Traité de dynamique/1758/Partie 2/Chapitre 3

David l'aîné, 1758 (p. 96-126).

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CHAPITRE III.

Problêmes où l’on montre l’usage du Principe précédent.

§. I.

Des Corps qui se tirent par des fils ou par des verges.

PROBLÊME I.

87. Trouver la vitesse d’une verge $\mathrm {CR} \,\!$ fixe en $\mathrm {C} \,\!$ (Fig. 22) & chargée de tant de corps $\mathrm {A} \,\!$ , $\mathrm {B} \,\!$ , $\mathrm {R} \,\!$ , qu’on voudra, en supposant que ces corps, si la verge ne les empêchoit, décrivissent dans des tems egaux les lignes infiniment petites $\mathrm {AO} \,\!$ , $\mathrm {BQ} \,\!$ , $\mathrm {RT} \,\!$ , perpendiculaires à la verge.

Toute la difficulté se réduit à trouver la ligne $RS\,\!$ parcourue par un des corps $R\,\!$ , dans le même tems qu’il eût parcouru $RT\,\!$ ; car alors les vitesses $BG\,\!$ , $AM\,\!$ de tous les autres corps seront connues. Or regardons les vitesses imprimées $RT\,\!$ , $BQ\,\!$ , $AO\,\!$ , comme composées (art. 30 & 60) des vitesses $RS,ST;BG,-GQ;AM,-MO$ ; par notre principe, le levier $CAR$ seroit demeuré en repos, si les corps $R,B,A$ n'avoient reçû que les mouvements $ST,-GQ,-MO$ . Donc^[1] $A.MO.AC+B.GQ.BC=R.ST.CR$ , c'est-à-dire qu'en nommant $AO,a,BQ,b,RT,c,CA,r,CR,p,\&RS,z$ , on aura $R.c-z.p=Ar({\frac {zr}{p}}-a)+Br({\frac {zr}{p}}-b)$ ; par conséquent $z={\frac {Aarp+Bbrp+Rcpp}{Arr+Brr+Rpp}}$ .

COROLLAIRE I.

voir comment mon principe s’y applique. Car si on vouloit résoudre autrement ce problème, on pourroît s’y prendre ainsi. Soit T la tension du fil, qui agit également fuivant CP & CF on aura ${\frac {Ppdy}{ds}}-{\frac {Tdx}{ds}}$ pour la force qui accélere le corps P suivant Pp, & ${\frac {Tdx}{dt}}-{\frac {Fgdz}{dt}}$ on aura donc

$\left({\frac {Ppdy}{ds}}-{\frac {Tdx}{ds}}\right)=Pudu$ ,

& $\left({\frac {Ppdy}{ds}}-{\frac {Tdx}{ds}}\right)dt={\frac {F}{s}}d\left({\frac {uudt^{2}}{ds^{2}}}\right)$ ,

d’où l’on tire en ajoûtant ces deux équations & intégrant,

 $uu+{\frac {uuFdt^{2}}{Fds^{2}}}=2py-{\frac {2Fgz}{P}}$

Cette derniere solution est â la vérité plus simple que celle de l’artîcle 105 ; mais je crois que d’un autre côté elle n’est pas tout-à—fait si lumineuse ni si directe.

Car, à parler exactement, le fil n’agit point sur les corps, il n’a qu’une force de résistance, & nullement d’impulsion.

P R O B L E M E I V.

109.(*) Un corps P étant mû dans une rainure courbe $APp\pi$ , (Fig. 28) où il est animé d’une force accélé-

(*) Quoique ce Probléme soit ici â sa véritable place eu égard à l’ordre des matieres, on peut néanmoins, si on le trouve trop compliqué, en remettre la lecture après celle du Probléme V II, & de ses coro11aires,

↑ Voyez la note 2pag.60, & observez que $A\times MO,B\times GQ\&c:$ sont ici des puissances.
↑ Il faut considérer que $AO,BQ,RT$ sont les impulsions momentannées que les forces accélératrices communiquent aux corps $A,B,R$ ; & puisque le corps $R$ n'en conserve que $RS$ ou $z$ , il s'ensuit que pour avoir le mouvement de ce corps il faut mettre dans la formule $\varphi de=udu$ de l'article 21, à la place de $\varphi$ la valeur de $z$ & $ds$ à la place de $de$ . Voyez la note 1pag.24.

[1] Voyez la note 2pag.60, & observez que $A\times MO,B\times GQ\&c:$ sont ici des puissances.

[2] Il faut considérer que $AO,BQ,RT$ sont les impulsions momentannées que les forces accélératrices communiquent aux corps $A,B,R$ ; & puisque le corps $R$ n'en conserve que $RS$ ou $z$ , il s'ensuit que pour avoir le mouvement de ce corps il faut mettre dans la formule $\varphi de=udu$ de l'article 21, à la place de $\varphi$ la valeur de $z$ & $ds$ à la place de $de$ . Voyez la note 1pag.24.

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