystyle {\begin{aligned}&\operatorname {arc} \cos {\frac {u}{e}}-{\sqrt {e^{2}-u^{2}}}-\operatorname {arc} \cos {\frac {s}{e}}+{\sqrt {e^{2}-s^{2}}}\\&\quad =\operatorname {arc} \cos x-{\sqrt {1-x^{2}}}-\operatorname {arc} \cos y+{\sqrt {1-y^{2}}},\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1682d3e3926bc1132b0626c75651c11836761a0e)
laquelle, en comparant la partie algébrique avec la partie algébrique et la transcendante avec la transcendante, se partage en ces deux-ci
![{\displaystyle {\begin{aligned}&{\sqrt {e^{2}-u^{2}}}-{\sqrt {e^{2}-s^{2}}}={\sqrt {1-x^{2}}}-{\sqrt {1-y^{2}}},\\&\operatorname {arc} \cos {\frac {u}{e}}-\operatorname {arc} \cos {\frac {s}{e}}=\operatorname {arc} \cos x-\operatorname {arc} \cos y,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bddc98a539e116910728068f0778866f55d8de83)
dont la seconde donne par les Théorèmes connus
![{\displaystyle {\frac {us+{\sqrt {e^{2}-u^{2}}}{\sqrt {e^{2}-s^{2}}}}{e^{2}}}=xy+{\sqrt {1-x^{2}}}{\sqrt {1-y^{2}}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ba5c7292d38e97fe1d8c49ae9f80a4e55362abe2)
et ces deux équations serviront à déterminer
et
en
et ![{\displaystyle u.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/edd5636410da69bac33da075162221527401793c)
6. Faisons, pour abréger,
![{\displaystyle {\begin{aligned}&{\sqrt {e^{2}-u^{2}}}-{\sqrt {e^{2}-s^{2}}}=m,\\&{\frac {us+{\sqrt {e^{2}-u^{2}}}{\sqrt {e^{2}-s^{2}}}}{e^{2}}}=n,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9ee4f036ca9f55b39e88ca2d9d7c37823f303575)
et les équations dont il s’agit deviendront
(1)
|
|
|
(2)
|
|
|
Or l’équation (1) étant carrée et ensuite ajoutée à l’équation (2) multipliée par
on aura
![{\displaystyle 2-x^{2}-y^{2}+2xy=m^{2}+2n\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f9948e61cfa20b7c664b131305108884b5e2fd15)
d’où l’on tire sur-le-champ
![{\displaystyle x-y={\sqrt {2-2n-m^{2}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/741f125e2fc6f10f8bdba7a174f617a85a68211d)
Ensuite l’équation (1) étant multipliée par
et divisée par
donne
![{\displaystyle {\sqrt {1-x^{2}}}+{\sqrt {1-y^{2}}}={\frac {y^{2}-x^{2}}{m}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0ff12547cbd7de1e86c3f4d4d78ef316592cfedf)
cette équation étant carrée et ensuite retranchée de l’équation (2) multipliée par
on a
![{\displaystyle 2xy-2+x^{2}+y^{2}=2n-{\frac {\left(y^{2}-x^{2}\right)^{2}}{m^{2}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/152f06be19f2dbdf06219b6d6a0445badd7470d6)
savoir
![{\displaystyle (x+y)^{2}=2+2n-{\frac {(x+y)^{2}(x-y)^{2}}{m^{2}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f5623901f00555f7789f48951a8e35da504b893d)
et, substituant pour
![{\displaystyle (x-y)^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7ef892b476a2605a8484308d31d9677f32670168)
sa valeur ci-dessus,
![{\displaystyle (x+y)^{2}=2+2n-(x+y)^{2}{\frac {2-2n-m^{2}}{m^{2}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/47a089eceabda565f31d78091c440f922f0f85d6)
d’où l’on tire immédiatement
![{\displaystyle x+y=m{\sqrt {\frac {1+n}{1-n}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9c94a5b15216a7c014442cd9b4383129b5010a59)
Ainsi, connaissant la somme et la différence de
et
on aura chacune de ces deux quantités.
Donc le temps employé à parcourir l’arc compris entre les rayons vecteurs
dans une ellipse dont le demi-grand axe serait
et l’excentricité
sera égal au temps employé à parcourir l’arc compris entre les rayons vecteurs
dans une autre ellipse qui aurait le même grand axe et où l’excentricité serait
c’est-à-dire égale au temps employé à parcourir dans le grand axe même la différence de ces rayons.
