Sur la dynamique de l’électron

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Sur la dynamique de l'électron
1906
Rendiconti del Circolo matematico di Palermo 21: 129–176

Adunanza del 23 luglio 1905.
Stampato il 14-16 dicembre 1905


SUR LA DYNAMIQUE DE L’ÉLECTRON ;


Par M. H. Poincaré (Paris).



Adunanza del 23 luglio 1905.



Introduction.

Il semble au premier abord que l'aberration de la lumière et les phénomènes optiques et électriques qui s'y rattachent vont nous fournir un moyen de déterminer le mouvement absolu de la Terre, ou plutôt son mouvement, non par rapport aux autres astres, mais par rapport à l'éther. Fresnel l'avait déjà tenté, mais il reconnut bientôt que le mouvement de la Terre n'altère pas les lois de la réfraction et de la réflexion. Les expériences analogues, comme celle de la lunette pleine d'eau et toutes celles où on ne tient compte que des termes du Ier ordre par rapport à l'aberration, ne donnèrent non plus que des résultats négatifs ; on en découvrit bientôt l'explication ; mais Michelson, ayant imaginé une expérience où les termes dépendant du carré de l'aberration devenaient sensibles, échoua à son tour.

Il semble que cette impossibilité de mettre en évidence expérimentalement le mouvement absolu de la Terre soit une loi générale de la Nature ; nous sommes naturellement portés à admettre cette loi, que nous appellerons le Postulat de Relativité et à l'admettre sans restriction. Que ce postulat, jusqu'ici d'accord avec l'expérience, doive être confirmé ou infirmé plus tard par des expériences plus précises, il est en tout cas intéressant de voir quelles en peuvent être les conséquences.

Une explication a été proposée par Lorentz et Fitz Gerald, qui ont introduit l'hypothèse d'une contraction subie par tous les corps dans le sens du mouvement de la Terre et proportionnelle au carré de l'aberration ; cette contraction, que nous appellerons la contraction lorentzienne, rendrait compte de l'expérience de Michelson et de toutes celles qui ont été réalisées jusqu'ici. L'hypothèse deviendrait insuffisante, toutefois, si on voulait admettre dans toute sa généralité le postulat de relativité.

Lorentz a cherché alors à la compléter et à la modifier de façon à la mettre en concordance parfaite avec ce postulat. C'est ce qu'il a réussi à faire dans son article intitulé Electromagnetic phenomena in a system moving with any velocity smaller than that of light (Proceedings de l'Académie d'Amsterdam, 27 mai 1904).

L'importance de la question m'a déterminé à la reprendre ; les résultats que j'ai obtenus sont d'accord avec ceux de M. Lorentz sur tous les points importants ; j'ai été seulement conduit à les modifier et à les compléter dans quelques points de détail ; on verra plus loin les différences qui sont d'une importance secondaire.

L'idée de Lorentz peut se résumer ainsi : si on peut, sans qu'aucun des phénomènes apparents soit modifié, imprimer à tout le système une translation commune, c'est que les équations d'un milieu électromagnétique ne sont pas altérées par certaines transformations, que nous appellerons transformations de Lorentz ; deux systèmes, l'un immobile, l'autre en translation, deviennent ainsi l'image exacte l'un de l'autre.

Langevin[1] avait cherché à modifier l'idée de Lorentz ; pour les deux auteurs, l'électron en mouvement prend la forme d'un ellipsoïde aplati, mais pour Lorentz deux des axes de l'ellipsoïde demeurent constants, pour Langevin au contraire c'est le volume de l'ellipsoïde qui demeure constant. Les deux savants ont d'ailleurs montré que ces deux hypothèses s'accordent avec les expériences de Kaufmann, aussi bien que l'hypothèse primitive d'Abraham (électron sphérique indéformable).

L'avantage de la théorie de Langevin, c'est qu'elle ne fait intervenir que les forces électromagnétiques et les forces de liaison ; mais elle est incompatible avec le postulat de relativité ; c'est ce que Lorentz avait montré, c'est ce que je retrouve à mon tour par une autre voie en faisant appel aux principes de la théorie des groupes.

Il faut donc en revenir à la théorie de Lorentz ; mais si l'on veut la conserver et éviter d'intolérables contradictions, il faut supposer une force spéciale qui explique à la fois la contraction et la constance de deux des axes. J'ai cherché à déterminer cette force, j'ai trouvé qu'elle peut être assimilée à une pression extérieure constante, agissant sur l'électron déformable et compressible, et dont le travail est proportionnel aux variations du volume de cet électron.

Si alors l'inertie de la matière était exclusivement d'origine électromagnétique, comme on l'admet généralement depuis l'expérience de Kaufmann, et qu'à part cette pression constante dont je viens de parler, toutes les forces soient d'origine électromagnétique, le postulat de relativité peut être établi en toute rigueur. C'est ce que je montre par un calcul très simple fondé sur le principe de moindre action.

Mais ce n'est pas tout. Lorentz, dans l'ouvrage cité, a jugé nécessaire de compléter son hypothèse de façon à ce que le postulat subsiste quand il y a d'autres forces que les forces électromagnétiques. D'après lui, toutes les forces, quelle qu'en soit l'origine, sont affectées par la transformation de Lorentz (et par conséquent par une translation) de la même manière que les forces électromagnétiques.

Il importait d'examiner cette hypothèse de plus près et en particulier de rechercher quelles modifications elle nous obligerait à apporter aux lois de la gravitation.

On trouve d'abord qu'elle nous force à supposer que la propagation de la gravitation n'est pas instantanée, mais se fait avec la vitesse de la lumière. On pourrait croire que c'est une raison suffisante pour rejeter l'hypothèse, Laplace ayant démontré qu'il ne peut en être ainsi. Mais en réalité, l'effet de cette propagation est compensé, en grande partie, par une cause différente, de sorte qu'il n'y a plus contradiction entre la loi proposée et les observations astronomiques.

