LE CINQUIÈME LIVRE DES ÉLÉMENTS DʼEUCLIDE. 243
| ΠΡΟΤΆΣΙΣ γ΄. | PROPOSITIO III. |
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Ἐὰν πρῶτον δευτέρου ἰσάκις ἢ πολλαπλάσιον καὶ τρίτον τετάρτου, ληφθῇ δὲ ἰσάκις πολλα- πλάσια τοῦ πρώτου καὶ τρίτου" καὶ διΐσου τῶν ληφθέντων ἑκάτερον ἑκατέρου ἰσάκις ἔσται πολ-- λαπλάσιον, τὸ μὲν τοῦ δευτέρου, τὸ δὲ τοῦ τε- τάρτου. |
Si prima secundæ æque sit mulliplex ac ter- tia quaræ, sumantur autem eque multiplices prime et tertiz ; et ex aequo sumptarum utra- que utriusque eque erit multiplex , altera qui- dem secundæ, altera vero quartz. |
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Πρῶτον γὰρ τὸ Α δευτέρου τοῦ Β Ἰσάκις ἔστω πολλαπλάσιον καὶ τρίτον τὸ Τ τετάρτου τοῦ Δ, καὶ εἰλήφθω τῶν Α΄ Τ ἰσάκις πολλαπλάσια τὰ ἘΖ, ΗΘ’ λέγω ὅτι ἰσάκις ἐστὶ πολλαπλά-: σιον' τὸ ἘΖ τοῦ Β καὶ τὸ ΗΘ τοῦ Δ, |
Prima enim A secunde B zque sit multiplex ac tertia T quartæ A , et sumantur ipsarum A, T zque multiplices EZ , HO; dico eque esse mul- tiplicem EZ ipsius B ac HO ipsius A. |
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Ἐπεὶ γὰρ ἰσάκις ἐστὶ πολλαπλάσιον τὸ ἘΖ τοῦ Α καὶ τὸ ΗΘ τοῦ Γ' ὅσα ἄρα ἐστὶν ἐν τῷ ἘΖ ἴσα τῷ Α,, τοσαῦτα καὶ ἐν τῷ ΗΘ ἴσα τῷ Τ᾿. διῃρήσθω τὸ μὲν ἘΖ εἰς τὰ τῷ Α μεγέθη |
Quoniam enim zque est multiplex EZ ipsius A ac HO ipsius T ; quot igitur suntin EZ equa- les ipsi A, tot et in HO quales ipsi T. Di- vidatur EZ quidem in magnitudines ipsi A zqua- |
Si la première est le même multiple de la seconde que la troisième l’est de la quatrième, et si l’on prend des équimultiples de la première et de la troisième, le multiple de la première sera, par égalité, le même multiple de la seconde que le multiple de la troisième l’est de la quatrième.
Que la première A soit le méme multiple de la seconde B que la troisième r lʼest de la quatriéme ^ ; prenons les équimultiples Ez, HO de A et de Tr ; je dis que Ez est le même multiple de 5 que He lʼest de 4.
Puisque EZ est le même multiple de A que Ho lʼest de r, il y a dans E autant de grandeurs égales à A. quʼil y a dans He de grandeurs égales à r. Di-