7. Il reste encore à prouver qu’en nommant
la corde qui joint les deux rayons vecteurs
et
on aura
![{\displaystyle a(1-x)={\frac {a(1-u)+a(1-s)-aq}{2}},\ \ a(1-y)={\frac {a(1-u)+a(1-s)+aq}{2}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6459be26f7441c7e87e4133b705784e338832395)
savoir
![{\displaystyle x={\frac {u+s+q}{2}},\quad y={\frac {u+s-q}{2}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7ed33cf0c3cd312e79f848f08c67826e2ece4547)
Pour cela je remarque d’abord que l’on a entre
les mêmes équations qu’entre
ce qui est visible par les premières formules du numéro précédent ; donc, en changeant ces dernières quantités en celles-là dans les formules finales du même numéro, on aura aussi
![{\displaystyle {\frac {u-s}{e}}={\sqrt {2-2n-{\frac {m^{2}}{e^{2}}}}},\quad {\frac {u+s}{e}}={\frac {m}{e}}{\sqrt {\frac {1+n}{1-n}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4b21b7c5bd38621c41f809b6e2ffe66b7ea1cdb2)
savoir
![{\displaystyle u-s={\sqrt {(2-2n)e^{2}-m^{2}}},\quad u+s=m{\sqrt {\frac {1+n}{1-n}}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6888ec754a1411aa468ed38def0f91dfd96504cd)
mais on a
![{\displaystyle x-y={\sqrt {2-2n-m^{2}}},\quad x+y=m{\sqrt {\frac {1+n}{1-n}}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7d8f39cce78063caacbbc6494e2620071cd6ec19)
donc
![{\displaystyle x+y=u+s,\quad x-y={\frac {\sqrt {(u-s)^{2}+\left(1-e^{2}\right)m^{2}}}{e}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7189640685828d4f0f87de6dc530923b1ef0caa4)
Pour introduire maintenant la corde
je remarque que si l’on nomme
et
les coordonnées rectangles de l’ellipse prises depuis le foyer et dont l’une soit dans le grand axe, on aura
![{\displaystyle \xi ^{2}+\eta ^{2}=r^{2},\quad \xi =r\cos \varphi \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/07f8d4708d2c57099010c259bb8f54baf0c1001c)
de sorte que, par l’équation de l’ellipse
![{\displaystyle p=r(1+e\cos \varphi ),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6fc09a1d25db60ab60b8caa7593b2a9b9cc6ad0e)
on aura
![{\displaystyle p=r+e\xi \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4b9fcdce5ba9fa8f3bed8ac659191df9494abb08)
donc
![{\displaystyle \xi ={\frac {p-r}{e}},\quad \eta ={\sqrt {r^{2}-\left({\frac {p-r}{e}}\right)^{2}}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/38ee4c271e05ffe9b01c12fca606f8a07e069b43)
mettant
à la place de
et
à la place de
on aura
![{\displaystyle \xi ={\frac {a}{e}}\left(u-e^{2}\right),\quad \eta ={\frac {a{\sqrt {1-e^{2}}}}{e}}{\sqrt {e^{2}-u^{2}}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d8969c7a986b33d1484157934198b74aac2ccb83)
nommant de même
les coordonnées qui répondent au rayon vecteur
on aura
![{\displaystyle \xi '={\frac {a}{e}}\left(s-e^{2}\right),\quad \eta '={\frac {a{\sqrt {1-e^{2}}}}{e}}{\sqrt {e^{2}-s^{2}}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dbcebca4129bb4ce81083c8d37d9f726e1d43be1)
or il est évident que la corde qui joint les extrémités des deux rayons est
![{\displaystyle {\sqrt {(\xi -\xi ')^{2}+(\eta -\eta ')^{2}}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e29d3e4f815cb3168af606dd3dceea5a683659a8)
donc, ayant déjà nommé cette corde
on aura
![{\displaystyle q={\frac {\sqrt {(u-s)^{2}+\left(1-e^{2}\right)\left({\sqrt {e^{2}-u^{2}}}-{\sqrt {e^{2}-s^{2}}}\right)^{2}}}{e}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/25480b5a8cc5c0c744b977b463dfc353805a4f13)
et par conséquent
![{\displaystyle q=x-y.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/60e6d11401ca2c1edb281689dff9e3233896d3ef)
Ayant donc
![{\displaystyle x+y=u+s,\quad x-y=q,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c814b48b361f7923703a0733b1ab0fe237242242)
on aura
![{\displaystyle x={\frac {u+s+q}{2}},\quad y={\frac {u+s-q}{2}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7ed33cf0c3cd312e79f848f08c67826e2ece4547)
Cette démonstration du Théorème dont il s’agit a, ce me semble, toute la simplicité qu’on y peut désirer.
8. De là résulte donc ce Théorème analytique assez remarquable,
![{\displaystyle {\frac {rdr}{\sqrt {-p+2r-{\cfrac {r^{2}}{a}}}}}-{\frac {\rho d\rho }{\sqrt {-p+2\rho -{\cfrac {\rho ^{2}}{a}}}}}={\frac {zdz}{\sqrt {2z-{\cfrac {z^{2}}{a}}}}}-{\frac {\zeta d\zeta }{\sqrt {2\zeta -{\cfrac {\zeta ^{2}}{a}}}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/83eac72e2abd2459a68b106025dc296ecbe10be0)
en supposant
![{\displaystyle r=a(1-u),\quad \rho =a(1-s),\quad z=a(1-x),\quad \zeta =a(1-y),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8bf317c48f08e9de0d18f89fc66282b147048aa3)