Était-il possible de trouver une loi, qui satisfît à la condition imposée par Lorentz, et qui en même temps se réduisît à la loi de Newton toutes les fois que les vitesses des astres sont assez petites pour qu'on puisse négliger leurs carrés (ainsi que le produit des accélérations par les distances) devant le carré de la vitesse de la Lumière ?

À cette question, ainsi qu'on le verra plus loin, on doit répondre affirmativement.

La loi ainsi modifiée est-elle compatible avec les observations astronomiques ?

À première vue, il semble que oui, mais la question ne pourra être tranchée que par une discussion approfondie.

Mais en admettant même que cette discussion tourne à l'avantage de la nouvelle hypothèse, que devrons-nous conclure ? Si la propagation de l'attraction se fait avec la vitesse de la lumière, cela ne peut être par une rencontre fortuite, cela doit être parce que c'est une fonction de l'éther ; et alors il faudra chercher à pénétrer la nature de cette fonction, et la rattacher aux autres fonctions du fluide.

Nous ne pouvons nous contenter de formules simplement juxtaposées et qui ne s'accorderaient que par un hasard heureux ; il faut que ces formules arrivent pour ainsi dire à se pénétrer mutuellement. L'esprit ne sera satisfait que quand il croira apercevoir la raison de cet accord, au point d'avoir l'illusion qu'il aurait pu le prévoir.

Mais la question peut encore se présenter à un autre point de vue, qu'une comparaison fera mieux comprendre. Supposons un astronome antérieur à Copernic et réfléchissant sur le système de Ptolémée ; il remarquera que pour toutes les planètes, un des deux cercles, épicycle ou déférent, est parcouru dans le même temps. Cela ne peut être par hasard, il y a donc entre toutes les planètes je ne sais quel lien mystérieux.

Mais Copernic, en changeant simplement les axes de coordonnées regardés comme fixes, fait évanouir cette apparence ; chaque planète ne décrit plus qu'un seul cercle et les durées des révolutions deviennent indépendantes (jusqu'à ce que Kepler rétablisse entre elles le lien qu'on avait cru détruit).

Ici il est possible qu'il y ait quelque chose d'analogue ; si nous admettions le postulat de relativité, nous trouverions dans la loi de gravitation et dans les lois électromagnétiques un nombre commun qui serait la vitesse de la lumière ; et nous le retrouverions encore dans toutes les autres forces d'origine quelconque, ce qui ne pourrait s'expliquer que de deux manières :

Ou bien il n'y aurait rien au monde qui ne fût d'origine électromagnétique.

Ou bien cette partie qui serait pour ainsi dire commune à tous les phénomènes physiques ne serait qu'une apparence, quelque chose qui tiendrait à nos méthodes de mesure. Comment faisons-nous nos mesures ? En transportant, les uns sur les autres, des objets regardés comme des solides invariables, répondra-t-on d'abord ; mais cela n'est plus vrai dans la théorie actuelle, si l'on admet la contraction lorentzienne. Dans cette théorie, deux longueurs égales, ce sont, par définition, deux longueurs que la lumière met le même temps à parcourir.

Peut-être suffirait-il de renoncer à cette définition, pour que la théorie de Lorentz fût aussi complètement bouleversée que l'a été le système de Ptolémée par l'intervention de Copernic. Si cela arrive un jour, cela ne prouvera pas que l'effort fait par Lorentz ait été inutile ; car Ptolémée, quoi qu'on en pense, n'a pas été inutile à Copernic.

Aussi n'ai-je pas hésité à publier ces quelques résultats partiels, bien qu'en ce moment même la théorie entière puisse sembler mise en danger par la découverte des rayons magnétocathodiques.


§ 1. — Transformation de Lorentz.


Lorentz a adopté un système particulier d'unités, de façon à faire disparaître les facteurs dans les formules. Je ferai de même, et de plus je choisirai les unités de longueur et de temps de telle façon que la vitesse de la lumière soit égale à . Dans ces conditions les formules fondamentales deviennent, en appelant , , le déplacement électrique, , , la force magnétique, , , le potentiel vecteur, le potentiel scalaire, la densité électrique, , , la vitesse de l'électron, , , le courant :

(1)

Un élément de matière de volume , subit une force mécanique dont les composantes , , se déduisent de la formule :

(2)

Ces équations sont susceptibles d'une transformation remarquable découverte par Lorentz et qui doit son intérêt à ce qu'elle explique pourquoi aucune expérience n'est susceptible de nous faire connaître le mouvement absolu de l'univers. Posons :

(3)


et étant deux constantes quelconques, et étant

Si alors nous posons :


il viendra :

Considérons une sphère entraînée avec l’électron dans un mouvement de translation uniforme et soit :


l’équation de cette sphère mobile dont le volume sera .

La transformation la changera en un ellipsoïde, dont il est aisé de trouver l’équation. On déduit aisément en effet des équations (3) :

(3bis)

L’équation de l’ellipsoïde devient ainsi :

Cet ellipsoïde se déplace avec un mouvement uniforme ; pour , il se réduit à


et a pour volume :

Si l’on veut que la charge d’un électron ne soit pas altérée par la transformation et si l’on appelle la nouvelle densité électrique, il viendra :

(4)

Que seront maintenant les nouvelles vitesses , ,  ; on devra avoir :


d’où :

(4bis)

C’est ici que je dois signaler pour la première fois une divergence avec Lorentz.

Lorentz pose (à la différence des notations près) (loco citato, page 813, formules 7 et 8) :

On retrouve ainsi les formules :

 ;


mais la valeur de diffère.

Il importe de remarquer que les formules (4) et (4bis) satisfont à la condition de continuité

.

Soit en effet une quantité indéterminée et le déterminant fonctionnel de

(5)


par rapport à , , , . On aura :

.

avec .

Soit , nous voyons que les 4 fonctions

(5bis)


sont liées aux fonctions (5) par les mêmes relations linéaires que les variables anciennes aux variables nouvelles. Si donc on désigne par le déterminant fonctionnel des fonctions (5bis) par rapport aux variables nouvelles, on aura :


d'où :

C. Q. F. D.

Avec l’hypothèse de Lorentz, cette condition ne serait pas remplie, puisque n'a pas la même valeur.

