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THÉORIE MATHÉMATIQUE DE LA LUMIÈRE

Étant donnée une fonction $\mathrm {F}$ des coordonnées $x,$ $y,$ $z$ d’un point, l’intégrale de la différentielle $\mathrm {F} \alpha \,d\omega ,$ où $\alpha$ est le premier cosinus directeur de la normale à l’élément $d\omega$ d’une surface fermée $\mathrm {S} ,$ cette intégrale étant étendue à tous les éléments de la surface $\mathrm {S} ,$ est égale à l’intégrale de la différentielle ${\frac {d\mathrm {F} }{dx}}d\tau ,$ étendue à tous les éléments $d\tau$ du volume $\mathrm {R}$ limité par la surface $\mathrm {S} .$

Si nous posons :

$\mathrm {F} ={\frac {d\mathrm {W} }{d\xi '_{x}}}\delta \xi ,$

nous aurons :

$\int {\frac {d\mathrm {W} }{d\xi '_{x}}}\alpha \,\delta \xi \,d\omega =\int {\frac {d{\dfrac {d\mathrm {W} }{d\xi '_{x}}}\delta \xi }{dx}}d\tau \,;$

ou, en développant l’intégrale du second membre,

$\int {\frac {d\mathrm {W} }{d\xi '_{x}}}\delta \xi \,\alpha \,d\omega =\int {\frac {d{\dfrac {d\mathrm {W} }{d\xi '_{x}}}}{dx}}\delta \xi \,d\tau +\int {\frac {d\mathrm {W} }{d\xi '_{x}}}{\frac {d.\delta \xi }{dx}}d\tau .$

Nous obtiendrons de la même manière les deux relations :

$\int {\frac {d\mathrm {W} }{d\xi '_{y}}}\delta \xi \,\beta \,d\omega =\int {\frac {d{\dfrac {d\mathrm {W} }{d\xi '_{y}}}}{dy}}\delta \xi \,d\tau +\int {\frac {d\mathrm {W} }{d\xi '_{y}}}{\frac {d.\delta \xi }{dy}}d\tau$

$\int {\frac {d\mathrm {W} }{d\xi '_{z}}}\delta \xi \,\gamma \,d\omega =\int {\frac {d{\dfrac {d\mathrm {W} }{d\xi '_{z}}}}{dz}}\delta \xi \,d\tau +\int {\frac {d\mathrm {W} }{d\xi '_{z}}}{\frac {d.\delta \xi }{dz}}d\tau$

En additionnant ces trois relations membre à membre, nous