Théorie analytique de la chaleur/Chapitre 9
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SECTION PREMIÈRE.
Du mouvement libre de la chaleur dans une ligne infinie.
342.
On considère ici le mouvement de la chaleur dans une masse solide homogène, dont toutes les dimensions sont infinies. On divise ce solide par des plans infiniment voisins et perpendiculaires à un axe commun, et l’on suppose d’abord qu’on a échauffé une seule partie de la masse, savoir, celle qui est comprise entre deux plans A et B parallèles, dont la distance est ; toutes les autres parties ont la température initiale 0 : mais chacun des plans compris entre A et B a une température initiale donnée, que l’on regarde comme arbitraire, et qui est commune à tous ses points : cette température est différente pour les différents plans. L’état initial de la masse étant ainsi défini, il s’agit de déterminer par le calcul tous les états successifs. Le mouvement dont il s’agit, est seulement linéaire, et dans le sens de l’axe des plans ; car il est évident qu’il ne peut y avoir aucun transport de chaleur dans un plan quelconque perpendiculaire à cet axe, puisque la chaleur initiale de tous ses points est la même.
On peut supposer, au lieu du solide infini, un prisme d’une très-petite épaisseur, et dont la surface convexe est totalement impénétrable à la chaleur. On ne considère donc le mouvement que dans une ligne infinie, qui est l’axe commun de tous les plans.
La question est plus générale, lorsqu’on attribue des températures entièrement arbitraires à tous les points de la partie de la masse qui a été échauffée, tous les autres points du solide ayant la température initiale Les lois de la distribution de la chaleur dans une masse solide infinie, doivent avoir un caractère simple et remarquable ; parce que le mouvement n’est point troublé par l’obstacle des surfaces et par l’action du milieu.
343.
La position de chaque point étant rapportée à trois axes rectangulaires, sur lesquels on mesure les coordonnées la température cherchée est une fonction des variables et du temps Cette fonction ou satisfait à l’équation générale . De plus, il est nécessaire qu’elle représente l’état initial qui est arbitraire ; ainsi, en désignant par la valeur donnée de la température d’un point quelconque, prise lorsque le temps est nul, c’est-à-dire, au moment où la diffusion commence ; on doit avoir Il faut trouver une fonction des quatre variables qui satisfasse à l’équation différentielle et à l’équation déterminée
Dans les questions que nous avons traitées précédemment, l’intégrale est assujettie à une troisième condition qui dépend de l’état de la surface. C’est pour cette raison que l’analyse en est plus composée, et que la solution exige l’emploi des termes exponentiels. La forme de l’intégrale est beaucoup plus simple, lorsqu’elle doit seulement satisfaire à l’état initial ; et il serait facile de déterminer immédiatement le mouvement de la chaleur selon les trois dimensions. Mais pour exposer cette partie de la théorie, et faire bien connaître suivant quelle loi la diffusion s’opère, il est préférable de considérer d’abord le mouvement linéaire, en résolvant les deux questions suivantes ; on verra par la suite comment elles s’appliquent au cas des trois dimensions.
344.
1ère question : une partie ab d’une ligne infinie est élevée dans tous ses points à la température 1 ; les autres parties de la ligne ont la température actuelle 0 ; on suppose que la chaleur ne peut se dissiper dans le milieu environnant ; il faut déterminer quel est l’état de la ligne après un temps donné. On peut rendre cette question plus générale, en supposant, 1o que les températures initiales des points compris entre a et b sont inégales et représentées par les ordonnées d’une ligne quelconque, que nous regarderons d’abord comme composée de deux parties symétriques (voyez fig. 16) ; 2o qu’une partie de la chaleur se dissipe par la surface du solide, qui est un prisme d’une très-petite épaisseur et d’une longueur infinie.
La seconde question consiste à déterminer les états successifs d’une barre prismatique, dont une extrémité est assujettie à une température constante, et qui est infiniment prolongée. La résolution de ces deux questions dépend de l’intégration de l’équation
(article 105), qui exprime le mouvement linéaire de la
chaleur. est la température que le point placé à la distance
de l’origine doit avoir après le temps écoulé ;
désignent la conducibilité propre, la conducibilité
extérieure, la capacité spécifique de chaleur, la densité, le
contour de la section perpendiculaire, et l’aire de cette
section.
345.
Nous considérons d’abord le premier cas, qui est celui où la chaleur se propage librement dans la ligne infinie dont une partie ab a reçu des températures initiales quelconques ; tous les autres points ayant la température initiale 0. Si l’on élève en chaque point de la barre l’ordonnée d’une courbe plane qui représente la température actuelle de ce point, on voit qu’après une certaine valeur du temps l’état du solide est exprimé par la figure de la courbe. Nous désignerons par l’équation donnée qui correspond à l’état initial, et nous supposons d’abord pour rendre le calcul plus simple que la figure initiale de la courbe, est composée de deux parties symétriques, en sorte que l’on a la condition . Soit
on fera et l’on aura On prendra pour la valeur particulière ; et
sont des constantes arbitraires. Soient etc.
une suite de valeurs quelconques, et etc.,
une suite de valeurs correspondantes du coëfficient on
aura
Supposons 1o que les valeurs etc., croissent
par degrés infiniment petits, comme les abscisses d’une
certaine courbe ; en sorte qu’elles deviennent égales à
etc. ; étant la différentielle constante
de l’abscisse ; 2o que les valeurs etc.
sont proportionnelles aux ordonnées de la même courbe,
et qu’elles deviennent égales à etc.
étant une certaine fonction de Il en résulte que la valeur
de pourra être exprimée ainsi :
est une fonction arbitraire , et l’intégrale peut être
prise de à La difficulté se réduit à déterminer
convenablement la fonction
346.
Pour y parvenir, il faut supposer t dans l’expression de et l’égaler à On a ainsi l’équation de condition
Si l’on mettait au lieu de une fonction quelconque de et que l’on achevât l’intégration depuis jusqu’à
on trouverait une fonction de ; il s’agit de résoudre la
question inverse, c’est-à-dire, de connaître quelle est la fonction
de qui, étant mise au lieu de donnera pour résultat
la fonction problème singulier dont la solution exige
un examen attentif.
En développant le signe de l’intégrale, on écrira comme il suit l’équation dont il faut déduire la valeur de :
Pour faire disparaître tous les termes du second membre,
excepté un seul, on multipliera de part et d’autre par
et l’on intégrera ensuite par rapport à depuis
jusqu’à étant un nombre infini ; représente
une grandeur quelconque égale à l’une des suivantes :
etc., ou ce qui est la même chose
etc. Soit une valeur quelconque de la
variable , et une autre valeur qui est celle que l’on a
prise pour ; on aura et . On considérera
ensuite le nombre infini comme exprimant combien l’unité
de longueur contient de fois l’élément en sorte que
l’on aura En procédant à l’intégration, on reconnaîtra
que la valeur de l’intégrale est
nulle, toutes les fois que et sont des grandeurs différentes ;
mais cette même valeur de l’intégrale est lorsque
Il suit de là que l’intégration élimine dans le second membre tous les termes, excepté un seul : savoir, celui qui
contient ou . La fonction qui affecte ce même terme est
on aura donc
et mettant pour sa valeur 1, on a
on trouve donc en général Ainsi,
pour déterminer la fonction qui satisfait à la condition
proposée, il faut multiplier la fonction donnée par
et intégrer de nulle à infinie, en multipliant
le résultat par ; c’est-à-dire, que de l’équation
on déduit celle-ci, la fonction
représentant les températures initiales d’un prisme
infini dont une partie intermédiaire seulement est échauffée.
En substituant la valeur de dans l’expression de on
obtient l’équation générale
347.
Si l’on substitue dans l’expression de la valeur que l’on a trouvée pour la fonction on a l’intégrale suivante, qui contient la solution complète de la question proposée
L’intégrale, par rapport à étant prise de nulle à infinie, il en résulte une fonction de et prenant ensuite l’intégrale par rapport à de à on obtient pour la fonction de et qui représente les états successifs du solide. Puisque l’intégration, par rapport à fait disparaître cette variable, on peut la remplacer dans l’expression de par une variable quelconque , en prenant l’intégrale entre les mêmes limites, savoir depuis jusqu’à On a donc
ou |
L’intégration, par rapport à donnera une fonction de et et en prenant l’intégrale par rapport à on trouve une fonction de et seulement. Il serait facile d’effectuer dans la dernière équation l’intégration par rapport à et l’on changerait ainsi l’expression de On peut en général donner diverses formes à l’intégrale de l’équation
elles représentent toutes une même fonction de et .
348.
Supposons en premier lieu que toutes les températures initiales des points compris entre a et b, depuis jusqu’à aient pour valeur commune 1, et que les températures de tous les autres points soient nulles, la fonction sera donnée par cette condition. Il faudra donc intégrer, par rapport à depuis jusqu’à car le reste de l’intégrale est nulle d’après l’hypothèse. On trouvera ainsi :
Le second membre peut être facilement converti en série
convergente, comme on le verra par la suite ; il représente
exactement l’état du solide en un instant donné, et si l’on
y fait on exprime l’état initial.
Ainsi la fonction équivaut à l’unité, si l’on donne à une valeur quelconque comprise entre et : mais cette fonction est nulle si l’on donne à toute autre valeur non comprise entre et . On voit par-là que les fonctions discontinues peuvent aussi être exprimées en intégrales définies.
349.
Pour donner une seconde application de la formule précédente, nous supposerons que la barre a été échauffée en un de ses points par l’action constante d’un même foyer, et qu’elle est parvenue à l’état permanent que l’on sait être représenté par une courbe logarithmique.
Il s’agit de connaître suivant quelle loi s’opérera la diffusion de la chaleur après qu’on aura retiré le foyer. En désignant par la valeur initiale de la température, on aura ; est la température initiale du point le plus échauffé. On fera, pour simplifier le calcul,
On a donc on en déduit
et prenant l’intégrale de nulle à infinie
Ainsi la valeur de en et est donnée par l’équation
suivante :
350.
Si l’on fait on aura ce qui correspond à l’état initial. Donc l’expression équivaut à . Il faut remarquer que la fonction qui représente l’état initial ne change point de valeur d’après l’hypothèse lorsque devient négative. La chaleur communiquée par le foyer avant que l’état initial ne fût formé, s’est propagée également à la droite et à la gauche du point 0, qui la reçoit immédiatement, il s’ensuit que la ligne dont l’équation serait est composée de deux branches symétriques que l’on forme en répétant à droite et à gauche de l’axe de la partie de la logarithmique qui est à la droite de l’axe des et a pour équation On voit ici un second exemple d’une fonction discontinue exprimée par une intégrale définie. Cette fonction équivaut à lorsque est positive, mais elle est lorsque est négative,
351.
La question de la propagation de la chaleur dans une barre infinie, dont l’extrémité est assujettie à une température constante, se réduit, comme on le verra dans la suite, à celle de la diffusion de la chaleur dans une ligne infinie ; mais il faut supposer que la chaleur initiale, au lieu d’affecter également les deux moitiés contiguës du solide y est distribuée d’une manière contraire ; c’est-à-dire qu’en représentant par la température d’un point dont la distance au milieu de la ligne est la température initiale du point opposé pour lequel la distance est a pour valeur Cette seconde question diffère très-peu de la précédente et pourrait être résolue par une méthode semblable : mais on peut aussi déduire la solution de l’analyse qui nous a servi à déterminer le mouvement de la chaleur dans les solides de dimensions finies.
Supposons qu’une partie ab de la barre prismatique infinie soit échauffée d’une manière quelconque, voy. fig. (16) et que la partie opposée aβ soit dans un état pareil, mais de signe contraire ; tout le reste du solide ayant la température initiale 0. On suppose aussi que le milieu environnant est entretenu à la température constante 0, et qu’il reçoit de la barre ou leur communique la chaleur par la surface extérieure. Il s’agit de trouver quelle sera, après un temps donné la température d’un point dont la distance à l’origine est
On considérera d’abord la barre échauffée comme ayant une longueur finie , et comme étant soumise à une cause extérieure quelconque qui retient ses deux extrémités à la température constante 0 ; on fera ensuite
352.
On emploiera d’abord l’équation
et faisant
on exprimera comme il suit la valeur générale de
faisant ensuite ce qui doit rendre nulle la valeur de
, on aura, pour déterminer la série des exposants , la condition
ou étant un nombre
entier. Donc
Il ne reste plus qu’à trouver la série des constantes
etc. Faisant on a
soit , et désignons ou par ; on aura
Or, on a trouvé précédemment l’intégrale étant prise de à Donc
L’intégrale devait être prise de à ; donc elle doit être prise par rapport à depuis jusqu’à En faisant ces substitutions, on forme l’équation
353.
Telle serait la solution, si le prisme avait une longueur finie représentée par Elle est une conséquence évidente des principes que nous avons posés jusqu’ici ; il ne reste plus qu’à supposer la dimension infinie. Soit étant un nombre infini ; soit aussi une variable dont les accroissements infiniment petits sont tous égaux ; on écrira au lieu de Le terme général de la série qui entre dans l’équation étant
On représentera par le nombre , qui est variable et qui devient infini. Ainsi l’on aura
En faisant ces substitutions dans le terme dont il s’agit, on trouvera Chacun de ces termes doit être divisé par ou il devient par-là une quantité infiniment petite, et la somme de la série n’est autre chose qu’une intégrale, qui doit être prise par rapport à de à Donc
l’intégrale, par rapport à doit être prise de à ce qui donne une fonction de ; et la seconde intégrale doit être prise par rapport à de à On peut aussi écrire
L’équation contient la solution générale de la question ; et, en substituant pour une fonction quelconque, assujettie ou non à une loi continue, on pourra toujours exprimer en et la valeur de la température : il faut seulement remarquer que la fonction correspond à une ligne formée de deux parties égales et alternes.
354.
Si la chaleur initiale est distribuée dans le prisme de telle manière que la ligne FFFF (fig. 17) qui représente cet état initial soit formée de deux arcs égaux placés à droite et à gauche du point fixe O, le mouvement variable de la chaleur est exprimé par l’équation
Si la ligne (fig. 18) qui représente l’état initial est formée de deux arcs pareils et alternes, l’intégrale qui donne la valeur de température est
Lorsqu’on supposera la chaleur initiale distribuée d’une manière quelconque, il sera facile de conclure des deux solutions précédentes l’expression de . En effet, quelle que soit la fonction qui représente la température initiale et donnée, elle se décompose toujours en deux autres dont l’une correspond à la ligne FFFF, et l’autre à la ligne en sorte que l’on a ces trois conditions :
On a déjà fait usage de cette remarque dans les art. 233 et
234. On sait aussi que chaque état initial donne lieu à un état variable partiel qui se forme comme s’il était seul. La composition de ces divers états n’apporte aucun changement dans les températures qui auraient lieu séparément pour chacun d’eux. Il suit de là qu’en désignant par la température variable produite par l’état initial que représente la
fonction totale on doit avoirSi l’on prenait entre les limites et les intégrales par rapport à il est évident que l’on doublerait les résultats. On peut donc, dans l’équation précédente, omettre au premier membre le dénominateur 2, et prendre dans le second les intégrales pour depuis jusqu’à . On voit facilement aussi que l’on pourrait écrire au lieu de car il résulte de la condition à laquelle est assujettie la fonction que l’on doit avoir
On peut encore écrire
car on a évidemment
On en conclut
ou | |
ou |
355.
La solution de cette seconde question fait connaître distinctement quel rapport il y a entre les intégrales définies que nous venons d’employer, et les résultats de l’analyse que nous avons appliquée aux solides d’une figure déterminée. Lorsque, dans les séries convergentes que cette analyse fournit, on donne aux quantités qui désignent les dimensions, une valeur infinie ; chacun des termes devient infiniment petit, et la somme de la série n’est autre chose qu’une intégrale. On pourrait passer directement de la même manière et sans aucune considération physique des diverses séries trigonométriques que nous avons employées dans le chapitre III aux intégrales définies ; il nous suffira de donner quelques exemples de ces transformations dont les résultats sont remarquables.
356.
Dans l’équation
on écrira au lieu de la quantité ; est une autre variable,
et est un nombre infini égal à ; est une quantité
formée successivement par l’addition de ses parties infiniment
petites égales à On représentera le nombre variable
par Si dans le terme général
on met pour et leurs valeurs ; ce terme deviendra
Donc la somme de la série sera
l’intégrale étant prise de à ; on a donc l’équation
qui a toujours lieu, quelle
que soit la valeur positive de Soit étant une
nouvelle variable, on aura et cette valeur de l’intégrale définie est connue depuis
long-temps. Si en supposant négatif on prenait la
même intégrale de à on aurait évidemment
un résultat de signe contraire
357.
La remarque que nous venons de faire sur la valeur de l’intégrale qui est ou peut servir à taire connaître la nature de l’expression
dont nous avons trouvé précédemment (article 348) la
valeur égale à 1 ou à 0, selon que est ou n’est pas comprise
entre et . En effet, on a
le premier terme vaut ou selon que est une
quantité positive ou négative ; le second
vaut ou selon que est une quantité positive
ou négative. Donc l’intégrale totale est nulle si
et ont le même signe ; car, dans ce cas, les deux
termes se détruisent. Mais si ces quantités sont de signe différent,
c’est-à-dire si l’on a en même temps
les deux termes s’ajoutent et la valeur de l’intégrale est Donc l’intégrale définie est une fonction
de égale à si la variable a une valeur quelconque
comprise entre et ; et cette même fonction est nulle
pour toute autre valeur de non comprise entre les limites
et
358.
On pourrait déduire aussi de la transformation des séries en intégrales les propriétés des deux expressions
la première (art. 350) équivaut à lorsque est positive,
et à lorsque est négative. La seconde équivaut à
si est positive, et à si est négative, en sorte que
ces deux intégrales ont la même valeur, lorsque est positive,
et ont des valeurs de signe contraire lorsque est négative.
L’une est représentée par la ligne (fig. 19)
l’autre par la ligne εεεε, (fig. 20).
L’équation
que nous avons rapportée (art. 226), donne immédiatement
l’intégrale cette dernière expression
équivaut à , si est comprise entre 0 et , et sa valeur
est nulle toutes les fois que surpasse
359.
La même transformation s’applique à l’équation générale
faisant on désignera ou par ; on introduira
dans le calcul une quantité qui reçoit des accroissements
infiniment petits, égaux à sera égal à et
à ; substituant ces valeurs dans le terme général
on trouvera L’intégrale par
rapport à est prise de à donc l’intégration
par rapport à doit avoir lieu de à ou de
nulle à infinie.
On obtient ainsi un résultat général exprimé par cette équation
c’est pourquoi, en désignant par une fonction de telle
que l’on ait équation dans laquelle
est une fonction donnée, on aura
l’intégrale étant prise de nulle à infinie. Nous avons déjà
résolu une question semblable (art. 346), et démontré l’équation
générale
qui est analogue à la précédente.
360.
Pour donner une application de ces théorèmes, nous supposerons le second membre de l’équation deviendra par cette substitution L’intégrale
équivaut à l’intégrale étant prise de
nulle à infinie. Soit cette intégrale totale
il reste à prendre l’intégrale
désignant par cette dernière intégrale, prise de nulle à
infinie, on aura pour résultat des deux intégrations successives
le terme On doit donc avoir, selon la condition
exprimée par l’équation
ainsi le produit des deux transcendantes
Par exemple, si on trouve pour sa valeur connue on trouve de la même manière
Et de ces deux équations on pourrait aussi conclure la suivante :
qui est employée depuis long-temps.
361.
On peut résoudre, au moyen des équations et le problème suivant, qui appartient aussi à l’analyse des différences partielles : Quelle est la fonction de la variable qui doit être placée sous le signe intégral pour que l’expression soit égale à une fonction donnée, l’intégrale étant prise de nulle à infinie ; mais sans s’arrêter à ces diverses conséquences dont l’examen nous éloignerait de notre objet principal, on se bornera au résultat suivant, que l’on obtient en combinant les deux équations et Elles peuvent être mises sous cette forme :
Si l’on prenait les intégrales par rapport à , depuis jusqu’à
le résultat de chaque intégration serait doublé, ce
qui est une conséquence nécessaire des deux conditionson a donc les deux équations
On a remarqué précédemment qu’une fonction quelconque se décompose toujours en deux autres, dont l’une, satisfait à la condition et dont l’autre satisfait à la condition On a aussi les deux équations
on en conclut
L’intégration par rapport à donne une fonction de et et
la seconde intégration ferait disparaître la variable Ainsi la
fonction représentée par l’intégrale définie
a cette singulière propriété, que si on la multiplie par une
fonction quelconque et par et si l’on intègre par
rapport à entre des limites infinies, le résultat est égal à
en sorte que l’effet de l’intégration est de changer en
et de multiplier par le nombre
362.
On pourrait déduire directement l’équation (E) du théorème rapporté dans l’art. 234, p. 256 et 257, qui donne le développement d’une fonction quelconque en série de sinus et de cosinus d’arcs multiples. On passe de cette dernière proposition à celles que nous venons de démontrer en donnant une valeur infinie aux dimensions. Chaque terme de la série devient dans ce cas une quantité différentielle. Ces transformations des fonctions en suites trigonométriques sont des éléments de la théorie analytique de la chaleur ; il est indispensable d’en faire usage pour résoudre les questions qui dépendent de cette théorie.