Nous définirons les nouveaux potentiels, vecteur et scalaire, de façon à satisfaire aux conditions

(6)

Nous tirerons ensuite de là :

(7)

Ces formules diffèrent notablement de celles de Lorentz, mais la divergence ne porte en dernière analyse que sur les définitions.

Nous choisirons les nouveaux champs électrique et magnétique de façon à satisfaire aux équations :

(8)

Il est aisé de voir que :


et on en conclut :

(9)

Ces formules sont identiques à celles de Lorentz.

Notre transformation n’altère pas les équations (1). En effet, la condition de continuité, ainsi que les équations (6) et (8), nous fournissent déjà quelques-unes des équations (1) (sauf l’accentuation des lettres).

Les équations (6) rapprochées de la condition de continuité donnent :

(10)

Il reste à établir que :


et l’on voit aisément que ce sont des conséquences nécessaires des équations (6), (8) et (10).

Nous devons maintenant comparer les forces avant et après la transformation.

Soient , , la force avant, et , , la force après la transformation, toutes deux rapportées à l’unité de volume. Pour que satisfasse aux mêmes équations qu’avant la transformation, on doit avoir :


ou, en remplaçant toutes les quantités par leurs valeurs (4), (4bis) et (9) et tenant compte des équations (2) :

(11)

Si nous représentions par , , les composantes de la force rapportée, non plus à l’unité de volume, mais à l’unité de charge électrique de l’électron, et par , , les mêmes quantités après la transformation, nous aurions :

et nous aurions les équations :
(11bis)

Lorentz avait trouvé [à la différence des notations près, page 813, formule (10)] :

(11ter)

Avant d’aller plus loin, il importe de rechercher la cause de cette importante divergence. Elle tient évidemment à ce que les formules pour , , ne sont pas les mêmes, tandis que les formules pour les champs électriques et magnétiques sont les mêmes.

Si l’inertie des électrons est exclusivement d’origine électromagnétique, si de plus ils ne sont soumis qu’à des forces d’origine électromagnétique, la condition d’équilibre exige que l’on ait à l’intérieur des électrons :

.

Or en vertu des équations (11) ces relations équivalent à

.

Les conditions d’équilibre des électrons ne sont donc pas altérées par la transformation.

Malheureusement une hypothèse aussi simple est inadmissible. Si, en effet, on suppose , les conditions entraîneraient , et par conséquent , c’est-à-dire . On arriverait à des résultats analogues dans le cas le plus général. Il faut donc bien admettre qu’il y a outre les forces électromagnétiques, soit d’autres forces, soit des liaisons. Il faut alors chercher à quelles conditions doivent satisfaire ces forces ou ces liaisons, pour que l’équilibre des électrons ne soit pas troublé par la transformation. Ce sera l’objet d’un paragraphe ultérieur.


§ 2. — Principe de moindre action.

On sait comment Lorentz a déduit ses équations du principe de moindre action. Je reviendrai cependant sur la question, bien que je n'aie rien d’essentiel à ajouter à l’analyse de Lorentz, parce que je préfère la présenter sous une forme un peu différente qui me sera utile pour mon objet. Je poserai :

(1) ,
en supposant que , , , , etc. sont assujetties aux conditions suivantes et à celles qu’on en déduirait par symétrie :
(2)

Quant à l’intégrale elle doit être étendue :

1° par rapport à l’élément de volume à l’espace tout entier ;

2° par rapport au temps , à l’intervalle compris entre les limites , .

D’après le principe de moindre action, l’intégrale doit être un minimum, si l’on assujettit les diverses quantités qui y figurent :

1° aux conditions (2) ;

2° à la condition que l’état du système soit déterminé aux deux époques limites , .

Cette dernière condition nous permet de transformer nos intégrales par intégration par parties par rapport au temps. Si nous avons en effet une intégrale de la forme

,


est une des quantités qui définissent l’état du système et sa variation, elle sera égale (en intégrant par parties par rapport au temps):

Comme l’état du système est déterminé aux deux époques limites, on a pour , ; donc la 1ère intégrale qui se rapporte à ces deux époques est nulle, et la 2de subsiste seule.

Nous pouvons de même intégrer par parties par rapport à , ou  ; nous avons en effet

.

Nos intégrations s’étendant jusqu’à l’infini, il faut faire dans la 1ère intégrale du 2de membre ; donc, comme nous supposons toujours que toutes nos fonctions s’annulent à l’infini, cette intégrale sera nulle et il viendra

Si le système était supposé soumis à des liaisons, il faudrait adjoindre ces conditions de liaison aux conditions imposées aux diverses quantités qui figurent dans l’intégrale .

Donnons d’abord à , , des accroissements , ,  ; d’où :

.

On devra avoir

,


ou, en intégrant par parties,

,


d’où, en égalant à zéro le coefficient de l’arbitraire ,

(3) .

Cette relation nous donne (avec une intégration par parties) :

,


ou

,


d’où enfin :

(4) .

Désormais, et grâce à la relation (3), est indépendant de et par conséquent de  ; faisons varier maintenant les autres variables.

Il vient, en revenant à l’expression (1) de ,

.

Mais , , sont assujettis à la 1ère des conditions (2), de sorte que

(5)


et qu’il convient d’écrire :

(6) .

Les principes du calcul des variations nous apprennent que l’on doit faire le calcul comme si, étant une fonction arbitraire, était représente par l'expression (6) et si les variations n’étaient plus assujetties à la condition (5).

