CHAPITRE VI.
sur la manière d’approcher de la valeur numérique des racines des équations par les fractions continues.
On a vu dans le Chapitre III comment on peut réduire les racines des équations numériques à des fractions continues, et combien ces sortes de réductions sont préférables à toutes les autres nous allons ajouter ici quelques recherches, pour donner à cette théorie toute la généralité et la simplicité dont elle est susceptible.
ARTICLE PREMIER.
Sur les fractions continues périodiques.
45. Nous avons déjà remarqué dans le no 18 que, lorsque la racine cherchée est égale à un nombre commensurable, la fraction continue doit nécessairement se terminer, de sorte que l’on pourra avoir l’expression exacte de la racine ; mais il y a encore un autre cas où l’on peut aussi avoir l’expression exacte de la racine, quoique la fraction continue qui la représente aille à l’infini. Ce cas a lieu lorsque la fraction continue est périodique, c’est-à-dire telle que les mêmes dénominateurs reviennent toujours dans le même ordre à l’infini ; par exemple, si l’on avait la fraction
![{\displaystyle p+{\frac {1}{q+{\cfrac {1}{p+{\cfrac {1}{q+{\cfrac {1}{p+\ddots }}}}}}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/46d3d46df03e11f8599bcffba05cd183bdf87e0d)
il est clair qu’en nommant
![{\displaystyle x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4)
la valeur de cette fraction, on aurait
![{\displaystyle x=p+{\frac {1}{q+{\cfrac {1}{x}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/39f1e13742de4692de8ce18d7add939d6ac6dd42)
ce qui donne cette équation
![{\displaystyle qx^{2}-pqx-p=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a8cabc6f70b54e008836dacf0188958b20234ac2)
par laquelle on pourra déterminer
il en serait de même si la période était d’un plus grand nombre de termes, et l’on trouverait toujours pour la détermination de
une équation du second degré. Il peut aussi arriver que la fraction continue soit irrégulière dans ses premiers termes, et qu’elle ne commence à devenir périodique qu’après un certain nombre de termes : dans ces cas, on pourra trouver de la même manière la valeur de la fraction, et elle dépendra pareillement toujours d’une équation du second degré ; car soit, par exemple, la fraction
![{\displaystyle p+{\frac {1}{q+{\cfrac {1}{r+{\cfrac {1}{s+{\cfrac {1}{r+{\cfrac {1}{s+{\cfrac {1}{r+\ddots }}}}}}}}}}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d75956bf8bf3b9ada6e20a82db3124da3d040930)
Nommons toute la fraction
et
la partie qui est périodique, savoir
![{\displaystyle r+{\frac {1}{s+{\cfrac {1}{r+\ddots }}}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4c933bfc048078f4e5706de4b3b5b9621a21ff2e)
on aura
![{\displaystyle x=p+{\frac {1}{q+{\cfrac {1}{y}}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9bc3d360fce8efd0fbd4fd59fb404437fe5a4f14)
d’où l’on tire
![{\displaystyle y={\frac {x-p}{1-q(x-p)}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fb83e72b77099fd57fdc0e68c6e19bd23797b9d3)
mais on a
![{\displaystyle y=r+{\frac {1}{s+{\cfrac {1}{y}}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/afdca07a1e6424002aab603e1e4422dce73a0d8a)
ce qui donne
![{\displaystyle sy^{2}-rsy-r=0\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5ace73276f1fc5f7b5631fc15a69e24b348ce4be)
donc, substituant pour
sa valeur en
on aura
![{\displaystyle s(x-p)^{2}-rs(x-p)\left[1-q(x-p)\right]-r\left[1-q(x-p)\right]^{2}=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/be61af1435876961607d87882a040692a70766b6)
équation qui, étant développée et ordonnée par rapport à
montera au second degré.