La réduction des fonctions arbitraires en intégrales définies, telles que l’expriment l’équation (E), et les deux équations élémentaires dont elle dérive donne lieu à diverses conséquences que l’on omettra ici parce qu’elles ont un rapport moins direct avec la question physique. On fera seulement remarquer que ces mêmes équations se présentent quelquefois dans le calcul sous d’autres formes. On obtient par exemple ce résultat :
qui diffère de l’équation (E), en ce que les limites de l’intégrale
prises par rapport à sont 0 et au lieu d’être
et Il faut considérer dans ce cas que les deux équations
(E) et (E’) donnent pour le second membre des valeurs égales
lorsque la variable est positive. Si cette variable est négative,
l’équation (E’) donne toujours pour le second membre
une valeur nulle. Il n’en est pas de même de l’équation (E),
dont le second membre équivaut soit que l’on donne
à une valeur positive ou une valeur négative. Quant à
l’équation (E’) elle résoud le problème suivant. Trouver une
fonction de telle que si est positive, la valeur de la
fonction soit et que si est négative, la valeur de la
fonction soit toujours nulle.
363.
La question de la propagation de la chaleur dans une ligne infinie peut encore être résolue en donnant à l’intégrale de l’équation aux différences partielles une forme différente que nous ferons connaître dans l’article suivant. Nous examinerons auparavant le cas où la source de la chaleur est constante.
Supposons que la chaleur initiale étant répartie d’une manière quelconque dans la barre infinie, on entretienne la tranche A à une température constante, tandis qu’une partie de la chaleur communiquée se dissipe par la surface extérieure. Il s’agit de déterminer l’état du prisme après un temps donné, ce qui est l’objet de la seconde question que nous nous sommes proposée. En désignant par 1 la température constante de l’extrémité A, par 0 celle du milieu, on aura pour l’expression de la température finale du point situé à la distance de cette extrémité, ou seulement en supposant, pour simplifier le calcul, que la quantité soit égale à l’unité. Désignant par la température variable du même point après le temps écoulé on a, pour déterminer cette équation
la valeur de ou en celle de la différence
entre la température actuelle et la température finale ; cette
différence qui tend de plus en plus à s’évanouir, et dont
la dernière valeur est nulle équivaut d’abord à
en désignant par la température initiale d’un point situé
à la distance Soit l’excès de cette température initiale sur la température finale, il faudra trouver pour une fonction qui satisfasse à l’équation et qui ait pour valeur initiale et pour valeur finale 0. Au point A, ou la quantité a, par hypothèse, une valeur constante égale à 0. On voit par-là que représente une chaleur excédente qui est d’abord accumulée dans le prisme, et qui ensuite s’évanouit, soit en se propageant à l’infini, soit en se dissipant dans le milieu. Ainsi pour représenter l’effet qui résulte de réchauffement uniforme de l’extrémité A d’une ligne infiniment prolongée, il faut concevoir 1o que cette ligne est aussi prolongée à la gauche du point A, et que chaque point situé à droite est présentement affecté de la température initiale excédente ; 2o que l’autre moitié de la ligne à la gauche du point A est dans un état contraire ; en sorte qu’un point placé à la distance du point A a pour température initiale ensuite la chaleur commence à se mouvoir librement dans l’intérieur de la barre, et à se dissiper à la surface. Le point A conserve la température 0, et tous les autres points parviennent insensiblement au même état. C’est ainsi que l’on peut ramener le cas où le foyer extérieur communique incessamment une nouvelle chaleur, à celui où la chaleur primitive se propage dans l’intérieur du solide. On pourrait donc résoudre la question proposée de la même manière que celle de la diffusion de la chaleur, articles (347) et (353) ; mais afin de multiplier les moyens de résolution dans une matière aussi nouvelle, on employera l’intégrale sous une forme différente de celle
que nous avons considérée jusqu’ici.364.
On satisfait à l’équation en supposant égale à Or cette dernière fonction de et peut être mise sous la forme d’intégrale définie, ce qui se déduit très-facilement de la valeur connue de On a en effet lorsque l’intégrale est prise de à On aura donc aussi étant une constante quelconque et les limites de l’intégrale étant les mêmes qu’auparavant. De l’équation
on conclut, en faisant
donc la valeur précédente de ou équivaut à
on pourrait aussi supposer égale à la fonction
et étant deux constantes quelconques ; et l’on trouvera de même que cette fonction équivaut à
On peut donc prendre en général pour valeur de la somme d’une infinité de valeurs semblables, et l’on aura
Les constantes etc., et etc. étant indéterminées, la série représente une fonction quelconque de
L’intégrale doit être prise de à , et la valeur de satisfera nécessairement a l’équation Cette intégrale, qui contient une fonction arbitraire, n’était point connue lorsque nous avons entrepris nos recherches sur la théorie de la chaleur, qui ont été remises à l’Institut de France dans le mois de décembre 1807 : elle a été donnée par M. Laplace, dans un ouvrage qui fait partie du tome VI des Mémoires de l’école polytechnique ; nous ne faisons que l’appliquer à la détermination du mouvement linéaire de la chaleur. On en conclut
lorsque la valeur de est ou donc et Ainsi la fonction arbitraire qui entre dans l’intégrale, est déterminée au moyen de la fonction donnée et l’on a l’équation suivante, qui contient la solution de la question
il est facile de représenter ce résultat par une construction.
365.
Nous appliquerons la solution précédente au cas où tous les points de la ligne AB ayant la température initiale 0, on échauffe l’extrémité A pour la retenir continuellement à la température 1. Il en résulte que a une valeur nulle lorsque diffère de 0. Ainsi équivaut à toutes les fois que diffère de 0, et à 0, lorsque est nulle. D’un autre côté il est nécessaire qu’en faisant négative, la valeur de change de signe, en sorte que l’on a la condition On connaît ainsi la nature de la fonction discontinue elle est lorsque surpasse 0, et lorsque est moindre que 0. Il faut maintenant écrire au lieu de la quantité Pour trouver ou on prendra d’abord l’intégrale depuis
et ensuite depuis jusqu’à Pour la première partie on a
et remplaçant par sa valeur on a
En désignant par la quantité l’expression
précédente est cette intégrale
doit être prise par hypothèse depuis
ou depuis
la seconde partie de l’intégrale est
en désignant par la quantité L’intégrale
doit être prise d’après l’hypothèse depuis
Ces deux premières limites peuvent, d’après la nature de la
fonction , être remplacées par celles-ci :
Il suit de là que la valeur de est exprimée ainsi :
la première intégrale doit être prise depuis
et la seconde depuis
Représentons maintenant par l’intégrale depuis jusqu’à et l’on aura
donc qui équivaut à a pour expression
La fonction désignée par est connue depuis long-temps
et l’on peut calculer facilement, soit au moyen des séries convergentes, soit par les fractions continues, les différentes valeurs que reçoit cette fonction, lorsqu’on met au milieu de des quantités données ; ainsi l’application numérique
de la solution n’est sujette à aucune difficulté.366.
Si l’on fait nulle, on a
Cette équation représente la propagation de la chaleur dans une barre infinie, dont tous les points étaient d’abord à la température 0, et dont l’extrémité est élevée et entretenue à la température constante 1. On suppose que la chaleur ne peut se dissiper par la surface extérieure de la barre ; ou, ce qui est la même chose, que cette barre a une épaisseur infiniment grande. Cette dernière valeur de fait donc connaître la loi suivant laquelle la chaleur se propage dans un solide terminé par un plan infini, en supposant que ce mur infiniment épais, a d’abord dans toutes ses parties une température constante initiale 0, et que l’on assujettit la surface à une température constante 1. Il ne sera point inutile de faire observer quelques résultats de cette solution.
En désignant par l’intégrale prise depuis jusqu’à ; on a lorsque est une quantité positive,
donc
en développant l’intégrale on a
donc
1o Si l’on suppose nulle, on trouvera ; 2o si n’étant point nulle, on suppose ; la somme des termes qui contiennent représente l’intégrale prise depuis jusqu’à et par conséquent équivaut à donc est nulle ; 3o différents points du solide placés à des profondeurs différentes etc., parviennent à une même température après des temps différents etc., qui sont proportionnels aux quarrés des longueurs etc. ; 4o Pour comparer les quantités de chaleur qui traversent pendant un instant infiniment petit une section placée dans l’intérieur du solide à la distance du plan échauffé, on prendra la valeur de la quantité et l’on aura
ainsi l’expression de la quantité est entièrement dégagée
du signe intégral. La valeur précédente à la surface du solide
échauffé est ce qui fait connaître comment le
flux de chaleur à la surface varie avec les quantités
pour trouver combien le foyer communique de chaleur au
solide pendant un temps écoulé on prendra l’intégrale
ainsi la chaleur acquise croît proportionnellement à la racine
quarrée du temps écoulé.
367.
On peut traiter par une analyse semblable la question de la diffusion de la chaleur qui dépend aussi de l’intégration de l’équation On représentera par la température initiale d’un point de la ligne placée à la distance de l’origine, et l’on cherchera à déterminer quelle doit être la température de ce même point après un temps faisant on aura et par conséquent Lorsque on doit avoir
Pour appliquer cette expression générale, au cas où une partie de la ligne depuis jusqu’à est uniformément échauffée, tout le reste du solide étant à la température 0, il faut considérer que le facteur qui multiplie a, selon l’hypothèse, une valeur constante 1, lorsque la quantité qui est sous le signe de la fonction est comprise entre et , et que toutes les autres valeurs de ce facteur sont nulles. Donc l’intégrale doit être prise depuis jusqu’à ou depuis jusqu’à En désignant comme ci-dessus par l’intégrale prise depuis jusqu’à on aura
368.
Nous appliquerons encore l’équation générale
au cas où la barre infinie échauffée par un foyer d’une intensité
constante 1 est parvenue à des températures fixes, et se refroidit ensuite librement dans un milieu entretenu
à la température 0. Pour cela il suffit de remarquer que la
fonction initiale désignée par équivaut à tant
que la variable qui est sous le signe de fonction est positive,
et que cette même fonction équivaut à lorsque
la variable qui est affectée du signe est moindre que
0. Donc
la première intégrale doit être prise depuis
et la seconde depuis
La première partie de la valeur de est
en faisant L’intégrale doit être prise depuis
La seconde partie de la valeur de est
en faisant L’intégrale doit être prise de
on en conclut l’expression suivante :
369.
On a obtenu art. (367) l’équation
pour exprimer la loi de la diffusion de la chaleur dans une barre peu épaisse, échauffée uniformément à son milieu entre les limites données On avait précédemment résolu la même question en suivant une méthode différente, et l’on était parvenu, en supposant à l’équation
Pour comparer ces deux résultats, on supposera dans l’un
et l’autre désignant encore par l’intégrale
prise depuis jusqu’à , on a
d’un autre côté on doit avoir
Or l’intégrale prise depuis jusqu’à
a une valeur connue, étant un nombre entier positif.
On a en général
l’équation précédente donne donc, en faisant
Cette équation est la même que la précédente, lorsqu’on
suppose On voit par-là que ces intégrales, que l’on a
obtenues par des procédés différents, conduisent aux mêmes
séries convergentes, et l’on parvient aussi à deux résultats
identiques, quelle que soit la valeur de
On pourrait, dans cette question comme dans la précédente, comparer les quantités de chaleur qui, dans un instant donné, traversent différentes sections du prisme échauffé, et l’expression générale de ces quantités ne contient aucun signe d’intégration ; mais, sans s’arrêter à ces remarques, on terminera cette section par la comparaison des différentes formes que l’on a données à l’intégrale de l’équation qui représente la diffusion de la chaleur dans une ligne infinie.
370.
Pour satisfaire à l’équation on peut supposer et en gênerai on en déduit facilement, art. 364, l’intégrale
De l’équation connue on conclut celle-ci
Cette équation a lieu, quelle que soit la valeur de On peut développer le premier membre ; et, par la comparaison des termes, on obtiendra les valeurs déjà connues de l’intégrale Cette valeur est nulle lorsque est impair, et l’on trouve, lorsque est un nombre pair
371.
On a employé précédemment pour l’intégrale de l’équation l’expression
ou celle-ci
etc. et etc. étant deux séries de constantes arbitraires. Il est aisé de voir que chacun de ces termes équivaut à l’intégrale ou
En effet, pour déterminer la valeur de l’intégrale
on lui donnera la forme suivante :
ou celle-ci,
qui équivaut à
l’intégrale prise depuis jusqu’à est on a donc pour la valeur de l’intégrale la quantité et en général
on déterminera de la même manière l’intégrale
dont la valeur est
On voit par-là que l’intégrale
équivaut à
La valeur de la série représente, comme on l’a vu précédemment,
une fonction quelconque de ainsi l’intégrale
générale sera exprimée ainsi :
Au reste, l’intégrale de l’équation peut être présentée sous divers autres formes. Toutes ces expressions sont nécessairement identiques.
SECTION DEUXIÈME.
Du mouvement libre de la chaleur dans un solide infini.
372.
L’intégrale de l’équation fournit immédiatement celle de l’équation à quatre variables
comme nous l’avons déjà remarqué en traitant la question
de la propagation de la chaleur dans un cube solide. C’est
pour cela qu’il suffit en général de considérer l’effet de la
diffusion dans le cas linéaire. Lorsque les corps n’ont point
leurs dimensions infinies, la distribution de la chaleur est
continuellement troublée par le passage du milieu solide
au milieu élastique ; ou, pour employer les expressions
propres à l’analyse, la fonction qui détermine la température
ne doit pas seulement satisfaire à l’équation aux différences
partielles et à l’état initial ; elle est encore assujettie
à des conditions qui dépendent de la figure de la surface.
Dans ce cas l’intégrale a une forme plus difficile à connaître,
et il faut examiner la question avec beaucoup plus de soin
pour passer du cas d’une coordonnée linéaire à celui des
trois coordonnées orthogonales : mais lorsque la masse solide
n’est point interrompue, aucune condition accidentelle ne
s’oppose à la libre diffusion de la chaleur. Cet élément se
meut de la même manière dans tous les sens.
La température variable d’un point d’une ligne infinie est exprimée par l’équation
désigne la distance entre un point fixe O, et le point m,
dont la température équivaut à après le temps écoulé
On suppose que la chaleur ne peut se dissiper par la surface
extérieure de la barre infinie, et l’état initial de cette
barre est exprimé par l’équation L’équation différentielle
à laquelle la valeur de v doit satisfaire est celle-ci :
Mais pour simplifier le calcul, on écrit
Ce qui suppose que l’on emploie au lieu de une autre indéterminée
égal à
Si dans une fonction de et de constantes on substitue à et si, après avoir multiplié par on intègre par rapport à entre des limites infinies, l’expression ) satisfera, comme on l’a démontré plus haut, à l’équation différentielle ; c’est-à-dire que cette expression a la propriété de donner une même valeur pour la fluxion seconde par rapport à x, et pour la fluxion première par rapport à D’après cela il est évident qu’une fonction de trois variables jouira d’une semblable propriété, si l’on substitue au lieu de les quantités
et si l’on intègre après avoir multiplié par
En effet, la fonction que l’on forme ainsi,
donnera trois termes pour la fluxion par rapport à et
ces trois termes sont ceux que l’on trouverait en prenant
la fluxion seconde pour chacune des trois variables
Donc l’équation
donne une valeur de qui satisfait à l’équation aux différences
partielles
373.
Supposons maintenant qu’une masse solide sans figure, (c’est-à-dire qui remplit l’espace infini) contienne une quantité de chaleur dont la distribution actuelle est connue. Soit l’équation qui exprime cet état initial et arbitraire, en sorte que la molécule dont les coordonnées sont à une température initiale égale à la valeur de la fonction donnée On peut se représenter que la chaleur initiale est contenue dans une certaine partie de la masse dont le premier état est donné au moyen de l’équation et que tous les autres points ont une température initiale nulle. Il s’agit de connaître quel sera, après un temps donné, le système des températures. Il faut par conséquent exprimer la température variable par une fonction qui doit satisfaire à l’équation générale (A) et à la condition Or la valeur de cette fonction est donnée par l’intégrale
En effet, cette fonction satisfait à l’équation (A), et si
l’on y fait on trouve
ou, en achevant les intégrations,
374.
Puisque la fonction ou représente l’état initial lorsqu’on y fait et qu’elle satisfait à l’équation différentielle de la propagation de la chaleur, elle représente aussi l’état du solide qui a lieu au commencement du second instant, et en faisant varier le second état, on en conclut que la même fonction représente le troisième état du solide, et tous les états subséquens. Ainsi la valeur de que l’on vient de déterminer, contenant une fonction entièrement arbitraire des trois variables donne la solution de la question ; et l’on ne peut supposer qu’il y ait une expression plus générale, quoique d’ailleurs la même intégrale puisse être mise sous des formes très-diverses.
Au lieu d’employer l’équation
On pourrait donner une autre forme à l’intégrale de l’équation
et il serait toujours facile d’en déduire
l’intégrale qui convient au cas des trois dimensions. Le résultat
que l’on obtiendrait serait nécessairement le même que le
précédent.
Pour donner un exemple de ce calcul nous ferons usage de la valeur particulière qui nous a servi à former l’intégrale exponentielle.
Reprenant donc l’équation nous donnerons à la valeur très-simple qui satisfait évidemment à l’équation différentielle En effet, on en tire et Donc l’intégrale
convient aussi à l’équation car cette valeur de est
formée de la somme d’une infinité de valeurs particulières.
Or, l’intégrale
est connue, et l’on sait qu’elle équivaut à (Voyez l’article suivant.) Cette dernière fonction de et convient donc aussi avec l’équation différentielle Il est d’ailleurs très-facile de reconnaître immédiatement que la valeur particulière satisfait à l’équation dont il s’agit.
Ce même résultat aura lieu si l’on remplace la variable par étant une constante quelconque. On peut donc employer comme valeur particulière la fonction dans laquelle on attribue à une valeur quelconque. Par conséquent la somme satisfait aussi à l’équation différentielle ; car cette somme se compose d’une infinité de valeurs particulières de la même forme, multipliées par des constantes arbitraires. Donc on peut prendre pour valeur de dans l’équation celle-ci :
étant un coëfficient constant. Si dans cette dernière intégrale on suppose en faisant aussi on
On voit par-là comment l’emploi des valeurs particulières
conduit à l’intégrale sous forme finie.
375.
La relation qu’ont entre elles ces deux valeurs particulières, se découvre lorsqu’on détermine l’intégrale
Pour effectuer l’intégration, on pourrait développer le facteur
et intégrer par rapport à On obtient ainsi
une série qui représente un développement connu ; mais on
déduit plus facilement ce résultat de l’analyse suivante.
L’intégrale se rapporte à celle-ci :
en supposant et On a ainsi
On écrira maintenant
Or chacune des intégrales qui entrent dans ces deux termes
équivaut à En effet, on a en général
et par conséquent
quelle que soit la constante On trouve donc, en faisant
donc |
et mettant pour sa valeur on aura
Au reste la valeur particulière est assez simple pour
qu’elle se présente immédiatement sans qu’il soit nécessaire de la déduire de celle-ci Quoi qu’il en soit, il est certain que la fonction satisfait à l’équation différentielle il en est de même par conséquent de
la fonction quelle que soit la quantité376.
Pour passer au cas des trois dimensions, il suffit de multiplier la fonction en et par deux autres fonctions semblables l’une en et le produit doit évidemment satisfaire à l’équation On prendra donc pour la valeur ainsi exprimée
Si maintenant on multiplie le second membre par et par une fonction quelconque des quantités on trouvera, en indiquant l’intégration, une valeur de formée de la somme d’une infinité de valeurs particulières multipliées par des constantes arbitraires.
Il suit de là que la fonction peut être ainsi exprimée :
Cette équation contient l’intégrale générale de la proposée (A) : le procédé qui nous a conduit à cette intégrale doit être remarqué par ce qu’il s’applique aux cas les plus variés ; il est principalement utile lorsque l’intégrale doit satisfaire à des conditions relatives à la surface. En l’examinant avec attention on reconnaîtra que les transformations qu’il exige sont toutes indiquées par la nature physique de la question. On peut aussi, dans l’équation changer d’indéterminées, en prenant
on aura, en multipliant le second membre par un coëfficient constant
Prenant les trois intégrales entre les limites et et faisant afin de connaître l’état initial, on trouvera Ainsi, en représentant les températures initiales connues par et donnant à la constante la valeur on parviendra à l’intégrale
qui est la même que celle de l’article (372).
L’intégrale de l’équation (A) peut être mise sous plusieurs autres formes parmi lesquelles on choisit celle qui convient le mieux à la question que l’on se propose de résoudre. Il faut observer en général, dans ces recherches, que deux fonctions sont les mêmes lorsqu’elles satisfont l’une et l’autre à l’équation différentielle (A), et lorsqu’elles sont égales pour une valeur déterminée du temps. Il suit de ce principe que les intégrales, qui se réduisent, lorsque y fait à une fonction arbitraire ont toutes le même degré de généralité ; elles sont nécessairement identiques.
Le second membre de l’équation différentielle était multiplié par et l’on a supposé dans l’équation ce coëfficient égal à l’unité. Il suffira, pour rétablir cette quantité dans le calcul, d’écrire au lieu de dans l’intégrale ou dans l’intégrale (I). Nous indiquerons maintenant quelques-unes des conséquences que l’on déduit de ces équations.
377.
La fonction qui sert d’exposant au nombre ne peut représenter qu’un nombre absolu, ce qui suit des principes généraux du calcul, comme on l’a prouvé explicitement dans la section IX du chapitre II page 152. Si dans cet exposant on remplace l’indéterminée par on voit que les dimensions de et par rapport à l’unité de longueur étant , 0, et 0, la dimension du dénominateur est 2 comme celle de chaque terme du numérateur, en sorte que la dimension totale de l’exposant est 0. Considérons le cas où la valeur du temps augmente de plus en plus, et pour simplifier cet examen, employons d’abord l’équation
qui représente la diffusion de la chaleur dans une ligne infinie.