![{\displaystyle x={\frac {u+s+q}{2}},\quad y={\frac {u+s-q}{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9fd9d605596bfca4e45f6fd493b6e269ca4c3cab)
et
![{\displaystyle q={\frac {1}{e}}{\sqrt {(u-s)^{2}+\left(1-e^{2}\right)\left({\sqrt {e^{2}-u^{2}}}-{\sqrt {e^{2}-s^{2}}}\right)^{2}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/95af1cc6d4893af11afa81dab592aea984fe5bbe)
ce qui donne
![{\displaystyle u=1-{\frac {r}{a}},\quad s=1-{\frac {\rho }{a}},\quad x=1-{\frac {r+\rho +aq}{2a}},\quad y=1-{\frac {r+\rho -aq}{2a}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cb958628b74ab97bc906bacab7c0883750d7eea5)
donc
![{\displaystyle z={\frac {r+\rho +aq}{2}},\quad \zeta ={\frac {r+\rho -aq}{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/41c3239583d5b1c05dcb40e167e4bec9f5fc3c04)
et
![{\displaystyle aq={\frac {1}{e}}{\sqrt {(r-\rho )^{2}+p\left({\sqrt {-p+2r-{\frac {r^{2}}{a}}}}-{\sqrt {-p+2\rho -{\frac {\rho ^{2}}{a}}}}\right)^{2}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7202ebf861b8ff51069a1b2bba18f64def4c051d)
9. Voyons maintenant comment on peut généraliser ce Théorème, et, considérant pour cela la formule différentielle
![{\displaystyle {\frac {rdr}{\sqrt {\mathrm {H} +\mathrm {M} r+\mathrm {N} r^{2}}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eff362835988ac182dd228195f444ebb0b7f343b)
cherchons à la réduire à la somme ou à la différence d’autres formules semblables qui contiennent des coefficients arbitraires. Pour y parvenir de la manière la plus générale et la plus simple, je suppose
![{\displaystyle {\sqrt {\mathrm {H} +\mathrm {M} r+\mathrm {N} r^{2}}}=\mathrm {A} +\mathrm {B} r+\mathrm {C} s,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/926f6a47eb436e2015835984aaefbd75f3bc41ab)
étant une nouvelle variable, et
des coefficients constants quelconques il est clair qu’en ôtant l’irrationnalité, on aura une équation du second degré entre
et
De cette manière la différentielle proposée se changera d’abord en celle-ci
![{\displaystyle {\frac {rdr}{\mathrm {A} +\mathrm {B} r+\mathrm {C} s}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c229653794fe386c29bab3c2e786785b677cc578)
Maintenant je prends deux autres variables
et
et je suppose
![{\displaystyle r=x+y,\quad s=xy,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b467484949fd28b3ebe7cc2ca839542614438d8c)
en sorte que les quantités
et
demeurent les mêmes en échangeant
et
entre elles ; on aura ainsi
![{\displaystyle s=rx-x^{2}=ry-y^{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3b3ce3116714fd74cb388e457057778c4df1b4c5)
Or l’équation entre
et
étant carrée et ensuite différentiée donne
![{\displaystyle \left[\mathrm {M} +2\mathrm {N} r-2\mathrm {B} (\mathrm {A} +\mathrm {B} r+\mathrm {C} s)\right]dr-2\mathrm {C} (\mathrm {A} +\mathrm {B} r+\mathrm {C} s)ds=0\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0fe6abf6f131eee111ab965fa6055e86a8f8a190)
mais
![{\displaystyle ds=xdr+(r-2x)dx=xdr+(y-x)dx\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/48879baf7df2d5078844697e5e28221eed4bf124)
donc, substituant,
![{\displaystyle \left[\mathrm {M} +2\mathrm {N} r-2(\mathrm {B} +\mathrm {C} x)(\mathrm {A} +\mathrm {B} r+\mathrm {C} s)\right]dr-2\mathrm {C} (y-x)(\mathrm {A} +\mathrm {B} r+\mathrm {C} s)dx=0\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/48b962577a47b28c05761e168112a544865cdbda)
donc, à cause de
![{\displaystyle r=x+y,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9d7c17f24430220c8c3ae7306ef9d0e8dba3bd47)
on aura
![{\displaystyle {\frac {rdr}{\mathrm {A} +\mathrm {B} r+\mathrm {C} s}}={\frac {2\mathrm {C} \left(y^{2}-x^{2}\right)dx}{\mathrm {M} +2\mathrm {N} r-2(\mathrm {B} +\mathrm {C} x)(\mathrm {A} +\mathrm {B} r+\mathrm {C} s)}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/340b3da9952cd61cf73d90fc21e2833ce396d5e4)
Changeant
en
on aura done aussi
![{\displaystyle {\frac {rdr}{\mathrm {A} +\mathrm {B} r+\mathrm {C} s}}={\frac {2C\left(x^{2}-y^{2}\right)dy}{\mathrm {M} +2\mathrm {N} r-2(\mathrm {B} +\mathrm {C} y)(\mathrm {A} +\mathrm {B} r+\mathrm {C} s)}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/947b84149e8ce151ce605597d87152419f160a43)
par conséquent
![{\displaystyle 0={\frac {dx}{\mathrm {M} +2\mathrm {N} r-2(\mathrm {B} +\mathrm {C} x)(\mathrm {A} +\mathrm {B} r+\mathrm {C} s)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/49e961a3da63a32016c9753b63529e08bd870c7a)
![{\displaystyle +{\frac {dy}{\mathrm {M} +2\mathrm {N} r-2(\mathrm {B} +\mathrm {C} y)(\mathrm {A} +\mathrm {B} r+\mathrm {C} s)}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/89612dfce19e5f603b83f7cb1dde14ff79983a81)