46. On voit, par ce que nous venons de dire, que le cas dont il s’agit doit avoir lieu toutes les fois que, dans la suite des équations transformées
du no 18, il s’en trouvera, deux qui auront les mêmes racines ; car, si la racine
par exemple, de l’équation
était la même que la racine
de l’équation
, on aurait
![{\displaystyle x=p+{\frac {1}{q+{\cfrac {1}{x}}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8a8e4fa210062f17aa4e4af99b4cd17cd1da2bed)
ce qui est le cas que nous avons examiné ci-dessus, et ainsi des autres. Donc, quand on voit que dans une fraction continue certains nombres reviennent dans le même ordre, alors, pour s’assurer si la fraction doit être réellement périodique à l’infini, il n’y aura qu’à examiner si les racines des deux équations, qui ont la même valeur entière approchée, sont parfaitement égales, c’est-à-dire si ces deux équations ont une racine commune ce qu’on reconnaîtra aisément en cherchant leur plus grand commun diviseur, lequel doit nécessairement renfermer toutes les racines communes aux deux équations, s’il y en a ; or, comme nous avons vu que toute fraction continue périodique se réduit à la racine d’une équation du second degré, il s’ensuit que le plus grand diviseur commun dont nous parlons sera nécessairement du second degré.
47. Supposons donc qu’on ait reconnu que, parmi les différentes équations transformées, il s’en trouve deux qui aient la même racine ; alors la fraction continue sera nécessairement périodique à l’infini, de sorte qu’on pourra la continuer aussi loin qu’on voudra, en répétant seulement les mêmes nombres ; mais voyons comment on pourra dans ce cas continuer aussi la suite des fractions convergentes du no 23 sans être obligé de les calculer toutes l’une après l’autre par les formules données.
Pour cet effet, nous supposerons que l’on ait en général
![{\displaystyle x=\lambda _{1}+{\frac {1}{x_{1}}},\quad x_{1}=\lambda _{2}+{\frac {1}{x_{2}}},\quad x_{2}=\lambda _{3}+{\frac {1}{x_{3}}},\quad \ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eb9181c96c0ec0927d0d860d84cd21f640a35da0)
en sorte que,
étant la racine cherchée,
soient celles des équations transformées que nous avons désignées ailleurs par
et l’on aura
![{\displaystyle x=\lambda _{1}+{\frac {1}{\lambda _{2}+{\cfrac {1}{\lambda _{3}+\ddots }}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/61ba8d6608f6be1d7e66d636b46aba931fe7e3e2)
Donc, faisant, comme dans le numéro cité,
(A)
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on aura ces fractions convergentes vers ![{\displaystyle x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4)
![{\displaystyle {\frac {l}{\mathrm {L} }},\quad {\frac {l_{1}}{\mathrm {L} _{1}}},\quad {\frac {l_{2}}{\mathrm {L} _{2}}},\quad {\frac {l_{3}}{\mathrm {L} _{3}}},\quad {\frac {l_{4}}{\mathrm {L} _{4}}},\quad \ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e0306e206109d3ad6be1276923e574d190b97e02)
Maintenant, l’équation
![{\displaystyle x=\lambda _{1}+{\frac {1}{x_{1}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5a3ec69e1ddc8c20141ecea6d34235043bb74a7c)
donnera
![{\displaystyle xx_{1}=x_{1}\lambda _{1}+1=x_{1}l_{1}+1\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9a13b313fe6319528b764a124e17ad932e6bd423)
mettons au lieu de
![{\displaystyle x_{1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a8788bf85d532fa88d1fb25eff6ae382a601c308)
dans le second membre de cette équations, sa valeur
![{\displaystyle \lambda _{2}+{\frac {1}{x_{2}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ef8ef0ecbe1d73bfe57727aa09fa61e0c40204b0)
et, multipliant par
![{\displaystyle x_{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e66e41f50371ed4b1910b485f2e2d0eb28f11533)
on aura
![{\displaystyle xx_{1}x_{2}=(\lambda _{2}l_{1}+l)x_{2}+l_{1}=l_{2}x_{2}+l_{1}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1c130710c26c9b8f3da0e3baf500669bded02a42)
on trouvera de même, en substituant dans le second membre de cette équation
à la place de ![{\displaystyle x_{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e66e41f50371ed4b1910b485f2e2d0eb28f11533)
![{\displaystyle xx_{1}x_{2}x_{3}=l_{3}x_{3}+l_{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cbf13d16d00188c674248da2d1702885bd10ed02)
et ainsi de suite.
