ABD égalera l’angle EBG. Mais BDA est égal à BGE car ces deux angles sont inscrits et appuyés sur le même arc ; donc le triangle ABD est équiangle au triangle BGE. On a donc l’analogie BG est GE, comme BD est à DA : par conséquent, le produit de BG multiplié pat AD est égal à celui de BD multiplié par CE. Maintenant puisque l’angle ABE est égal à l’angle DBG et que l’angle BAE est égal à l’angle DDG, le triangle ABE est équiangle au triangle BGD ; on a donc l’analogie BD est à DG, comme BA est à AE ; donc le rectangle BA DG, est égal au rectangle BD AE. Or il a été prouvé que le rectangle BG AD est égal au rectangle BD GE ; par conséquent (g) le rectangle entier AG BD, est égal aux deux rectangles AB DG, et AD BG. Ce qu’il falloit démontrer.
Cela posé, soit décrit un demi-cercle ABGD sur le diamètre AD soient menées du point A les deux droites AB, AG, données de grandeur chacune en parties du diamètre, donné de 120 parties, et joignez BG ; je dis que cette ligne est aussi donnée : car soient menées les droites BD GD ; elles sont aussi données, parcequ’elles sont soutendantes du reste de la demi-circonférence. Mais le quadrilatère ABGD étant inscrit dans le cercle, il s’ensuit que la somme des rectangles AB GD et AD BG est égale au rectangle AG BD. Or le rectangle construit sur AG et BD est donné ainsi que le rectangle sur AB
προσθῶμεν τὴν ὑπὸ ΕΒΔ, ἔσται καὶ ἡ ὑπὸ ΑΒΔ γωνία ἴση τῇ ὑπὸ ΕΒΓ. ἔστιν δὲ καὶ ἡ ὑπὸ ΒΔΑ τῇ ὑπὸ ΒΓΕ ἴση· τὸ γὰρ αὐτὸ τμῆμα ὑποτείνουσιν· ἰσογώνιον ἄρα ἐστὶν τὸ ΑΒΔ τρίγωνον τῷ ΒΓΕ τριγώνῳ. ὥστε καὶ ἀνάλογόν ἐστιν, ὡς ἡ ΒΓ πρὸς τὴν ΓΕ, οὕτως ἡ ΒΔ πρὸς τὴν ΔΑ· τὸ ἄρα ὑπὸ ΒΓ, ΑΔ ἴσον ἐστὶν τῷ ὑπὸ ΒΔ, ΓΕ. πάλιν ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΑΒΕ γωνία τῇ ὑπὸ ΔΒΓ γωνίᾳ, ἔστιν δὲ καὶ ἡ ὑπὸ ΒΑΕ ἴση τῇ ὑπὸ ΒΔΓ, ἰσογώνιον ἄρα ἐστὶν τὸ ΑΒΕ τρίγωνον τῷ ΒΓΔ τριγώνῳ· ἀνάλογον ἄρα ἐστίν, ὡς ἡ ΒΑ πρὸς ΑΕ, ἡ ΒΔ πρὸς ΔΓ· τὸ ἄρα ὑπὸ ΒΑ, ΔΓ ἴσον ἐστὶν τῷ ὑπὸ ΒΔ, ΑΕ. ἐδείχθη δὲ καὶ τὸ ὑπὸ ΒΓ, ΑΔ ἴσον τῷ ὑπὸ ΒΔ, ΓΕ· καὶ ὅλον ἄρα τὸ ὑπὸ ΑΓ, ΒΔ ἴσον ἐστὶν συναμφοτέροις τῷ τε ὑπὸ ΑΒ, ΔΓ καὶ τῷ ὑπὸ ΑΔ, ΒΓ· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
Τούτου προεκτεθέντος ἔστω ἡμικύκλιον τὸ ΑΒΓΔ ἐπὶ διαμέτρου τῆς ΑΔ, καὶ ἀπὸ τοῦ Α δύο διήχθωσαν αἱ ΑΒ, ΑΓ, καὶ ἔστω ἑκατέρα αὐτῶν δοθεῖσα τῷ μεγέθει, οἵων ἡ διάμετρος δοθεῖσα ρκ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΒΓ· λέγω ὅτι καὶ αὕτη δέδοται· ἐπεζεύχθωσαν γὰρ αἱ ΒΔ, ΓΔ· δεδομέναι ἄρα εἰσὶ δηλονότι καὶ αὗται διὰ τὸ λείπειν ἐκείνων εἰς τὸ ἡμικύκλιον· ἐπεὶ οὖν ἐν κύκλῳ τετράπλευρόν ἐστι τὸ ΑΒΓΔ, τὸ ἄρα ὑπὸ ΑΒ ΓΔ μετὰ τοῦ ὑπὸ τῶν ΑΔ ΒΓ, ἴσον ἐστὶ τῷ ὑπὸ ΑΓ ΒΔ· καί ἐστι τό ὑπὸ τῶν ΑΓ ΒΔ δοθὲν, δοθὲν δὲ καὶ τὸ
