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L’INTÉGRATION DÉFINIE DES FONCTIONS SOMMABLES.

étendues à un intervalle, mais, par le passage de $f$ à $(f)$, nous pouvons toujours supposer qu’il en est ainsi.

Nous avons dit, il y a un instant, que si l’on fait augmenter $\mathrm {N}$ indéfiniment ${\int g\,\mathrm {d} x}$ tend vers ${\int f\,\mathrm {d} x}$, donc ${\int h\,\mathrm {d} x}$ tend vers zéro. Prenons $\mathrm {N}$ assez grand pour que ${\int h\,\mathrm {d} x}$ soit inférieur à $\varepsilon$ ; il en sera de même de ${\int h_{n}\,\mathrm {d} x}$, a fortiori. Or, d’après la condition 6 pour les fonctions mesurables bornées $g$ et $g_{n}$, ${\int g_{n}\,\mathrm {d} x}$ tend vers ${\int g\,\mathrm {d} x}$. Donc, on a

${\begin{aligned}\lim \int f_{n}\,\mathrm {d} x&=\lim \int g_{n}\,\mathrm {d} x+\int h_{n}\,\mathrm {d} x\\&\leqq \lim \int g_{n}\,\mathrm {d} x+\varepsilon =\int g\,\mathrm {d} x+\varepsilon \leqq \int f\,\mathrm {d} x+\varepsilon {\text{,}}\end{aligned}}$

et la proposition en résulte de suite.

Ce cas d’intégration terme à terme des suites peut, comme précédemment, être transformé en cas d’intégration terme à terme des séries : une série convergente de fonctions non négatives, dont tous les termes et la somme sont sommables dans un ensemble $\mathrm {E}$, est intégrable terme à terme dans $\mathrm {E}$^[1].

Appliquons ceci au cas particulier suivant : Soit une fonction $f$ sommable dans un ensemble mesurable $\mathrm {E}$ ; partageons $\mathrm {E}$ en un nombre fini ou en une infinité dénombrable d’ensembles mesurables $\mathrm {E} _{i}$, sans point commun deux à deux et soit $f_{i}$ la fonction égale à $f$ dans $\mathrm {E} _{i}$ et nulle en dehors de $\mathrm {E} _{i}$. La proposition précédente sur l’intégration des séries peut être appliquée à

$f=f_{1}+f_{2}+\ldots$,

en supposant $f$ toujours positive ou nulle, or

$\int _{\mathrm {E} }f_{i}\,\mathrm {d} x=\int _{\mathrm {E} _{i}}f\,\mathrm {d} x$,

donc

$\int _{\mathrm {E} }f\,\mathrm {d} x=\int _{\mathrm {E} _{1}}f\,\mathrm {d} x+\int _{\mathrm {E} _{2}}f\,\mathrm {d} x+\ldots$.

1. C’est le cas d’intégration dit des suites ou séries monotones. Une série est dite monotone si la suite des sommes $s_{n}$ de cette série est monotone, c’est-à-dire jamais décroissante ou jamais croissante.