Pareillement l’équation
![{\displaystyle x_{1}=\lambda _{2}+{\frac {1}{x_{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/91e4c1972719b8bfc2f35f24701bb60169efc606)
donnera
![{\displaystyle x_{1}x_{2}=\lambda _{2}x_{2}+1=\mathrm {L} _{2}x_{2}+\mathrm {L} _{1}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4f954da7fdd13fb6a12ca827a1fcb707dbe2a2c3)
ensuite, substituant dans le second mémbre
à la place de
et multipliant par
on aura
![{\displaystyle x_{1}x_{2}x_{3}=(\lambda _{3}\mathrm {L_{2}+L_{1}} )x_{3}+\mathrm {L} _{2}=\mathrm {L} _{3}x_{3}+\mathrm {L} _{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7131d9560f7d5adce686e3f247effd0d98f26252)
et ainsi de suite.
D’où il s’ensuit qu’on aura en général, quelle que soit la fraction continue, soit périodique ou non,
(B)
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48. Cela posé, supposons que l’on ait trouvé, par exemple,
![{\displaystyle x_{\mu +\nu }=x_{\mu },}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/81eb71173b9216a054febaccf4202b3a9a1baf76)
c’est-à-dire que la racine de la
ième transformée soit égale à celle de la transformée
ième ; alors on aura aussi
![{\displaystyle x_{\mu +\nu +1}=x_{\mu +1},\quad x_{\mu +\nu +2}=x_{\mu +2},\quad \ldots ,\quad x_{\mu +2\nu }=x_{\mu },\quad \ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/94392c167e44f5d4280d181e2d6d1e0a2c1d7f6d)
et en général
![{\displaystyle x_{\mu +n\nu +\varpi }=x_{\mu +\varpi }\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2ce044544d1df3561a487f19a975b3b1e4c68963)
donc aussi
![{\displaystyle \lambda _{\mu +\nu +1}=\lambda _{\mu +1},\quad \lambda _{\mu +\nu +2}=\lambda _{\mu +2},\quad \ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/078074e407c6f7a0500297509c4e5729d037ab82)
et en général
![{\displaystyle \lambda _{\mu +n\nu +\varpi }=\lambda _{\mu +\varpi }\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e88766128cf8c616ad4ff662f4175822d164a80e)
de sorte que l’on aura
![{\displaystyle x=\lambda _{1}+{\frac {1}{\lambda _{2}+\ddots +{\cfrac {1}{\lambda _{\mu }+{\cfrac {1}{\lambda _{\mu +1}+{\cfrac {1}{\lambda _{\mu +2}+\ddots +{\cfrac {1}{\lambda _{\mu +\nu }+{\cfrac {1}{\lambda _{\mu +1}+\ddots }}}}}}}}}}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/17f00d8c33745ffaca60eb1d708ebf1059c3877f)
Maintenant, si l’on suppose en général
![{\displaystyle \rho =\mu +n\nu +\varpi ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a4b1ee4be83ecbe82eea15e5669abb2ff42f43f2)
il est facile de voir que les deux équations (B) du numéro précédent deviendront
![{\displaystyle {\begin{aligned}xx_{1}x_{2}\ldots x_{\mu }\times x_{\mu +1}x_{\mu +2}\ldots x_{\mu +\varpi }\times \left(x_{\mu +1}x_{\mu +2}\ldots x_{\mu +\nu }\right)^{n}=&l_{\rho }\ x_{\mu +\varpi }+l_{\rho -1},\\x_{1}x_{2}\ldots x_{\mu }\times x_{\mu +1}x_{\mu +2}\ldots x_{\mu +\varpi }\times \left(x_{\mu +1}x_{\mu +2}\ldots x_{\mu +\nu }\right)^{n}=&\mathrm {L} _{\rho }x_{\mu +\varpi }+\mathrm {L} _{\rho -1}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e55e0907d5617d19d2686e136e89fd829514de32)
Or, en faisant dans les mêmes équations
on a
![{\displaystyle {\begin{aligned}xx_{1}x_{2}\ldots x_{\mu }=&l_{\mu }\ x_{\mu }+l_{\mu -1},\\x_{1}x_{2}\ldots x_{\mu }=&\mathrm {L} _{\mu }x_{\mu }+\mathrm {L} _{\mu -1}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cb05b5ffe2e42261f008580bc79b5c33b325a95b)
