Page:Volterra - Henri Poincaré l'oeuvre scientifique, l'oeuvre philosophique, 1914.djvu/91

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Les équations différentielles de la mécanique céleste, lesquelles sont en bien plus grand nombre, sont elles-mêmes susceptibles d’une représentation géométrique de cette espèce. Mais elle nécessite l’emploi d’espaces à un grand nombre de dimensions.


Poincaré s’attaque d’ailleurs tout d’abord au cas le plus simple par lequel nous avons commencé, celui d’une seule équation. Conformément à ce qui précède, celle-ci peut être considérée comme définissant un système de lignes à tracer sur une surface donnée.

Dans des cas très généraux, on peut admettre que cette surface est une sphère[1].

La propriété qui servira de point de départ sera alors celle sur laquelle nous avons déjà insisté tout à l’heure, savoir :

Deux courbes intégrales différentes ne peuvent se croiser, si ce n’est en un point singulier.

Les positions de ces points singuliers sont d’ailleurs connues à l’avance. Le premier soin de Poincaré fut l’examen de ce qui se passe aux environs de l’un d’entre eux. Il en trouva,

  1. C'est ce qui va de soi en particulier pour le problème des lignes de pente, lequel, si on le considère dans son ensemble, est relatif au globe terrestre.