246 LE CINQUIÈMÉ LIVRE DES ÉLÉMENTS DʼEUCLIDE
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Καὶ ἐπεὶ ἰσώκις ἐστὶ πολλαπλάσιον τὸ μὲν Ἑ τοῦ Α, τὸ δὲ ὁ τοῦ τ, καὶ εἴληπται τῶν Ἑ, Ζ ἰσάκις πολλαπλάσια τὰ Κ, Δ' ἰσάκις ἄρα ἐστὶ πολλαπλάσιον τὸ Κ τοῦ Α καὶ τὸ Λ τοῦ τ᾿ Διὰ τὼ αὐτὰ δὴ ἰσάκις ἐστὶ πολλαπλάσιον τὸ Μ τοῦ Β καὶ τὸ Ν τοῦ Δ. Καὶ ἐπεί ἐστιν ὡς τὸ Α πρὸς τὸ Β οὕτως τὸ ΤΥ πρὸς τὸ Δ. καὶ εἴληπται τῶν μὲν Α,Τ ἰσάκις πολλαπλάσια τὰ Κ, Δ, τῶν |
Et quoniam æque est multiplex E quidem ipsi, 4, ipsa vero Z ipsius T, et sumpt æ suntipsarum E, Z eque mulliplices K, 4 j zque igitur est multiplex K ipsius A ac A ipsius T. Propter ea. dem utique wque est multiplex M ipsius 3 ac N ipsius A. Et quoniam est ut A ad B itaraq A,etsumpte sunt ipsarum quidem A,T ?que multiplices K, A, ipsarum veroB, A aliz teur. |
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δὲ Β, Δ ἄλλα ἃ ἔτυχεν ἰσάκις πολλαπλάσια τὼ Μ, Ν' εἰ ἄρα ὑπερέχει τὸ Κ τοῦ Μ, ὑπερέχει καὶ τὸ Δ τοῦ Ν' καὶ εἰ ἴσον, ἴσον" καὶ εἰ" ἔλατ- τον, ἴλαττον. Καὶ ἐστὶ τὰ μὲν Κ, ΔΛ τῶν Ε,Ζ ἰσάκις πολλαπλάσια, τὰ δὲ ΜΝ τῶν Η, Θ ἄλλα ἃ ἔτυχεν ἰσάκις πολλαπλάσια" ἔστιν ἄρᾳ ὡς τὸ Ἑ πρὸς τὸ Η, οὕτως τὸ 2 πρὸς τὸ Θ. Ἐὰν ἄρα πρῶτον, καὶ τὰ ἑξῆς. |
que æque multiplices M, N j si igitur superat K ipsam M, superat et A ipsam N ; et si aqualis, aequalis ; et si minor, minor. Et sunt K, A qui- dem ipsarum E, Z eque multiplices » ipsa vero. M, N ipsarum H, Oalie utcunque multiplices; est igitur ut E ad H, ita Z ad 6. Si igitur prima, etc. |
Puisque E est le même multiple de 4 que z l’est de r, et que l’on a pris des équimultiples k, À de E et de z, la grandeur K est le même multiple de A que A l’est de r (3. 5). Par la même raison, M est le même multiple de B que N l’est de 4. Et puisque A est à B comme r est à â, que l’on a pris des équimultiples quelconques k, À de A et de r, et d’autres équimultiples quel- conques M, N de Bet de A, siK surpasse M, À surpasse N ; si K est égal à M, A est égal à N, et si K est plus petit que M, A est plus petit que N (déf. 5. 3.) Mais k, A sont des équimultiples quelconques de & et de z, et M, N d’autres équimultiples quelconques de H et de ©; donc E est à H comme z est à6 (déf. 6. 5). Donc , etc.