De plus, à cause de
![{\displaystyle x_{\mu }=\lambda _{\mu +1}+{\frac {1}{x_{\mu +1}}},\quad x_{\mu +1}=\lambda _{\mu +2}+{\frac {1}{x_{\mu +2}}},\quad \ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f7193a1874fbcb5da81da2c86eece602bdff2c45)
il est clair que, si l’on fait
(C)
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on aura en général
(D)
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Donc on aura
![{\displaystyle x_{\mu +1}x_{\mu +2}\ldots x_{\mu +\varpi }=\mathrm {H} _{\varpi }x_{\mu +\varpi }+\mathrm {H} _{\varpi -1},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f5c607ba6cafa6d4d7a8a935b26f6eb8163e48ff)
et, à cause de
(hypothèse),
![{\displaystyle x_{\mu +1}x_{\mu +2}\ldots x_{\mu +\nu }=\mathrm {H} _{\nu }x_{\mu }+\mathrm {H} _{\nu -1}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3c0e78e367d852818b5c75f8d42d4265d76d4859)
De sorte qu’en faisant ces substitutions dans les deux équations ci-dessus, on aura
![{\displaystyle {\begin{aligned}\left(l_{\mu }\ x_{\mu }+l_{\mu -1}\ \right)\left(\mathrm {H} _{\varpi }x_{\mu +\varpi }+\mathrm {H} _{\varpi -1}\right)\left(\mathrm {H} _{\nu }x_{\mu }+\mathrm {H} _{\nu -1}\right)^{n}=&l_{\rho }\ x_{\mu +\varpi }+l_{\rho -1},\\\left(\mathrm {L} _{\mu }x_{\mu }+\mathrm {L} _{\mu -1}\right)\left(\mathrm {H} _{\varpi }x_{\mu +\varpi }+\mathrm {H} _{\varpi -1}\right)\left(\mathrm {H} _{\nu }x_{\mu }+\mathrm {H} _{\nu -1}\right)^{n}=&\mathrm {L} _{\rho }x_{\mu +\varpi }+\mathrm {L} _{\rho -1}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/12427ebce5ff6f7fc209f04261c9804de4db1711)
49. Or les équations (D), étant divisées l’une par l’autre, donnent
(E)
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d’où l’on tire
![{\displaystyle x_{\mu +\sigma }={\frac {\mathrm {H} _{\sigma -1}x_{\mu }-h_{\sigma -1}}{h_{\sigma }-\mathrm {H} _{\sigma }x-\mu }}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/67be6bea415bb8f4317c373b73497db5b26563a6)
Donc, faisant
on aura
![{\displaystyle x_{\mu +\varpi }={\frac {\mathrm {H} _{\varpi -1}x_{\mu }-h_{\varpi -1}}{h_{\varpi }-\mathrm {H} _{\varpi }x_{\mu }}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f0ec11987454d8f21896da95fe657e200cb983f3)
et de là
![{\displaystyle \mathrm {H} _{\varpi }x_{\mu +\varpi }+\mathrm {H} _{\varpi -1}={\frac {h_{\varpi }\mathrm {H} _{\varpi -1}-\mathrm {H} _{\varpi }h_{\varpi -1}}{h_{\varpi }-\mathrm {H} _{\varpi }x_{\mu }}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5f966981738efa72ed2872227da8e4f4cc52d452)
mais il est facile de voir, par la nature des quantités
que l’on a
![{\displaystyle \mathrm {H} _{1}h-h_{1}\mathrm {H} =1,\quad \mathrm {H} _{2}h_{1}-h_{2}\mathrm {H} _{1}=-1,\quad \mathrm {H} _{3}h_{2}-h_{3}\mathrm {H} _{2}=1,\quad \ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6f8690e1ae1fa66b2845667a007f9fd06ef6682b)
d’où l’on aura en général
![{\displaystyle h_{\varpi }\mathrm {H} _{\varpi -1}-\mathrm {H} _{\varpi }h_{\varpi -1}=\pm 1,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9ca125cb2671f342957c11a1c5c375cd55e1f4bb)
le signe supérieur ayant lieu lorsque
![{\displaystyle \varpi }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e50d258418b5fa150a86b58f8d5eb40613e3ebf7)
est un nombre pair, et l’inférieur lorsque
![{\displaystyle \varpi }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e50d258418b5fa150a86b58f8d5eb40613e3ebf7)
est impair.
