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RÉSOLUES.

Remarque I. Les constructions trouvées sont connues ; la première (7.^o) fait le fond de l’ouvrage de Brackenridge, De descriptione curvarum (1728). Mac-Laurin lui en a disputé l’invention, dans les Transactions philosophiques ; mais je ne crois pas que l’on soit parvenu encore à les démontrer d’une manière aussi simple ; et même je n’en connais que des démonstrations d’une fatigante complication. Ici, au contraire, on les contemple par la vision intuitive, s’il est permis de s’exprimer ainsi.

Remarque II. Les lignes ponctuées de la première construction sont supposées dans l’espace ; mais, si on les projète, d’une manière quelconque, sur le plan $\mathrm {P}$ ; elles fourniront une nouvelle construction du point $s$. En effet, il n’est pas difficile de voir que les points $\mathrm {D,C,r,}$ (ce dernier étant au concours de $ap$ avec $cd$) sont en ligne droite ; ainsi, en prenant, à volonté, dans le plan $\mathrm {P}$, les points $\mathrm {B,D}$, sur l’arbitraire $\mathrm {B} p$, je détermine $\mathrm {E}$ au concours de $\mathrm {B} q$ et $\mathrm {D} o$ ; puis $\mathrm {C}$ au concours de $\mathrm {D} r$ avec $\mathrm {E} c$, et $\mathrm {BC}$ donnera, sur $ap$, le point $s$ demandé^[1].

1. On sait que, cinq points, $a,b,c,d,e,$ d’une courbe du second degré étant donnés sur un plan $\mathrm {P}$, cette courbe est entièrement déterminée.

   D’un autre côté, cinq points étant donnés sur un plan $\mathrm {P}$, on peut toujours supposer que trois quelconques d’entre eux, $a,b,c$ sont les traces, sur ce plan, des trois directrices $\alpha ,\beta ,\gamma ,$ et les deux autres $d,e,$ les traces, sur le même plan, de deux situations $\delta ,\epsilon ,$ de la génératrice d’un paraboloïde hyperbolique. Si en effet par les points $d$ et $e$, on conçoit, dans l’espace, deux droites $\delta$ et $\epsilon$, non comprises dans un même plan, mais dirigées d’ailleurs d’une manière quelconque, on pourra toujours assujétir trois droites $\alpha ,\beta ,\gamma ,$ à passer respectivement par $a,b,c,$ et à reposer de plus sur $\delta$ et $\epsilon$. Considérant alors $\alpha ,\beta ,\gamma ,$ comme les trois directrices d’un paraboloïde hyperbolique, ce paraboloïde se trouvera entièrement déterminé ; et sa trace sur le plan $\mathrm {P}$, laquelle sera une courbe du second degré, passera par les cinq points donnés $a,b,c,d,e.$

   On voit par-là qu’à cause de la direction arbitraire de $\delta$ et $\epsilon$ cinq points de la trace d’un paraboloïde elliptique sur un plan ne suffisent pas pour déterminer ce paraboloïde ; mais qu’ils déterminent néanmoins sa trace sur ce plan.

   Ainsi, le problème qui vient d’être résolu revient à celui-ci : Cinq points d’une courbe du second degré étant donnés, et une droite étant menée arbitrairement sur