Supposons que la chaleur initiale est contenue dans
une portion donnée de la ligne, depuis jusqu’à
et que l’on attribue à une valeur déterminée
qui fixe la position d’un certain point m de cette ligne. Si
le temps croît sans limite, les termes et qui
entrent dans l’exposant deviendront des nombres absolus
de plus en plus petits, en sorte que, dans le produit
On pourra omettre les deux derniers facteurs qui se confondent sensiblement avec l’unité. On trouvera ainsi,
C’est l’expression de l’état variable de la ligne après un
temps très-long ; elle s’applique à toutes les parties de cette
ligne qui sont moins éloignées de l’origine que le point m.
L’intégrale définie désigne la quantité de chaleur
totale B contenue dans le solide, et l’on voit que la distribution
primitive n’a plus d’influence sur les températures après un temps très-long. Elles ne dépendent plus que de
la somme B, et non de la loi suivant laquelle la chaleur a
été répartie.
378.
Si l’on suppose qu’un seul élément placé à l’origine a reçu la température initiale et que tous les autres avaient la température 0, le produit sera équivalent à l’intégrale ou B. La constante sera extrêmement grande. puisqu’on suppose la ligne très-petite.
L’équation représente le mouvement qui aurait lieu, si un seul élément placé à l’origine eût été échauffé. En effet, si l’on donne à une valeur quelconque non infiniment petite, la fonction sera nulle lorsqu’on supposera Il n’en sera pas de même si la valeur de est nulle. Dans ce cas la fonction reçoit au contraire une valeur infinie, si On connaîtra distinctement la nature de cette fonction, si l’on applique les principes généraux de la théorie des surfaces courbes à la surface qui aurait pour équation
L’équation exprime donc la température variable d’un point quelconque du prisme, lorsqu’on suppose toute la chaleur initiale réunie dans un seul élément placé à l’origine. Cette hypothèse, quoique particulière, appartient à une question générale, parce qu’après un temps assez long, l’état variable du solide est toujours le même que si la chaleur initiale eût été rassemblée à l’origine. La loi suivant laquelle la chaleur a été distribuée, influe beaucoup sur les températures variables du prisme ; mais cet effet s’affaiblit de plus en plus, et finit par devenir entièrement insensible.
379.
Il est nécessaire de remarquer que l’équation réduite ne s’applique point à la partie de la ligne qui est placée au-delà du point m dont la distance a été désignée par En effet, quelque grande que soit la valeur de temps, on pourrait choisir une valeur de telle que le terme différât sensiblement de l’unité, et alors ce facteur ne doit pas être supprimé. Il faut donc se représenter que l’on a marqué de part et d’autre de l’origine O deux points, m et m’, placés à une certaine distance ou et que l’on augmente de plus en plus la valeur du temps, en observant les états successifs de la partie de la ligne qui est comprise entre m et m’. Cet état variable convergera de plus en plus vers celui qui est exprimé par l’équation
Quelle que soit la valeur attribuée à on pourra toujours
trouver une valeur du temps assez grande pour que l’état
de la ligne m’Om ne diffère pas sensiblement de celui qu’exprime l’équation précédente Si l’on demande que
cette même équation s’applique à d’autres parties plus
éloignées de l’origine, il faudra supposer une valeur du
temps plus grande que la précédente.
L’équation qui exprime dans tous les cas l’état final d’une ligne quelconque, fait voir qu’après un temps extrêmement long, les divers points acquièrent des températures presqu’égales, et que les températures d’un même point finissent par varier, en raison inverse de la racine quarrée des temps écoulés depuis le commencement de la diffusion. Les décroissements de la température d’un point quelconque deviennent toujours proportionnels aux accroissements du temps.
380.
Si l’on faisait usage de l’intégrale
pour connaître l’état variable des points de la ligne placés
à une grande distance de la portion échauffée, et que, pour
exprimer cette dernière condition, on supprimât encore le
facteur les conséquences que l’on obtiendrait
ne seraient pas exactes. En effet, en supposant que la portion
échauffée s’étende seulement depuis jusqu’à
et que la limite soit très-petite par rapport à la distance
du point dont on veut déterminer la température ; la
quantité qui forme l’exposant se réduit en effet à c’est-à-dire que la raison des deux quantités
approche d’autant plus de l’unité que la valeur de est
plus grande par rapport à celle de : mais il ne s’ensuit
pas que l’on puisse remplacer l’une de ces quantités par
l’autre dans l’exposant de En général l’omission des termes
subordonnés ne peut point avoir lieu ainsi dans les expressions
exponentielles ou trigonométriques. Les quantités
placées sous les signes de sinus ou de cosinus, ou sous le
signe exponentiel sont toujours des nombres absolus, et
l’on ne peut omettre que les parties de ces nombres, dont
la valeur est extrêmement petite ; leurs valeurs relatives ne
sont ici d’aucune considération. Pour juger si l’on peut
réduire l’expression
il ne faut pas examiner si le rapport de à est très-grand,
mais si les termes sont des nombres très-petits.
Cette condition a toujours lieu lorsque le temps écoulé
est extrêmement grand ; mais elle ne dépend point du rapport
381.
Supposons maintenant que l’on veuille connaître combien il doit s’écouler de temps pour que les températures de la partie du solide, comprise depuis jusqu’à puissent être représentées à très-peu près par l’équation réduite
et que 0 et soient les limites de la portion primitivement
échauffée.
La solution exacte est donnée par l’équation
et la solution approchée est donnée par l’équation
désignant la valeur de la conducibilité. Pour que
l’équation puisse être en général substituée à la précédente
il faut que le facteur qui est celui que
l’on omet, diffère très-peu de l’unité ; car s’il était 1 ou
on pourrait craindre de commettre une erreur égale à la
valeur calculée, ou à la moitié de cette valeur. Soit donc
étant une petite fraction, comme ou
on en conclura la condition
et si la plus grande valeur que puisse recevoir la variable
est très-petite par rapport à on aura
On voit par ce résultat que plus les points dont on veut déterminer la température au moyen de l’équation réduite, sont éloignés de l’origine, plus il est nécessaire que la valeur du temps écoulé soit grande. Ainsi la chaleur tend de plus en plus à se distribuer suivant une loi indépendante de réchauffement primitif. Après un certain temps, la diffusion est sensiblement opérée, c’est-à-dire que l’état du solide ne dépend plus que de la quantité de la chaleur initiale, et non de la distribution qui en avait été faite. Les températures des points assez voisins de l’origine ne tardent pas à être représentées sans erreur par l’équation réduite mais il n’en est pas de même des points très-distants de ce foyer. On ne peut alors faire usage de la même équation que si le temps écoulé est extrêmement long. Les applications numériques rendront cette remarque plus sensible.
382.
Supposons que la substance dont le prisme est formé, est le fer, et que la portion de ce solide qui a été échauffée a un décimètre d’étendue, en sorte que Si l’on veut connaître quelle sera, après un temps donné, la température d’un point m dont la distance à l’origine est un mètre, et si l’on emploie pour ce calcul l’intégrale approchée on commettra une erreur d’autant plus grande que la valeur du temps sera moindre. Cette erreur sera plus petite que la centième partie de la quantité cherchée, si le temps écoulé surpasse trois jours et demi.
Dans ce cas la distance comprise entre l’origine O et le point m dont on détermine la température, est seulement dix fois plus grande que la portion échauffée. Si ce rapport est cent au lieu d’être dix, l’intégrale réduite donnera la température à moins d’un centième près, lorsque la valeur du temps écoulé surpassera un mois. Pour que l’approximation soit admissible, il est nécessaire, en général, 1o que la quantité ne puisse équivaloir qu’à une très-petite fraction comme ou au plus ; 2o que l’erreur qui en doit résulter ait une valeur absolue beaucoup moindre que les petites quantités que l’on observe avec les thermomètres les plus sensibles.
Lorsque les points que l’on considère sont très-éloignés de la portion du solide qui a été primitivement échauffée, les températures qu’il s’agit de déterminer sont extrêmement petites ; ainsi l’erreur que l’on commettrait en se servant de l’équation réduite, aurait une très-petite valeur absolue ; mais il ne s’ensuit pas que l’on soit autorisé à faire usage de cette équation. Car si l’erreur commise, quoique très-petite, surpasse ou égale la quantité cherchée ; ou même si elle en est la moitié ou le quart, ou une partie notable, l’approximation doit être rejetée. Il est manifeste que dans ce cas l’équation approchée n’exprimerait point l’état du solide, et que l’on ne pourrait point s’en servir pour déterminer les rapports des températures simultanées de deux ou plusieurs points.
383.
Il suit de cet examen que l’on ne doit point conclure de l’intégrale que la loi de la distribution primitive n’influe pas sur la température des points très-éloignés de l’origine. L’effet résultant de cette distribution cesse bientôt d’avoir lieu pour les points voisins de la portion échauffée ; c’est-à-dire que leur température ne dépend plus que de la quantité de chaleur initiale, et non de la répartition qui en avait été faite : mais la grandeur de la distance ne concourt point à effacer l’empreinte de la distribution, elle la conserve au contraire pendant un très-long temps et retarde la diffusion de la chaleur. Ainsi l’équation
ne représente les températures des points extrêmement
éloignés de la partie échauffée, qu’après un temps immense.
Si on l’appliquait sans cette condition, on trouverait des
résultats doubles ou triples des véritables ou même incomparablement
plus grands ou plus petits ; et cela n’aurait pas
lieu seulement pour des valeurs très-petites du temps ; mais
pour de grandes valeurs, telles que, une heure, un jour,
une année. Enfin cette expression serait d’autant moins
exacte, toutes choses égales d’ailleurs, que les points seraient
plus éloignés de la partie primitivement échauffée.
384.
Lorsque la diffusion de la chaleur s’opère dans tous les sens, l’état du solide est représenté comme on l’a vu par l’intégrale
Si la chaleur initiale est contenue dans une portion déterminée
de la masse solide, on connaîtra les limites qui comprennent
cette partie échauffée, et les quantités qui
varient sous le signe intégral, ne pourront point recevoir
de valeurs qui excèdent ces limites. Supposons donc que
l’on marque sur les trois axes six points dont les distances
sont et et que l’on considère
les états successifs du solide compris entre les six
plans qui passent à ces distances ; on voit que l’exposant de
sous le signe d’intégration, se réduit à
lorsque la valeur du temps écoulé augmente sans borne. En
effet, les termes tels que et reçoivent dans ce
cas des valeurs absolues très-petites, parce que les numérateurs
sont compris entre des limites fixes, et que les dénominateurs
croissent à l’infini. Ainsi les facteurs que l’on
omet diffèrent extrêmement peu de l’unité. Donc l’état variable
du solide, après une grande valeur du temps, a pour
expression
Le facteur représente la quantité
totale de chaleur B que le solide contient. Ainsi le système des températures ne dépend point de la distribution de la chaleur initiale, mais seulement de sa quantité. On pourrait supposer que toute la chaleur initiale était contenue dans un seul élément prismatique placé à l’origine, et dont les dimensions, orthogonales et extrêmement petites seraient La température initiale de cet élément serait désignée par un nombre extrêmement grand et toutes les autres molécules du solide auraient une température initiale nulle. Le
produit équivaut dans ce cas à l’intégraleQuelque soit réchauffement initial, l’état du solide qui correspond à une valeur du temps très-grande, est le même que si toute la chaleur avait été réunie dans un seul élément placé à l’origine.
385.
Supposons maintenant que l’on ne considère que les points du solide dont la distance à l’origine est très-grande par rapport aux dimensions de la partie échauffée ; on pourrait d’abord penser que cette condition suffit pour réduire l’exposant de dans l’intégrale générale. En effet cet exposant est et les variables sont, par hypothèse, comprises entre des limites déterminées, en sorte que leurs valeurs sont toujours extrêmement petites, par rapport à la plus grande coordonnée d’un point très-éloigné de l’origine. Il suit de là que l’exposant de se compose de deux parties , dont l’une est très-petite par rapport à l’autre. Mais de ce que le rapport est une très-petite fraction, on ne peut pas conclure que l’exponentielle devienne égale à ou n’en diffère que d’une quantité très-petite par rapport à sa propre valeur. Il ne faut point considérer les valeurs relatives de et mais seulement la valeur absolue de Pour que l’on puisse réduire l’intégrale exacte à l’équation
il est nécessaire que la quantité
dont la dimension est 0, soit toujours un nombre fort petit. Si l’on suppose que la distance de l’origine au point m dont on veut déterminer la température est très-grande par rapport à l’étendue de la partie qui a été d’abord échauffée, on examinera si la quantité précédente est toujours une très-petite fraction Il faut que cette condition soit satisfaite, pour que l’on puisse employer l’intégrale approchée mais cette équation ne représente point l’état variable de la partie de la masse qui est très-distante du foyer. Elle donne au contraire un résultat d’autant moins exact, toutes choses d’ailleurs égales, que les points dont on détermine la température sont plus éloignés du foyer.
La chaleur initiale contenue dans une portion déterminée de la masse solide pénètre successivement les parties voisines, et se répand dans tous les sens ; il n’en parvient qu’une quantité extrêmement petite aux points dont la distance à l’origine est très-grande. Lorsqu’on exprime par l’analyse la température de ces points, l’objet du calcul n’est pas de déterminer en nombre ces températures, qui ne sont point mesurables, mais de connaître leurs rapports. Or ces quantités dépendent certainement de la loi suivant laquelle la chaleur initiale a été distribuée, et l’effet de cette répartition initiale dure d’autant plus que les parties du prisme sont plus éloignées du foyer. Mais si les termes qui font partie de l’exposant, tels que et ont des valeurs absolues qui décroissent sans limite, on doit employer les intégrales approchées.
Cette condition a lieu dans les questions où l’on se propose de déterminer les plus hautes températures des points très-éloignés de l’origine. En effet on peut démontrer que dans ce cas les valeurs du temps croissent dans un plus grand rapport que les distances, et qu’elles sont proportionnelles au quarré de ces distances, lorsque les points que l’on considère sont très-éloignés de l’origine. Ce n’est qu’après avoir établi cette proposition qu’on peut opérer la réduction sous l’exposant. Les questions de ce genre seront l’objet de la section suivante.
SECTION III.
Des plus hautes températures dans un solide infini.
386.
Nous considérerons en premier lieu le mouvement linéaire dans une barre infinie, dont une portion a été uniformément échauffée, et nous chercherons quelle doit être la valeur du temps écoulé pour qu’un point donné de cette ligne parvienne à sa plus haute température.
On désignera par l’étendue de la partie échauffée dont le milieu correspond avec l’origine O des distances Tous les points dont la distance à l’axe des est moindre que et plus grande que ont par hypothèse une température initiale commune et toutes les autres tranches ont la température initiale 0. On suppose qu’il ne se fait à la surface extérieure du prisme aucune déperdition de chaleur, ou, ce qui est la même chose, on attribue à la section perpendiculaire à l’axe des dimensions infinies. Il s’agit de connaître quel sera pour un point donné, dont la distance est le temps qui répond au maximum de température.
On a vu, dans les articles précédents, que la température variable d’un point quelconque est exprimée par l’équation
Le coëfficient représente étant la conducibilité
spécifique, la capacité de chaleur, et la densité. On fera pour simplifier le calcul, et dans le résultat on écrira
ou au lieu de L’expression de est donc
Elle est l’intégrale de l’équation La fonction
mesure la vitesse avec laquelle la chaleur s’écoule suivant
l’axe du prisme. Or cette valeur de est donnée dans la
question actuelle sans aucun signe d’intégrale. On a en effet
ou en achevant l’intégration
387.
La fonction peut donc aussi être exprimée sans signe d’intégrale ; or elle équivaut à la fluxion du premier ordre donc en égalant à zéro cette valeur de qui mesure l’accroissement instantané de la température d’un point quelconque, on aura la relation cherchée entre et On trouve ainsi
On a supposé Pour rétablir le coëfficient, il faut
écrire au lieu de et l’on a
Les plus hautes températures se succèdent suivant la loi exprimée par cette équation. Si l’on suppose qu’elle représente le mouvement varié d’un corps qui décrit une ligne droite, étant l’espace parcouru, et le temps écoulé, la vitesse du mobile sera celle du maximum de température.
Lorsque la quantité est infiniment petite, c’est-à-dire lorsque toute la chaleur initiale est réunie dans un seul élément placé à l’origine, la valeur de se réduit à et par la différentiation ou le développement en série, on trouve
On a fait abstraction de la quantité de chaleur qui se dissipe par la surface du prisme ; nous allons maintenant avoir égard à cette déperdition, et nous supposerons que la chaleur initiale est contenue dans un seul élément de la barre prismatique infinie.
388.
Dans la question précédente on a déterminé l’état variable d’un prisme infini dont une portion déterminée était affectée dans tous les points d’une température initiale On supposait que la chaleur initiale était distribuée dans une étendue finie depuis jusqu’à On suppose maintenant que la même quantité de chaleur est contenue dans un élément infiniment petit, depuis jusqu’à La température de la tranche échauffée sera donc et il résulte de ce qui a été dit précédemment, que l’état variable du solide sera exprimé par l’équation
ce résultat a lieu lorsque le coëfficient qui entre dans
l’équation différentielle est désigné
par Quant au coëfficient il équivaut à on désigne
par l’aire de la section du prisme, par le contour
de cette section, et par la conducibilité de la surface
extérieure. En substituant ces valeurs dans l’équation on a
représente la température moyenne initiale, c’est-à-dire celle qu’aurait un seul point, si l’on distribuait également
la chaleur initiale entre tous les points d’une portion de la
barre dont la longueur serait ou, plus simplement, l’unité
de mesure. Il s’agit de déterminer la valeur du temps écoulé
qui répond au maximum de température d’un point
donné.
Pour résoudre cette question, il suffit de déduire de l’équation la valeur de et de l’égaler à zéro, on aura
donc la valeur du temps qui doit s’écouler pour que le
point placé à la distance atteigne sa plus haute température,
est exprimé par l’équation
Pour connaître la plus haute température on remarquera que l’exposant de dans l’équation est Or l’équation donne donc et, mettant pour sa valeur connue, on a substituant cet exposant de dans l’équation on a
et remplaçant par sa valeur connue, on trouve, pour l’expression du maximum
Les équations et contiennent la solution de la question ; on remplacera et par leurs valeurs et on peut aussi écrire au lieu de en représentant par la demi-épaisseur du prisme dont la base est un quarré. On aura, pour déterminer et les équations
Ces équations s’appliquent au mouvement de la chaleur dans une barre peu épaisse, dont la longueur est très-grande. On suppose que le milieu de ce prisme a été aflecte d’une certaine quantité de chaleur qui se propage jusqu’aux extrémités, et se dissipe par la surface convexe. désigne le maximum de température pour le point dont la distance au foyer primitif est est le temps qui s’écoule depuis le commencement de la diffusion jusqu’à l’instant où la plus haute température a lieu. Les coëfficients désignent les mêmes propriétés spécifiques que dans les questions précédentes, et est le demi-côté du quarré formé par une section du prisme.
389.
Si l’on veut rendre ces résultats plus sensibles par une application numérique, on supposera que la substance dont le prisme est formé est le fer, et que le côté du quarré est la vingt-cinquième partie d’un mètre.
Nous avons mesuré autrefois, par nos expériences, les valeurs de celles de et étaient déjà connues. En prenant le mètre pour unité de longueur, et la minute sexagésimale pour unité de temps, et employant les valeurs approchées de on déterminera les valeurs de et de relatives à une distance donnée. Pour l’examen des conséquences que nous avons en vue, il n’est pas nécessaire de connaître les coëfficients avec une grande précision.
On voit d’abord que si la distance est d’environ un mètre et demi ou deux mètres, le terme qui entre sous le radical, a une grande valeur par rapport au second terme Le rapport de ces termes est d’autant plus grand que la distance est plus grande.
Ainsi la loi des plus hautes températures devient de plus en plus simple, à mesure que la chaleur s’éloigne de l’origine. Pour déterminer cette loi régulière qui s’établit dans toute l’étendue de la barre, il faut supposer que la distance est très-grande, et l’on trouve
390.
On voit par la seconde équation que le temps qui répond au maximum de température, croît proportionnellement à la distance. Ainsi la vitesse de l’onde (si toutefois on peut appliquer cette expression au mouvement dont il s’agit) est constante, ou plutôt elle le devient de plus en plus, et conserve cette propriété en s’éloignant à l’infini de l’origine de la chaleur.
On remarquera aussi dans la première équation que la quantité exprime les températures permanentes que prendraient les différents points de la barre, si l’on affectait l’origine d’une température fixe comme on peut le voir dans le chapitre 1, page 65.
Il faut donc, pour se représenter la valeur de concevoir que toute la chaleur initiale que le foyer contient, est également distribuée dans une portion de la barre dont la longueur est ou l’unité de mesure. La température qui en résulterait pour chaque point de cette portion, est en quelque sorte la température moyenne. Si l’on supposait que la tranche placée à l’origine fût retenue pendant un temps infini à la température constante toutes les autres tranches acquerraient des températures fixes dont l’expression générale est en désignant par la distance de la tranche. Ces températures fixes représentées par les ordonnées d’une logarithmique sont extrêmement petites, lorsque la distance est un peu considérable ; elles décroissent, comme on le sait, très-rapidement à mesure que l’on s’éloigne de l’origine. Or l’équation fait voir que ces températures fixes, qui sont les plus hautes, que chaque point puisse acquérir, surpassent beaucoup les plus hautes températures qui se succèdent pendant la diffusion de la chaleur. Pour déterminer ce dernier maximum, il faut calculer la valeur du maximum fixe, la multiplier par le nombre constant et diviser par la racine quarrée de la distance
Ainsi les plus hautes températures se succèdent dans toute l’étendue de la ligne, comme les ordonnées d’une logarithmique divisées par les racines quarrées des abscisses, et le mouvement de l’onde est uniforme. C’est suivant cette loi générale que la chaleur réunie en un seul point se propage dans le sens de la longueur du solide.
391.