Donc, faisant ces substitutions dans les deux dernières équations du numéro précédent, on aura
![{\displaystyle {\begin{aligned}\pm (l_{\mu }\,\ x_{\mu }+l_{\mu -1}\,\ )(\mathrm {H} _{\nu }x_{\mu }+\mathrm {H} _{\nu -1})^{n}=&(l_{\rho }\ \mathrm {H} _{\varpi -1}-l_{\rho -1}\ \mathrm {H} _{\varpi })x_{\mu }+(l_{\rho -1}\ h_{\varpi }-l_{\rho }\ h_{\varpi -1}),\\\pm (\mathrm {L} _{\mu }\ x_{\mu }+\mathrm {L} _{\mu -1})(\mathrm {H} _{\nu }x_{\mu }+\mathrm {H} _{\nu -1})^{n}=&\mathrm {\left(L_{\rho }H_{\varpi -1}-L_{\rho -1}H_{\varpi }\right)} x_{\mu }+(\mathrm {L} _{\rho -1}h_{\varpi }-\mathrm {L} _{\rho }h_{\varpi -1}),\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/263b91dc509747956c9950b5086c71199b1956a5)
les signes ambigus dépendant du nombre, comme nous l’avons vu ci-dessus.
Maintenant, si dans l’équation (E) on fait
on aura, à cause de
(hypothèse)
![{\displaystyle x_{\mu }={\frac {h_{\nu }x_{\mu }+h_{\nu -1}}{\mathrm {H} _{\nu }x_{\mu }+\mathrm {H} _{\nu -1}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2dbb001f81c743ee6c5f6385d1f19ef05ede53d1)
d’où l’on tire l’équation en ![{\displaystyle x_{\mu }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dec9df53adf1f4825f65856a0bcdb42ed8c599bb)
(F)
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laquelle donne
![{\displaystyle x_{\mu }={\frac {h_{\nu }-\mathrm {H} _{\nu -1}+{\sqrt {(h_{\nu }-\mathrm {H} _{\nu -1})^{2}+4\mathrm {H} _{\nu }h_{\nu -1}}}}{2\mathrm {H} _{\nu }}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b65b2f423e2c0d80c169483d1e9d8421ec3badba)
Soit, pour abréger,
![{\displaystyle \mathrm {P} ={\frac {h_{\nu }-\mathrm {H} _{\nu -1}}{2\mathrm {H} _{\nu }}},\quad \mathrm {Q=P^{2}} +{\frac {h_{\nu -1}}{\mathrm {H} _{\nu }}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0b1bb646190bcbe06d2fc9645a88530258c8c72e)
en sorte que l’on ait
![{\displaystyle x_{\mu }=\mathrm {P+{\sqrt {Q}}} \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0242e20610aba4015d36f3321595fcfbaba7046d)
substituant cette valeur, on aura
![{\displaystyle {\begin{aligned}\pm &\left(l_{\mu }\mathrm {P} +l_{\mu -1}+l_{\mu }{\sqrt {\mathrm {Q} }}\right)\mathrm {\left(H_{\nu }P+H_{\nu -1}+H_{\nu }{\sqrt {Q}}\right)} ^{n}\\&=(l_{\rho }\mathrm {H} _{\varpi -1}-l_{\rho -1}\mathrm {H} _{\varpi })\mathrm {\left(P+{\sqrt {Q}}\right)} +(l_{\rho -1}h_{\varpi }-l_{\rho }h_{\varpi -1}),\\\pm &\mathrm {\left(L_{\mu }^{2}+P+L_{\mu -1}+L_{\mu }{\sqrt {Q}}\right)} \mathrm {\left(H_{\nu }P+H_{\nu -1}+H_{\nu }{\sqrt {Q}}\right)} ^{n}\\&=\mathrm {\left(L_{\rho }H_{\varpi -1}-L_{\rho -1}H_{\varpi }\right)} \mathrm {\left(P+{\sqrt {Q}}\right)} +(\mathrm {L} _{\rho -1}h_{\varpi }-\mathrm {L} _{\rho }h_{\varpi -1}),\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c8655f9559f9d0bcfe55c4f3d6b7ece2155a03a7)
