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Le second membre devient, par l’intégration par parties :

$\int dt\ d\tau \left[-\sum \rho \delta U{\frac {dF}{dt}}-\sum \rho \eta \delta U{\frac {dF}{dy}}-\sum \rho \zeta \delta U{\frac {dF}{dz}}+\sum \rho \xi \delta V{\frac {dF}{dy}}+\sum \rho \xi \delta W{\frac {dF}{dz}}\right].$

Remarquons maintenant que :

$\sum \rho \xi \delta V{\frac {dF}{dy}}=\sum \rho \zeta \delta U{\frac {dH}{dx}},\quad \sum \rho \xi \delta W{\frac {dF}{dz}}=\sum \rho \eta \delta U{\frac {dG}{dx}}.$

Si, en effet, dans les deux membres de ces relations, on développe les $\Sigma ,$ elles deviennent des identités ; et souvenons-nous que

${\frac {dH}{dx}}-{\frac {dF}{dz}}=-\beta ,\quad {\frac {dG}{dx}}-{\frac {dF}{dy}}=\gamma ,$

le second membre en question deviendra :

$\int dt\ d\tau \left[-\sum \rho \delta U{\frac {dF}{dt}}+\sum \rho \gamma \eta \delta U-\sum \rho \beta \zeta \delta U\right],$

de sorte que finalement :

$\delta J=\int dt\ d\tau \sum \rho \delta U\left({\frac {d\psi }{dx}}+{\frac {dF}{dt}}+\beta \zeta -\gamma \eta \right)=\int dt\ d\tau \sum \rho \delta U\left(-f+\beta \zeta -\gamma \eta \right).$

En égalant le coefficient de $\delta U$ dans les deux membres de (10) il vient :

$X=f-\beta \zeta +\gamma \eta .$

C’est l’équation (2) du § précédent.

§ 3. — La transformation de Lorentz et le principe de moindre action.

Voyons si le principe de moindre action nous donne la raison du succès de la transformation de Lorentz. Il faut d’abord voir ce que cette transformation fait de l’intégrale :

$J=\int dt\ d\tau \left({\frac {\sum f^{2}}{2}}-{\frac {\sum \alpha ^{2}}{2}}\right)$

(formule 4 du § 2).

Nous trouvons d’abord

$dt^{\prime }\ d\tau ^{\prime }=l^{4}dt\ d\tau$

car $x^{\prime },$ $y^{\prime },$ $z^{\prime },$ $t^{\prime }$ sont liés à $x,$ $y,$ $z,$ $t$ par des relations linéaires dont le déterminant est égal à $l^{4};$ il vient ensuite :

(1)

${\begin{cases}l^{4}\sum f^{\prime 2}=f^{2}+k^{2}(g^{2}+h^{2})+k^{2}\epsilon ^{2}(\beta ^{2}+\gamma ^{2})+2k^{2}\epsilon (g\gamma -h\beta )\\\\l^{4}\sum \alpha ^{\prime 2}=\alpha ^{2}+k^{2}(\beta ^{2}+\gamma ^{2})+k^{2}\epsilon ^{2}(g^{2}+h^{2})+2k^{2}\epsilon (g\gamma -h\beta )\end{cases}}$

(formules 9 du § 1), d’où :

$l^{4}\left(\sum f^{\prime 2}-\sum \alpha ^{\prime 2}\right)=\sum f^{2}-\sum \alpha ^{2};$