Si l’on regardait comme nulle la conducibilité de la surface extérieure du prisme, ou si la conducibilité l’épaisseur étaient supposées infinies, on obtiendrait des résultats très-différents. On omettrait alors le terme et l’on aurait
Dans ce cas la valeur du maximum est en raison inverse de la distance. Ainsi le mouvement de l’onde ne serait point
uniforme. Il faut remarquer que cette hypothèse est purement
théorique, et que si la conducibilité n’est pas nulle,
mais seulement une quantité extrêmement petite, la vitesse
de l’onde n’est point variable dans les parties du prisme
qui sont très-éloignées de l’origine. En effet, quelque petite
que soit la valeur de si cette valeur est donnée ainsi
que celles de et et si l’on suppose que la distance
augmente sans limite, le terme deviendra toujours beaucoup
plus grand que Les distances peuvent d’abord être
assez petites pour que ce terme doive être
omis sous le radical. Alors les temps sont proportionnels aux
quarrés des distances : mais à mesure que la chaleur s’écoule
dans le sens de la longueur infinie, la loi de la propagation
s’altère, et les temps deviennent proportionnels aux distances.
La loi initiale, c’est-à-dire celle qui se rapporte aux
points extrêmement voisins du foyer, diffère beaucoup de
la loi finale qui s’établit dans les parties très-éloignées, et
jusqu’à l’infini : mais, dans les portions intermédiaires, les
plus hautes températures se succèdent suivant une loi mixte,
exprimée par les deux équations précédentes (D) et (C).
392.
Il nous reste à déterminer les plus hautes températures pour le cas où la chaleur se propage à l’infini, et en tout sens dans la matière solide. Cette recherche ne présente aucune difficulté d’après les principes que nous avons établis.
Lorsqu’une portion déterminée d’un solide infini a été échauffée, et que toutes les autres parties de la masse ont la température initiale 0, la chaleur se propage dans tous les sens, et après un certain temps l’état du solide est le même que si elle avait été primitivement réunie dans un seul point à l’origine des coordonnées. Le temps qui doit s’écouler pour que ce dernier effet ait lieu est extrêmement grand, lorsque les points de la masse sont très-éloignés de l’origine. Chacun de ces derniers points qui avait d’abord la température 0 s’échauffe insensiblement ; sa température acquiert ensuite la plus grande valeur qu’elle puisse recevoir ; et elle finit par diminuer de plus en plus, jusqu’à ce qu’il ne reste dans la masse aucune chaleur sensible. L’état variable est en général représenté par l’équation
les intégrales doivent être prises entre les limites
Les limites sont
données ; elles comprennent toute la portion du solide qui
a été primitivement échauffée. La fonction est
aussi donnée. Elle exprime la température initiale d’un point
dont les coordonnées sont Les intégrations définies
font disparaître les variables et il reste pour une
fonction de et des constantes. Pour déterminer le
temps qui répond au maximum de en un point m
donné, il faut tirer de l’équation précédente la valeur de
on formera ainsi une équation qui contient et les coordonnées du point m. On en pourra donc déduire la valeur
de Si l’on substitue ensuite cette valeur de au lieu de
dans l’équation (E), on connaîtra la valeur de la plus haute
température exprimée en et en constantes.
On écrira au lieu de l’équation (E)
en désignant par le produit des trois fonctions semblables,
on aura ensuite
393.
Il faut maintenant appliquer cette dernière expression aux points du solide qui sont très-éloignés de l’origine. Un point quelconque de la portion qui contient la chaleur initiale, a pour coordonnées les variables et le point m, dont on veut déterminer la température, a pour coordonnées Le quarré de la distance de ces deux points est et cette quantité entre comme facteur dans le second terme de \frac{dv}{dt}. Or le point m étant très-éloigné de l’origine, il est évident que sa distance Δ à un point quelconque de la portion échauffée, se confond avec la distance D de ce même point à l’origine ; c’est-à-dire que le point m s’éloignant de plus en plus du foyer primitif qui contient l’origine des coordonnées, la dernière raison des distances D et Δ est 1.
Il suit de là que dans l’équation qui donne la valeur de il faut remplacer le facteur par ou en désignant par la distance du point m à l’origine. On aura donc
Si l’on met pour sa valeur, et si l’on remplace par
afin de rétablir le coëfficient que l’on avait supposé égal
à 1, on aura
394.
Ce résultat ne convient qu’aux points du solide dont la distance à l’origine est très-grande par rapport à la plus grande dimension du foyer. Il faut toujours remarquer avec soin qu’il ne s’ensuit pas de cette condition que l’on puisse omettre les variables sous le signe exponentiel. On doit seulement les omettre hors de ce signe. Si l’on ne faisait point cette distinction on pourrait commettre une erreur considérable. En effet, le terme qui entre sous les signes d’intégration, et qui multiplie est le produit de plusieurs facteurs, tels que
Or il ne suffit pas que le rapport soit toujours un très-grand
nombre pour que l’on puisse supprimer les deux
premiers facteurs ; par exemple : si l’on suppose égal
à un décimètre, et égale à dix mètres, et si la
substance dans laquelle la chaleur se propage est le fer,
on voit qu’après neuf ou dix heures écoulées, le facteur
est encore plus grand que 2 ; donc, en le supprimant,
on s’exposerait à réduire le résultat cherché à la moitié de sa
valeur. Ainsi la valeur de telle qu’elle convient aux
points très-éloignés de l’origine, et pour un temps quelconque,
doit être exprimée par l’équation mais il n’en est
pas de même, si l’on ne considère que des valeurs du temps
extrêmement grandes, et qui croissent proportionnellement
au quarré des distances. Il faut d’après cette condition omettre
sous le signe exponentiel même, les termes qui contiennent
ou ou Or la condition a lieu lorsqu’on veut déterminer
la plus haute température qu’un point éloigné puisse
acquérir, comme nous allons le prouver.
395.
En effet la valeur de doit être nulle dans le cas dont il s’agit ; on aura donc
Ainsi le temps qui doit s’écouler pour qu’un point très-éloigné
acquierre sa plus haute température est proportionnel
au quarré de la distance de ce point à l’origine.
Si dans l’expression de on remplace le dénominateur par sa valeur l’exposant de qui est
peut se réduire à parce que les facteurs que l’on omet se
confondent avec l’unité.
On trouve par conséquent
L’intégrale représente la quantité
de chaleur initiale ; le volume de la sphère dont le rayon
est est en sorte qu’en désignant par température
que recevrait chaque molécule de cette sphère, si l’on distribuait
également entre ses parties toute la chaleur initiale,
on aura
Les résultats que nous avons exposés dans ce chapitre font connaître suivant quelle loi la chaleur contenue dans une portion déterminée d’un solide infini pénètre progressivement toutes les autres parties dont la température initiale était nulle. Cette question est résolue par une analyse plus simple que celle des chapitres précédents, parce qu’en attribuant au solide des dimensions infinies, on fait disparaître les conditions relatives à la surface, et que la principale difficulté consiste dans l’emploi de ces mêmes conditions. Les conséquences générales du mouvement de la chaleur dans une masse solide non terminée sont très-remarquables, parce que le mouvement n’est point troublé par l’obstacle des surfaces. Il s’accomplit librement, en vertu des propriétés naturelles de la chaleur. Cette analyse est, à proprement parler, celle de l’irradiation de la chaleur dans la matière solide.
SECTION IV.
Comparaison des intégrales.
396.
L’intégrale de l’équation de la propagation de la chaleur se présente sous différentes formes qu’il est nécessaire de comparer. Il est facile, comme on le voit dans la section deuxième de ce chapitre, pages 471 et 478, de ramener le cas des trois dimensions à celui du mouvement linéaire ; il suffit donc d’intégrer l’équation
ou celle-ci :
Pour déduire de cette équation différentielle les lois de la propagation de la chaleur dans un corps d’une figure déterminée, par exemple, dans une armille, il était nécessaire de connaître l’intégrale, et de l’obtenir sous une certaine forme propre à la question, et qui ne pourrait être suppléée par aucune autre. Cette intégrale a été donnée pour la première fois dans notre Mémoire remis à l’Institut de France le 21 décembre 1807 (page 124, art. 84) : elle consiste dans l’équation suivante, qui exprime le système variable des températures d’un anneau solide :
est le rayon de la circonférence moyenne de l’armille ; l’intégrale , par rapport à doit être prise depuis jusqu’à ou, ce qui donne le même résultat, depuis jusqu’à est un nombre entier quelconque, et la somme doit être prise depuis jusqu’à désigne la température que l’on observerait après le temps écoulé en chaque point d’une section séparée par l’arc de celle qui est à l’origine. On représente par la température initiale d’un point quelconque de l’anneau. Il faut donner à les valeurs successives
et au lieu de écrire
On obtient ainsi tous les termes de la valeur de Telle est la forme sous laquelle doit être mise l’intégrale de l’équation pour exprimer le mouvement variable de la chaleur dans une armille (chap. IV, page 272). On considère le cas où la forme et l’étendue de la section génératrice de l’armille sont telles, que les points d’une même section conservent des températures sensiblement égales. On suppose aussi qu’il ne se fait à la superficie de l’anneau aucune déperdition de la chaleur.
397.
L’équation s’appliquant à toutes les valeurs de on y peut supposer infini ; elle donne dans ce cas la solution de la question suivante : L’état initial d’un prisme solide d’une petite épaisseur et d’une longueur infinie, étant connu et exprimé par déterminer tous les états subséquents. On considère le rayon comme contenant un nombre de fois le rayon 1 des tables trigonométriques. Désignant par une variable qui devient successivement etc., le nombre infini sera exprimé par et le nombre variable par Faisant ces substitutions, on trouve
Les termes qui entrent sous le signe sont des quantités différentielles, en sorte que ce signe devient celui d’une intégrale définie ; et l’on a
Cette équation est une seconde forme de l’intégrale de l’équation elle exprime le mouvement linéaire de la chaleur dans un prisme d’une longueur infinie (chap. VII, page 441). Elle est une conséquence évidente de la première intégrale
398.
On peut, dans l’équation effectuer l’intégration définie par rapport à car on a, selon un lemme connu, et que l’on a démontré précédemment (art. 375),
Faisant donc on trouvera
donc l’intégrale de l’article précédent devient
Si l’on emploie au lieu de une autre indéterminée en faisant on trouve
Cette forme de l’intégrale de l’équation a été donnée par M. Laplace, dans le tome VIII des Mémoires de l’École polytechnique. Ce grand géomètre est parvenu à ce résultat en considérant la série infinie qui représente l’intégrale.
Chacune des équations exprime la diffusion linéaire de la chaleur dans un prisme d’une longueur infinie. Il est évident que ce sont trois formes d’une même intégrale, et qu’aucune ne peut être considérée comme plus générale que les autres. Chacune d’elles est contenue dans l’intégrale dont elle dérive en donnant à une valeur infinie.
399.
Il est facile de développer la valeur de déduite de l’équation en séries ordonnées suivant les puissances croissantes de l’une ou l’autre variable. Ces développements se présentent d’eux-mêmes, et nous pourrions nous dispenser de les rapporter ; mais ils donnent lieu à des remarques utiles pour la recherche des intégrales. En désignant par etc., les fonctions etc., on a
la constante représente ici une fonction quelconque de
En mettant pour sa valeur et continuant
toujours des substitutions semblables, on trouve
Dans cette série, désigne une fonction arbitraire en Si
l’on veut ordonner le développement de la valeur de
selon les puissances ascendantes de on écrira
et, désignant par etc., les fonctions
on aura d’abord et représentent ici deux fonctions quelconques de On mettra ensuite pour sa valeur et, pour sa valeur et ainsi de suite. On trouvera, par ces substitutions continuées,
Dans cette série, et désignent deux fonctions arbitraires de
Si dans cette série donnée par l’équation (X) on met, au lieu de et deux fonctions et et qu’on les développe selon les puissances ascendantes de en ordonnant le résultat total par rapport à ces mêmes puissances de on ne trouve qu’une seule fonction arbitraire de au lieu des deux fonctions et On doit cette remarque à M. Poisson, qui l’a donnée dans le tome VI des Mémoires de l’École polytechnique, pag. 110.
Réciproquement, si dans la série exprimée par l’équation (T) on développe la fonction selon les puissances de en ordonnant le résultat par rapport à ces mêmes puissances de les coëfficients de ces puissances se trouvent formés de deux fonctions entièrement arbitraires de ce que l’on peut aisément vérifier en faisant le calcul.
400.
La valeur de développée selon les puissances de ne doit en effet contenir qu’une fonction arbitraire en car l’équation différentielle montre clairement que, si l’on connaissait en fonction de la valeur de qui répond à les autres valeurs de cette fonction qui répondent aux valeurs subséquentes de seraient par cela même déterminées.
Il n’est pas moins évident que la fonction étant développée selon les puissances ascendantes de doit contenir deux fonctions entièrement arbitraires de la variable En effet, l’équation différentielle montre que, si l’on connaissait en fonction de la valeur de qui répond à une valeur déterminée de on ne pourrait pas en conclure les valeurs de qui répondent à toutes les autres valeurs de Il faudrait, de plus, que l’on donnât en fonction de la valeur de qui répond à une seconde valeur de par exemple à celle qui est infiniment voisine de la première. Alors tous les autres états de la fonction c’est-à-dire ceux qui répondent à toutes les autres valeurs de seraient déterminés. L’équation différentielle appartient à une surface courbe, l’ordonnée verticale d’un point quelconque étant et les deux coordonnées horizontales étant et Il suit évidemment de cette équation que la forme de la surface est déterminée, lorsqu’on donne la figure de la section verticale dans le plan qui passe par l’axe des et cela résulte aussi de la nature physique de la question : car il est manifeste que, l’état initial du prisme étant donné, tous les états subséquents sont déterminés. Mais on ne pourrait pas construire la surface, si elle était seulement assujettie à passer par une courbe tracée sur le premier plan vertical des et des Il faudrait de plus connaître la courbe tracée sur un second plan vertical parallèle au premier, et que l’on peut supposer extrêmement voisin. Les mêmes remarques s’appliquent à toutes les équations aux différences partielles, et l’on voit que l’ordre de l’équation ne détermine point pour tous les cas le nombre des fonctions arbitraires.
401.
La série (T) de l’art. 399, qui dérive de l’équation
peut être mise sous cette forme On développera
l’exponentielle selon les puissances de et l’on
écrira au lieu de en considérant
comme indice de différentiation. On aura ainsi
Suivant la même notation, la première partie de la série (X)
(art. 399), qui ne contient que des puissances paires de
sera exprimée sous cette forme : On développera selon les puissances de
et l’on écrira au lieu
de en considérant comme indice de différentiation.
La seconde partie de la série (X) se déduit de la première,
en intégrant par rapport à et changeant la fonction
en une autre fonction arbitraire Ou a donc
Ces notations abrégées et connues dérivent des analogies
qui subsistent entre les intégrales et les puissances. Quant
à l’usage que nous en faisons ici, il a pour objet d’exprimer
les séries, et de les vérifier sans aucun développement. Il
suffit de différentier sous les signes que cette notation emploie.
Par exemple, de l’équation on déduit,
en différentiant par rapport à seulement,
ce qui montre immédiatement que la série satisfait à l’équation
différentielle Pareillement, si l’on considère la
première partie de la série (X), en écrivant
on aura, en différentiant deux fois par rapport à seulement,
Donc cette valeur de satisfait à l’équation différentielle
On trouvera, de la même manière, que l’équation différentielle
donne pour l’expression de en série développée selon
les puissances croissantes de
Il faut développer par rapport à et écrire au lieu
de En effet, on déduit de cette valeur de
La valeur satisfait aussi à l’équation différentielle :
donc la valeur générale de est
402.
Si l’équation différentielle proposée est
et que l’on veuille exprimer en série ordonnée selon les
puissances de on désignera par la fonction
et l’équation étant on aura
En effet, on en conclut
Il faut développer la valeur précédente de selon les puissances de
écrire au lieu de
et regarder ensuite comme indice de différentiation.La valeur suivante satisfait à la même condition : ainsi la valeur la plus générale de est
est une fonction de trois variables. Si l’on fait on a et, désignant par on aura
Si l’équation proposée est
la valeur de en série ordonnée selon les puissances de sera en désignant par car on en déduit
La valeur générale de qui ne peut contenir que deux fonctions arbitraires de et est donc
Désignant par et par on a, pour déterminer les deux fonctions arbitraires,
403.
Si l’équation différentielle proposée est
on désignera par la fonction en sorte que
ou se formera en élevant le binôme au
quarré, et regardant les exposants comme indices de différentiation.
L’équation deviendra donc
et la valeur de ordonnée selon les puissances de sera
car on en tire
La valeur la plus générale de ne pouvant contenir que
deux fonctions arbitraires en et ce qui est une conséquence
évidente de la forme de l’équation, cette valeur
sera ainsi exprimée :
Les fonctions et sont déterminées comme il suit, en désignant
la fonction par et par
Enfin, soit l’équation différentielle proposée,
les coëfficients sont des nombres connus, et
l’ordre de l’équation est indéfini.
La valeur la plus générale de ne peut pas contenir plus d’une fonction arbitraire en : car il est évident, par la forme même de l’équation, que si l’on connaissait en fonction de la valeur de qui répond à toutes les autres valeurs de qui répondent aux valeurs successives de seraient déterminées. On aura donc, pour exprimer l’équation
On désigne par l’expression
c’est-à-dire que, pour former la valeur de il faudrait développer,
selon les puissances de la quantité
et écrire ensuite au lieu de en considérant les exposants
de comme des indices de différentiation. En effet, cette
valeur de étant différentiée par rapport à seulement, on a
Il serait inutile de multiplier ces applications d’un même
procédé. Pour les équations très-simples, on peut se dispenser
des expressions abrégées ; mais, en général, elles
suppléent à des calculs très-composés. Nous avons choisi pour
exemple les équations précédentes, parce qu’elles se rapportent
toutes à des phénomènes physiques dont l’expression analytique
est analogue à celle du mouvement de la chaleur. Les
deux premières, et appartiennent à la théorie de
la chaleur ; et les trois suivantes, à des questions
dynamiques ; la dernière, exprime ce que serait le mouvement de la chaleur dans les corps solides, si la
transmission instantanée n’était pas bornée à une distance
extrêmement petite. On a un exemple de ce genre de question
dans le mouvement de la chaleur lumineuse qui pénètre
les milieux diaphanes.
404.
On peut obtenir par divers moyens les intégrales de ces mêmes équations. Nous indiquerons en premier lieu celui qui résulte de l’usage du théorème énoncé dans l’art. 361, pag. 449, et que nous allons rappeler.
Si l’on considère l’expression
on voit qu’elle représente une fonction de car les deux
intégrations définies par rapport à et font disparaître
ces variables, et il reste une fonction de La nature de
cette fonction dépendra évidemment de celle que l’on aura
choisie pour On peut demander quelle doit être la fonction
de pour qu’après les deux intégrations définies on
obtienne une fonction donnée En général, la recherche
des intégrales propres à exprimer divers phénomènes physiques,
se réduit à des questions semblables à la précédente.
Ces questions ont pour objet de déterminer les fonctions arbitraires
sous les signes d’intégration définie, en sorte que le
résultat de cette intégration soit une fonction donnée. Il est
facile de voir, par exemple, que l’intégrale générale de l’équation
serait connue si, dans l’expression précédente on pouvait
déterminer en sorte que le résultat de l’équation fût une fonction donnée En effet, on forme immédiatement
une valeur particulière de ainsi exprimée,et l’on trouve cette condition :
On pourra donc prendre aussi
en donnant à la constante une valeur quelconque. On aura pareillement
Il est évident que cette valeur de satisfait à l’équation différentielle ; elle n’est autre chose qu’une somme de valeurs particulières. De plus, supposant on doit trouver pour une fonction arbitraire de Désignant cette fonction par on a
Or il résulte de la forme de l’équation que la valeur la plus générale de ne peut contenir qu’une seule fonction arbitraire en En effet, cette équation montre clairement que si l’on connaît en fonction de la valeur de pour une valeur donnée du temps toutes les autres valeurs de qui correspondent aux autres valeurs du temps, sont nécessairement déterminées. Il s’ensuit rigoureusement que si l’on connaît en fonction de et de une valeur de qui satisfasse à l’équation différentielle ; et si, de plus, en y faisant cette fonction de et devient une fonction entièrement arbitraire de la fonction de et dont il s’agit est l’intégrale générale de l’équation Toute la question est donc réduite à déterminer dans l’équation la fonction en sorte que le résultat des deux intégrations soit une fonction donnée Il est seulement nécessaire, pour que la solution soit générale, que l’on puisse prendre pour une fonction entièrement arbitraire et même discontinue. Il ne s’agit donc que de connaître la relation qui doit toujours exister entre la fonction donnée et la fonction inconnue Or cette relation très-simple est exprimée par le théorème dont nous parlons. Elle consiste en ce que les intégrales étant prises entre des limites infinies, la fonction est ; c’est-à-dire qu’on a l’équation
On en conclut, pour l’intégrale générale de la proposée
405.
Si l’on propose l’équation
qui exprime le mouvement vibratoire d’une lame élastique,
on considérera que, d’après la forme de cette équation, la valeur la plus générale de ne peut contenir que deux fonctions
arbitraires en car, en désignant cette valeur de
par et par la fonction il est évident
que si l’on connaissait et c’est-à-dire
les valeurs de et de au premier instant, toutes les autres
valeurs de seraient déterminées.
Cela résulte aussi de la nature même du phénomène. En effet, considérons dans son état de repos une lame élastique rectiligne : est la distance d’un point quelconque de cette lame à l’origine O des coordonnées ; on change extrêmement peu la figure de cette lame, en l’écartant de sa position d’équilibre, où elle coïncidait avec l’axe de sur le plan horizontal ; ensuite on l’abandonne à ses forces propres excitées par le changement de figure. On suppose le déplacement arbitraire, mais très-petit, et tel que la figure initiale donnée à cette lame soit celle d’une courbe comprise dans un plan vertical qui passe par l’axe de Le système changera successivement de forme, et continuera à se mouvoir dans le plan vertical de part et d’autre de la ligne d’équilibre. C’est ce mouvement dont l’équation
exprime la condition la plus générale.