d’où, à cause de l’ambiguïté du radical
on tirera quatre équations, par lesquelles on pourra déterminer ![{\displaystyle l_{\rho },l_{\rho -2},\mathrm {L} _{\rho },\mathrm {L} _{\rho -2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b067eba89f7a5976b318778c930ef607de6c2394)
50. En effet, supposons, pour abréger,
![{\displaystyle {\begin{aligned}l_{\mu }\,\ \mathrm {P} +l_{\mu -1}\,\ =&f_{\mu },\\\mathrm {L_{\mu }\,P+L_{\mu -1}} =&\mathrm {F} _{\mu },\\\mathrm {H_{\nu }P+H_{\nu -1}} =&\mathrm {K} _{\nu }\,;\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/901e4327d45217deb95a43461cb9d27b73090fe8)
![{\displaystyle {\begin{aligned}&l_{\rho }\mathrm {H} _{\varpi -1}-l_{\rho -1}\mathrm {H} _{\varpi }=\\&\pm {\frac {\left(f_{\mu }+l_{\mu }{\sqrt {\mathrm {Q} }}\right)\mathrm {\left(K_{\nu }+H_{\nu }{\sqrt {Q}}\right)} ^{n}-\left(f_{\mu }-l_{\mu }{\sqrt {\mathrm {Q} }}\right)\mathrm {\left(K_{\nu }-H_{\nu }{\sqrt {Q}}\right)} ^{n}}{2{\sqrt {\mathrm {Q} }}}},\\&l_{\rho -1}h_{\varpi }-l_{\rho }h_{\varpi -1}=\pm {\frac {\begin{aligned}&\mathrm {\left(P+{\sqrt {Q}}\right)} \left(f_{\mu }-l_{\mu }{\sqrt {Q}}\right)\mathrm {\left(K_{\nu }-H_{\nu }{\sqrt {Q}}\right)} ^{n}\\-&\mathrm {\left(P-{\sqrt {Q}}\right)} \left(f_{\mu }+l_{\mu }{\sqrt {\mathrm {Q} }}\right)\mathrm {\left(K_{\nu }+H_{\nu }{\sqrt {Q}}\right)} ^{n}\end{aligned}}{2{\sqrt {\mathrm {Q} }}}},\\&\mathrm {L_{\rho }H_{\varpi -1}-L_{\rho -1}H_{\varpi }} =\\&\pm {\frac {\mathrm {\left(F_{\mu }+L_{\mu }{\sqrt {Q}}\right)\left(K_{\nu }+H_{\nu }{\sqrt {Q}}\right)} ^{n}-\mathrm {\left(F_{\mu }-L_{\mu }{\sqrt {Q}}\right)\left(K_{\nu }-H_{\nu }{\sqrt {Q}}\right)} ^{n}}{2{\sqrt {\mathrm {Q} }}}},\\&\mathrm {L} _{\rho -1}h_{\varpi }-\mathrm {L} _{\rho }h_{\varpi -1}=\pm {\frac {\begin{aligned}&\mathrm {\left(P+{\sqrt {Q}}\right)\left(F_{\mu }-L_{\mu }{\sqrt {Q}}\right)\left(K_{\nu }-H_{\nu }{\sqrt {Q}}\right)} ^{n}\\-&\mathrm {\left(P-{\sqrt {Q}}\right)\left(F_{\mu }+L_{\mu }{\sqrt {Q}}\right)\left(K_{\nu }+H_{\nu }{\sqrt {Q}}\right)} ^{n}\end{aligned}}{2{\sqrt {\mathrm {Q} }}}}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5eb903b88f090884f4a8ad2931e81d7e7a2217ec)
Donc, si l’on ajoute la première multipliée par
à la deuxième multipliée par
et de même la troisième multipliée par
à la quatrième multipliée par
et qu’on fasse, pour abréger,
![{\displaystyle -\mathrm {H_{\varpi }P} +h_{\varpi }=\mathrm {G} _{\varpi },}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a00ef09a2116dcd2bd191691bd071f98310dd654)
on aura, à cause de
(no 49),
