XXVII.
Si la surface courbe est une sphère dont le rayon égale 1, on aura
![{\displaystyle \alpha =\beta =\gamma =-2f^{0}={\frac {1}{\mathrm {R} ^{2}}},\quad f''=0,\quad g'=0,\quad 6h^{0}-f^{0}f^{0}=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/78aaf982f36a909b4d4ce59f44fe8fa8eaed29f5)
ou
![{\displaystyle h^{0}\ =\ {\frac {1}{24\mathrm {R} ^{4}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/be10dd27ec9cee960deffd909f30f53fa710b06a)
Par là, la formule [14] devient
![{\displaystyle \mathrm {A+B+C} \ =\ \pi +{\frac {\sigma }{\mathrm {R} ^{2}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cce5882ca79f516c17ff941f72384394c894d3ef)
et jouit d’une précision absolue ; mais les formules [11],
[12], [13] donnent
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{3}\mathrm {A} ^{*}&=\mathrm {A} &&-{\frac {\sigma }{3\mathrm {R} ^{2}}}-{\frac {\sigma }{180\mathrm {R} ^{4}}}(2p^{2}-q^{2}+4qq'-q'^{2}),\\\mathrm {B} ^{*}&=\mathrm {B} &&-{\frac {\sigma }{3\mathrm {R} ^{2}}}+{\frac {\sigma }{180\mathrm {R} ^{4}}}(p^{2}-q^{2}+2qq'+q'^{2}),\\\mathrm {C} ^{*}&=\mathrm {C} &&-{\frac {\sigma }{3\mathrm {R} ^{2}}}+{\frac {\sigma }{180\mathrm {R} ^{4}}}(p^{2}+q^{2}+2qq'-2q'^{2}),\end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d521933256c96c1333c94fbad2053adc889887c6)
ou, avec la même exactitude,
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{3}\mathrm {A} ^{*}&=\mathrm {A} &&-{\frac {\sigma }{3\mathrm {R} ^{2}}}-{\frac {\sigma }{180\mathrm {R} ^{4}}}(b^{2}+c^{2}-2a^{2}),\\\mathrm {B} ^{*}&=\mathrm {B} &&-{\frac {\sigma }{3\mathrm {R} ^{2}}}+{\frac {\sigma }{180\mathrm {R} ^{4}}}(a^{2}+c^{2}-2b^{2}),\\\mathrm {C} ^{*}&=\mathrm {C} &&-{\frac {\sigma }{3\mathrm {R} ^{2}}}+{\frac {\sigma }{180\mathrm {R} ^{4}}}(a^{2}+b^{2}-2c^{2}).\end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/14765ac03d39c335c04b569e3f1d2828c047a84c)
En négligeant les quantités du quatrième ordre, on tire
de là le théorème connu proposé, pour la première fois,
par l’illustre Legendre.