Nous avons d’autre part

,


d’où, après intégration par parties,

(7)

Si nous supposons d’abord que les électrons ne subissent pas de variation, et la seconde intégrale est nulle. Comme doit s’annuler, on doit avoir :

(8)

Il reste donc dans le cas général :

(9)

Il reste à déterminer les forces qui agissent sur les électrons. Pour cela nous devons supposer qu’on applique à chaque élément d’électron une force complémentaire , , , et écrire que cette force fait équilibre aux forces d’origine électromagnétique. Soit , , les composantes du déplacement de l’élément d’électron, déplacement compté à partir d’une position initiale quelconque. Soient , , les variations de ce déplacement ; le travail virtuel correspondant de la force complémentaire sera :


de sorte que la condition d’équilibre dont nous venons de parler s’écrira :

(10)

Il s’agit de transformer . Pour cela commençons par chercher l’équation de continuité exprimant que la charge d’un électron se conserve par la variation.

Soient , , la position initiale d’un électron. Sa position actuelle sera :

Nous introduirons en outre une variable auxiliaire , qui produira les variations de nos diverses fonctions, de sorte que, pour une fonction quelconque, on ait :

Il me sera commode en effet de pouvoir passer de la notation du calcul des variations, à celle du calcul différentiel ordinaire, ou inversement.

Nos fonctions pourront être regardées : 1° soit comme dépendant des cinq variables , , , , , de telle sorte qu’on reste toujours à la même place quand et varient seuls : nous désignerons alors leurs dérivées par des ordinaires ; 2° soit comme dépendant des cinq variables , , , , , de telle sorte qu’on suive toujours un même électron quand et varient seuls ; nous désignerons alors leurs dérivées par des ronds. On aura alors :

(11)

Désignons maintenant par le déterminant fonctionnel de , , par rapport à , ,  :

Si , , , restant constants nous donnons à un accroissement , il en résultera pour , , des accroissements , , , et pour un accroissement , et on aura :


d’où

On en déduit :

(12)

La masse de chaque électron étant invariable, on aura :

(13)


d’où :

Telles sont les différentes formes de l’équation de continuité en ce qui concerne la variable . Nous trouvons des formes analogues en ce qui concerne la variable . Soit :


il viendra :

(11bis)
(12bis)
(13bis)

On remarquera la différence entre la définition de et celle de  ; on remarquera que c’est bien cette définition de qui convient à la formule (10).

Cette dernière équation va nous permettre de transformer le Ier terme de (9) ; nous trouvons en effet :


ou, en intégrant par parties,
(14)

Proposons-nous maintenant de déterminer

.

Observons que ne peut dépendre que de , ,  ; en effet, si l’on considère un élément d’électron dont la position initiale est un parallélipipède rectangle dont les arêtes sont , , la charge de cet élément est


et, cette charge devant demeurer constante, on a :

(15)

On en déduit :

(16)

Or on sait que pour une fonction quelconque on a, par l’équation de continuité,


et de même

On a donc :

(17)
(17bis)

Les 2ds membres de (17) et (17bis) doivent être égaux et, si l’on se souvient que


il vient :

(18)

Transformons maintenant le 2d terme de (9) ; il vient :

Le second membre devient, par l'intégration par parties:

Remarquons maintenant que:

Si, en effet, dans les deux membres de ces relations, on développe les , elles deviennent des identités; et souvenons-nous que


le second membre en question deviendra:


de sorte que finalement:

En égalant le coefficient de dans les deux membres de (10) il vient:

C'est l'équation (2) du § précédent.


§ 3. — La transformation de Lorentz et le principe de moindre action.

Voyons si le principe de moindre action nous donne la raison du succès de la transformation de Lorentz. Il faut d'abord voir ce que cette transformation fait de l'intégrale:


(formule 4 du § 2).

Nous trouvons d'abord


car , , , sont liés à , , , par des relations linéaires dont le déterminant est égal à ; il vient ensuite:

(1)


(formules 9 du § 1), d'où:


de sorte que si l'on pose:


il vient:

Il faut toutefois, pour que cette égalité soit justifiée, que les limites d'intégration soient les mêmes; jusqu'ici nous avons admis que variait depuis jusqu'à , et , , depuis jusqu'à . A ce compte les limites d'intégration seraient altérées par la transformation de Lorentz; mais rien ne nous empêche de supposer , ; avec ces conditions les limites sont les mêmes pour et pour .

Nous avons alors à comparer les deux équations suivantes analogues à l'équation (10) du § 2:

(2)

Pour cela, il faut d'abord comparer à .

Considérons un électron dont les coordonnées initiales sont , , ; ses coordonnées à l'instant , seront

Si on considère l'électron correspondant après la transformation de Lorentz, il aura pour coordonnées



mais il n'atteindra ces coordonnées qu'à l'instant

Si nous faisons subir à nos variables des variations , , et que nous donnions en même temps à un accroissement , les coordonnées , , subiront un accroissement total

Nous aurons de même:


et en vertu de la transformation de Lorentz:


d'où, en supposant , les relations:

Remarquons que


il viendra, en remplaçant par sa valeur,

Si nous nous rappelons la définition de , nous tirerons de là:


et de même


d'où

(3)

Or, en vertu des équations (2) on doit avoir:

En remplaçant par sa valeur (3) et identifiant, il vient:

Ce sont les équations (11) du § 1. Le principe de moindre action nous conduit donc au même résultat que l'analyse du § 1.

Si nous nous reportons aux formules (1), nous voyons que n'est pas altérée par la transformation de Lorentz, sauf un facteur constant; il n'en est pas de même de l'expression qui figure dans l'énergie. Si nous nous bornons au cas où est assez petit pour qu'on en puisse négliger le carré de sorte que et si nous supposons aussi , nous trouvons:


ou, par addition


§ 4. — Le Groupe de Lorentz.


Il importe de remarquer que les transformations de Lorentz forment un groupe.

Si l'on pose en effet:


et d'autre part


avec


il viendra:


avec

Si nous donnons à la valeur , que nous supposions infiniment petit,


il viendra:

C'est là la transformation infinitésimale génératrice du groupe, que j'appellerai la transformation et qui d'après la notation de Lie peut s'écrire:

Si nous supposons et , nous trouverions au contraire


et nous aurions une autre transformation infinitésimale du groupe (à supposer que et soient regardés comme des variables indépendantes) et on aurait avec la notation de Lie:

Maïs on pourrait faire jouer à l'axe des ou à celui des le rôle particulier que nous avons fait jouer à l'axe des ; on aurait ainsi deux autres transformations infinitésimales:


qui n'altéreraient pas non plus les équations de Lorentz.