Un point quelconque m, placé dans la situation d’équilibre à la distance de l’origine O, et sur le plan horizontal, est, à la fin du temps éloigné de ce point de la hauteur perpendiculaire Cet écart variable est une fonction de et La valeur initiale de est arbitraire ; elle est exprimée par une fonction quelconque Or, l’équation déduite des principes fondamentaux de la dynamique fait connaître que la seconde fluxion de prise pour ou et la fluxion du quatrième ordre, prise pour ou sont deux fonctions de et qui ne différent que par le signe. Nous n’entrons point ici dans la question spéciale relative à la discontinuité des fonctions ; nous n’avons en vue que l’expression analytique de l’intégrale. On peut supposer aussi, qu’après avoir déplacé arbitrairement les divers points de la lame, on leur imprime des vitesses initiales très-petites, et dans le plan vertical où les vibrations doivent s’accomplir. La vitesse initiale donnée à un point quelconque m placé à la distance a une valeur arbitraire. Elle est exprimée par une fonction quelconque de la distance
Il est manifeste que si l’on donne, 1o la figure initiale du système ou 2o les impulsions initiales ou la fonction tous les états subséquents du système sont déterminés. Ainsi la fonction ou qui représente, après un temps quelconque la forme correspondante de la lame, contient deux fonctions arbitraires et
Pour déterminer la fonction cherchée nous considérons que, dans l’équation
on peut donner à la valeur très-simple
ou celle-ci :
en désignant par et des quantités quelconques qui ne contiennent ni ni On aura donc aussi
étant une fonction quelconque, et quelles que soient les
limites des intégrations. Cette valeur de n’est autre chose
qu’une somme de valeurs particulières.
Il est nécessaire maintenant qu’en supposant la valeur de soit celle que nous avons désignée par ou On aura donc
Il faut déterminer la fonction en sorte que, les deux intégrations
étant achevées, le résultat soit la fonction arbitraire
Or le théorème exprimé par l’équation (B) fait
connaître que les limites de chacune des intégrales étant
Donc la valeur de est donnée par l’équation suivante :
Si l’on intégrait par rapport à cette valeur en y changeant
en il est évident que l’intégrale désignée par
satisferait encore à l’équation différentielle proposée
et l’on aurait
Cette valeur devient nulle lorsque ; et si l’on prend l’expression
on voit qu’en y faisant elle devient égale à Il n’en
est pas de même de l’expression elle devient nulle lorsque
et devient égal à lorsque
Il suit de là que l’intégrale de l’équation est
En effet, 1o cette valeur de satisfait à l’équation différentielle
2o Lorsqu’on fait elle devient égale à la fonction entièrement arbitraire
3o Lorsqu’on fait dans l’expression elle se réduit à une seconde fonction arbitraire Donc la valeur de est l’intégrale complète de la proposée, et il ne peut y avoir une intégrale plus générale.
406.
On peut réduire la valeur de à une forme plus simple en achevant l’intégration par rapport à Cette réduction et celle d’autres expressions du même genre dépendent des deux résultats exprimés par les équations (1) et (2), qui seront démontrées dans l’article suivant.
On en conclut
Désignant par une autre indéterminée on aura
Mettant, au lieu de
sa valeur
on aura
Nous avons prouvé dans un mémoire particulier, que ces intégrales ou de l’équation représentent d’une manière claire et complète le mouvement des diverses parties de la lame élastique infinie. Elles contiennent l’expression distincte du phénomène, et en font connaître facilement toutes les lois. C’est sous ce point de vue sur-tout que nous les avons proposées à l’attention des géomètres. Elles montrent comment les oscillations se propagent et s’établissent dans toute l’étendue de la lame, et comment l’effet du déplacement initial, qui est arbitraire et fortuit, s’altère de plus en plus en s’éloignant de l’origine, devient bientôt insensible, et ne laisse subsister que l’action des forces propres du système, qui sont celles de l’élasticité.
407.
Les résultats exprimés par les équations (1) et (2) dérivent des intégrales définies
et regardons et comme des nombres connus. Il est évident
que, dans les deux équations précédentes, on peut
mettre au lieu de en désignant par une constante
quelconque, et que les limites de l’intégrale seront les mêmes.
Ainsi l’on a
Or il est facile de voir que toutes les intégrales qui contiennent
le facteur sont nulles, si les limites sont
et car change désigne en même temps
que On a donc
L’équation en donnera aussi
et, omettant aussi les termes qui contiennent on aura
Les deux équations et donnent donc en et les deux intégrales
que nous désignerons respectivement par et On fera ensuite
On a donc
On déduit immédiatement les valeurs de et du résultat connu
En effet, cette dernière équation est identique, et par conséquent ne cessera point de l’être, lorsqu’on mettra au lieu de la quantité
cette substitution donne
Ainsi la partie réelle du second membre de la dernière équation est et la partie imaginaire est nulle. On en conclut
Il ne reste plus qu’à déterminer, au moyen des équations et les valeurs des deux intégrales
Elles seront ainsi exprimées :
On en conclut :
écrivant ou au lieu de on a
408.
La proposition exprimée par l’équation (B), page 525, ou par l’équation (E), page 449, et qui nous a servi à découvrir cette intégrale et les précédentes, s’applique évidemment à un plus grand nombre de variables. En effet, dans l’équation générale
on peut regarder comme une fonction de deux variables
et La fonction sera donc une fonction de et On
regardera maintenant cette fonction comme une
fonction de la variable et l’on conclura du même théorème
(B), page 525,
On aura donc, pour exprimer une fonction quelconque des deux variables et l’équation suivante :
On formera de la même manière l’équation qui convient
aux fonctions de trois variables, savoir :
chacune des intégrales étant prise entre les limites
et
Il est manifeste que la même proposition s’étend aux fonctions
qui comprennent un nombre quelconque de variables,
Il nous reste à montrer comment cette proposition s’applique à la recherche des intégrales, lorsque les équations contiennent plus de deux variables.
409.
Par exemple, l’équation différentielle étant
on veut connaître la valeur de en fonction de
et telle, 1o qu’en supposant ou devienne
une fonction arbitraire de et
2o Qu’en faisant dans la valeur de ou on trouve une seconde fonction entièrement arbitraire
Nous pouvons conclure de la forme de l’équation différentielle que la valeur de qui satisfera à cette équation et aux deux conditions précédentes, sera nécessairement l’intégrale générale. Pour découvrir cette intégrale, nous donnons d’abord à la valeur particulière
La substitution de fournit cette condition .
Il n’est pas moins évident que l’on peut écrire :
quelles que soient les quantités et qui ne
contiennent ni ni ni En effet, cette dernière valeur
de n’est autre chose qu’une somme de valeurs particulières.
Si l’on suppose il est nécessaire que devienne On aura donc
Ainsi la question est réduite à déterminer en sorte
que le résultat des intégrations indiquées soit Or, en
comparant la dernière équation à l’équation (BB), on trouve
Donc l’intégrale sera ainsi exprimée :
On obtient ainsi une première partie de l’intégrale ; et, désignant
par la seconde partie, qui doit contenir l’autre
fonction arbitraire on aura
et l’on prendra pour l’intégrale en changeant seulement
en En effet, devient égale à lorsqu’on
fait et en même temps devient nulle, puisque l’intégration,
par rapport à change le cosinus en sinus.
De plus, si l’on prend la valeur de et que l’on fasse la première partie, qui contient alors un sinus, devient nulle, et la seconde partie devient égale à Ainsi l’équation est l’intégrale complète de la proposée.
On formerait de la même manière l’intégrale de l’équation
Il suffirait d’introduire un nouveau facteur
et d’intégrer par rapport à et
410.
Soit l’équation proposée il s’agit d’exprimer en une fonction telle, 1o que soit une fonction arbitraire 2o qu’en faisant dans la fonction on trouve une seconde fonction arbitraire Il suit évidemment de la forme de l’équation différentielle, que la fonction ainsi déterminée sera l’intégrale complète de la proposée. Pour connaître cette fonction, on remarquera d’abord que l’on satisfait a l’équation en écrivant les exposants et étant des nombres quelconques, et la valeur de étant
On pourrait donc aussi écrire
Si l’on fait on aura, pour déterminer la condition suivante :
et, en comparant à l’équation (BB), on voit que
On aura donc, pour l’expression d’une première partie de l’intégrale :
Cette valeur de se réduit à lorsque et la même substitution rend nulle la valeur de
On pourrait aussi intégrer par rapport à la valeur de et l’on donnerait à l’intégrale la forme suivante dans laquelle est une nouvelle fonction arbitraire :
La valeur de devient nulle lorsque et la même substitution rend la fonction égale à Donc l’intégrale générale de la proposée est
411.
Enfin, soit l’équation
on veut connaître pour une fonction qui satisfasse à la proposée et aux deux conditions suivantes, savoir, 1o que la substitution de donne donne une fonction arbitraire que la même substitution dans donne une seconde fonction arbitraire
Il suit évidemment de la forme de l’équation et des principes que nous avons exposés plus haut, que la fonction étant déterminée en sorte qu’elle satisfasse aux conditions précédentes, sera l’intégrale complète de la proposée. Pour découvrir cette fonction on écrira d’abord
d’où l’on tire
On a donc la condition Ainsi l’on écrira
Lorsqu’on fait on doit avoir ce qui sert à déterminer la fonction Si l’on compare à l’équation générale (BB), on trouve que, les intégrales étant prises entre des limites infinies, la valeur de est On aura donc, pour exprimer une première partie de l’intégrale,
En intégrant la valeur de par rapport à et désignant la seconde fonction arbitraire, on trouvera une autre partie de l’intégrale ainsi exprimée :
Si l’on fait dans et dans la première fonction
devient égale à et la seconde nulle ; et si l’on fait
aussi dans et dans la première fonction devient
nulle, et la seconde devient égale à donc
est l’intégrale générale de la proposée.
412.
On peut donner à la valeur de une forme plus simple en effectuant les deux intégrations par rapport à et On fait usage, pour ce calcul, des deux équations (1) et (2) que nous avons démontrées dans l’art. 407, et l’on obtient l’intégrale suivante :
Désignant par cette première partie de l’intégrale, et par
la seconde, qui doit contenir une autre fonction arbitraire,
on a
Si l’on désigne par et deux nouvelles indéterminées, telles que l’on ait
et que l’on substitue, pour leurs valeurs
on aura cette autre forme de l’intégrale
Nous ne pourrions multiplier davantage ces applications de nos formules, sans nous écarter de notre sujet principal. Les exemples précédents se rapportent à des phénomènes physiques dont les lois étaient inconnues et difficiles à découvrir ; et nous les avons choisis parce que les intégrales de ces équations, que l’on avait inutilement cherchées jusqu’ici, ont une analogie remarquable avec celles qui expriment le mouvement de la chaleur.
413.
On peut aussi, dans la recherche des intégrales, considérer d’abord les séries développées selon les puissances d’une variable, et sommer ces séries au moyen des théorèmes exprimés par les équations (B), (BB). Voici un exemple de cette analyse, choisi dans la théorie même de la chaleur, et qui nous a paru remarquable.
On a vu, art. 399, que la valeur générale de déduite de l’équation
développée en série, selon les puissances croissantes de la variable contient une seule fonction arbitraire de et qu’étant développée en série selon les puissances croissantes de elle contient deux fonctions entièrement arbitraires de
La première série est ainsi exprimée :
L’intégrale désignée par art. 397, ou
représente la somme de cette série, et contient la seule fonction
arbitraire
La valeur de développée selon les puissances de contient deux fonctions arbitraires et et est ainsi exprimée :
Il y a donc, indépendamment de l’équation une autre forme de l’intégrale qui représente la somme de cette dernière série, et qui contient deux fonctions arbitraires, et Il s’agit de découvrir cette seconde intégrale de l’équation proposée, qui ne peut être plus générale que la précédente mais qui contient deux fonctions arbitraires.
On y parviendra en sommant chacune des deux séries qui entrent dans l’équation (X). Or il est évident que si l’on connaissait en fonction de et la somme de la première série qui contient il faudrait, après l’avoir multipliée par prendre l’intégrale par rapport à et changer en On trouverait ainsi la seconde série. De plus, il suffirait de connaître la somme des termes impairs qui entrent dans la première série : car, en désignant cette somme par et la somme de tous les autres termes par on a évidemment
il reste donc à trouver la valeur de Or la fonction
peut être ainsi exprimée, au moyen de l’équation générale (B),
Il est facile d’en déduire les valeurs des fonctions
Il est évident que la différentiation se réduit à écrire dans
le second membre de l’équation (B), sous le signe
les facteurs respectifs etc.
On aura donc, en écrivant une seule fois le facteur commun
Ainsi la question consiste à trouver la somme de la série
qui entre dans le second membre, ce qui ne présente aucune
difficulté. En effet, soit la valeur de cette série, on
en conclut
Intégrant cette équation linéaire, et déterminant les constantes
arbitraires, en sorte que, étant nulle, soit 1, et
soient nulles, on trouve, pour la somme de la série,
Il serait inutile de rapporter le détail de ce calcul ; il suffit d’en énoncer le résultat, qui donne pour l’intégrale cherchée,
Le terme est la seconde partie de l’intégrale ; on le forme en intégrant la première partie par rapport à depuis jusqu’à et en changeant en Sous cette forme l’intégrale contient deux fonctions entièrement arbitraires, et Si, dans la valeur de on suppose nulle, le terme devient nul par hypothèse, et la première partie de l’intégrale devient Si l’on fait la même substitution dans la valeur de il est évident que la première partie deviendra nulle, et que la seconde, qui ne diffère de la première que par la fonction placée au lieu de se réduira à Ainsi l’intégrale exprimée par l’équation satisfait à toutes les conditions, et elle représente la somme des deux séries qui forment le second membre de l’équation (X).
C’est cette forme de l’intégrale qu’il est nécessaire de choisir dans plusieurs questions de la théorie de la chaleur ; on voit qu’elle est très-différente de celle qui est exprimée par l’équation art. 397.
414.
On peut employer des procèdes de calcul très-variés, pour exprimer, en intégrales définies, les sommes des séries qui représentent les intégrales des équations différentielles. La forme de ces expressions dépend aussi des limites des intégrales définies. Nous citerons un seul exemple de ce calcul en rappelant le résultat de l’art. 311, pag. 380. Si, dans l’équation qui termine cet article, on écrit sous le signe de fonction on a
Désignant par la somme de la série qui forme le second
membre, on voit que, pour faire disparaître dans chaque
terme un des facteurs etc., il faut
différencier une fois par rapport à multiplier le résultat par et différencier
une seconde fois par rapport à On conclut de là
que satisfait à l’équation aux différences partielles
On a donc, pour exprimer l’intégrale de cette équation.
La seconde partie de l’intégrale contient une nouvelle fonction arbitraire. La forme de cette seconde partie de l’intégrale diffère beaucoup de celle de la première, et pourrait aussi être exprimée en intégrales définies. Les résultats que l’on obtient au moyen des intégrales définies varient selon les procédés de calcul dont on les déduit, et selon les limites des intégrales. On peut dire, en général, que ces recherches n’ont point un but assez déterminé lorsqu’on les sépare des questions physiques auxquelles elles se rapportent.
415.
Il est nécessaire d’examiner avec soin la nature des propositions générales qui servent à transformer les fonctions arbitraires : car l’usage de ces théorèmes est très-étendu, et l’on en déduit immédiatement la solution de plusieurs questions physiques importantes, que l’on ne pourrait traiter par aucune autre méthode. Les démonstrations suivantes, que nous avons données dans nos premières recherches, sont très-propres à rendre sensible la vérité de ces propositions. Dans l’équation générale
qui est la même que l’équation (B), page 525, on peut effectuer
l’intégration par rapport à et l’on trouve
On doit donc donner à dans cette dernière expression,
une valeur infinie ; et, cela étant, le second membre exprimera
la valeur de On reconnaîtra la vérité de ce résultat
au moven de la construction suivante. Nous examinerons
d’abord l’intégrale définie que l’on sait être
égale à art. 356.
Si l’on construit au-dessus de l’axe des la ligne dont l’ordonnée est et celle dont l’ordonnée est et qu’ensuite on multiplie l’ordonnée de la première ligne par l’ordonnée correspondante de la seconde, on considérera le produit comme l’ordonnée d’une troisième ligne dont il est très-facile de connaître la forme.
Sa première ordonnée à l’origine est 1, et les ordonnées suivantes deviennent alternativement positives ou négatives ; la courbe coupe l’axe aux points où etc., et elle se rapproche de plus en plus de cet axe. Une seconde branche de la courbe, entièrement semblable à la première, est située à la gauche de l’axe des L’intégrale est l’aire comprise entre la courbe et l’axe des et comptée depuis jusqu’à une valeur positive infinie de
L’intégrale définie dans laquelle est supposé un nombre positif quelconque, a la même valeur que la précédente. En effet, soit l’intégrale proposée deviendra et, par conséquent, elle équivaut aussi à Cette proposition est vraie, quel que soit le nombre positif Si l’on suppose, par exemple, la courbe dont l’ordonnée est a des sinuosités beaucoup plus rapprochées et plus courtes que celles dont l’ordonnée est mais l’aire totale depuis jusqu’à est la même.
Supposons maintenant que le nombre devienne de plus en plus grand, et qu’il croisse sans limite, c’est-à-dire qu’il soit infini. Les sinuosités de la courbe dont est l’ordonnée sont infiniment voisines. Leur base est une longueur infiniment petite égale à Cela étant, si l’on compare l’aire positive qui repose sur un de ces intervalles à l’aire négative qui repose sur l’intervalle suivant, et si l’on désigne par l’abscisse finie et assez grande qui répond au commencement du premier arc, on voit que l’abscisse qui entre comme dénominateur dans l’expression de l’ordonnée, n’a aucune variation sensible dans le double intervalle qui sert de base aux deux aires. Par conséquent, l’intégrale est la même que si était une quantité constante. Il s’ensuit que la somme des deux aires qui se succèdent est nulle.
Il n’en est pas de même lorsque la valeur de est infiniment petite, parce que l’intervalle a dans ce cas un rapport fini avec la valeur de On connaît par là que l’intégrale dans laquelle on suppose un nombre infini, est entièrement formée de la somme de ses premiers termes qui répondent à des valeurs extrêmement petites de Lorsque l’abscisse a une valeur finie l’aire ne varie plus, parce que les parties qui la composent se détruisent deux à deux alternativement. Nous exprimons ce résultat en écrivant
La quantité qui désigne la limite de la seconde intégrale,
a une valeur infiniment petite ; et la valeur de l’intégrale est
la même lorsque cette limite est et lorsqu’elle est416.
Cela posé, reprenons l’équation
Ayant placé l’axe des abscisses on tracera au-dessus de cet axe la ligne dont l’ordonnée est La forme de cette ligne est entièrement arbitraire ; elle pourrait n’avoir d’ordonnées subsistantes que dans une ou dans quelques parties de son cours, toutes les autres ordonnées étant nulles.
On placera aussi au-dessus du même axe des abscisses une ligne courbe dont l’ordonnée est désignant l’abscisse et un nombre positif extrêmement grand. Le centre de cette courbe, ou le point qui répond à la plus grande ordonnée pourra être placé soit à l’origine O des abscisses soit à l’extrémité d’une abscisse quelconque. On suppose que ce centre est successivement déplacé, et qu’il se transporte à tous les points de l’axe des vers la droite, à partir du point O. Considérons ce qui a lieu dans une certaine position de la seconde courbe, lorsque le centre est parvenu au point qui termine une abscisse de la première courbe.
La valeur de étant regardée comme constante, et étant seule variable, l’ordonnée de la seconde courbe sera
Si donc on conjugue les deux courbes pour en former une troisième, c’est-à-dire si l’on multiplie chaque ordonnée de la première par l’ordonnée correspondante de la seconde, et si l’on représente le produit par l’ordonnée d’une troisième courbe tracée au-dessus de l’axe des ce produit sera
L’aire totale de la troisième courbe, ou l’aire comprise entre cette courbe et l’axe des abscisses, sera donc exprimée par
Or, le nombre étant infiniment grand, la seconde courbe a toutes ses sinuosités infiniment voisines ; on reconnaît facilement que, pour tous les points qui sont à une distance finie du point l’intégrale définie, ou l’aire totale de la troisième courbe, est formée de parties égales alternativement positives ou négatives, et qui se détruisent deux à deux. En effet, pour un de ces points placés à une certaine distance du point la valeur de varie infiniment peu lorsqu’on augmente la distance d’une quantité moindre que Il en est de même du dénominateur qui mesure cette distance. L’aire qui répond à l’intervalle est donc la même que si les quantités et n’étaient pas variables. Par conséquent elle est nulle lorsque est une grandeur finie. Donc l’intégrale définie peut être prise entre des limites aussi voisines que l’on veut, et elle donne, entre ces limites, le même résultat qu’entre des limites infinies. Tout se réduit donc à prendre l’intégrale entre des points infiniment voisins, l’un à gauche, l’autre à droite de celui où est nul, c’est-à-dire depuis jusqu’à en désignant par une quantité infiniment petite. Or, dans cet intervalle, la fonction ne varie point, elle est égale à et peut être mise hors du signe d’intégration. Donc la valeur de l’expression est le produit de par
prise entre les limites et
Or cette intégrale est égale à comme on l’a vu dans l’article précédent ; donc l’intégrale définie est égale à d’où l’on conclut l’équation
417.
