Recherches générales sur les surfaces courbes/Chapitre XIII

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XIII.


Ce que nous avons exposé dans l’article précédent se rattache à une manière particulière de considérer les surfaces, digne au plus haut point d’être cultivée avec soin par les géomètres. Quand l’on considère une surface non comme la limite d’un solide, mais comme un solide flexible quoique inextensible, dont une des dimensions est regardée comme évanouissante, les propriétés de la surface dépendent, en partie de la forme à laquelle on la conçoit réduite, en partie sont absolues, et restent invariables, suivant quelque forme qu’on la fléchisse. C’est à ces dernières propriétés, dont la recherche ouvre à la géométrie un champ nouveau et fertile, que doivent être rapportées la mesure de la courbure et la courbure totale, dans le sens que nous avons donné à ces expressions ; à elles aussi appartiennent la doctrine des lignes les plus courtes, et la plus grande partie de ce que nous nous réservons de traiter plus tard.

Dans ce genre de considérations, une surface plane et une surface développable sur un plan, par exemple une surface cylindrique, conique, etc., sont regardées comme essentiellement identiques, et la manière naturelle d’exprimer généralement le caractère de la surface ainsi considérée est toujours fondée sur la formule


qui lie l’élément linéaire aux deux indéterminées Mais, avant de poursuivre ultérieurement ce sujet, il faut s’occuper d’abord des principes de la théorie des lignes de plus courte distance sur une surface courbe.