Les équations différentielles de la mécanique céleste, lesquelles sont en bien plus grand nombre, sont elles-mêmes susceptibles d’une représentation géométrique de cette espèce. Mais elle nécessite l’emploi d’espaces à un grand nombre de dimensions.
Poincaré s’attaque d’ailleurs tout d’abord au cas le plus simple par lequel nous avons commencé, celui d’une seule équation. Conformément à ce qui précède, celle-ci peut être considérée comme définissant un système de lignes à tracer sur une surface donnée.
Dans des cas très généraux, on peut admettre que cette surface est une sphère[1].
La propriété qui servira de point de départ sera alors celle sur laquelle nous avons déjà insisté tout à l’heure, savoir :
Deux courbes intégrales différentes ne peuvent se croiser, si ce n’est en un point singulier.
Les positions de ces points singuliers sont d’ailleurs connues à l’avance. Le premier soin de Poincaré fut l’examen de ce qui se passe aux environs de l’un d’entre eux. Il en trouva,
- ↑ C'est ce qui va de soi en particulier pour le problème des lignes de pente, lequel, si on le considère dans son ensemble, est relatif au globe terrestre.