La démonstration précédente suppose la notion des quantités infinies, telle qu’elle a toujours été admise par les géomètres. Il serait facile de présenter la même démonstration sous une autre forme, en examinant les changements qui résultent de l’accroissement continuel du facteur sous le signe Ces considérations sont trop connues pour qu’il soit nécessaire de les rappeler.
Il faut sur-tout remarquer que la fonction à laquelle cette démonstration s’applique, est entièrement arbitraire, et non assujettie à une loi continue. On pourrait donc concevoir qu’il s’agit d’une fonction telle, que l’ordonnée qui la représente n’a de valeurs subsistantes que si l’abscisse est comprise entre deux limites données, et toutes les autres ordonnées seraient supposées nulles, en sorte que la courbe n’aurait de forme tracée qu’au-dessus de l’intervalle de à et se confondrait avec l’axe des dans toutes les autres parties de son cours.
La même démonstration fait connaître que l’on ne considère point ici des valeurs infinies de mais des valeurs actuelles et déterminées.
On pourrait aussi examiner d’après les mêmes principes les cas où la fonction deviendrait infinie, pour des valeurs singulières de comprises entre des limites données ; mais cela ne se rapporte point à l’objet principal que nous avons en vue, qui est d’introduire dans les intégrales les fonctions arbitraires ; il est impossible qu’aucune question naturelle conduise à supposer que la fonction devient infinie, lorsqu’on donne à une valeur singulière comprise entre des limites données.
En général, la fonction représente une suite de valeurs ou ordonnées dont chacune est arbitraire. L’abscisse pouvant recevoir une infinité de valeurs, il y a un pareil nombre d’ordonnées Toutes ont des valeurs numériques actuelles, ou positives, ou négatives, ou nulles. On ne suppose point que ces ordonnées soient assujetties à une loi commune ; elles se succèdent d’une manière quelconque, et chacune d’elles est donnée comme le serait une seule quantité.
Il peut résulter de la nature même de la question, et de l’analyse qui s’y applique, que le passage d’une ordonnée à la suivante doive s’opérer d’une manière continue. Mais il s’agit alors de conditions spéciales, et l’équation générale (B), considérée en elle-même, est indépendante de ces conditions. Elle s’applique rigoureusement aux fonctions discontinues.
Supposons maintenant que la fonction coïncide avec une certaine expression analytique, telle que ou lorsqu’on donne à une valeur comprise entre deux limites et et que toutes les valeurs de soient nulles lorsque n’est pas comprise entre et les limites de l’intégration par rapport à dans l’équation précédente (B) seront donc car le résultat serait le même que pour les limites toutes les valeurs de étant nulles par hypothèse, lorsque n’est point comprise entre et On aura donc l’équation :
Le second membre de cette équation (B’) est une fonction de la variable car les deux intégrations font disparaître les variables et et il ne reste que et les constantes et Or cette fonction équivalente au second membre est telle, qu’en y substituant pour une valeur quelconque comprise entre at on trouve le même résultat qu’en substituant cette valeur de dans et l’on trouve un résultat nul, si, dans le second membre, on met au lieu de une valeur quelconque non comprise entre et Si donc, en conservant toutes les autres quantités qui forment le second membre, on remplaçait les limites et par des limites plus voisines, et dont chacune est comprise entre et on changerait la fonction de qui équivaut au second membre, et l’effet du changement serait tel que ce second membre deviendrait nul toutes les fois que l’on donnerait à une valeur non comprise entre et et, si la valeur de était comprise entre et on aurait le même résultat qu’en substituant cette valeur de dans
On peut donc varier à volonté les limites de l’intégrale dans le second membre de l’équation (B’). Cette équation subsistera toujours pour les valeurs de comprises entre les limites quelconques et que l’on aura choisies ; et, si l’on emploie toute autre valeur de le second membre sera nul. Représentons par l’ordonnée variable d’une courbe dont est l’abscisse ; le second membre, dont la valeur est représentera l’ordonnée variable d’une seconde courbe dont la figure dépendra des limites et Si ces limites sont et les deux courbes, dont l’une a pour ordonnée et l’autre a pour ordonnée coïncideront exactement dans toute l’étendue de leur cours. Mais, si l’on donne d’autres valeurs et à ces limites, les deux courbes coïncideront exactement dans toute la partie de leur cours qui répond à l’intervalle de à À droite et à gauche de cet intervalle, la seconde courbe se confondra précisément dans tous ses points avec l’axe des Cette conséquence est très-remarquable, et détermine le véritable sens de la proposition exprimée par l’équation (B).
418.
Il faut considérer sous le même point de vue le théorème exprimé par l’équation de l’art. 234, pag. 258. Cette équation sert à développer une fonction arbitraire en une suite de sinus et de cosinus d’arcs multiples. La fonction désigne une fonction entièrement arbitraire, c’est-à-dire une suite de valeurs données, assujetties ou non à une loi commune, et qui répondent à toutes les valeurs de comprises entre 0 et une grandeur quelconque
La valeur de cette fonction est représentée par l’équation suivante :
L’intégrale, par rapport à doit être prise entre les limites et chacune de ces limites et est une quantité quelconque comprise entre 0 et Le signe affecte le nombre entier et indique que l’on doit donner à toutes ses valeurs négatives ou positives, savoir :
et prendre la somme des termes placés sous ce signe Le second membre devient, par ces intégrations, une fonction de la seule variable et des constantes et La proposition générale consiste en ce que 1o la valeur du second membre, que l’on trouverait en y mettant au lieu de une quantité comprise entre et est égale à celle que l’on obtiendrait en mettant cette même quantité au lieu de dans la fonction 2o toute autre valeur de comprise entre 0 et mais non comprise entre et étant substituée dans le second membre, donne un résultat nul.
Il n’y a ainsi aucune fonction ou partie de fonction, que l’on ne puisse exprimer en une suite trigonométrique.
La valeur du second membre est périodique, et l’intervalle de la période est c’est-à-dire que cette valeur du second membre ne change point lorsqu’on écrit au lieu de Toutes ses valeurs successives se renouvellent à chaque intervalle
La suite trigonométrique égale au second membre est convergente ; le sens de cette dernière proposition est que, si l’on donne à la variable une valeur quelconque, la somme des termes de la suite s’approche de plus en plus, et infiniment près, d’une limite déterminée. C’est cette limite qui est 0, si l’on a mis pour une quantité comprise entre 0 et , mais non comprise entre et et si cette quantité mise pour est comprise entre et la limite de la série a la même valeur que Cette dernière fonction n’est assujettie à aucune condition, et la ligne dont elle représente l’ordonnée peut avoir une forme quelconque ; par exemple, celle d’un contour formé d’une suite de lignes droites et de lignes courbes. On voit par là que les limites et l’intervalle total et la nature de la fonction étant arbitraires, cette proposition a un sens très-étendu ; et, comme elle n’exprime pas seulement une propriété analytique, mais qu’elle conduit facilement à la solution de plusieurs questions naturelles importantes, il était nécessaire de la considérer sous divers points de vue, et d’en indiquer les principales applications. On a donné plusieurs démonstrations de ce théorème dans le cours de cet ouvrage. Celle que nous rapporterons dans un des articles suivants (art. 424) a l’avantage de s’appliquer aussi à des fonctions non périodiques.
Si l’on suppose l’intervalle infini, les termes de la série deviennent des quantités différentielles ; la somme indiquée par le signe devient une intégrale définie, comme on le voit dans les art. 353 et 355, et l’équation (A) se transforme dans l’équation (B). Ainsi cette dernière équation (B) est contenue dans la précédente, et convient au cas où l’intervalle est infini : alors les limites et sont évidemment des constantes entièrement arbitraires.
419.
Le théorème exprimé par l’équation (B) offre aussi diverses applications analytiques, que nous ne pourrions exposer sans nous écarter de l’objet de cet ouvrage ; mais nous énoncerons le principe dont ces applications dérivent.
On voit que, dans le second membre de l’équation
la fonction est tellement transformée, que le signe de
fonction n’affecte plus la variable mais une variable
auxiliaire La variable est seulement affectée du signe
cosinus. Il suit de là que, pour différencier la fonction
par rapport à autant de fois que l’on voudra, il suffira
de différencier le second membre par rapport à sous le
signe cosinus. On aura donc, en désignant par un nombre
entier quelconque,
On écrit le signe supérieur lorsque est pair, et le signe inférieur
lorsque est impair. On aura en suivant cette même
règle relative au choix du signe :
On peut aussi intégrer plusieurs fois de suite, par rapport
à le second membre de l’équation (B) ; il suffit d’écrire au-devant du signe sinus ou cosinus une puissance
négative de
La même remarque s’applique aux différenciations finies, ou aux intégrales désignées par le signe et en général aux opérations analytiques qui peuvent s’effectuer sur les quantités trigonométriques. Le caractère principal du théorème dont il s’agit, est de transporter le signe général de fonction à une variable auxiliaire, et de placer la variable sous le signe trigonométrique. La fonction acquiert en quelque sorte, par cette transformation, toutes les propriétés des quantités trigonométriques ; les différentiacions, les intégrations et la sommation des suites s’appliquent ainsi à des fonctions générales de la même manière qu’aux fonctions trigonométriques exponentielles. C’est pour cela que l’emploi de cette proposition donne immédiatement les intégrales des équations à différences partielles à coëfficients constants. En effet, il est évident que l’on peut satisfaire à ces équations par des valeurs particulières exponentielles ; et, comme les théorèmes dont nous parlons donnent à des fonctions générales et arbitraires le caractère des quantités exponentielles, ils conduisent facilement à l’expression des intégrales complètes. Cette même transformation donne aussi, comme on l’a vu dans l’art. 413, un moyen facile de sommer les suites infinies, lorsque ces suites contiennent les différentielles successives, ou les intégrales successives d’une même fonction : car la sommation de la suite est réduite, par ce procédé, à celle d’une suite de termes algébriques.
420.
On peut aussi faire usage du théorème dont il s’agit pour substituer sous le signe général de fonction un binôme formé d’une partie réelle et d’une partie imaginaire. Cette question d’analyse s’est présentée dès l’origine du calcul des différences partielles ; et nous l’indiquerons ici parce qu’elle a un rapport plus direct avec notre objet principal.
Si dans la fonction on écrit au lieu de le résultat sera formé de deux parties Il s’agit de connaître en et chacune des deux fonctions et On y parviendra facilement si l’on remplace par l’expression
car la question sera réduite à substituer au lieu
de sous le signe cosinus, et à calculer le terme réel et le
coëfficient de On aura ainsi
Ainsi toutes les fonctions que l’on peut concevoir, même
celles qui ne sont assujetties à aucune loi de continuité,
sont réduites à la forme lorsqu’on y remplace
la variable par le binôme
421.
Pour donner un exemple de l’usage de ces dernières formules, nous considérerons l’équation qui se rapporte au mouvement uniforme de la chaleur dans une table rectangulaire. L’intégrale générale de cette équation contient évidemment deux fonctions arbitraires. Supposons donc que l’on connaisse en fonction de la valeur de lorsque et que l’on connaisse aussi, par une autre fonction de la valeur de lorsque on peut déduire l’intégrale cherchée de celle de l’équation
qui est connue depuis long-temps ; mais on trouve des quantités
imaginaires sous le signe de fonction. Cette intégrale est
La seconde partie de l’intégrale dérive de la première en
intégrant par rapport à et changeant en Il reste donc
à transformer les quantités et
afin de séparer les parties réelles des parties imaginaires.
Suivant le procédé de l’article précédent, on trouve, pour
la première partie de l’intégrale,
et par conséquent
L’intégrale complète de la proposée exprimée en termes réels
est donc et l’on reconnaît, en effet, 1o qu’elle satisfait à l’équation différentielle ; 2o qu’en y faisant
elle donne 3o qu’en faisant dans la fonction
le résultat est
422.
Nous ferons aussi remarquer que l’on peut déduire de l’équation (B) une expression très-simple du coëfficient différentiel de l’ordre indéfini ou de l’intégrale
L’expression cherchée est une certaine fonction de et de l’indice Il s’agit de connaître cette fonction sous une forme telle, que le nombre n’y entre point comme indice, mais comme une quantité, afin de comprendre, dans une même formule, tous les cas où l’on attribue à des valeurs positives ou négatives quelconques. Pour y parvenir, nous remarquerons que l’expression ,
devient successivement
si les valeurs respectives de sont 1, 2, 3, 4, 5, Les
mêmes résultats reviennent dans le même ordre, lorsqu’on
augmente la valeur de Il faut maintenant, dans le second
membre de l’équation
écrire le facteur au-devant du signe cosinus, et ajouter sous ce signe le terme On aura ainsi
Le nombre qui entre dans le second membre, sera regardé
comme une quantité quelconque positive ou négative.
Nous n’insisterons point sur ces applications à l’analyse générale ;
il nous suffit d’avoir montré par divers exemples
l’usage de nos théorèmes. Les équations du quatrième ordre
art. 405, et art. 411, appartiennent, comme nous
l’avons dit, à des questions dynamiques. On ne connaissait
point encore les intégrales de ces équations lorsque nous les
avons données dans un Mémoire sur les vibrations des surfaces
élastiques, lu à la séance de l’Académie des Sciences,
le 6 juin 1816 (art. VI, § 10 et 11, et art. VII, § 13 et 14).
Elles consistaient dans les deux formules et art. 406, et
dans les deux intégrales exprimées, l’une par la première
équation de l’art. 412, l’autre par la dernière équation du
même article. On a donné ensuite diverses autres démonstrations
de ces mêmes résultats. Ce Mémoire contenait aussi
l’intégrale de l’équation art. 409, sous la forme rapportée
dans cet article. Quant à l’intégrale (BB) de l’équation
art. 413, elle est ici publiée pour la première fois.
423.
Les propositions exprimées par les équations (A) et (B’), art. 418 et 417, dont nous avons montré diverses applications, peuvent être considérées sous un point de vue plus général. La construction indiquée dans les art. 415 et 413 ne s’applique pas seulement à la fonction trigonométrique elle convient à toutes les autres fonctions, et suppose seulement que le nombre devenant infini, on trouve la valeur de l’intégrale par rapport à en prenant cette intégrale entre des limites extrêmement voisines. Or cette condition n’appartient pas seulement aux fonctions trigonométriques, elle s’applique à une infinité d’autres fonctions. On parvient ainsi à exprimer une fonction arbitraire sous diverses formes très-remarquables ; mais nous ne faisons point usage de ces transformations dans la recherche spéciale qui nous occupe.
Quant à la proposition exprimée par l’équation (A) (art. 418), il est également facile d’en rendre la vérité sensible par des constructions, et c’est pour ce théorème que nous les avons d’abord employées. Il suffira d’indiquer la marche de la démonstration.
Dans l’équation (A), savoir :
on remplacera la somme des termes placés sous le signe
par sa valeur, qui se déduit de théorèmes connus. Nous
avons vu précédemment divers exemples de ce calcul, Section
III, Chap. III. Il donne ce résultat en supposant, pour
rendre l’expression plus simple, et désignant
par
Il faut donc multiplier le second membre de cette équation
par supposer le nombre infini, et intégrer depuis jusqu’à La ligne courbe, dont l’abscisse est et l’ordonnée étant conjuguée avec la ligne dont l’abscisse est et l’ordonnée c’est-à-dire les ordonnées correspondantes étant multipliées l’une par l’autre, il est manifeste que l’aire de la courbe produite, prise entre des limites quelconques, devient nulle lorsque le nombre croît sans limite. Ainsi le premier terme donne un résultat
nul.Il en serait de même du terme s’il n’était pas multiplié par le facteur mais en comparant les trois courbes qui ont pour abscisse commune et pour ordonnées on reconnaît évidemment que l’intégrale n’a de valeurs subsistantes que pour de certains intervalles infiniment petits ; savoir, lorsque l’ordonnée devient infinie. Cela aura lieu si ou est nulle ; et dans cet intervalle où diffère infiniment peu de la valeur de se confond avec Donc l’intégrale devient
qui est égale à (art. 415 et 356). On en conclut l’équation précédente (A).
Lorsque la variable est précisément égale à on la construction fait connaître quelle est la valeur du second membre de cette équation A.
Si les limites de l’intégration ne sont pas et mais d’autres nombres et dont chacun est compris entre et on voit par la même figure quelles sont les valeurs de pour lesquelles le second membre de l’équation (A) est nul.
Si l’on conçoit qu’entre les limites de l’intégration certaines valeurs de deviennent infinies, la construction indique dans quel sens la proposition générale doit être entendue. Mais nous ne considérons point ici les cas de cette nature, parce qu’ils n’appartiennent point aux questions physiques.
Si, au lieu de restreindre les limites et on donne plus d’étendue à l’intégrale, en choisissant des limites plus distantes et on connaît par la même figure que le second membre de l’équation (A) est formé de plusieurs termes, et donne le résultat d’une intégration finie, quelle que soit la fonction
On trouve des résultats semblables si l’on écrit au lieu de et si les limites de l’intégration sont et
Il faut considérer maintenant que les conséquences auxquelles on est parvenu auraient encore lieu pour une infinité de fonctions différentes de Il suffit que ces fonctions reçoivent des valeurs alternativement positives et négatives, en sorte que l’aire devienne nulle, lorsque croît sans limite. On peut faire varier aussi le facteur ainsi que les limites de l’intégration, et l’on peut supposer que l’intervalle devient infini. Ces sortes d’expressions sont donc très-générales, et susceptibles des formes les plus diverses. Nous ne pouvons nous arrêter à ces développements ; mais il était nécessaire de montrer l’emploi des constructions : car elles résolvent sans aucun doute les questions qui peuvent s’élever sur les valeurs extrêmes et sur les valeurs singulières ; elles n’auraient pu servir à découvrir ces théorèmes, mais elles les démontrent et en dirigent toutes les applications.
424.
Nous avons encore à faire envisager ces mêmes propositions sous un autre point de vue. Si l’on compare entre elles les solutions relatives au mouvement varié de la chaleur dans l’armille, la sphère, le prisme rectangulaire, le cylindre, on voit que nous avions à développer une fonction arbitraire en une suite de termes, tels que
La fonction qui, dans le second membre de l’équation (A),
est un cosinus ou un sinus, est remplacée ici par une fonction
qui peut être très-différente du sinus. Les nombres
etc., au lieu d’être des nombres entiers, sont donnés
par une équation transcendante, dont les racines en nombre
infini sont toutes réelles. La question consistait à trouver les
valeurs des coëfficients on y est
parvenu au moyen des intégrations définies qui font disparaître
toutes les inconnues, excepté une seule. Nous allons
examiner spécialement la nature de ce procédé, et les conséquences
exactes qui en dérivent.
Afin de donner à cet examen un objet plus déterminé, nous choisirons pour exemple une des questions les plus importantes, savoir celle du mouvement varié de la chaleur dans la sphère solide. On a vu, art. 290, pag. 348, que, pour satisfaire à la distribution initiale de la chaleur, il faut déterminer les coëfficients
dans l’équation
La fonction est entièrement arbitraire : elle désigne la
valeur de la température initiale et donnée de la couche
sphérique dont le rayon est Les nombres
sont les racines de l’équation transcendante
est le rayon total de la sphère ; est un coëfficient numérique
connu d’une valeur positive quelconque. Nous avons
prouvé rigoureusement, dans nos premières recherches,
que toutes les valeurs de ou les racines de l’équation
sont réelles. Cette démonstration est déduite de la théorie
générale des équations, et n’exige point que l’on suppose
connue la forme des racines imaginaires que toute équation
peut avoir. Nous ne l’avons point rappelée dans cet ouvrage,
parce qu’elle est suppléée par des constructions qui
rendent la proposition plus sensible. Au reste, nous avons
traité cette même question par l’analyse, en déterminant le mouvement varié de la chaleur dans un corps cylindrique
(art. 308, pag. 372 et 373). Cela posé, la question consiste
à trouver pour etc., des valeurs numériques
telles que le second membre de l’équation devienne
nécessairement égal a lorsqu’on y mettra pour
une valeur quelconque comprise entre 0 et la longueur
totale
Pour trouver le coëfficient nous avons multiplié l’équation par et ensuite intégré entre les limites et nous avons démontré, pag. 349, que l’intégrale
a une valeur nulle toutes les fois que les indices et ne
sont point les mêmes ; c’est-à-dire lorsque les nombres et
sont deux racines différentes de l’équation Il suit de
là, que l’intégration définie faisant disparaître tous les
termes du second membre, excepté celui qui contient on
a, pour déterminer ce coëfficient, l’équation
Mettant cette valeur du coëfficient =a_i dans l’équation
on en conclut l’équation identique
Il faut dans le second membre donner à toutes ses valeurs,
c’est-à-dire, mettre successivement, au lieu de toutes les racines de l’équation L’intégrale doit être prise pour depuis jusqu’à ce qui fait disparaître l’indéterminée Il en est de même de qui entre dans le dénominateur ; en sorte que le terme est multiplié par un coëfficient dont la valeur ne dépend que de et de l’indice Le signe indique qu’après avoir donné à ses
différentes valeurs, il faut écrire la somme de tous les termes.L’intégration offre donc un moyen très-simple de déterminer immédiatement les coëfficients ; mais il faut examiner attentivement l’origine de ce procédé, ce qui donne lieu aux deux remarques suivantes :
1o Si dans l’équation on avait omis d’écrire une partie des termes, par exemple, tous ceux où l’indice est un nombre pair, on trouverait encore, en multipliant l’équation par et intégrant depuis jusqu’à cette même valeur de qui a été déterminée précédemment, et l’on formerait ainsi une équation qui ne serait point vraie ; car elle ne contiendrait qu’une partie des termes de l’équation générale, savoir, ceux dont l’indice est impair.
