Sur la déformation des surfaces

1870
Comptes Rendus, 70, p. 330

d’ordre $n$ , diviseur de $p^{\nu }-1$ , autre que $1$ ; et ${\frac {(p^{\nu }-1)}{2}}Q(n)$ d’ordre $n$ , diviseur de $p^{\nu }+1$ , autre que $1$ et $2$ . »

GÉOMÉTRIE. — Sur la déformation des surfaces. Note de M. A. Ribaucour, présentée par M. Serret.

Lorsqu'un corps invariable de forme est assujetti à quatre conditions, M. Mannhein a fait voir que, généralement, ses points décrivent des surfaces, et qu’à un instant déterminé, les normales à ces surfaces s’appuient toutes sur deux droites. Dans le cas particulier où ces deux droites se rencontrent toujours, les lieux de leurs points de rencontre, dans l’espace et dans le corps, sont deux surfaces applicables l'une sur l’autre.

Il résulte de là que, dans l’espace, l’étude de la déformation des surfaces est analogue à l’étude dans le plan du mouvement le plus général d’une figure, et que l’on peut trouver des propriétés de la déformation comme on trouve des propriétés relatives au roulement de la roulette sur la base. En cherchant dans cette voie, j’ai rencontré plusieurs propositions que je réunirai dans un prochain Mémoire. Je demande à l'Académie la permission d’en citer ici quelques-unes:

J’ai fait voir, dans une Communication à la Société Philomathique, que: Si des cercles ayant leurs centres sur une courbe (A) sont entraînés avec leurs centres dans une déformation sans extension de (A), la somme algébrique des arcs correspondants des deux courbes-enveloppes de ces cercles est constante.

Ce théorème s’étendra à l’espace par les propositions suivantes:

Si des sphères ayant leurs centres sur une courbe à double courbure (A) sont entraînées avec leurs centres dans une déformation sans extension de (A), l’aire de la surface-enveloppe reste constante.

Des sphères ayant leurs centres sur une surface quelconque (A), si l'on suppose qu’elles soient entraînées avec leurs centres dans une déformation de (A):

1° La somme algébrique des aires correspondantes des deux nappes de la surface-enveloppe de ces sphères est constante, quelle que soit la déformation de (A);

2° La somme algébrique des valeurs sphériques de ces aires correspondantes est aussi indépendante de la forme de (A).

Ces deux derniers théorèmes sont, comme on le voit, une extension du célèbre théorème de Gauss; en voici une seconde: Dans chaque plan tangent d’une surface (A), marquons un point M qui sera détermine par les coordonnées du point A ou le plan tangent touche (A). Par le point M, menons une parallèle a la normale en A à (A). Toutes ces droites remplissant l'espace sont tangentes à deux surfaces (B) et (C), la droite issue de M les touchant en B et C.

Si l'on suppose que ces droites sont entraînées en même temps que les plans tangents de (A) dans une déformation de cette surface, le produit de MB par MC reste invariable.

On peut, de ce théorème, déduire celui sur les enveloppes de sphères à l'aide de la théorie des pinceaux de droites inaugurée par Kummer.

Je m'étendrai plus longuement sur une dernière proposition générale:

Des courbes sont tracées dans les plans tangents d’une surface (A). Si elles sont normales à une famille de surfaces, elles jouissent toujours de cette propriété, quelle que soit la forme de (A).

Supposons que ces courbes soient des cercles. J’ai énoncé à la Société Philomathique cet autre théorème:

Si des cercles sont normaux à trois surfaces, ils le sont à une famille de surfaces faisant partie d’un système triplement orthogonal.

Il en résulte une classe de systèmes triples orthogonaux que je proposerai d’appeler systèmes cycliques, intimement liée a la déformation des surfaces.

Étant donnée une surface (A), on peut se proposer de chercher tous les systèmes cycliques qui en dérivent; le $ds^{2}$ de cette surface étant mis sous la forme

ds^{2}=\lambda ^{2}.dx\ dy

,

on est conduit à l’équation du second ordre

(1)

\left({\frac {s}{\lambda ^{2}}}-{\frac {1}{2}}\right)^{2}-{\frac {d}{dx}}\left({\frac {p}{\lambda ^{2}}}\right){\frac {d}{dy}}\left({\frac {q}{\lambda ^{2}}}\right)-\left[\left({\frac {p}{\lambda ^{2}}}\right)^{2}+\left({\frac {q}{\lambda ^{2}}}\right)^{2}-{\frac {2\mathrm {Z} }{\lambda ^{2}}}\right]{\frac {d^{2}.\log \lambda }{dx\ dy}}=0

où $p,q,s$ sont les dérivées de Z par rapport à $x$ et $y$ ; Z étant d’ailleurs une fonction qui suffit à déterminer le cercle relatif à chaque plan tangent de (A).

Il résulte de ceci que l’intégrale générale des systèmes cycliques correspondant à une surface (A) contient quatre fonctions arbitraires: deux résultant de l’équation (1), et deux relatives à la forme de (A). L’équation (1) s’intègre immédiatement lorsque (A) est développable. Je mentionnerai, parmi les systèmes cycliques, celui qui correspond à des cercles de rayon constant. Dans ce cas, les surfaces trajectoires de ces cercles sont toutes applicables sur la surface (A), qui, elle-même, est applicable sur la surface de révolution qui a pour méridienne la tractrice. Le rayon des cercles est égal à la courbure de (A).