![{\displaystyle {\begin{aligned}l_{\rho }\ =&{\frac {\begin{aligned}&\left(f_{\mu }+l_{\mu }{\sqrt {\mathrm {Q} }}\right)\mathrm {\left(G_{\varpi }+H_{\varpi }{\sqrt {Q}}\right)\left(K_{\nu }+H_{\nu }{\sqrt {Q}}\right)} ^{n}\\-&\left(f_{\mu }-l_{\mu }{\sqrt {\mathrm {Q} }}\right)\mathrm {\left(G_{\varpi }-H_{\varpi }{\sqrt {Q}}\right)\left(K_{\nu }-H_{\nu }{\sqrt {Q}}\right)} ^{n}\end{aligned}}{2{\sqrt {\mathrm {Q} }}}},\\\mathrm {L} _{\rho }=&{\frac {\begin{aligned}&\mathrm {\left(F_{\mu }+L_{\mu }{\sqrt {Q}}\right)\left(G_{\varpi }+H_{\varpi }{\sqrt {Q}}\right)\left(K_{\nu }+H_{\nu }{\sqrt {Q}}\right)} ^{n}\\-&\mathrm {\left(F_{\mu }-L_{\mu }{\sqrt {Q}}\right)\left(G_{\varpi }-H_{\varpi }{\sqrt {Q}}\right)\left(K_{\nu }-H_{\nu }{\sqrt {Q}}\right)} ^{n}\end{aligned}}{2{\sqrt {\mathrm {Q} }}}},\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a7aad2ee343b88278b750b58e7983d553f1eed7d)
étant égal à ![{\displaystyle \mu +n\nu +\varpi .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7c2eaf33cc23fc6ee1ab365ac0032bdc953d9b49)
Ainsi, lorsqu’à l’aide des quantités
![{\displaystyle \lambda _{1},\ \ \lambda _{2},\ \ \lambda _{3},\ \ \ldots ,\ \ \lambda _{\mu +\nu },}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/913a38c5a7cbc415149fdfb996b5e6c2938676b9)
on aura calculé, par les formules (A) et (G), les quantités
![{\displaystyle l,\ \ l_{1},\ \ l_{2},\ \ \ldots ,\quad \mathrm {L,\ \ L_{1},\ \ L_{2}} ,\ \ \ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9b33f699924f0a72ee260d641fd06dc614b0c527)
jusqu’à
![{\displaystyle l_{\mu }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/65958129465098a199c77441d0bb8a621aaf4ba4)
et
![{\displaystyle \mathrm {L} _{\mu },}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d879c24404c3dd80a91e4a1f11acb8f0447a5325)
et les quantités
![{\displaystyle h,\ \ h_{1},\ \ h_{2},\ \ \ldots ,\quad \mathrm {H,\ \ H_{1},\ \ H_{2}} ,\ \ \ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5904c88a2e0eb335a45ed75c2c5ead8353f37757)
jusqu’à
et
on pourra, par les formules précédentes, trouver les valeurs de
et de
c’est-à-dire les termes de la fraction
quel que soit l’exposant du quantième
car pour cela il n’y aura qu’à retrancher
de
, et diviser la différence par
le quotient sera le nombre
qui entre dans les formules précédentes comme exposant, et le reste sera le nombre, qui sera par conséquent toujours moindre que ![{\displaystyle \nu .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/12bafc5c30bf9727eb4c005ff0c0632d555b3b7d)
Quoique les formules précédentes renferment le radical
il est facile de voir que ce radical s’en ira après le développement ; de sorte que les nombres
et
seront toujours rationnels et entiers.