On peut former les combinaisons imaginées par Lie, telles que


mais il est aisé de voir que cette transformation équivaut à un changement d'axes de coordonnées, les axes tournant d'un angle très petit autour de l'axe des . Nous ne devons donc pas nous étonner si un pareil changement n'altère pas la forme des équations de Lorentz, évidemment indépendantes du choix des axes.

Nous sommes donc amenés à envisager un groupe continu que nous appellerons le groupe de Lorentz et qui admettra comme transformations infinitésimales:

1° la transformation qui sera permutable a toutes les autres;

2° les trois transformations , , ;

3° les trois rotations , , .

Une transformation quelconque de ce groupe pourra toujours se décomposer en une transformation de la forme:


et une transformation linéaire qui n'altère pas la forme quadratique

Nous pouvons encore engendrer notre groupe d'une autre manière. Toute transformation du groupe pourra être regardée comme une transformation de la forme:

(1)


précédée et suivie d'une rotation convenable.

Mais pour notre objet, nous ne devons considérer qu'une partie des transformations de ce groupe; nous devons supposer que est une fonction de , et il s'agit de choisir cette fonction, de façon que cette partie du groupe, que j'appellerai forme encore un groupe.

Faisons tourner le système de 180° autour de l'axe des , nous devrons retrouver une transformation qui devra encore appartenir à . Or cela revient à changer le signe de x, , et ; on trouve ainsi:

(2)

Donc ne change pas quand on change en .

D'autre part, si est un groupe, la substitution inverse de (1), qui s'écrit:

(3)


devra également appartenir à ; elle devra donc être identique à (2), c'est-à-dire que

On devra donc avoir .


§ 5. — Ondes de Langevin.

M. Langevin a mis sous une forme particulièrement élégante les formules qui définissent le champ électromagnétique produit par le mouvement d'un électron unique.

Reprenons les équations

(1)

On sait qu'on peut les intégrer par les potentiels retardés et qu'on a:

(2)

Dans ces formules on a:


tandis que et sont les valeurs de et de au point , , , et à l'instant

Soient: , , les coordonnées d'une molécule d'électron à l'instant ;


ses coordonnées à l'instant t;


ses coordonnées à l'instant .

, , sont des fonctions de , , , de sorte que nous pourrons écrire:


et si l'on suppose constant, ainsi que , et :

Nous pouvons donc écrire:


avec les deux autres équations qu'on peut en déduire par permutation circulaire.

Nous avons donc:

(3)


en posant

Étudions les déterminants qui figurent dans les deux membres de (3) et d'abord dans le 1er membre; si on cherche à le développer, on voit que les termes du 2d et du 3e degré par rapport à , , disparaissent et que le déterminant est égal à


désignant la composante radiale de la vitesse , , , c'est-à-dire la composante dirigée suivant le rayon vecteur qui va dit point , , au point , , .

Pour obtenir le 2d déterminant, j'envisage les coordonnées des différentes molécules de l'électron à un instant , qui est le même pour toutes les molécules, mais de telle façon que pour la molécule que j'envisage on ait . Les coordonnées d'une molécule seront alors:


, , étant ce que deviennent , , quand on y remplace par ; comme est le même pour toutes les molécules, on aura:


et par conséquent


en posant

Mais l'élément de charge électrique est


et de plus pour la molécule envisagée, on a , et par conséquent etc.; nous pouvons donc écrire:


de sorte que l'équation (3) deviendra:


et les équations (2):

Si nous avons affaire à un électron unique, nos intégrales se réduiront à un seul élément, pourvu que l'on ne considère que des points , , suffisamment éloignés pour que et aient sensiblement la même valeur pour tous les points de l'électron. Les potentiels , , , dépendront de la position de cet électron, et aussi de sa vitesse, car non seulement , , figurent au numérateur dans , , , mais la composante radiale figure au dénominateur. Il s'agit bien entendu de sa position et de sa vitesse à l'instant .

Les dérivées partielles de , , , par rapport à , , , (et par conséquent les champs électrique et magnétique) dépendront en outre de son accélération. De plus, elles en dépendront linéairement, puisque dans ces dérivées cette accélération s'introduit par suite d'une différentiation unique.

Langevin a été ainsi conduit à distinguer dans les champs électrique et magnétique les termes qui ne dépendent pas de l'accélération (c'est ce qu'il appelle l'onde de vitesse) et ceux qui sont proportionnels à l'accélération (c'est ce qu'il appelle l'onde d'accélération).

Le calcul de ces deux ondes est facilité par la transformation de Lorentz. Nous pouvons en effet appliquer cette transformation au système, de façon que la vitesse de l'électron unique envisagé devienne nulle. Nous prendrons pour l'axe des la direction de cette vitesse avant la transformation, de sorte que, à l'instant ,


et nous prendrons , de telle façon que

Nous pouvons donc ramener le calcul des deux ondes au cas où la vitesse de l'électron est nulle. Commençons par l'onde de vitesse; nous pouvons remarquer d'abord que cette onde est la même que si le mouvement de l'électron était uniforme.

Si la vitesse de l'électron est nulle, on a:


étant la charge électrique de l'électron. La vitesse ayant été ramenée à zéro par la transformation de Lorentz, nous avons donc:


étant la distance du point , , au point , , , et par conséquent:

Faisons maintenant la transformation inverse de celle de Lorentz pour trouver le champ véritable correspondant à une vitesse , , . Nous trouvons, en nous reportant aux équations (9) et (3) du § 1:

(4)

On voit que le champ magnétique est perpendiculaire à l'axe des (direction de la vitesse) et au champ électrique, et que le champ électrique est dirigé vers le point:

(5)

Si l'électron continuait à se mouvoir d'un mouvement rectiligne et uniforme avec la vitesse qu'il avait à l'instant , c'est-à-dire avec la vitesse , , ce point (5) serait celui qu'il occuperait à l'instant .