donc, en prenant une quantité quelconque
on aura, en général,
![{\displaystyle {\frac {rdr}{\mathrm {A} +\mathrm {B} r+\mathrm {C} s}}={\frac {rdr}{\sqrt {\mathrm {H} +\mathrm {M} r+\mathrm {N} r^{2}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ef4451cd111429e96af41f7a4caaa0c1b55ae9d8)
![{\displaystyle =-{\frac {2\mathrm {C} \left(x^{2}+h\right)dx}{\mathrm {M} +2\mathrm {N} r-2(\mathrm {B} +\mathrm {C} x)(\mathrm {A} +\mathrm {B} r+\mathrm {C} s)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1aeed6931cf923ee97624f5e2a0b7beffc3f14f3)
![{\displaystyle -{\frac {2\mathrm {C} \left(y^{2}+h\right)dy}{\mathrm {M} +2\mathrm {N} r-2(\mathrm {B} +\mathrm {C} y)(\mathrm {A} +\mathrm {B} r+\mathrm {C} s)}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/80b251788c7efda12758d7bd7c5af05ee43e7fd0)
Maintenant j’ai, à cause de
![{\displaystyle {\sqrt {\mathrm {H} +\mathrm {M} r+\mathrm {N} r^{2}}}=\mathrm {A} +(\mathrm {B} +\mathrm {C} x)r-\mathrm {C} x^{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b51481b99090676cdbba0c0aff1ef3666cc5d10f)
d’où l’on tirera
en ![{\displaystyle x.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d07e9f568a88785ae48006ac3c4b951020f1699a)
Pour cela je carre cette équation et je l’ordonne par rapport à
j’ai
![{\displaystyle \left[\mathrm {N} -(\mathrm {B} +\mathrm {C} x)^{2}\right]r^{2}+\left[\mathrm {M} -2(\mathrm {B} +\mathrm {C} x)\left(\mathrm {A} -\mathrm {C} x^{2}\right)\right]r+\mathrm {H} -\left(\mathrm {A} -\mathrm {C} x^{2}\right)^{2}=0\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3992cbf91c8a5d378e098fbeb0c2757ed86a3e21)
d’où je tire, en multipliant par
complétant le carré et extrayant la racine,
![{\displaystyle 2\left[\mathrm {N} -(\mathrm {B} +\mathrm {C} x)^{2}\right]r+\mathrm {M} -2(\mathrm {B} +\mathrm {C} x)\left(\mathrm {A} -\mathrm {C} x^{2}\right)={\sqrt {\mathrm {X} }},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0e54e975a4c8c161f5eda6da6981c330fe4bd7f3)
en faisant, pour abréger,
![{\displaystyle \mathrm {X} =\left[\mathrm {M} -2(\mathrm {B} +\mathrm {C} x)\left(\mathrm {A} -\mathrm {C} x^{2}\right)\right]^{2}-4\left[\mathrm {N} -(\mathrm {B} +\mathrm {C} x)^{2}\right]\left[\mathrm {H} -\left(\mathrm {A} -\mathrm {C} x^{2}\right)^{2}\right]\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cd48d492a349a84d28e45e0e4e02c07dd5a194d8)
or le premier membre de l’équation précédente se réduit à
![{\displaystyle \mathrm {M} +2\mathrm {N} r-2(\mathrm {B} +\mathrm {C} x)\left(\mathrm {B} r+\mathrm {C} rx+\mathrm {A} -\mathrm {C} x^{2}\right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fdf022358c5ad1e5e7f20d8ab95c05505297ee8e)
savoir à
![{\displaystyle \mathrm {M} +2\mathrm {N} r-2(\mathrm {B} +\mathrm {C} x)\left(\mathrm {A} +\mathrm {B} r+\mathrm {C} s\right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/df7d1ad25821c11d50e6a3687152243142420dd4)
Ainsi l’on a
![{\displaystyle \mathrm {M} +2\mathrm {N} r-2(\mathrm {B} +\mathrm {C} x)(\mathrm {A} +\mathrm {B} r+\mathrm {C} s)={\sqrt {\mathrm {X} }},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7799c4d3b1d159ae728a374adc67bfaf9f5f1a89)
et, changeant
en
on aura pareillement
![{\displaystyle \mathrm {M} +2\mathrm {N} r-2(\mathrm {B} +\mathrm {C} y)(\mathrm {A} +\mathrm {B} r+\mathrm {C} s)={\sqrt {\mathrm {Y} }},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d645a8611ad9386cd7b4cab63fe6d56eea05ea09)
où
sera une fonction de
semblable à la fonction
de
en sorte que l’on aura
![{\displaystyle \mathrm {Y} =\left[\mathrm {M} -2(\mathrm {B} +\mathrm {C} y)(\mathrm {A} -\mathrm {C} y^{2})\right]^{2}-4\left[\mathrm {N} -(\mathrm {B} +\mathrm {C} y)^{2}\right]\left[\mathrm {H} -(\mathrm {A} -\mathrm {C} y^{2})^{2}\right],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/25e4d2d69e274a84e1fc7c6a3b1f09a56eeffff2)
et l’on remarquera que l’on peut prendre dans les équations précédentes les radicaux en
ou
en à volonté.
Faisant donc ces substitutions dans l’équation ci-dessus, et prenant le radical
en
et le radical
en
on aura enfin
![{\displaystyle {\frac {rdr}{\sqrt {\mathrm {H} +\mathrm {M} r+\mathrm {N} r^{2}}}}={\frac {2\mathrm {C} (x^{2}+h)dx}{\sqrt {\mathrm {X} }}}-{\frac {2\mathrm {C} (y^{2}+h)dy}{\sqrt {\mathrm {Y} }}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2d8fbee71b51a5e3cfc63593805bf734f3f698ba)
étant une quantité quelconque ; où l’on voit qu’en supposant
constante, la différentielle proposée est réduite à la différence de deux autres différentielles analogues, mais beaucoup plus générales.
