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ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΣΥΝΤΑΞΕΟΣ ΒΙΒΛΙΟΝ Α.

soutendante de $\scriptstyle {\frac {1}{3}}{\frac {1}{4}}$ d’un degré et AG soutendante d’un degré. Puisque la droite AG est en moindre raison relativement à la droite BA, que l’arc AG à l’arc AB, et que l’arc AG vaut l’arc AB plus un tiers de cet arc AB la droite GA est plus grande que la droite AB, de moins d’un tiers de AB. Mais on a démontré que cette droite AB vaut 0^p 47′ 8″ des parties dont il y en a 120 dans le diamètre, donc la droite GA a moins que 1^p 2′ 50″ de ces mêmes parties ; car cette dernière quantité est à peu-près les $\scriptstyle {\frac {4}{3}}$ de 0⁸ 47′ 25″.

Soient encore, dans la même figure, la droite AB soutendante de l’arc d’un degré, et AG de l’arc d’un degré et demi. Puisque l’arc AG est à l’arc AB comme 1 $\scriptstyle {\frac {1}{2}}$^p est à 1^p ; il s’ensuit que la droite AG est à la droite AB en moindre raison que 1 $\scriptstyle {\frac {1}{2}}$ à 1. Mais nous avons prouvé que la soutendante AG de 1 $\scriptstyle {\frac {1}{2}}$ vaut 1^p 34′ 15″ des parties dont 120 font le diamètre ; donc la droite AB est plus grande que 1^p 2′ 50″ de ces mêmes parties : car 1 $\scriptstyle {\frac {1}{2}}$ est à 1 comme 1^p 34′ 15″ sont à 1^p 2′ 50″. Ainsi donc, puisqu’il est démontré que la droite qui soutend 1^d est plus grande et plus petite que la quantité 1^p 2′ 50″, nous la prendrons de 1^p 2′ 50″, à peu près, des parties dont 120 font la longueur du diamètre. Et, par suite de ce que nous venons de démontrer, et de ce que la soutendante de $\scriptstyle {\frac {1}{2}}$ se trouve, de 0^d 31′ 25″, approximativement, les autres intervalles seront remplis comme nous l’avons dit. Par exemple, pour le premier, il est prouvé que la soutendante de 2^d se prouve par la somme de celles de $\scriptstyle {\frac {1}{2}}$ et de 2 $\textstyle {\frac {1}{3}}$, et celle de

δύο εὐθεῖαι, ἥτε ΑΒ καὶ ἡ ΑΓ· ὑποκείσθω δὲ πρῶτον ἡ μὲν ΑΒ ὑποτείνουσα μιᾶς μοίρας ϛ″ δ″, ἡ δὲ ΑΓ μοῖραν α. ἐπεὶ ἡ ΑΓ εὐθεῖα πρὸς τὴν ΒΑ εὐθεῖαν ἐλάσσονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΑΓ περιφέρεια ἐπίτριτος ἐστὶ τὴν ΑΒ, ἡ ΑΓ περιφέρεια ἐπίτριτός ἐστιν τῆς ΑΒ, ἡ ΓΑ ἄρα εὐθεῖα τῆς ΒΑ ἐλάσσων ἐστὶν ἢ ἐπίτριτος. Ἀλλὰ ἡ ΑΒ εὐθεῖα ἐδείχθη τοιούτων μζ″ η″, οἵων ἐστὶν ἡ διάμετρος ρκ· ἡ ἄρα ΓΑ εὐθεῖα ἐλάσσων ἐστὶ τῶν αὐτῶν α β″ ν″· ταῦτα γὰρ ἐπίτριτά ἐστιν ἔγγιστα τῶν o μζ′ η.″

Πάλιν ἐπὶ τῆς αὐτῆς καταγραφῆς ἡ μὲν ΑΒ εὐθεῖα ὑποκείσθω ὑποτείνουσα μοῖραν α, ἡ δὲ ΑΓ μοῖραν α ϛ″· κατὰ τὰ αὐτὰ δή ἐπεὶ ἡ ΑΓ περιφέρεια τῆς ΑΒ ἐστιν ἡμιολία, ἡ ΓΑ ἄρα εὐθεῖα τῆς ΒΑ ἐλάσσων ἐστὶν ἢ ἡμιόλιος. Ἀλλὰ τὴν ΑΓ ἀπεδείξαμεν τοιούτων οὖσαν α λδ′ ιε″, οἵων ἐστὶν ἡ διάμετρος ρκ· ἡ ἄρα ΑΒ εὐθεῖα μείζων ἐστὶ τῶν αὐτῶν α β′ ν″, τούτων γὰρ ἡμιόλιά ἐστι τὰ προκείμενα α λδ′ ιε″· ὥστε, ἐπεὶ τῶν αὐτῶν ἐδείχθη καὶ μείζων καὶ ἐλάσσων ἡ τὴν α μοῖραν ὑποτείνουσα εὐθεῖα· καὶ ταύτην δηλονότι ἕξομεν τοιούτων α β′ ν″ ἔγγιστα, οἵων ἐστὶν ἡ διάμετρος ρκ. Καὶ διὰ τὰ προδεδειγμένα καὶ τὴν ὑπὸ τὸ ἡμιμοίριον, ἥτις εὑρίσκεται τῶν αὐτῶν ο λα′ κε″ ἔγγιστα. καὶ συναναπληρωθήσεται τὰ λοιπά, ὡς ἔφαμεν, διαστήματα ἐκ μὲν τῆς πρὸς τὴν μίαν ἥμισυ μοίραν, λόγου ἕνεκεν, ὡς ἐπὶ τοῦ πρώτου διαστήματος, τῆς συνθέσεως τοῦ ἡμιμοιρίου