Passons à l'onde d'accélération; nous pouvons, grâce à la transformation de Lorentz, ramener sa détermination au cas où la vitesse est nulle. C'est le cas qui est réalisé si on imagine un électron qui exécute des oscillations d'amplitude très petites, mais très rapides, de façon que les déplacements et les vitesses soient infiniment petits, mais que les accélérations soient finies. On retombe ainsi sur le champ qui a été étudié dans le célèbre Mémoire de Hertz intitulé Die Kräfte elektrischer Schwingungen nach der Maxwell’schen Theorie et cela pour un point très éloigné. Dans ces conditions:

1° Les deux champs électrique et magnétique sont égaux entre eux.

2° Ils sont perpendiculaires entre eux.

3° Ils sont perpendiculaires à la normale à la sphère d'onde, c'est-à-dire à la sphère dont le centre est le point , , .

Je dis que ces trois propriétés subsisteront encore quand la vitesse ne sera pas nulle, et pour cela, il me suffit de montrer qu'elles ne sont pas altérées par la transformation de Lorentz.

Soit en effet A l'intensité commune des deux champs, soit

Ces propriétés s'exprimeront par les égalités:


ce qui veut dire encore que


sont les cosinus directeurs de trois directions rectangulaires, et on en déduit les relations:


ou

(6)


avec les équations que l'on en peut déduire par symétrie.

Si nous reprenons les équations (3) du § 1, nous trouvons:

(7)

Nous avons trouvé plus haut au § 3:

Donc à entraine

D'autre part, en partant des équations (9) du § 1, on trouve:


ce qui montre que entraine .

Je dis maintenant que

(8)

En effet, en vertu des équations (7) (ainsi que des équations 9 du § 1) fa premiers membres des deux équations (8) s'écrivent respectivement:

Ils s'annulent donc en vertu des équations et en vertu des équations (6). Or c'est là précisément ce qu'il s'agissait de démontrer.

On peut d'ailleurs arriver au même résultat par de simples considérations d'homogénéité.

En effet, ψ, F, G, H sont des fonctions de homogènes de degré -1 par rapport à x, y, z, t, x1, y1, z1, t1 et à leurs différentielles.

Donc les dérivées de ψ, F, G, H par rapport à x, y, z, t (et par conséquent aussi les deux champs f, g, h; α, β, γ) seront homogènes de degré -2 par rapport aux mêmes quantités, si nous nous rappelons d'ailleurs que la relation


est homogène par rapport à ces quantités.

Or ces dérivées ou ces champs dépendent des x-x1, des vitesses , et des accélérations ; ils se composent d'un terme indépendant des accélérations (onde de vitesse) et d'un terme linéaire par rapport aux accélérations (onde d'accélération). Or est homogène de degré 0 et homogène de degré -1; d'où il suit que l'onde de vitesse est homogène de degré -2 par rapport à x-x1, y-y1, z-z1, et l'onde d'accélération homogène de degré — 1. Donc, en un point très éloigné l'onde d'accélération est prépondérante et peut par conséquent être regardée comme se confondant avec l'onde totale. De plus, la loi d'homogénéité nous montre que l'onde d'accélération est semblable à elle-même en un point éloigné et en un point quelconque. Elle est donc, en un point quelconque, semblable à l'onde totale en un point éloigné. Or en un point éloigné la perturbation ne peut se propager que par ondes planes, de sorte que les deux champs doivent être égaux, perpendiculaires entre eux et perpendiculaires à la direction de propagation.

Je me bornerai à renvoyer pour plus de détails au Mémoire de M. Langevin dans le Journal de Physique (Année 1905).


§ 6. — Contraction des Électrons.

Supposons un électron unique animé d'un mouvement de translation rectiligne et uniforme. D'après ce que nous venons de voir, on peut, grâce à la transformation de Lorentz, ramener l'étude du champ déterminé par cet électron au cas où l'électron serait immobile; la transformation de Lorentz remplace donc l'électron réel en mouvement par un électron idéal immobile.

Soit α, β, γ; f, g, h le champ réel; soit α', β', γ'; f', g', h' ce que devient le champ après la transformation de Lorentz, de sorte que le champ idéal α', f' correspond au cas d'un électron immobile; on a:


et pour le champ réel (en vertu des formules 9 du § 1):

(1)

Il s'agit maintenant de déterminer l'énergie totale due au mouvement de l'électron, l'action correspondante et la quantité de mouvement électromagnétique, afin de pouvoir calculer les masses électromagnétiques de l'électron. Pour un point éloigné, il suffit de considérer l'électron comme réduit á un point unique; on est ainsi ramené aux formules (4) du § précédent qui généralement peuvent convenir. Mais ici elles ne sauraient suffire, parce que l'énergie est principalement localisée dans les parties de l'éther les plus voisines de l'électron.

On peut faire à ce sujet plusieurs hypothèses.

D'après celle d'Abraham, les électrons seraient sphériques et indéformables.