10. Si l’on développe la quantité
et qu’on fasse, pour plus de simplicité,
![{\displaystyle {\begin{aligned}a=&\mathrm {\frac {\left({\cfrac {M}{2}}\right)^{2}-HN-ABM-A^{2}N-HB^{2}}{C^{2}}} ,\\b=&-\mathrm {\frac {MA+2HB}{C}} ,\\c=&\mathrm {{\frac {MB-2NA}{C}}-4H} ,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0b19e6cea6ec7f18ad069d0d6c7ae7f041c7aadd)
on aura
![{\displaystyle \mathrm {X} =4\mathrm {C} ^{2}\left(a+bx+cx^{2}+\mathrm {M} x^{3}+\mathrm {N} x^{4}\right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8bb8a54ca936360827ce70ed079646ff9bc7a52c)
et pareillement
![{\displaystyle \mathrm {Y} =4\mathrm {C} ^{2}\left(a+by+cy^{2}+\mathrm {M} y^{3}+\mathrm {N} y^{4}\right)\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/acaab8405788d4b19f2f8e786582e8b7e6f20e97)
donc, substituant dans la formule du numéro précédent, on aura
![{\displaystyle {\frac {rdr}{\sqrt {\mathrm {H} +\mathrm {M} r+\mathrm {N} r^{2}}}}=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d178722bba36d9b0f0af84468ffb000026f53c8d)
![{\displaystyle {\frac {(x^{2}+h)dx}{\sqrt {a+bx+cx^{2}+\mathrm {M} x^{3}+\mathrm {N} x^{4}}}}-{\frac {(y^{2}+h)dy}{\sqrt {a+by+cy^{2}+\mathrm {M} y^{3}+\mathrm {N} y^{4}}}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5256fb29c37f0f5669e25c79c27d9f553603020a)
et, comme les quantités
renferment les trois constantes arbitraires
on pourra regarder ces quantités elles-mêmes comme des constantes arbitraires ; et la constante
sera pareillement arbitraire.
11. En regardant les quantités
comme données, on aura par les formules ci-dessus
![{\displaystyle \mathrm {\frac {A}{C}} =-{\frac {\mathrm {M} b+2\mathrm {H} (c+4\mathrm {H} )}{\mathrm {M^{2}+4HN} }},\quad \mathrm {\frac {B}{C}} =-{\frac {\mathrm {M} (c+4\mathrm {H} )-2\mathrm {N} b}{\mathrm {M^{2}+4HN} }},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/782ccf7394fd979842087dfca8cdbffb3c9d4b0c)
ensuite
![{\displaystyle c={\frac {\mathrm {\sqrt {\left({\cfrac {M}{2}}\right)^{2}-HN}} }{\sqrt {a+\mathrm {M{\cfrac {A}{C}}{\cfrac {B}{C}}+N{\cfrac {A^{2}}{C^{2}}}+H{\cfrac {B^{2}}{C^{2}}}} }}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4406b73ff69097657a38b941cb5ec20573f1b61c)
ainsi l’on connaîtra les trois quantités
en
![{\displaystyle \mathrm {M,N,H} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8cff883e05c9455ba83831e9eb4b2c692ee572c7)
Ensuite, pour la détermination de
et
en
on aura d’abord
![{\displaystyle s={\frac {{\sqrt {\mathrm {H} +\mathrm {M} r+\mathrm {N} r^{2}}}-\mathrm {A} -\mathrm {B} r}{\mathrm {C} }}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/98696a4ccf7808566ec136161f006f50f93c58a5)
mais
![{\displaystyle x+y=r,\quad xy=s\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8f68b22e33eea9dac29ead74639b232cd1c27890)
donc
![{\displaystyle x={\frac {r+{\sqrt {r^{2}-4s}}}{2}},\quad y={\frac {r-{\sqrt {r^{2}-4s}}}{2}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cf7fa3935c1bfc274f069dbf1cf7409173698b88)
Si donc on fait
![{\displaystyle {\sqrt {r^{2}-4s}}=u,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9a6766b3fc39ac7c23928899a868f20a9c7daa6b)
on aura
![{\displaystyle x={\frac {r+u}{2}},\quad y={\frac {r-u}{2}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9bee40c2585aa731c903a60d54809447b4b6f9bf)
et la quantité
sera
![{\displaystyle u={\sqrt {\frac {4\mathrm {A} +4\mathrm {B} r+\mathrm {C} r^{2}-{\sqrt {\mathrm {H} +\mathrm {M} r+\mathrm {N} r^{2}}}}{\mathrm {C} }}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6379bf40444eba15f212bb50153216f2b3046397)
12. Comme les constantes
sont arbitraires, on peut les supposer nulles ; on aura alors
![{\displaystyle {\frac {rdr}{\sqrt {\mathrm {H} +\mathrm {M} r+\mathrm {N} r^{2}}}}={\frac {xdx}{\sqrt {\mathrm {M} x+\mathrm {N} x^{2}}}}-{\frac {ydy}{\sqrt {\mathrm {M} y+\mathrm {N} y^{2}}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0d4848348066faa7459fbc4ecc28bf4ed46b0be6)
Ainsi la différentielle proposée est réduite à la différence de deux autres différentielles semblables dans lesquelles
ce qui revient au cas du Théorème de M. Lambert.
