Recherches générales sur les surfaces courbes/Chapitre XV

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XV.


Supposons que sur la surface courbe, il parte d’un point donné une multitude de courbes de plus courte distance, que nous distinguerons entre elles par l’angle que forme le premier élément de chacune d’elles avec le premier élément de l’une de ces lignes prise pour la première ; soient cet angle, ou plus généralement une fonction de cet angle, et la longueur de la ligne la plus courte du point jusqu’au point dont les coordonnées sont Comme, à des valeurs déterminées des variables répondent des points déterminés de la surface, les coordonnées peuvent être considérées comme des fonctions de Nous conserverons d’ailleurs la même signification que dans l’article précédent aux notations de façon à les rapporter généralement à un point quelconque d’une quelconque des lignes de plus courte distance.

Toutes les lignes de plus courte distance, qui sont d’une égale longueur se termineront à une autre ligne, dont nous désignerons par la longueur comptée d’une origine arbitraire. On pourra ainsi considérer comme une fonction des indéterminées et si nous désignons par un point sur la surface de la sphère correspondant à la direction de l’élément et par les coordonnées de ce point par rapport au centre de la sphère, nous aurons


De là et de


il suit

Désignons le premier membre de cette équation, qui sera aussi fonction de par sa différentiation suivant donne


Mais par suite, sa différentielle est égale à zéro, et, par l’article précédent, nous avons, si désigne toujours le rayon de courbure dans la ligne

Nous obtenons ainsi


puisque est situé sur le grand cercle dont le pôle est . De là nous concluons que est indépendant de et, par conséquent, fonction seulement de  ; mais pour il est évident qu’on a par conséquent aussi et indépendamment de . Ainsi, nécessairement, on devra avoir généralement et aussi c’est-à-dire De là nous tirons :

Théorème. — Si l’on mène sur une surface courbe d’un même point initial une multitude de lignes de plus courte distance de même longueur, la ligne qui joindra leurs extrémités sera normale à chacune d’elles.

Nous avons tenu à déduire ce théorème de la propriété fondamentale des lignes de plus courte distance. Du reste, on peut se convaincre de sa vérité, sans aucun calcul, par le raisonnement suivant : Soient deux lignes de plus courte distance de même longueur, comprenant en un angle infiniment petit ; et supposons que l’un des angles de l’élément avec les lignes , diffère d’une quantité finie de l’angle droit, d’où, par la loi de la continuité, l’un sera plus grand, l’autre moindre que l’angle droit. Supposons que l’angle en et prenons sur la ligne un point , tel qu’on ait


Comme on peut considérer le triangle infiniment petit comme plan, on aura


et, par suite,

c’est-à-dire le passage du point à par le point plus court que la ligne de plus courte distance ; ce qui est absurde.