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DÉFINITION GÉOMÉTRIQUE DE L’INTÉGRALE.

Un carré est un ensemble mesurable J superficiellement. À partir de carrés et de groupes intégrables dans le plan, on construit tout ensemble mesurable J du plan comme on l’a fait dans le cas de la droite.

Les groupes intégrables du plan peuvent être assez différents des groupes intégrables de la droite. $\mathrm {Z_{1}}$ est, comme $\mathrm {Z}$, un ensemble discret du moins quand chaque point de $\mathrm {Z}$ n’est la projection que d’un seul point de $\mathrm {Z} _{1}$, c’est-à-dire qu’on ne peut passer par un chemin continu d’un point à un autre de cet ensemble qu’en passant par des points qui ne sont pas de l’ensemble. Mais un groupe intégrable dans le plan peut être un ensemble continu, c’est-à-dire un ensemble tel que deux quelconques de ses points puissent être joints par une courbe ne passant que par des points de l’ensemble ; nous savons en effet qu’un segment, une ligne polygonale, une circonférence, une ellipse sont d’étendue superficielle extérieure nulle.

Les courbes qui sont des groupes intégrables sont celles que nous avons appelées quarrables.

Pour avoir un ensemble non mesurable J, il suffit de prendre un ensemble partout dense qui ne contienne aucun intervalle, s’il s’agit d’un ensemble sur la droite ; qui ne contienne aucun domaine, s’il s’agit d’un ensemble dans le plan ; pour un tel ensemble, en effet, l’étendue intérieure est nulle, l’étendue extérieure ne l’est pas. L’ensemble des points dont les coordonnées (ou la coordonnée) sont rationnelles n’est donc pas mesurable J.

P. Du Bois Reymond a remarqué qu’un ensemble peut être partout non dense sans être mesurable J. Prenons une suite de fractions, $\alpha _{1}$, $\alpha _{2}$, …, telles que le produit infini ${\mathrm {P} =\alpha _{1}\times \alpha _{2}\times \ldots }$ soit convergent et différent de zéro ; on prendra, par exemple, $\alpha _{n}={\frac {4n^{2}-1}{4n^{2}}}$. Divisons l’intervalle ${(a,b)}$ en trois parties, celle du milieu étant de longueur ${(b-a)(1-\alpha _{1})}$, les deux extrêmes étant égales. Barrons les points intérieurs à l’intervalle du milieu et opérons sur les deux intervalles restants comme sur ${(a,b)}$, $\alpha _{1}$ étant remplacé par $\alpha _{2}$, et ainsi de suite. Soit $\mathrm {R}$ l’ensemble des points restant après toutes ces opérations. Si l’on se sert des divisions successives qui ont donné $\mathrm {R}$ pour calculer l’étendue extérieure de $\mathrm {R}$, on voit que cette étendue est ${\mathrm {P} (b-a)}$, donc qu’elle est différente