Mais on peut faire cette même réduction d’une manière plus générale en supposant
![{\displaystyle h=-k^{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/375f082423f33ae8affcabe66c455090a64c8738)
![{\displaystyle a+bx+cx^{2}+\mathrm {M} x^{3}+\mathrm {N} x^{4}=(x-k)^{2}\left[l+\mathrm {M} (x+k)+\mathrm {N} (x+k)^{2}\right]\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a79a7ee84eb3d0669cc45d7958322201f0c709d2)
ce qui donne[2]
![{\displaystyle a+bx+cx^{2}=l(x-k)^{2}+\mathrm {M} \left(-kx^{2}-k^{2}x+k^{3}\right)+\mathrm {N} \left(-2k^{2}x^{2}+k^{4}\right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/40c0795d575a0c4f0e5799317096aa5e6a637570)
et par conséquent
![{\displaystyle a=lk^{2}+\mathrm {M} k^{3}+\mathrm {N} k^{4},\quad b=-2lk-\mathrm {M} k^{2},\quad c=l-\mathrm {M} k-2\mathrm {N} k^{2}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b549ed2d3acb6ee98e7cde44ddec02dacfbc22a0)
de cette manière, si l’on fait, pour abréger,
![{\displaystyle x+k=x',\quad y+k=y',}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b74c01c268c84c9f2b2860d66f878b4a858704b1)
on aura
![{\displaystyle {\frac {rdr}{\sqrt {\mathrm {H} +\mathrm {M} r+\mathrm {N} r^{2}}}}={\frac {x'dx'}{\sqrt {l+\mathrm {M} x'+\mathrm {N} x'^{2}}}}-{\frac {y'dy'}{\sqrt {l+\mathrm {M} y'+\mathrm {N} y'^{2}}}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4a60b6f206970b073ded3604205077a0d4b37c8a)
et supposant
ce qui donne
![{\displaystyle a=\mathrm {M} k^{3}+\mathrm {N} k^{4},\quad b=0,\quad c=-\mathrm {M} k-2\mathrm {N} k^{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/44582e74a37f2fa98ae9b8e9f8324e6e3ceca438)
on aura les mêmes formules que ci-dessus, mais avec cette différence que les variables
![{\displaystyle x'}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0ac74959896052e160a5953102e4bc3850fe93b2)
et
![{\displaystyle y'}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3a535de94a2183d7130731eab8a83531d7c35c6b)
contiendront encore la constante arbitraire
![{\displaystyle k}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c3c9a2c7b599b37105512c5d570edc034056dd40)
.
13. Je vais faire voir maintenant que l’équation entre
et
du no 11 est celle d’une ellipse dans laquelle
serait le rayon vecteur partant d’un des foyers, et où
serait un autre rayon vecteur partant d’un autre point fixe quelconque placé dans le plan de l’ellipse ou non.
En nommant, comme plus haut,
le paramètre,
l’excentricité,
le rayon vecteur,
et
les coordonnées rectangles, on a, comme on sait, cette équation à l’ellipse
![{\displaystyle r+e\xi =p\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/71d6ec0d1e7252e5383101a2ecefb2f0a5ff737a)
d’où l’on tire, à cause de ![{\displaystyle r^{2}=\xi ^{2}+\eta ^{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/429c255f793baf2ef4b45511cd43d018e3a33f4d)
![{\displaystyle \xi ={\frac {p-r}{e}},\quad \eta ={\frac {\sqrt {-p^{2}+2pr-\left(1-e^{2}\right)r^{2}}}{e}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ccb58abfa9da5033bbecac432e032e56222cd6b9)
Soient maintenant
les coordonnées rectangles qui déterminent la position du centre des rayons vecteurs
on aura évidemment
![{\displaystyle u^{2}=(\xi -\alpha )^{2}+(\eta -\beta )^{2}+\gamma ^{2},\quad {\text{savoir}}\quad u^{2}=r^{2}-2\alpha \xi -2\beta \eta +\delta ^{2}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8d600bbcdcf5fdfc8feba3b7856c54da768c5173)
en faisant, pour abréger,
![{\displaystyle \delta ={\sqrt {\alpha ^{2}+\beta ^{2}+\gamma ^{2}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dffe6b784390af125c609bfacaae57c54058371b)
et substituant pour
et
leurs valeurs en ![{\displaystyle r,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/250644a0f511e9078be6f89ba78a606a0e08c0a0)
![{\displaystyle u^{2}=r^{2}+{\frac {2\alpha }{e}}r-{\frac {2\alpha p}{e}}+\delta ^{2}-{\frac {2\beta }{e}}{\sqrt {-p^{2}+2pr-\left(1-e^{2}\right)r^{2}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9a991dfb0cc8fc8cd2bd3d54a4f42a1d5f1ab7ab)
Cette expression de
en
est, comme on voit, tout à fait semblable à celle du no 11, et, comparant les termes homologues, on aura
![{\displaystyle {\frac {2\alpha }{e}}=\mathrm {\frac {4B}{C}} ,\quad -{\frac {2\alpha p}{e}}+\delta ^{2}=\mathrm {\frac {4A}{C}} ,\quad {\frac {-\beta ^{2}p^{2}}{e^{2}}}=\mathrm {\frac {4H}{C^{2}}} ,\quad {\frac {\beta ^{2}p}{e^{2}}}=\mathrm {\frac {4M}{C^{2}}} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1adac3ed3ae91a0efa6d12b27bf8a9df8eeeaf24)
![{\displaystyle {\frac {-\beta ^{2}\left(1-e^{2}\right)}{e^{2}}}=\mathrm {\frac {4N}{C^{2}}} \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a5b44cf8e42505ed3cfc7d80984236bb856359e8)
et ces cinq équations serviront à déterminer les cinq quantités ![{\displaystyle p,e,\alpha ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7a2267cd4ca7d43622c8fd1e05c8784165f266a9)
dont les deux premières déterminent l’ellipse, et dont les trois dernières déterminent la position du centre des rayons
par rapport au plan de l’ellipse et au foyer des rayons
.