2o L’équation complète que l’on obtient, après avoir déterminé les coëfficients, et qui ne diffère point de l’équation rapportée page 350, art. 291, dans laquelle on ferait et est telle que si l’on donne à une valeur quelconque comprise entre 0 et les deux membres sont nécessairement égaux ; mais on ne peut point conclure, comme nous l’avons fait observer, que cette égalité ait lieu, si, choisissant pour le premier membre une fonction assujettie à une loi continue, telle que ou on donnait à une valeur non comprise entre 0 et En général, l’équation résultante doit être appliquée aux valeurs de comprises entre 0 et Or le procédé qui détermine le coëfficient ne fait point connaître pourquoi toutes les racines doivent entrer dans l’équation et pourquoi cette équation se rapporte uniquement aux valeurs de comprises entre 0 et
Pour résoudre clairement ces questions, il suffit de remonter aux principes qui servent de fondement à notre analyse.
Nous divisons l’intervalle en un nombre infini de parties égales à en sorte que l’on a et écrivant au lieude nous désignons par les valeurs de qui répondent aux valeurs attribuées à nous composons l’équation générale d’un nombre de termes ; en sorte qu’il y entre coëfficients inconnus, Cela posé, cette équation représente les équations du premier degré, que l’on formerait en y mettant successivement, au lieu de ses valeurs Ce système de équations contient dans la première dans la seconde dans la troisième dans la Pour déterminer le premier coëfficient on multiplie la première équation par la seconde par la troisième par ainsi de suite, et l’on ajoute ensemble les équations ainsi multipliées. Les facteurs doivent être déterminés par cette condition, que la somme de tous les termes des seconds membres qui contiennent soit mille, et qu’il en soit de même pour tous les coëfficients suivants, Donc toutes les équations étant ajoutées, le coëfficient entre seul dans le résultat, et l’on a une équation pour déterminer ce coëfficient. Ensuite on multiplie de nouveau toutes les équations par d’autres facteurs respectifs et ces facteurs sont déterminés en sorte qu’en ajoutant les équations, tous les coëfficients soient éliminés, excepté On a donc une équation pour déterminer On continue des opérations semblables, et choisissant toujours de nouveaux facteurs, on détermine successivement tous les coëfficients inconnus. Or il est manifeste que ce procédé d’élimination est précisément celui qui résulte de l’intégration entre les limites 0 et La série des premiers facteurs est En général, la série des facteurs qui servent à éliminer tous les coëfficients, excepté est elle est représentée par le terme général dans lequel on donne successivement à toutes les valeurs
On voit par là que le procédé qui nous sert à déterminer les coëfficients, ne diffère en rien du calcul ordinaire de l’élimination dans les équations du premier degré. Le nombre des équations est égal à celui des quantités inconnues et le même que le nombre des quantités données Les valeurs trouvées pour les coëfficients sont celles qui doivent avoir lieu pour que les équations subsistent à la fois, c’est-à-dire, pour que l’équation subsiste lorsqu’on donne à une de ces valeurs comprises entre 0 et et comme le nombre est infini, il s’ensuit que le premier membre coïncide nécessairement avec le second, lorsque la valeur substituée dans l’un et l’autre, est comprise entre 0 et
La démonstration précédente ne s’applique pas seulement aux développemens dont la forme est
elle convient à toutes les fonctions que l’on pourrait
substituer à en conservant la condition principale,
savoir, que l’intégrale ait une valeur
nulle lorsque et sont des nombres différents.
Si l’on propose de développer sous cette forme :
Les racines etc., seront des nombres entiers,
et la condition
ayant toujours lieu lorsque les indices et sont des nombres
différents, on obtient, en déterminant les coëfficients
l’équation générale page 258, qui ne diffère pas
de l’équation (A), page 555.
425.
Si l’on omettait dans le second membre de l’équation un ou plusieurs des termes qui répondent à une ou plusieurs racines de l’équation l’équation ne serait pas vraie en général. Pour s’en convaincre, supposons qu’un terme contenant et ne soit point écrit dans le second membre de l’équation on pourrait multiplier respectivement les équations par les facteurs
et en les ajoutant, la somme de tous les termes des seconds
membres serait nulle, en sorte qu’il ne resterait aucun
des coëfficients inconnus. Le résultat, formé de la somme
des premiers membres, c’est-à-dire la somme des valeurs
multipliées respectivement par les facteurs
se réduirait à zéro. Il faudrait par conséquent que cette relation
existât entre les quantités données et
on ne pourrait point les considérer comme entièrement arbitraires,
ce qui est contre l’hypothèse. Si ces quantités
ont des valeurs quelconques, la relation dont
il s’agit ne subsiste point, et l’on ne pourrait pas satisfaire
aux conditions proposées, en omettant un ou plusieurs termes,
tels que dans l’équation Donc la fonction
demeurant indéterminée, c’est-à-dire, représentant
le système d’un nombre infini de constantes arbitraires qui correspondent à des valeurs de comprises entre et il
est nécessaire d’introduire dans le second membre de l’équation
tous les termes, tels que qui satisfont
à la condition
les indices et étant différents ; mais s’il arrivait que la fonction
fût telle que les grandeurs eussent
entre elles cette relation exprimée par l’équation
il est évident que le terme pourrait être omis
dans l’équation
Ainsi, il y a plusieurs classes de fonctions dont le développement, représenté par le second membre de l’équation ne contient pas certains termes correspondants à quelques-unes des racines Il y a, par exemple, des cas où l’on doit omettre tous les termes dont l’indice est pair ; et nous en avons vu divers exemples dans le cours de cet ouvrage. Mais cela ne peut avoir lieu, si la fonction a toute la généralité possible. Dans tous les cas, on doit supposer le second membre de l’équation complet, et le calcul fait connaître les termes qui peuvent être omis, parce que leurs valeurs deviennent nulles.
426.
On voit clairement, par cet examen, que la fonction représente, dans notre analyse, le système d’un nombre de quantités séparées, correspondantes aux valeurs de comprises entre et et que ces quantités ont des valeurs actuelles, et par conséquent non infinies, choisies à volonté. Toutes pourraient être nulles, excepté une seule dont la valeur serait donnée.
Il pourrait arriver que la série de ces valeurs fût exprimée par une fonction assujettie à une loi continue, telle que ou ou en général alors la ligne courbe, dont les ordonnées représentent les valeurs correspondantes aux abscisses et qui est placée au-dessus de l’intervalle de à se confond dans cet intervalle avec la courbe dont l’ordonnée est et les coëfficients de l’équation déterminés par la règle précédente, satisfont toujours à cette condition, qu’une valeur de comprise entre et donne le même résultat étant substituée dans et dans le second membre de l’équation
représente la température initiale de la couche sphérique dont le rayon est On pourrait supposer, par exemple, c’est-à-dire, que la chaleur initiale croît proportionnellement à la distance, depuis le centre, où elle est nulle, jusqu’à la surface, où elle est Dans ce cas, ou est égale à en appliquant à cette fonction la règle qui détermine les coëfficients, on développerait en une suite de termes, tels que
Or chaque terme étant développé selon les puissances
de ne contient que des puissances de rang impair, et la fonction est une puissance de rang pair. Il est très-remarquable que cette fonction désignant une suite de valeurs données pour l’intervalle de à puisse
être développée en une suite de termes, tels queNous avons déjà prouvé l’exactitude rigoureuse de ces résultats, qui ne s’étaient point encore présentés dans l’analyse, et nous avons montré le véritable sens des propositions qui les expriment. On a vu, par exemple, dans l’article 223, page 238, que la fonction est développée en une suite de sinus d’arcs multiples, en sorte que dans l’équation qui donne ce développement, le premier membre ne contient que des puissances paires de la variable, et le second ne contient que des puissances impaires. Réciproquement la fonction où il n’entre que des fonctions impaires, est résolue, page 242, en une suite de cosinus qui ne contiennent que les puissances paires.
Dans la question actuelle relative à la sphère, la valeur de est développée au moyen de l’équation Il faut ensuite, comme on le voit art. 290, page 348, écrire dans chaque terme le facteur exponentiel, qui contient et l’on a, pour exprimer la température qui est une fonction de et l’équation
La solution générale que donne cette équation (E) est totalement
indépendante de la nature de la fonction parce que cette fonction ne représente ici qu’une multitude infinie de constantes arbitraires, qui répondent à autant de valeurs
de comprises entre etSi l’on supposait la chaleur primitive contenue dans une seule partie de la sphère solide, par exemple, depuis jusqu’à et que les températures initiales des couches supérieures fussent nulles, il suffirait de prendre l’intégrale
entre les limites et
En général, la solution exprimée par l’équation (E) convient à tous les cas, et la forme du développement ne varie point selon la nature de la fonction.
Supposons maintenant qu’ayant écrit au lieu de on ait déterminé par l’intégration les coëfficiens et que l’on ait formé l’équation
Il est certain qu’en donnant à une valeur quelconque comprise entre et le second membre de cette équation équivaut à c’est une conséquence nécessaire de notre calcul. Mais il ne s’ensuit nullement qu’en donnant à une valeur non comprise entre et la même égalité aura lieu. On voit très-distinctement le contraire dans les exemples que nous avons cités, et si l’on excepte les cas particuliers, on peut dire que la fonction assujettie à une loi continue, qui formerait le premier membre des équations de ce genre, ne coïncide avec la fonction exprimée par le second membre, que pour les valeurs de comprises entre et
À proprement parler, l’équation est identique, et elle subsiste pour toutes les valeurs que l’on attribuerait à la variable mais l’un et l’autre membre de cette équation représentent une certaine fonction analytique qui coïncide avec une fonction connue si l’on donne à la variable des valeurs comprises entre et Quant à l’existence de ces fonctions, qui coïncident pour toutes les valeurs de la variable comprises entre certaines limites, et diffèrent pour les autres valeurs, elle est démontrée par tout ce qui précède, et les considérations de ce genre sont un élément nécessaire de l’analyse des différences partielles.
Au reste, il est évident que les équations et (E) ne s’appliquent pas seulement à la sphère solide dont le rayon est elles représentent, l’une l’état initial, l’autre l’état variable du solide infiniment étendu, dont le corps sphérique fait partie ; et lorsqu’on donne dans ces équations, à la variable des valeurs plus grandes que elles se rapportent aux parties de ce solide infini qui enveloppe la sphère. Cette remarque convient aussi à toutes les questions dynamiques que l’on résout par l’analyse des différences partielles.
427.
Pour appliquer la solution donnée par l’équation (E) au cas où une seule couche sphérique aurait été primitivement échauffée, toutes les autres ayant une température initiale nulle, il suffirait de prendre l’intégrale entre deux limites extrêmement voisines, et étant le rayon de la surface intérieure de la couche échauffée, et l’épaisseur de cette couche.
On peut aussi considérer séparément l’effet résultant de l’échauffement initial d’une autre couche comprise entre les limites et et si l’on ajoute la température variable due à cette seconde cause à la température que l’on avait d’abord trouvée lorsque la première couche était seule échauffée, la somme des deux températures est celle qui aurait lieu, si les deux couches étaient échauffées à la fois. Il suffirait, pour avoir égard aux deux causes réunies, de prendre l’intégrale entre les limites et Plus généralement, l’équation (E) pouvant être mise sous cette forme :
On reconnaît que l’effet total de l’échauffement des différentes
couches est la somme des effets partiels que l’on déterminerait
séparément, en supposant que chacune des couches
a été seule échauffée. La même conséquence s’étend à
toutes les autres questions de la théorie de la chaleur ; elle
dérive de la nature même des équations, et la forme des intégrales
la rend manifeste. On voit que la chaleur contenue
dans chaque élément d’un corps solide produit son effet distinct,
comme si cet élément avait été seul échauffé, tous les
autres ayant une température initiale nulle. Ces divers états se superposent en quelque sorte, et se rassemblent pour
former le système général des températures.
C’est pour cette raison que la forme de la fonction qui représente l’état initial doit être regardée comme entièrement arbitraire. L’intégrale définie, qui entre dans l’expression de la température variable, ayant les mêmes limites que le solide échauffé, montre expressément que l’on réunit tous les effets partiels dus à l’échauffement initial de chaque élément.
428.
Nous terminerons ici cette section, dont l’objet appartient presque entièrement à l’analyse. Les intégrales que nous avons obtenues ne sont point seulement des expressions générales qui satisfont aux équations différentielles ; elles représentent de la manière la plus distincte l’effet naturel, qui est l’objet de la question. C’est cette condition principale que nous avons eu toujours en vue, et sans laquelle les résultats du calcul ne nous paraîtraient que des transformations inutiles. Lorsque cette condition est remplie, l’intégrale est, à proprement parler, l’équation du phénomène ; elle en exprime clairement le caractère et le progrès, de même que l’équation finie d’une ligne ou d’une surface courbe fait connaître toutes les propriétés de ces figures. Pour découvrir ces solutions, nous ne considérons point une seule forme de l’intégrale ; nous cherchons à obtenir immédiatement celle qui est propre à la question. C’est ainsi que l’intégrale, qui exprime le mouvement de la chaleur dans une sphère d’un rayon donné, est très-différente de celle qui exprime ce mouvement dans un corps cylindrique, ou même dans une sphère d’un rayon supposé infini. Or, chacune de ces intégrales a une forme déterminée qui ne peut pas être suppléée par une autre. Il est nécessaire d’en faire usage, si l’on veut connaître la distribution de la chaleur dans le corps dont il s’agit. En général, on ne pourrait apporter aucun changement dans la forme de nos solutions, sans leur faire perdre leur caractère essentiel, qui est de représenter les phénomènes.
Ces diverses intégrales pourraient être déduites les unes des autres ; car elles ont la même étendue. Mais ces transformations exigent de longs calculs, et supposent presque toujours que la forme des résultats est connue d’avance. On peut considérer en premier lieu, des corps dont les dimensions sont finies, et passer de cette question à celle qui se rapporte à un solide non terminé. On substitue alors une intégrale définie à la somme désignée par le signe C’est ainsi que les équations et rapportées au commencement de cette section, dépendent l’une de l’autre. La première devient la seconde, lorsqu’on suppose le rayon infini. On peut réciproquement déduire de cette seconde équation les solutions relatives aux corps de dimensions limitées.
En général, nous avons cherché à obtenir chaque résultat par la voie la plus courte. Voici les éléments principaux de la méthode que nous avons suivie.
1o On considère à-la-fois la condition générale donnée par l’équation aux différences partielles, et toutes les conditions singulières qui déterminent entièrement la question, et l’on se propose de former l’expression analytique qui satisfait à toutes ces conditions.
2o On reconnaît d’abord que cette expression contient un nombre indéfini de termes, où il entre des constantes inconnues, ou qu’elle équivaut à une intégrale où se trouvent une ou plusieurs fonctions arbitraires. Dans le premier cas, c’est-à-dire, lorsque le terme général est affecté du signe on déduit des conditions spéciales une équation transcendante déterminée, dont les racines donnent les valeurs d’un nombre infini de constantes.
Le second cas a lieu lorsque le terme général devient une quantité infiniment petite ; alors la somme de la série se change en une intégrale définie.
3o On peut démontrer par les théorèmes fondamentaux de l’algèbre, ou même par la nature physique de la question, que l’équation transcendante a toutes ses racines réelles en nombre infini.
4o Dans les questions élémentaires, le terme général est formé de sinus ou cosinus ; les racines de l’équation déterminée sont des nombres entiers, ou des quantités réelles et irrationnelles : chacune d’elles est comprise entre deux limites déterminées.
Dans les questions plus composées, le terme général est formé d’une fonction implicitement donnée au moyen d’une équation différentielle intégrable ou non. Quoi qu’il en soit, l’équation déterminée subsiste ; elle a toutes ses racines réelles en nombre infini. Cette distinction des parties, dont l’intégrale doit être composée, est très-importante, parce qu’elle fait connaître clairement la forme de la solution, et les relations nécessaires entre les coëfficients.
5o Il reste à déterminer les seules constantes qui dépendent de l’état initial, ce qui se fait par l’élimination des inconnues dans un nombre infini d’équations du premier degré. On multiplie l’équation qui se rapporte à l’état initial par un facteur différentiel, et l’on intègre entre des limites définies, qui sont le plus souvent celles du solide où le mouvement s’accomplit.
Il y a des questions pour lesquelles nous avons déterminé les coëfficients par des intégrations successives, comme on le verra dans le mémoire qui a pour objet la température des habitations. Dans ce cas, on considère les intégrales exponentielles qui conviennent à l’état initial du solide infini ; car il est facile d’obtenir ces intégrales.
Il résulte des intégrations que tous les termes du second membre disparaissent, excepté celui dont on veut déterminer le coëfficient. Dans la valeur de ce coëfficient, le dénominateur devient nul, et l’on obtient toujours une intégrale définie dont les limites sont celles du solide, et dont un des facteurs est la fonction arbitraire qui convient à l’état initial. Cette forme du résultat est nécessaire, parce que le mouvement variable, qui est l’objet de la question, se compose de tous ceux qui auraient lieu séparément, si chaque point du solide était seul échauffé, et que la température initiale de tous les autres fût nulle.
Lorsqu’on examine avec soin ce procédé d’intégration, qui sert à déterminer les coëfficients, on voit qu’il contient une démonstration complète, et qu’il montre très-distinctement la nature des résultats, en sorte qu’il n’est nullement nécessaire de les vérifier par d’autres calculs.
La plus remarquable des questions que nous ayons exposées jusqu’ici, et la plus propre à faire connaître l’ensemble de notre analyse, est celle du mouvement variable de la chaleur dans un corps cylindrique. Dans d’autres recherches, la détermination des coëfficients exigerait des procédés de calcul que nous ne connaissons point encore. Mais il faut remarquer que l’on peut toujours, sans déterminer les valeurs des coëfficients, acquérir une connaissance exacte de la question, et de la marche naturelle du phénomène qui en est l’objet ; la considération principale est celle des mouvements simples.
6o Lorsque l’expression cherchée contient une intégrale définie, on détermine les fonctions inconnues placées sous le signe soit par les théorèmes que nous avons donnés pour exprimer les fonctions arbitraires en intégrales définies, soit par un procédé plus composé, dont on trouvera divers exemples dans la seconde Partie.
Ces théorèmes s’étendent à un nombre quelconque de variables. Ils appartiennent en quelque sorte à une méthode inverse d’intégration définie : car ils servent à déterminer sous les signes et des fonctions inconnues qui doivent être telles, que le résultat de l’intégration soit une fonction donnée.
Les mêmes principes s’appliquent à diverses autres questions de géométrie, de physique générale, ou d’analyse, soit que les équations contiennent des différences finies ou infiniment petites, soit qu’elles comprennent les unes et les autres.
Les solutions que l’on obtient par cette méthode sont complètes, et consistent dans des intégrales générales. Aucune autre intégrale ne peut avoir plus d’étendue. Les objections qui avaient été proposées à ce sujet sont dénuées de tout fondement ; il serait aujourd’hui superflu de les discuter.
7o Nous avons dit que chacune de ces solutions donne l’équation propre du phénomène, parce qu’elle le représente distinctement dans toute l’étendue de son cours, et qu’elle sert à déterminer facilement en nombre tous les résultats.
Les fonctions que l’on obtient par ces solutions sont donc composées d’une multitude de termes, soit finis, soit infiniment petits : mais la forme de ces expressions n’a rien d’arbitraire ; elle est déterminée par le caractère physique du phénomène. C’est pourquoi, lorsque la valeur de la fonction est exprimée par une série où il entre des exponentielles relatives au temps, il est nécessaire que cela soit ainsi, parce que l’effet naturel dont on recherche les lois, se décompose réellement en parties distinctes, correspondantes aux différents termes de la série. Ces parties expriment autant de mouvements simples compatibles avec les conditions spéciales ; pour chacun de ces mouvements, toutes les températures décroissent en conservant leurs rapports primitifs. On ne doit pas voir dans cette composition un résultat de l’analyse dû à la seule forme linéaire des équations différentielles, mais un effet subsistant qui devient sensible dans les expériences. Il se présente aussi dans les questions dynamiques où l’on considère les causes qui anéantissent le mouvement ; mais il appartient nécessairement à toutes les questions de la théorie de la chaleur, et il détermine la nature de la méthode que nous avons suivie pour les résoudre.
La théorie mathématique de la chaleur se forme, 1o de la définition exacte de tous les éléments du calcul ; 2o des équations différentielles ; 3o des intégrales propres aux questions fondamentales. On peut arriver aux équations par plusieurs voies ; on peut aussi obtenir les mêmes intégrales, ou résoudre d’autres questions, en apportant quelque changement dans la marche du calcul. Nous pensons que ces recherches ne constituent point une méthode différente de la nôtre ; mais elles confirment et multiplient les résultats.
9o On avait objecté, au sujet de notre analyse, que les équations transcendantes qui déterminent les exposants, ayant des racines imaginaires, il serait nécessaire d’employer les termes qui en proviennent, et qui indiqueraient dans une partie du phénomène le caractère périodique : mais cette objection n’est point fondée, parce que les équations dont il s’agit ont en effet toutes leurs racines réelles, et qu’aucune partie du phénomène ne peut être périodique.
10o On avait allégué que pour résoudre avec certitude les questions de ce genre, il est nécessaire de recourir dans tous les cas à une certaine forme de l’intégrale que l’on désignait comme générale ; et l’on proposait, sous cette dénomination, l’équation de l’article 398 ; mais cette distinction n’est point fondée, et l’usage d’une seule intégrale n’aurait pour effet, dans plusieurs cas, que de compliquer le calcul sans nécessité. Il est d’ailleurs évident que cette intégrale se déduit de celle que nous avons donnée en 1807 pour déterminer le mouvement de la chaleur dans une armille d’un rayon déterminé il suffit de donner à une valeur infinie.