Si l’on considère le Z de l’équation (1) comme le carré du rayon d’une sphère ayant son centre au point $xy$ , l’équation (1) exprime que la somme algébrique des aires correspondantes des deux nappes de l’enveloppe de ces sphères est toujours nulle.

Les lignes qui, sur la surface (A), correspondent aux lignes de courbure des surfaces trajectoires des cercles forment un réseau conjugue; dans le cas où les rayons sont constants, ce réseau n’est autre que celui des lignes de courbure de (A).

Comme on ne sait pas généralement intégrer l’équation (1), la recherche des systèmes cycliques paraît très-compliquée, mais on peut l’aborder autrement. J’ai trouvé, en effet, que :

Si des sphères ont leurs cordes de contact normales à des surfaces, les cercles passant par les centres de ces sphères et leurs points de contact avec leurs surfaces enveloppes sont normaux à une infinité de surfaces faisant partie d’un système cyclique.

Mais comme l’on peut ajouter une constante au carré des rayons des sphères enveloppées sans que les cordes de contact changent, il en résulte que l’on a un système cyclique contenant une constante arbitraire. Je citerai encore ce théorème :

Si des surfaces font partie d’un système orthogonal, les cercles osculateurs de leurs trajectoires orthogonales correspondant à tous les points d’une de ces surfaces sont normaux à une famille de surfaces appartenant à un système cyclique.

Il résulte d’une Communication que j’ai faite antérieurement à l’Académie que, pour trouver tous les systèmes cycliques dont une surface (A) fait partie, il faut savoir intégrer sur cette surface l’équation linéaire

{\frac {d^{2}\mathrm {Z} }{d\rho \ d\rho _{1}}}={\frac {d\mathrm {Z} }{d\rho }}{\frac {1}{\mathrm {H} }}{\frac {d\mathrm {H} }{d\rho _{1}}}+{\frac {d\mathrm {Z} }{d\rho _{1}}}{\frac {1}{\mathrm {H} _{1}}}{\frac {d\mathrm {H} _{1}}{d\rho }}

,

le $ds^{2}$ rapporté aux lignes de courbure étant de la forme

ds^{2}=\mathrm {H} ^{2}d\rho ^{2}+\mathrm {H} _{1}^{2}d\rho _{1}^{2}

.

Si les lignes de courbure de (A) sont des cercles géodésiques, cette équation s’intégre immédiatement.

Je signalerai le cas simple où (A) est un plan, cas qui conduit à une transformation générale des surfaces avec correspondance des lignes de courbure et d’où l’on déduit ce corollaire: Les lignes de courbure d’une surface (A) correspondent d'une infinité de manières aux lignes de plus grande pente de deux surfaces, dont l’équation s’obtient par éliminations lorsqu’on connaît l'équation de (A).

Je me propose d’exposer à l’Académie, dans une autre Communication, quelques théorèmes généraux sur la théorie des couples de surfaces applicables l’une sur l’autre, théorie entièrement distincte de celle qui précède.

PHYSIQUE. — Description d’un nouvel appareil électro-magnétique; par M. A. Demoget.

La bobine de M. Siemens a l’avantage de présenter des pôles magnétiques à grande surface; mais, à chacune de ses révolutions, elle ne produit que deux ondes électriques. On est alors obligé de lui imprimer un mouvement de rotation très-rapide, de 1600 à 2000 tours par minute, pour obtenir un courant continu formé de 3200 à 4000 ondes. Pour diminuer cette énorme vitesse, j’ai cherché à augmenter le nombre de bobines, pour avoir, à chaque révolution de l’arbre, un nombre d’ondes électriques plus grand, qui peut être représenté par N².

Les nouvelles bobines en fer doux analogues à celles de Siemens, au lieu d’être cylindriques, sont rectangulaires; leur coupe transversale a la forme d’un double T, assez semblable à la section des fers à T employés dans les constructions. Leur longueur est égale à quatre ou cinq fois leur épaisseur, qui est de o^m,5. Le fil de cuivre isolé se place comme dans la bobine de M. Siemens.

Le nouvel appareil se compose d'un volant en bronze, monté sur un arbre horizontal, auquel on peut imprimer un mouvement de rotation de 300 à 350 tours par minute. Sur le volant on fixe, au moyen de vis, quatre bobines rectangulaires, suivant deux diamètres perpendiculaires entre eux. Ces quatres bobines, qui tournent avec le volant et dans le même plan, passent entre huit armatures fixes en fer doux, placées de chaque côté suivant deux diamètres perpendiculaires. Sur chaque paire d’armatures, perpendiculairement à ces armatures, et dans la même direction par rapport au mouvement de rotation, viennent se placer des faisceaux d’aimants permanents, dont les pôles sont alternés, et entre les branches desquels passeront le volant et ses bobines.

A chaque tour, l’aimantation de l’une des bobines changera quatre