Dans ce cas le radical
devient
![{\displaystyle {\frac {\mathrm {C} \beta }{2e}}{\sqrt {-p^{2}+2pr-\left(1-e^{2}\right)r^{2}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/06e2d7af7c73d64febc6b86cb6efdc917c7eacbe)
ou, nommant le demi-grand axe
et mettant
à la place de ![{\displaystyle 1-e^{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/84b21e57821d642daef7562b086e7a1e5e27094f)
![{\displaystyle {\frac {\mathrm {C} \beta {\sqrt {p}}}{2e}}{\sqrt {-p+2r-{\frac {r^{2}}{\varpi }}}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5dc56b2a8c6ff52f0e31b80acb90cbca23738aec)
de sorte que la différentielle
![{\displaystyle {\frac {rdr}{\sqrt {\mathrm {H} +\mathrm {M} r+\mathrm {N} r^{2}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2e8d6d44d6e7dbb63fffa16fe14cdf89364a9592)
deviendra
![{\displaystyle {\frac {2e}{\mathrm {C} \beta {\sqrt {p}}}}{\frac {rdr}{\sqrt {-p+2r-{\frac {r^{2}}{\varpi }}}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d2cb36be527b14909d01edd4e7e9d4c9b83cca84)
c’est-à-dire proportionnelle à l’élément du temps dans la même ellipse (4).
Donc on peut représenter ce temps par la différence de deux expressions de la forme
![{\displaystyle \int {\frac {(z^{2}+h)dz}{\sqrt {a+bz+cz^{2}+2z^{3}-{\cfrac {z^{4}}{\varpi }}}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0fc4a93ac9279d6cab13c7a1dbae8e6042831c3f)
les quantités
étant des constantes arbitraires, et la variable
étant dans l’une des deux expressions la somme, et dans l’autre la différence de deux rayons vecteurs de l’ellipse, dont l’un parte à l’ordinaire du foyer, et dont l’autre parte d’un autre point fixe quelconque dépendant des constantes ![{\displaystyle a,b,c.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bc3a5888966f760fab8c7d0c153c4bae6d80d10e)
14. Si l’on suppose que le centre des rayons
tombe sur la circonférence même de l’ellipse, alors on aura
et entre
la même équation qu’entre
et
ainsi il faudra substituer
à la place de
et
à la place de
dans les formules du no 13 ; mais comme ces substitutions mènent à des formules un peu compliquées, voici une manière plus simple et plus directe d’analyser le cas dont il s’agit.
Je remarquequ’en faisant
(
étant
par le no 13, et par conséquent égale à la distance du centre des rayons
au foyer des rayons
) on doit avoir
et par conséquent
(11).
Je reprends maintenant les deux formules du no 9,
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {M} +2\mathrm {N} r-2(\mathrm {B} +\mathrm {C} x)(\mathrm {A} +\mathrm {B} r+\mathrm {C} s)=&-{\sqrt {\mathrm {X} }},\\\mathrm {M} +2\mathrm {N} r-2(\mathrm {B} +\mathrm {C} y)(\mathrm {A} +\mathrm {B} r+\mathrm {C} s)=&{\sqrt {\mathrm {Y} }}\,;\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8c507852f3c2f8e7bdb90df5b40409ec73bb0e1e)
dans la première desquelles je donne le signe
au radical
conformément à ce que j’ai dit dans le même numéro. Soustrayant la première de la seconde, j’ai celle-ci
![{\displaystyle 2\mathrm {C} (y-x)(\mathrm {A} +\mathrm {B} r+\mathrm {C} s)={\sqrt {\mathrm {Y} }}+{\sqrt {\mathrm {X} }}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7b035c6ae11f11af36d293065035bcf35113ee57)
et il faudra qu’en faisant
on ait
par conséquent, à cause de ![{\displaystyle r=x+y,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9d7c17f24430220c8c3ae7306ef9d0e8dba3bd47)
![{\displaystyle x={\frac {\delta }{2}},\quad y={\frac {\delta }{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f0b780dd0136a4ca1ffe0557a0bc02badf09a358)
sont deux valeurs de
et de
qui doivent satisfaire à l’équation précédente. Or par ces suppositions le premier membre devient nul, et le second devient
en supposant
![{\displaystyle \Delta =a+b{\frac {\delta }{2}}+c\left({\frac {\delta }{2}}\right)^{2}+\mathrm {M} \left({\frac {\delta }{2}}\right)^{3}+\mathrm {N} \left({\frac {\delta }{2}}\right)^{4}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/db51b516dc8a4fb24033d48bfc694fa3bd7a3953)
donc on doit avoir
par conséquent
doit être une racine des équations semblables
Mais cela ne suffit pas encore pour satisfaire à l’équation ci-dessus ; il faut encore qu’en supposant
et
très-peu différent de
l’équation puisse subsister et donne une relation possible entre
et
donc il faudra qu’en faisant
![{\displaystyle x={\frac {\delta }{2}}+\mu ,\quad y={\frac {\delta }{2}}+\nu ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4ca1aea1cd018696780719f835da0dab1c277f8c)
et regardant
![{\displaystyle \mu }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9fd47b2a39f7a7856952afec1f1db72c67af6161)