11o On a pensé que la méthode qui consiste à exprimer l’intégrale par une suite de termes exponentiels, et à déterminer les coëfficients au moyen de l’état initial, ne résout point la question relative à un prisme qui perd inégalement sa chaleur par ses deux extrémités ; ou que, du moins, il serait très-difficile de vérifier ainsi la solution que l’on déduit de l’intégrale par de longs calculs. On reconnaîtra par un nouvel examen, que notre méthode s’applique directement à cette question, et qu’il suffit même d’une seule intégration.
12o Nous avons développé en séries de sinus d’arcs multiples des fonctions qui paraissent ne contenir que des puissances paires de la variable, par exemple, Nous avons exprimé par des suites convergentes ou en intégrales définies des parties séparées de diverses fonctions ou des fonctions discontinues entre certaines limites, par exemple, celle qui mesure l’ordonnée dans un triangle. Nos démonstrations ne laissent aucun doute sur l’exacte vérité de ces équations.
13o On trouve dans les ouvrages de tous les géomètres des résultats et des procédés de calcul analogues à ceux que nous avons employés. Ce sont des cas particuliers d’une méthode générale qui n’était point encore formée, et qu’il devenait nécessaire d’établir pour connaître, même dans les questions les plus simples, les lois mathématiques de la distribution de la chaleur. Cette théorie exigeait une analyse qui lui est propre, et dont un élément principal est l’expression analytique des fonctions séparées, ou des parties de fonctions.
Nous entendons par fonction séparée, ou partie de fonction, une fonction qui a des valeurs subsistantes, lorsque la variable est comprise entre des limites données, et dont la valeur est toujours nulle, si la variable n’est pas comprise entre ces limites. Cette fonction mesure l’ordonnée d’une ligne qui comprend un arc fini d’une forme arbitraire, et se confond avec l’axe des abcisses dans tout le reste de son cours.
Cette notion n’est point opposée aux principes généraux du calcul ; on pourrait même en trouver les premiers fondements dans les écrits de Daniel Bernouilly, de Clairaut, de La Grange et d’Euler. Toutefois on avait regardé comme manifestement impossible d’exprimer en séries de sinus d’arcs multiples, ou du moins en séries trigonométriques convergentes, une fonction qui n’a de valeurs subsistantes que si celles de la variable sont comprises entre certaines limites, et dont toutes les autres valeurs seraient nulles. Mais ce point d’analyse est pleinement éclairci, et il demeure incontestable que les fonctions séparées, ou parties de fonctions, sont exactement exprimées par des séries trigonométriques convergentes, ou par des intégrales définies. Nous avons insisté sur cette conséquence dès l’origine de nos recherches jusqu’à ce jour, parce qu’il ne s’agit point ici d’une question abstraite et isolée, mais d’une considération principale, intimement liée aux applications les plus utiles et les plus étendues. Rien ne nous a paru plus propre que les constructions géométriques à démontrer la vérité de ces nouveaux résultats, et à rendre sensibles les formes que l’analyse emploie pour les exprimer.
14o Les principes qui nous ont servi à établir la théorie analytique de la chaleur, s’appliquent immédiatement à la recherche du mouvement des ondes dans les liquides dont une partie a été agitée. Ils donnent aussi celle des vibrations des lames élastiques, des surfaces flexibles tendues, des surfaces planes élastiques de très-grandes dimensions, et conviennent en général aux questions qui dépendent de la théorie de l’élasticité. Le propre des solutions que l’on déduit de ces principes est de rendre les applications numériques faciles, et de présenter des résultats distincts et sensibles, qui déterminent réellement l’objet de la question, sans faire dépendre cette connaissance d’intégrations ou d’éliminations qu’on ne peut effectuer. Nous regardons comme superflue toute transformation des résultats du calcul qui ne satisfait point à cette condition principale.
429.
1o Nous présenterons maintenant diverses remarques concernant les équations différentielles du mouvement de la chaleur.
Si deux molécules d’un même corps sont extrêmement voisines et ont des températures inégales, celle qui est la plus échauffée communique directement à l’autre pendant un instant une certaine quantité de chaleur ; cette quantité est proportionnelle à la différence extrêmement petite des températures : c’est-à-dire que si cette différence devenait double triple, quadruple, et que toutes les autres conditions demeurassent les mêmes, la chaleur communiquée serait double triple, quadruple.
Cette proposition exprime un fait général et constant, qui suffit pour servir de fondement à la théorie mathématique. Le mode de transmission est donc connu avec certitude, indépendamment de toute hypothèse sur la nature de la cause, et il ne peut être envisagé sous deux points de vue différents. Il est évident que la communication immédiate s’opère suivant toutes les directions, et qu’elle n’a lieu dans les fluides ou les liquides non diaphanes, qu’entre des molécules extrêmement voisines.
Les équations générales du mouvement de la chaleur, dans l’intérieur des solides de dimensions quelconques, et à la surface de ces corps, sont des conséquences nécessaires de la proposition précédente. Elles s’en déduisent rigoureusement, comme nous l’avons prouvé dans nos premiers Mémoires en 1807, et l’on obtient facilement ces équations au moyen de lemmes dont la démonstration n’est pas moins exacte que celle des propositions élémentaires de la mécanique.
On déduit encore ces équations de la même proposition, en déterminant par des intégrations, la quantité totale de chaleur qu’une molécule reçoit de celles qui l’environnent. Ce calcul n’est sujet à aucune difficulté. Les lemmes dont il s’agit suppléent aux intégrations, parce qu’ils donnent immédiatement l’expression du flux, c’est-à-dire de la quantité de chaleur qui traverse une section quelconque. L’un et l’autre calcul doivent évidemment conduire au même résultat ; et comme il n’y a aucune différence dans le principe, il ne peut point y en avoir dans les conséquences.
2o Nous avons donné, en 1811, l’équation générale qui se rapporte à la surface. Elle n’a pas été déduite de cas particuliers, comme on l’a supposé sans aucun fondement, et elle n’aurait pu l’être ; la proposition qu’elle exprime n’est point de nature à être découverte par voie d’induction ; on ne peut pas la connaître pour certains corps, et l’ignorer pour les autres ; elle est nécessaire pour tous, afin que l’état de la superficie ne subisse pas dans un temps déterminé un changement infini. Nous avons omis dans notre Mémoire les détails de la démonstration, parce qu’ils consistent seulement dans l’application de propositions connues. Il suffisait dans cet écrit de donner le principe et le résultat, comme nous l’avons fait dans l’article 15 du Mémoire cité.
On déduit aussi de cette même condition l’équation générale dont il s’agit, en déterminant la quantité totale de chaleur que chaque molécule placée à la surface reçoit et communique. Ces calculs très-composés ne changent rien à la nature de la démonstration.
Dans la recherche de l’équation différentielle du mouvement de la chaleur, on peut supposer que la masse n’est point homogène, et il est très-facile de déduire cette équation de l’expression analytique du flux ; il suffit de laisser sous le signe de la différentiation le coefficient qui mesure la conducibilité.
3o Newton a considéré le premier la loi du refroidissement des corps dans l’air : celle qu’il a admise pour le cas où l’air est emporté avec une vitesse constante, est d’autant plus conforme aux observations que la différence des températures est moindre ; elle aurait lieu exactement, si cette différence était infiniment petite.
Amontons a fait une expérience remarquable sur l’établissement de la chaleur dans un prisme dont l’extrémité est assujettie à une température déterminée. La loi logarithmique du décroissement des températures dans ce prisme, a été donnée pour la première fois par Lambert, de l’Académie de Berlin. MM. Biot et de Rumford ont confirmé cette loi par des expériences.
Pour découvrir les équations différentielles du mouvement variable de la chaleur, et même dans le cas le plus élémentaire, comme celui du prisme cylindrique d’un très-petit rayon, il était nécessaire de connaître l’expression mathématique de la quantité de chaleur qui traverse une partie extrêmement petite du prisme. Cette quantité n’est pas seulement proportionnelle à la différence des températures des deux sections qui terminent la tranche. On prouve de la manière la plus rigoureuse qu’elle est aussi en raison inverse de l’épaisseur de cette tranche, c’est-à-dire, que si deux tranches d’un même prisme étaient inégalement épaisses, et que pour la première, la différence des températures des deux bases fut la même que pour la seconde, les quantités de chaleur qui traversent ces tranches pendant le même instant, seraient en raison inverse des épaisseurs. Le lemme précédent ne convient pas seulement à des tranches dont l’épaisseur est infiniment petite ; il s’applique à des prismes d’une épaisseur quelconque. Cette notion du flux est fondamentale ; tant qu’on ne l’a point acquise, on ne peut se former une idée exacte du phénomène et de l’équation qui l’exprime.
Il est évident que l’accroissement instantanée de la température d’un point, est proportionnel à l’excès de la quantité de chaleur que ce point a reçue, sur la quantité qu’il a perdue, et qu’une équation différentielle partielle doit exprimer ce résultat : mais la question ne consiste pas à énoncer cette proposition, qui est le fait lui-même ; elle consiste à former réellement l’équation différentielle, ce qui exige que l’on considère ce fait dans ses éléments. Si au lieu d’employer l’expression exacte du flux de chaleur, on omet le dénominateur de cette expression, on fait naître par cela même une difficulté qui n’est nullement inhérente à la question ; et il n’y a aucune théorie mathématique qui n’en présentât de semblables, si l’on commençait par altérer le principe des démonstrations. Non-seulement on ne peut former ainsi une équation différentielle : mais il n’y a rien de plus opposé à une équation, qu’une proposition de ce genre, où l’on exprimerait l’égalité de quantités qui ne peuvent être comparées. Pour éviter cette erreur, il suffit de donner quelque attention à la démonstration et aux conséquences du lemme précédent (art. 65, 66, 67, et art. 75).
4o Quant aux notions dont nous avons déduit pour la première fois les équations différentielles, elles sont celles que les physiciens ont toujours admises. Nous ignorons si quelqu’un a pu concevoir le mouvement de la chaleur, comme étant produit dans l’intérieur des corps par le seul contact des surfaces qui séparent les différentes parties. Pour nous, une telle proposition nous paraîtrait dépourvue de tout sens intelligible. Une surface de contact ne peut être le sujet d’aucune qualité physique ; elle n’est ni échauffée, ni colorée, ni pesante. Il est évident que lorsqu’une partie d’un corps donne sa chaleur à une autre, il y a une infinité de points matériels de la première, qui agissent sur une infinité de points de la seconde. Il faut seulement ajouter que dans l’intérieur des matières opaques, les points dont la distance n’est pas très-petite ne peuvent se communiquer directement leur chaleur ; celle qu’ils s’envoient est interceptée par les molécules intermédiaires. Les tranches en contact sont les seules qui se communiquent immédiatement leur chaleur, lorsque l’épaisseur de ces tranches égale ou surpasse la distance que la chaleur envoyée par un point, parcourt avant d’être entièrement absorbée. Il n’y a d’action directe qu’entre les points matériels extrêmement voisins, et c’est pour cela, que l’expression du flux a la forme que nous lui attribuons. Ce flux résulte donc d’une multitude infinie d’actions dont les effets s’ajoutent ; mais ce n’est point pour cette cause que sa valeur, pendant l’unité de temps est une grandeur finie et mesurable, quoiqu’il ne soit déterminé que par une différence extrêmement petite entre les températures.
Lorsqu’un corps échauffé perd sa chaleur dans un milieu élastique, ou dans un espace vide d’air terminé par une enveloppe solide, la valeur de ce flux extérieur est assurément une intégrale ; elle est encore due à l’action d’une infinité de points matériels, très-voisins de la surface, et nous avons démontré autrefois, que ce concours détermine la loi du rayonnement extérieur. Cependant la quantité de chaleur émise, pendant l’unité de temps, serait infiniment petite, si la différence des températures n’avait point une valeur finie. Dans l’intérieur des masses, la faculté conductrice est incomparablement plus grande que celle qui s’exerce à la superficie. Cette propriété, quelle qu’en puisse être la cause, nous est connue de la manière la plus claire, puisque le prisme étant parvenu à son état constant, la quantité de chaleur qui traverse une section, pendant l’unité de temps, compense exactement celle qui se dissipe par toute la partie de la surface échauffée, qui est placée au-delà de cette section, et dont les températures surpassent celle du milieu d’une grandeur finie. Lorsqu’on n’a point égard à ce fait principal, et que l’on omet le diviseur dans l’expression du flux, il est entièrement impossible de former l’équation différentielle, même pour le cas le plus simple ; à plus forte raison, serait-on arrêté dans la recherche des équations générales.
5o De plus, il est nécessaire de connaître comment les dimensions de la section du prisme influent sur les valeurs des températures acquises. Quoiqu’il s’agisse seulement du mouvement linéaire, et que tous les points d’une section soient regardés comme ayant la même température, il ne s’ensuit pas que l’on puisse faire abstraction des dimensions de la section, et étendre à d’autres prismes les conséquences qui ne conviennent qu’à un seul. On ne peut point former l’équation exacte sans exprimer cette relation entre l’étendue de la section et l’effet produit à l’extrémité du prisme.
Nous ne développerons pas davantage l’examen des principes qui nous ont conduit à la connaissance des équations différentielles ; nous ajoutons seulement que pour porter un jugement approfondi sur l’utilité de ces principes, il faut aussi considérer des questions variées et difficiles : par exemple, celle que nous allons indiquer, et dont la solution manquait à notre théorie, ainsi que nous l’avions fait remarquer depuis long-temps. Cette question consiste à former les équations différentielles, qui expriment la distribution de la chaleur dans les liquides en mouvement, lorsque toutes les molécules sont déplacées par des forces quelconques, combinées avec les changements de température. Ces équations que nous avons données dans le cours de l’année 1820, appartiennent à l’hydrodynamique générale ; elles complètent cette branche de la mécanique analytique.
430.
Les différents corps jouissent très-inégalement de cette propriété que les physiciens ont appelée conductibilité ou conducibilite, c’est-à-dire de la faculté d’admettre la chaleur, et de la propager dans l’intérieur des masses. Nous n’avons point changé ces dénominations, quoique elles ne nous paraissent point exactes. L’une et l’autre, et sur-tout la première, exprimeraient plutôt, selon toutes les analogies, la faculté d’être conduit que celle de conduire.
La chaleur pénètre avec plus ou moins de facilité la superficie des diverses substances, soit pour s’y introduire, soit pour en sortir, et les corps sont inégalement perméables à cet élément, c’est-à-dire qu’il s’y propage avec plus ou moins de facilité, en passant d’une molécule intérieure à une autre. Nous pensons que l’on pourrait désigner ces deux propriétés distinctes par les noms de pénétrabilité, et de perméabilité.
Il faut sur-tout ne point perdre de vue que la pénétrabilité de la surface dépend de deux qualités différentes : l’une est relative au milieu extérieur, et exprime la facilité de la communication par le contact ; l’autre consiste dans la propriété d’émettre ou d’admettre la chaleur rayonnante. Quant à la perméabilité spécifique, elle est propre à chaque substance, et indépendante de l’état de la superficie. Au reste, les définitions précises sont le vrai fondement de la théorie ; mais les dénominations n’ont point, dans la matière que nous traitons, le même degré d’importance.
431.
On ne peut point appliquer cette dernière remarque aux notations, car elles contribuent beaucoup aux progrès de la science du calcul. On ne doit les proposer qu’avec réserve, ni les admettre qu’après un long examen. Celle que nous avons employée se réduit à indiquer au-dessous et au-dessus du signe d’intégration les limites de l’intégrale, en écrivant immédiatement après ce signe, la différentielle de la quantité qui varie entre ces limites.
On se sert aussi du signe pour exprimer la somme d’un nombre indéfini de termes qui dérivent d’un terme général, où l’on fait varier l’indice Nous plaçons cet indice, s’il est nécessaire, au-devant du signe, et nous écrivons la première valeur de au-dessous, et la dernière au-dessus. L’emploi habituel de ces notations en fera connaître toute l’utilité, principalement lorsque le calcul des intégrales définies devient composé, et lorsque les limites de l’intégrale sont elles-mêmes l’objet de ce calcul.
432.
Les résultats principaux de notre théorie sont les équations différentielles du mouvement de la chaleur dans les corps solides ou liquides, et l’équation générale qui se rapporte à la surface. La vérité de ces équations n’est point fondée sur une explication physique des effets de la chaleur. De quelque manière que l’on veuille concevoir la nature de cet élément, soit qu’on le regarde comme un être matériel distinct, qui passe d’une partie de l’espace dans une autre, soit qu’on fasse consister la chaleur dans la seule transmission du mouvement, on parviendra toujours aux mêmes équations, parce que l’hypothèse qu’on aura formée doit représenter les faits généraux et simples, dont les lois mathématiques sont dérivées.
La quantité de chaleur que se transmettent deux molécules dont les températures sont inégales, dépend de la différence de ces températures. Si la différence est infiniment petite, il est certain que la chaleur communiquée est proportionnelle à cette différence ; toutes les expériences concourent à démontrer rigoureusement cette proposition. Or pour établir les équations différentielles dont il s’agit, on considère seulement l’action réciproque des molécules infiniment voisines. Il n’y a donc aucune incertitude sur la forme des équations qui se rapportent à l’intérieur de la masse.
L’équation relative à la surface exprime, comme nous l’avons dit, que le flux de la chaleur, dans le sens de la normale et à l’extrémité du solide, doit avoir la même valeur, soit que l’on calcule l’action mutuelle des molécules du solide, soit que l’on considère l’action que le milieu exerce sur l’enveloppe. L’expression analytique de la première valeur est très-simple, et exactement connue ; quant à la seconde valeur, elle est sensiblement proportionnelle à la température de la surface, lorsque l’excès de cette température sur celle du milieu est une quantité assez petite. Dans les autres cas, il faut regarder cette seconde valeur comme donnée par une série d’observations ; elle dépend de l’état de la superficie, de la pression et de la nature du milieu ; c’est cette valeur observée qui doit former le second membre de l’équation relative à la surface.
Dans plusieurs questions importantes, cette dernière équation est remplacée par une condition donnée, qui exprime l’état ou constant, ou variable, ou périodique de la superficie.
433.
Les équations différentielles du mouvement de la chaleur sont des conséquences mathématiques analogues aux équations générales de l’équilibre et du mouvement, et qui dérivent, comme elles, des faits naturels les plus constants.
Les coëfficients qui entrent dans ces équations, doivent être considérés, en général, comme des grandeurs variables, qui dépendent de la température, ou de l’état des corps. Mais dans l’application aux questions naturelles qui nous intéressent le plus, on peut attribuer à ces coëfficients des valeurs sensiblement constantes.
Le premier coëfficient varie très-lentement, à mesure que la température s’élève. Ces changements sont presque insensibles dans un intervalle d’environ trente degrés. Une suite d’observations précieuses, dues à MM. les professeurs Dulong et Petit, indique que cette valeur de la capacité spécifique croît fort lentement avec la température.
Le coëfficient qui mesure la pénétrabilité de la surface, est plus variable, et se rapporte à un état très-composé. Il exprime la quantité de chaleur communiquée au milieu, soit par l’irradiation, soit par le contact. Le calcul rigoureux de cette quantité dépendrait donc de la question du mouvement de la chaleur dans les milieux liquides ou aériformes. Mais lorsque l’excès de température est une quantité assez petite, les observations prouvent que la valeur du coëfficient peut être regardée comme constante. Dans d’autres cas, il est facile de déduire des expériences connues une correction qui donne au résultat une exactitude suffisante.
On ne peut douter que le coëfficient mesure de la perméabilité, ne soit sujet à des variations sensibles ; mais on n’a encore fait, sur ce sujet important, aucune suite d’expériences propres à nous apprendre comment la facilité de conduire la chaleur change avec la température et avec la pression. On voit par les observations, que cette qualité peut être regardée comme constante dans une assez grande partie de l’échelle thermométrique. Mais ces mêmes observations nous porteraient à croire que la valeur du coëfficient dont il s’agit, est beaucoup plus changée par les accroissements de température, que celle de la capacité spécifique.
Enfin la dilatabilité des solides, ou la disposition à augmenter de volume, n’est point la même à toutes les températures : mais dans les questions que nous avons traitées, ces changements ne peuvent point altérer d’une manière sensible la précision des résultats. En général, dans l’étude des grands phénomènes naturels qui dépendent de la distribution de la chaleur, on est fondé à regarder comme constantes les valeurs des coëfficients. Il est d’abord nécessaire de considérer sous ce point de vue les conséquences de la théorie. Ensuite la comparaison attentive de ces résultats avec ceux d’expériences très-précises, fera connaître quelles sont les corrections dont on doit faire usage, et l’on donnera aux recherches théoriques une extension nouvelle, à mesure que les observations deviendront plus nombreuses et plus exactes. On connaîtra alors quelles sont les causes qui pourraient modifier le mouvement de la chaleur dans l’intérieur des corps, et la théorie acquerra une perfection qu’il serait impossible de lui donner aujourd’hui.
La chaleur lumineuse, ou celle qui accompagne les rayons de lumière envoyés par les corps enflammés, pénètre les solides et les liquides diaphanes, et s’y éteint progressivement en parcourant un intervalle de grandeur sensible.
On ne pourrait donc point supposer, dans l’examen de ces questions, que les impressions directes de la chaleur ne se portent qu’à une distance extrêmement petite. Lorsque cette distance a une valeur finie, les équations différentielles prennent une forme différente : mais cette partie de la théorie ne présenterait des applications utiles qu’en se fondant sur des connaissances expérimentales que nous n’avons point encore acquises.
Les expériences indiquent que, pour les températures peu élevées, une portion extrêmement faible de la chaleur obscure jouit de la même propriété que la chaleur lumineuse ; il est vraisemblable que la distance où se portent les impressions de la chaleur qui pénètre les solides, n’est pas totalement insensible, et qu’elle est seulement fort petite : mais cela n’occasionne aucune différence appréciable dans les résultats de la théorie ; ou du moins, ces différences ont échappé jusqu’ici à toutes les observations.