Recherches générales sur les surfaces courbes/Chapitre XV

Carl Friedrich Gauss

Recherches générales sur les surfaces courbes

Traduction par M. A..
1852 (p. 31-34).

XV.

Supposons que sur la surface courbe, il parte d’un point donné $\mathrm {A}$ une multitude de courbes de plus courte distance, que nous distinguerons entre elles par l’angle que forme le premier élément de chacune d’elles avec le premier élément de l’une de ces lignes prise pour la première ; soient $\varphi$ cet angle, ou plus généralement une fonction de cet angle, et $r$ la longueur de la ligne la plus courte du point $\mathrm {A}$ jusqu’au point dont les coordonnées sont $x,\ y,\ z.$ Comme, à des valeurs déterminées des variables $r,\varphi ,$ répondent des points déterminés de la surface, les coordonnées $x,\ y,\ z$ peuvent être considérées comme des fonctions de $r,\ \varphi .$ Nous conserverons d’ailleurs la même signification que dans l’article précédent aux notations $\lambda ,\ \mathrm {L} ,\ \xi ,\ \eta ,\ \zeta ,\ \mathrm {X,\ Y,\ Z} ,$ de façon à les rapporter généralement à un point quelconque d’une quelconque des lignes de plus courte distance.

Toutes les lignes de plus courte distance, qui sont d’une égale longueur $r,$ se termineront à une autre ligne, dont nous désignerons par $v$ la longueur comptée d’une origine arbitraire. On pourra ainsi considérer $v$ comme une fonction des indéterminées ${\displaystyle }$ et si nous désignons par ${\displaystyle }$ un point sur la surface de la sphère correspondant à la direction de l’élément $dv,$ et par $\xi ',\ \eta ',\ \zeta '$ les coordonnées de ce point par rapport au centre de la sphère, nous aurons

${\frac {dx}{d\varphi }}=\xi '.{\frac {dv}{d\varphi }},$

$\qquad {\frac {dy}{d\varphi }}=\eta '.{\frac {dv}{d\varphi }},\qquad$

${\frac {dz}{d\varphi }}=\zeta '.{\frac {dv}{d\varphi }}.$

De là et de

${\frac {dx}{dr}}=\xi ,$

$\qquad {\frac {dy}{dr}}=\eta ,\qquad$

${\frac {dz}{dr}}=\zeta ,$

il suit

${\frac {dx}{dr}}.{\frac {dx}{d\varphi }}+{\frac {dy}{dr}}.{\frac {dy}{d\varphi }}+{\frac {dz}{dr}}.{\frac {dz}{d\varphi }}=(\xi \xi '+\eta \eta '+\zeta \zeta '){\frac {dv}{d\varphi }}=\cos \lambda \lambda '.{\frac {dv}{d\varphi }}$

Désignons le premier membre de cette équation, qui sera aussi fonction de $r,\ \varphi ,$ par $\mathrm {S} \ ;$ sa différentiation suivant $r$ donne

${\frac {dS}{dr}}$	$=$	${\frac {d^{2}x}{dr^{2}}}.{\frac {dx}{\varphi }}+{\frac {d^{2}y}{dr^{2}}}.{\frac {dx}{\varphi }}+{\frac {d^{2}z}{dr^{2}}}.{\frac {dz}{\varphi }}$
		$+{\frac {1}{2}}{\frac {d\left[\left({\frac {dx}{dr}}\right)^{2}+\left({\frac {dy}{dr}}\right)^{2}+\left({\frac {dz}{dr}}\right)^{2}\right]}{d\varphi }}$
	$=$	${\frac {d\xi }{dr}}.{\frac {dx}{d\varphi }}+{\frac {d\eta }{dr}}.{\frac {dy}{d\varphi }}+{\frac {d\zeta }{dr}}.{\frac {dz}{d\varphi }}+{\frac {1}{2}}{\frac {d(\xi ^{2}+\eta ^{2}+\zeta ^{2})}{d\varphi }}$

Mais $\xi ^{2}+\eta ^{2}+\zeta ^{2}=1\ ;$ par suite, sa différentielle est égale à zéro, et, par l’article précédent, nous avons, si $\rho$ désigne toujours le rayon de courbure dans la ligne $r,$

${\frac {d\xi }{dr}}={\frac {\mathrm {X} }{\rho }},$

$\qquad {\frac {d\eta }{dr}}={\frac {\mathrm {Y} }{\rho }},\qquad$

${\frac {d\zeta }{dr}}={\frac {\mathrm {Z} }{\rho }}.$

Nous obtenons ainsi

${\frac {d\mathrm {S} }{dr}}={\frac {1}{\rho }}.(\mathrm {X} \xi '+\mathrm {Y} \eta '+\mathrm {Z} \zeta ').{\frac {dv}{d\varphi }}={\frac {1}{\rho }}.\cos \mathrm {L} \lambda .{\frac {dv}{d\varphi }}=0,$

puisque $\lambda '$ est situé sur le grand cercle dont le pôle est $\mathrm {L}$. De là nous concluons que $\mathrm {S}$ est indépendant de $r,$ et, par conséquent, fonction seulement de $\varphi$ ; mais pour $r=0,$ il est évident qu’on a $v=0,$ par conséquent aussi ${\frac {dv}{d\varphi }},$ et $\mathrm {S} =0$ indépendamment de $\varphi$. Ainsi, nécessairement, on devra avoir généralement $\mathrm {S} =0,$ et aussi $\cos \lambda \lambda '=0,$ c’est-à-dire $\lambda \lambda '=90^{\circ }.$ De là nous tirons :

Théorème. — Si l’on mène sur une surface courbe d’un même point initial une multitude de lignes de plus courte distance de même longueur, la ligne qui joindra leurs extrémités sera normale à chacune d’elles.

Nous avons tenu à déduire ce théorème de la propriété fondamentale des lignes de plus courte distance. Du reste, on peut se convaincre de sa vérité, sans aucun calcul, par le raisonnement suivant : Soient $\mathrm {AB} ,$ $\mathrm {AB'}$ deux lignes de plus courte distance de même longueur, comprenant en $\mathrm {A}$ un angle infiniment petit ; et supposons que l’un des angles de l’élément $\mathrm {BB'}$ avec les lignes $\mathrm {BA}$, $\mathrm {BA'}$ diffère d’une quantité finie de l’angle droit, d’où, par la loi de la continuité, l’un sera plus grand, l’autre moindre que l’angle droit. Supposons que l’angle en $\mathrm {B} =90^{\circ }-\omega ,$ et prenons sur la ligne $\mathrm {AB}$ un point $\mathrm {C}$, tel qu’on ait

$\mathrm {BC=BB'} .\operatorname {cosec} \omega .$

Comme on peut considérer le triangle infiniment petit $\mathrm {BB'C}$ comme plan, on aura

$\mathrm {CB'=BC} .\cos \omega ,$

et, par suite,

$\mathrm {AC+CB'}$	$=\mathrm {AC+BC} .\cos \omega =\mathrm {AB-BC} .(1-\cos \omega )$
	$=\mathrm {AB'-BC} .(1-\cos \omega ),$

c’est-à-dire le passage du point $\mathrm {A}$ à $\mathrm {B'}$ par le point $\mathrm {C}$ plus court que la ligne de plus courte distance ; ce qui est absurde.