et
![{\displaystyle \nu }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c15bbbb971240cf328aba572178f091684585468)
comme très-petites, on ait une équation possible entre
![{\displaystyle \mu }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9fd47b2a39f7a7856952afec1f1db72c67af6161)
et
Or, faisant ces substitutions et rejetant les termes du second ordre, on a, en supposant
![{\displaystyle -\left(\mathrm {A} +\mathrm {B} \delta +{\frac {\mathrm {C} \delta ^{2}}{4}}\right)(\nu -\mu )={\sqrt {\Delta +\Delta '\nu }}+{\sqrt {\Delta +\Delta '\mu }}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f8af0df4793f8fcdf3475924d7b1ff770b59607c)
mais
donc l’équation devient
![{\displaystyle -\left(\mathrm {A} +\mathrm {B} \delta +{\frac {\mathrm {C} \delta ^{2}}{4}}\right)(\nu -\mu )={\sqrt {\Delta '}}\left({\sqrt {\nu }}+{\sqrt {\mu }}\right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d1b03ca0fd85aa996d43f7235cc71f0ffe865f60)
laquelle, étant divisée par
donne
![{\displaystyle -\left(\mathrm {A} +\mathrm {B} \delta +{\frac {\mathrm {C} \delta ^{2}}{4}}\right)\left({\sqrt {\nu }}-{\sqrt {\mu }}\right)={\sqrt {\Delta '}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/03dc53af550541fdaaa6caa985ffb2fd49ebc51e)
donc la quantité
doit être infiniment petite de l’ordre
donc
doit être ![{\displaystyle =0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4d3ba2435c5e5d048b9e80c09e38b694febf6f7d)
De là il est aisé de conclure, par la théorie connue, que
doit être une racine double de l’équation
ainsi que de l’équation
De sorte que les quantités
et
seront de la forme
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {X} =&\left(x-{\frac {\delta }{2}}\right)^{2}\left(l+mx+nx^{2}\right),\\\mathrm {Y} =&\left(y-{\frac {\delta }{2}}\right)^{2}\left(l+my+ny^{2}\right),\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e0b2f4c8265e18aa278bad15e53b63ccb9d584ed)
ou, ce qui revient au même, de la forme
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {X} =&4\mathrm {C} ^{2}\left(x-{\frac {\delta }{2}}\right)^{2}\left[l+m\left(x+{\frac {\delta }{2}}\right)+n\left(x+{\frac {\delta }{2}}\right)^{2}\right],\\\mathrm {Y} =&4\mathrm {C} ^{2}\left(y-{\frac {\delta }{2}}\right)^{2}\left[l+m\left(y+{\frac {\delta }{2}}\right)+n\left(y+{\frac {\delta }{2}}\right)^{2}\right]\,;\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a8a0bd5805bfd3629bdb092ea791b6f50a2a1f67)
et comparant cette forme avec la forme générale des quantités
et
du no 10, on trouvera
![{\displaystyle n=\mathrm {N} ,\quad m=\mathrm {M} ,\quad l=c+\mathrm {N} {\frac {\delta }{2}}+\mathrm {M} {\frac {\delta ^{2}}{2}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e3c7d5136a4cb5ec591be4f8a26401d40407db2d)
de sorte que la constante
![{\displaystyle l}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/829091f745070b9eb97a80244129025440a1cfac)
demeurera arbitraire, à cause qu’elle contient l’arbitraire
![{\displaystyle c}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/86a67b81c2de995bd608d5b2df50cd8cd7d92455)
.
On aura donc précisément le cas du no 12 en prenant
de sorte qu’en supposant de plus
on aura
![{\displaystyle {\frac {rdr}{\sqrt {\mathrm {H} +\mathrm {M} r+\mathrm {N} r^{2}}}}={\frac {x'dx'}{\sqrt {\mathrm {M} x'+\mathrm {N} x'^{2}}}}-{\frac {y'dy'}{\sqrt {\mathrm {M} y'+\mathrm {N} y'^{2}}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aa4d323ed3ad1ae5fc1075f018ff5e5c65dbdf4c)
savoir (13)
![{\displaystyle {\frac {rdr}{\sqrt {-p+2r-{\cfrac {r^{2}}{\varpi }}}}}={\frac {x'dx'}{\sqrt {2x'-{\cfrac {x'^{2}}{\varpi }}}}}-{\frac {y'dy'}{\sqrt {2y'-{\cfrac {y'^{2}}{\varpi }}}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9352572d4a57b4da352078dc9906578ad897b67a)
où (11)
![{\displaystyle x'=x+{\frac {\delta }{2}}={\frac {r+\delta +u}{2}},\quad y'=y+{\frac {\delta }{2}}={\frac {r+\delta -u}{2}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/79acdc110f8e09897f9976c060272caf2714ee83)
Or il est visible que
et
sont deux rayons vecteurs, et que
est alors la corde qui joint ces rayons ; donc, puisque
lorsque
auquel cas
il s’ensuit que la différence des intégrales de
![{\displaystyle {\frac {x'dx'}{\sqrt {2x'-{\cfrac {x'^{2}}{\varpi }}}}}\quad {\text{et}}\quad {\frac {y'dy'}{\sqrt {2y'-{\cfrac {y'^{2}}{\varpi }}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/532f5db0e5035cd4e9b04854b43cb38e2b8f935e)
exprimera justement le temps employé à parcourir l’angle compris entre les deux rayons vecteurs
et
c’est-à-dire l’arc sous-tendu par la corde
ce qui est le Théorème de M. Lambert.