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LA DÉFINITION DE L’INTÉGRALE DONNÉE PAR RIEMANN.

Un nombre fini de points constitue un groupe intégrable, mais la réciproque n’est pas vraie.

Considérons l’ensemble $\mathrm {Z}$ des points dont les abscisses sont données par la formule

$x={\frac {a_{1}}{3}}+{\frac {a_{2}}{3^{2}}}+{\frac {a_{3}}{3^{3}}}+\ldots$,

dans laquelle tous les $a$ sont égaux à 0 ou 2. Cet ensemble s’obtient en retranchant de l’intervalle ${(0,1)}$ d’abord les points intérieurs à l’intervalle ${\left({\frac {1}{3}},{\frac {2}{3}}\right)}$, puis les points intérieurs aux intervalles ${\left({\frac {1}{3^{2}}},{\frac {2}{3^{2}}}\right)}$, ${\left({\frac {2}{3}}+{\frac {1}{3^{2}}},{\frac {2}{3}}+{\frac {2}{3^{2}}}\right)}$ puis les points intérieurs aux intervalles ${\left({\frac {1}{3^{3}}},{\frac {2}{3^{3}}}\right)}$, ${\left({\frac {2}{3^{2}}}+{\frac {1}{3^{3}}},{\frac {2}{3^{2}}}+{\frac {2}{3^{3}}}\right)}$, ${\left({\frac {2}{3}}+{\frac {1}{3^{3}}},{\frac {2}{3}}+{\frac {2}{3^{3}}}\right)}$, ${\left({\frac {2}{3}}+{\frac {2}{3^{2}}}+{\frac {1}{3^{3}}},{\frac {2}{3}}+{\frac {2}{3^{2}}}+{\frac {2}{3^{3}}}\right)}$, …. On divise donc toujours chaque intervalle restant en trois parties égales et l’on enlève la partie du milieu. Après $n$ de ces opérations, il reste $2^{n}$ intervalles ; ces $2^{n}$ intervalles peuvent servir à enfermer^[1] les points de $\mathrm {Z}$ ; or, ils ont une longueur totale ${\frac {2^{n}}{3^{n}}}$, $\mathrm {Z}$ est donc un groupe intégrable. Cette construction de $\mathrm {Z}$ montre de plus qu’il est parfait, donc il a la puissance du continu.

Il est évident que l’ensemble formé par la réunion des points de deux groupes intégrables est un groupe intégrable.

Voici maintenant l’énoncé de Du Bois Reymond :

Pour qu’une fonction bornée soit intégrable, il faut et il suffit que, quel que soit ${\varepsilon >0}$, les points où l’oscillation est supérieure à $\varepsilon$ forment un groupe intégrable.

Supposons $f$ intégrable, alors on peut diviser ${(a,b)}$ en intervalles partiels tels que ceux dans lesquels l’oscillation est supérieure à $\varepsilon$ aient une longueur totale inférieure à $\eta$. Un point où l’oscillation est supérieure à $\varepsilon$ ne peut être contenu dans un intervalle où l’oscillation n’est pas supérieure à $\varepsilon$, donc un tel point est nécessairement l’un des points qui ont servi à la division de ${(a,b)}$, ou bien il est dans les intervalles de longueur $\eta$. Les points de division étant en nombre fini, les points où l’oscillation est supérieure à $\varepsilon$ peuvent être enfermés dans un nombre fini d’intervalles

1. Enfermer est pris ici au sens large.