sauf pour les points de où elle est égale à 1, est intégrable. Ses points de discontinuité forment en effet le groupe intégrable ; étant parfait a la puissance du continu[1].
Si l’on veut maintenant que, dans tout intervalle, il y ait un ensemble non dénombrable de points de discontinuité, il suffira d’appliquer le principe de condensation des singularités. On pourra considérer, par exemple, la fonction
Ses seuls points de discontinuité sont, d’après les propriétés des séries uniformément convergentes, ceux ou certains de ceux des fonctions , , … ; donc ils forment un ensemble de mesure nulle et est intégrable.
III. — Propriétés de l’intégrale.
Le raisonnement qui précède est général, il permet de démontrer que :
Une série uniformément convergente de fonctions intégrables est une fonction intégrable.
En effet, les points de discontinuité de la fonction somme sont compris dans l’ensemble formé des points de discontinuité des différents termes. Les points singuliers d’un terme forment un ensemble de mesure nulle, donc est de mesure nulle et la série représente une fonction intégrable.
En particulier, une somme de deux termes étant une série dont les deux premiers termes seuls ne sont pas identiquement nuls, la somme de deux fonctions intégrables est une fonction intégrable. De même, le produit de deux fonctions intégrables est une fonction intégrable, car les points de discontinuité du produit sont points de discontinuité pour l’un au moins des facteurs.
De même aussi, si est intégrable et que soit bornée, est
- ↑ Les deux fonctions qui précèdent ne sont pas intégrables par le procédé de Cauchy-Dirichlet, puisque l’ensemble de leurs points de discontinuité n’est pas réductible.