Alors, quand on appliquerait la transformation de Lorentz, comme l'électron réel serait sphérique, l'électron idéal deviendrait un ellipsoïde. L'équation de cet ellipsoïde serait d'après le § 1:

Mais ici l'on a:


de sorte que l'équation de l'ellipsoïde devient:

Si le rayon de l'électron réel est r, les axes de l'électron idéal seraient donc:

Dans l'hypothèse de Lorentz, au contraire, les électrons en mouvement seraient déformés, de telle façon que ce serait l'électron réel qui deviendrait un ellipsoïde, tandis que l'électron idéal immobile serait toujours une sphère de rayon r; les axes de l'électron réel seront alors:

Désignons par


l'énergie électrique longitudinale; par


l'énergie électrique transversale; par


l'énergie magnétique transversale. Il n'y a pas d'énergie magnétique longitudinale, puisque α=α'=0. Désignons par A', B', C' les quantités correspondantes dans le système idéal. On trouve d'abord:

D'autre part, nous pouvons observer que le champ réel dépend seulement de x=εt, y, et x, et écrire:


d'où

Dans l'hypothèse de Lorentz on a B' = 2 A', et A', inversement proportionnel au rayon de l'électron, est une constante indépendante de la vitesse de l'électron réel; on trouve ainsi pour l'énergie totale:


et pour l'action (par unité de temps):

Calculons maintenant la quantité de mouvement électromagnétique; nous trouverons:

Mais on doit avoir certaines relations entre l'énergie E = A + B + C, l'action par unité de temps H = A + B - C, et la quantité de mouvement D. La première de ces relations est:


la seconde est


d'où

(2)

La seconde des équations (2) est toujours satisfaite; mais la première ne l'est que si


c'est-à-dire si le volume de l'électron idéal est égal à celui de l'électron réel, ou encore si le volume de l'électron est constant; c'est l'hypothèse de Langevin.

Cela est en contradiction avec le résultat du § 4 et avec le résultat obtenu par Lorentz par une autre voie. C'est cette contradiction qu'il s'agit d'expliquer.

Avant d'aborder cette explication, j'observe que, quelle que soit l'hypothèse adoptée nous aurons


ou, à cause de C' = 0,

(3)

Nous pouvons rapprocher ce résultat de l'équation J=J' obtenue au § 3.

Nous avons en effet:

Nous observerons que l'état du système dépend seulement de x+εt et z, c'est-à-dire de x', y', z', et que nous avons:

(4)

En rapprochant les équations (3) et (4) on trouve J = J'.

Plaçons-nous dans une hypothèse quelconque, qui pourra être, soit celle de Lorentz soit celle d'Abraham, soit celle de Langevin, soit une hypothèse intermédiaire.

Soient


les trois axes de l'électron réel; ceux de l'électron idéal seront:

Alors A' + B' sera l'énergie électrostatique due à un ellipsoïde ayant pour axes klr, θlr, θlr.

Que l'on suppose l'électricité répandue à la surface de l'électron connue à celle d'un conducteur, ou uniformément répandue à l'intérieur de cet électron; cette énergie sera de la forme:


où φ est une fonction connue.

L'hypothèse d'Abraham consiste à supposer:

Celle de Lorentz:

Celle de Langevin:

On trouve ensuite:

Abraham trouve, à la différence des notations près (Göttinger Nachrichten, 1902, p. 37)


a étant une constante. Or, dans l'hypothèse d'Abraham, on a θ=1; donc:

(5)


ce qui définit la fonction φ.

Cela posé, imaginons que l'électron soit soumis à une liaison, de telle façon qu'il y ait une relation entre r et φ; dans l'hypothèse de Lorentz cette relation serait φr = const., dans celle de Langevin φ²r² = const. Nous supposerons d'une façon plus générale


b étant une constante; d'où:

Quelle sera la forme que prendra l'électron quand la vitesse deviendra -εt, si l'on ne suppose pas l'intervention d'autres forces que celles de liaison? Cette forme sera définie par l'égalité:

(6)


ou


ou

Si nous voulons que l'équilibre ait lieu de telle façon que θ=k, il faut que pour , la dérivée logarithmique de φ soit égale à m.

Si nous développons et le 2d membre de (5) suivant les puissances de ε, l'équation (5) devient:


en négligeant les puissances supérieures de ε.

En différentiant, il vient:

Pour ε=0, c'est-à-dire quand l'argument de φ est égal à 1, ces équations deviennent:

(7)

On doit donc avoir conformément à l'hypothèse de Langevin.

Ce résultat doit être rapproché de celui qui est relatif à la 1ere équation (a) et dont en réalité il ne diffère pas. En effet, supposons que tout élément dτ de l'électron soit soumis à une force Xdτ parallèle à l'axe des x, X étant le même pour tous les éléments; nous aurons alors, conformément à la définition de la quantité de mouvement:

D'autre part, le principe de moindre action nous donne:


δU étant le déplacement du centre de gravité de l'électron; H dépend de θ et de ε si l'on admet que r est lié à θ par l'équation de liaison; on a alors:

D'autre part ; d'où, en intégrant par parties:


ou


d'où

Mais la dérivée , qui figure dans le 2d membre de la 1ere équation (2), c'est la dérivée prise en supposant θ exprimé en fonction de ε, de sorte que

L'équation (2) équivaut donc à l'équation (6).

La conclusion est que si l'électron est soumis à une liaison entre ses trois axes, et si aucune autre force n'intervient en dehors des forces de liaison, la forme que prendra cet électron, quand il sera animé d'une vitesse uniforme, ne pourra être telle que l'électron idéal correspondant soit une sphère, que dans le cas où la liaison sera que le volume soit constant, conformément à l'hypothèse de Langevin.

Nous sommes amenés de la sorte à nous poser le problème suivant: quelles forces supplémentaires, autres que les forces de liaison, serait-il nécessaire de faire intervenir pour rendre compte de la loi de Lorentz ou, plus généralement, de toute loi autre que celle de Langevin?

L'hypothèse la plus simple, et la première que nous devions examiner, c'est que ces forces supplémentaires dérivent d'un potentiel spécial dérivant des trois axes de l'ellipsoïde, et par conséquent de θ et de r; soit F(θ, r) ce potentiel; dans ce cas l'action aura pour expression:


et les conditions d'équilibre s'écriront:

(8)

Si nous supposons r et θ liés par la liaison r = bθm, nous pourrons regarder r comme fonction de θ, envisager F comme ne dépendant que de θ et conserver seulement la 1ere équation (8) avec:

Il faut que, pour k =θ l'équation (8) soit satisfaite; ce qui donne, en tenant compte des équations (7):


d'où:


et dans l'hypothèse de Lorentz, où m=-1:

Supposons maintenant qu'il n'y ait aucune liaison et, considérant r et θ comme deux variables indépendantes, conservons les deux équations (H); il viendra:

Les équations (8) doivent être satisfaites pour k = θ, r = vθm; ce qui donne:

(9)

Une des manières de satisfaire à ces conditions est de poser:

(10)

A, α, β étant des constantes; les équations (9) doivent être satisfaites pour k = θ, r = vθm, ce qui donne:

En identifiant on trouve

(11)

Mais le volume de l'ellipsoïde est proportionnel à r³, θ³, de sorte que le potentiel supplémentaire est proportionnel à la puissance γ du volume de l'électron.

