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CHAPITRE VII.

est la limite commune vers laquelle tendent $\sigma$ et $\Sigma$, quand on fait varier le choix des $l_{i}$ de façon que le maximum de ${l_{i+1}-l_{i}}$ tende vers zéro.

En somme rien n’est changé à la définition et nous aurions pu nous borner à dire que

$\int _{\mathrm {E} }f\,\mathrm {d} x=\int _{a}^{b}(f)\,\mathrm {d} x$ ;

${(a,b)}$ étant un intervalle positif contenant $\mathrm {E}$ et $(f)$ étant une fonction égale à $f$ aux points de $\mathrm {E}$ et nulle aux autres points. Cette seconde définition va nous permettre de conclure très facilement des propriétés des intégrales dans des intervalles aux propriétés des intégrales dans des ensembles.

Nous nous sommes écartés du problème d’intégration tel que nous l’avions posé au début du Chapitre ; comment faut-il le modifier pour qu’il fournisse une définition descriptive des intégrales de fonctions sommables dans des ensembles mesurables ? Pour répondre à cette question remarquons tout d’abord que l’on a toujours une proposition analogue à celle du n^o 6 du problème d’intégration ; d’une façon plus précise : si, quand l’indice $n$ croit, la fonction $f_{n}(x)$, sommable dans un ensemble mesurable $\mathrm {E}$, tend en croissant vers la fonction $f(x)$, sommable dans $\mathrm {E}$, l’intégrale de $f_{n}(x)$ dans $\mathrm {E}$ tend en croissant vers celle de $f(x)$.

En effet, nous pouvons supposer les $f_{n}$ non négatives sans quoi nous raisonnerions sur les fonctions ${f_{n}-f_{1}}$. Les $f_{n}$ étant positives ou nulles, il en est de même de $f$. Posons

$f=g+h$,$f_{n}=g_{n}+h_{n}$,

$g$ étant égale à $f$ quand $f$ est inférieure à un nombre positif arbitrairement choisi $\mathrm {N}$, et égale à $\mathrm {N}$ dans le cas contraire ; $g_{n}$ étant égale à $f_{n}$ quand $g$ est égale à $f$, et égale à $\mathrm {N}$ dans le cas contraire. $g$ est la limite des $g_{n}$, $h_{n}$ est non supérieur à $h$.

On a

$\int f\,\mathrm {d} x=\int g\,\mathrm {d} x+\int h\,\mathrm {d} x$,$\int f_{n}\,\mathrm {d} x=\int g_{n}\,\mathrm {d} x+\int h_{n}\,\mathrm {d} x$ ;

à la vérité ceci n’est tout à fait clair que s’il s’agit d’intégrales