Dans l'hypothèse de Lorentz, on a m=1, γ=1.

On retrouve donc l'hypothèse de Lorentz à la condition d'ajouter un potentiel supplémentaire proportionnel au volume de l'électron.

L'hypothèse de Langevin correspond á γ=∞.


§ 7. — Mouvement quasi-stationnaire.

Il reste à voir si cette hypothèse sur la contraction des électrons rend compte de l'impossibilité de mettre en évidence le mouvement absolu, et je commencerai par étudier le mouvement quasi-stationnaire d'un électron isolé, ou soumis seulement à l'action d'autres électrons éloignés.

On sait qu'on appelle mouvement quasi-stationnaire un mouvement où les variations de la vitesse sont assez lentes pour que les énergies magnétique et électrique dues au mouvement de l'électron différent peu de ce qu'elles seraient dans le mouvement uniforme; on sait également que c'est en partant de cette notion du mouvement quasi-stationnaire qu'Abraham est arrivé à celle des masses électromagnétiques transversale et longitudinale.

Je crois devoir préciser. Soit H notre action par unité de temps:


où nous ne considérons pour le montent que les champs électrique et magnetique dus au mouvement d'un électron isolé. Au § précédent, considérant le mouvement comme uniforme, nous regardions H comme dépendant de la vitesse ξ, η, ζ du centre de gravité de l'électron (ces trois composantes, dans le § précédent, avaient pour valeurs -ε 0, 0) et des paramètres r et θ qui définissent la forme de l'électron.

Mais si le mouvement n'est plus uniforme, H dépendra non seulement des valeurs de ξ, η, ζ, r, θ a l'instant considéré, mais des valeurs de ces mêmes quantités à d'autres instants qui pourront en différer de quantités de même ordre que le temps mis par la lumière pour aller d'un point à l'autre de l'électron; en d'autres termes, H dépendra non seulement de ξ, η, ζ, r, θ, mais de leurs dérivées de tous les ordres par rapport au temps.

Eh bien, le mouvement sera dit quasi-stationnaire quand les dérivées partielles de H par rapport aux dérivées successives de ξ, η, ζ, r, θ seront négligeables devant les dérivées partielles de H par rapport aux quantités ξ, η, ζ, r, θ elles-mêmes.

Les équations d'un pareil mouvement pourront s'écrire:

(1)

Dans ces équations, F a la même signification que dans le § précédent; X, Y, Z sont les composantes de la force qui agit sur l'électron: cette force étant due uniquement aux champs électrique et magnétique produits par les autres électrons.

Observons que H ne dépend de ξ η ζ que par l'intermédiaire de la combinaison


c'est-à-dire de la grandeur de la vitesse; on a donc, en appelant encore D la quantité de mouvement:


d'où:

(2)
(2bis)


avec

(3)

Si nous prenons la direction actuelle de la vitesse pour axe des x, il vient:


les équations (2) et (2l>ii) deviennent:


et les trois dernières équations (1):

(4)

C'est pourquoi Abraham a donné à le nom de masse longitudinale et le nom de masse transversale; rappelons que .

Dans l'hypothèse de Lorentz, on a:


représentant la dérivée par rapport à V, après que r et θ ont été remplacés par leurs valeurs en fonctions de V tirées des deux premières équations (1); on aura d'ailleurs, après cette substitution,

Nous choisirons les unités de telle façon que le facteur constant A soit égal a 1, et je pose , d'où:

Nous poserons encore:


et nous trouverons pour l'équation du mouvement quasi-stationnaire:

(5)

Voyons ce que deviennent ces équations par la transformation de Lorentz. Nous poserons: 1-ξε=μ, et nous aurons d'abord:


d'où l'on tire aisément

Nous avons également


d'où:


d'où encore:


et

(6)
(7)

Reportons-nous maintenant aux équations (11 bis) du § 1; on peut y regarder X1, Y1, Z1 comme ayant la même signification que dans les équations (5). D'autre part, nous avons l=1 et ; ces équations deviennent donc:

(8)

Calculons ΣX1ξ l'aide des équations (5), nous trouverons:


d'où:

(9)

En comparant les équations (5), (6), (7) et (9), on trouve enfin:

(10)


ce qui montre que les équations du mouvement quasi-stationnaire ne sont pas altérées par la transformation de Lorentz; mais cela ne prouve pas encore que l'hypothèse de Lorentz est la seule qui conduise à ce résultat.

Pour établir ce point, nous allons nous restreindre, ainsi que l'a fait Lorentz, à certains cas particuliers, ce qui nous suffira évidemment pour démontrer une proposition négative.

Comment allons-nous d'abord étendre les hypothèses sur lesquelles reposait le calcul précédent?

1° Au lieu de supposer l=1 dans la transformation de Lorentz, nous supposerons l quelconque.

2° Au lieu de supposer que F est proportionnel au volume, et par conséquent que H est proportionnel à h, nous supposerons que F est une fonction quelconque de θ et de r, de telle façon que [après avoir remplacé θ et r par leurs valeurs en fonctions de V, tirées des deux premières équations (1)] H soit une fonction quelconque de V.

J'observe d'abord que, si l'on suppose H = h, on devra avoir l = 1; et en effet les équations (6) et (7) subsisteront, sauf que les seconds membres seront multipliés par ; les équations (9) également, sauf que les seconds membres seront multipliés par