51. Au reste, si l’on voulait trouver en général l’équation du second degré, par laquelle peut être déterminée la racine
de l’équation proposée, lorsqu’on a
comme dans le no 48, il n’y aurait qu’à remarquer que les équations (B) du no 47, étant divisées l’une par l’autre, donnent en général
(G)
|
|
|
d’où l’on tire en faisant ![{\displaystyle \rho =\mu ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/543058e5d029da407a72494425a210c3a3d7d6b6)
![{\displaystyle x={\frac {\mathrm {L} _{\mu -1}x-l_{\mu -1}}{l_{\mu }-\mathrm {L} _{\mu }x}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4bf7c17eea4815605e1f65db6ba5825811a25420)
donc, substituant cette valeur de
\mu dans l’équation (F) du no 49, on aura celle-ci
![{\displaystyle \mathrm {H} _{\nu }\left(\mathrm {L} _{\mu -1}x-l_{\mu -1}\right)^{2}-(h_{\nu }-\mathrm {H} _{\nu -1})(\mathrm {L} _{\mu -1}x-l_{\mu -1})(l_{\mu }-\mathrm {L} _{\mu }x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/48a3da3067c4833a1121fb34a7c0198300147a4c)
![{\displaystyle -h_{\nu -1}(l_{\mu }-\mathrm {L} _{\mu }x)^{2}=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b7078af568298895923149d3822d68fe9792dfc4)
c’est-à-dire
![{\displaystyle \left[\mathrm {H} _{\nu }\mathrm {L} _{\mu -1}^{2}+(h_{\nu }-\mathrm {H} _{\nu -1})\mathrm {L} _{\mu -1}\mathrm {L} _{\mu }-h_{\nu -1}\mathrm {L} _{\mu }^{2}\right]x^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/11476c5705b76d1756bb05a9cc9caa0e9c1840b8)
![{\displaystyle -\left[2\mathrm {H_{\nu }L_{\mu -1}} l_{\mu -1}+(h_{\nu }-\mathrm {H} _{\nu -1})(\mathrm {L} _{\mu -1}l_{\mu }+l_{\mu -1}\mathrm {L} _{\mu })-2h_{\nu -1}l_{\mu }\mathrm {L} _{\mu }\right]x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9bcc6e21910c4f8c57d5ee3808fdb0bee9412460)
![{\displaystyle +\mathrm {H} _{\nu }l_{\mu -1}^{2}+(h_{\nu }-\mathrm {H} _{\nu -1})l_{\mu -1}l_{\mu }-h_{\nu -1}l_{\mu }=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a719dc0f8a3472d3d995bfdf90b55b278163f95e)
et cette équation sera nécessairement un diviseur de l’équation proposée.
ARTICLE II.
Où l’on donne une manière très-simple de réduire en fractions continues les racines des équations du second degré.
52. Considérons l’équation générale du second degré
![{\displaystyle \mathrm {E} _{1}x^{2}-2\varepsilon x-\mathrm {E} =0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1d4cf77d8387d2686f5d135297dd2b0097aa1f14)
dans laquelle
et
sont supposés des nombres entiers, tels que
pour que les racines soient réelles ; cette équation, étant résolue, donne
![{\displaystyle x=\mathrm {\frac {\varepsilon +{\sqrt {\varepsilon ^{2}+EE_{1}}}}{E_{1}}} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/68262d08385f0c6a2bdc2b237f8693d7ea41168a)
où le radical peut être pris positivement ou négativement. Supposons que la racine cherchée soit positive, et soit
le nombre entier qui sera immédiatement plus petit que la valeur de
on fera donc
![{\displaystyle x=\lambda _{1}+{\frac {1}{x_{1}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0c07ab2ab6ea38206fcc3260acea76dc96ad82f6)
et, substituant cette valeur dans l’équation proposée, on aura une équation transformée dont l’inconnue sera
or, si, après avoir fait la substitution, on multiplie toute l’équation par
qu’ensuite on change les signes et qu’on suppose, pour abréger,
![{\displaystyle {\begin{aligned}\varepsilon _{1}\ =&\lambda _{1}\mathrm {E} _{1}-\varepsilon ,\\\mathrm {E} _{2}=&\mathrm {E} +2\varepsilon \lambda _{1}-\mathrm {E} _{1}\lambda _{1}^{2},\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ea4be05f1fdfc274fe274ed8993b03883069e9ae)
on aura la transformée
![{\displaystyle \mathrm {E} _{2}x_{1}^{2}-2\varepsilon _{1}x_{1}-\mathrm {E} _{1}=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fa70f9e2a4d81fbe393bc9593530ac7774acbf9e)
laquelle donnera
![{\displaystyle x_{1}=\mathrm {\frac {\varepsilon _{1}+{\sqrt {\varepsilon _{1}^{2}+E_{1}E_{2}}}}{E_{2}}} \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2ccf50ceb0d1119ab333513c99c7b8c1db03103f)
on cherchera donc le nombre entier
![{\displaystyle \lambda _{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9b5ef14308cb5e6a08dea3feb83e163d4fd0a016)
qui sera immédiatement plus petit que cette valeur de
![{\displaystyle x_{1},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fb7118b371b245f6611bd7a6c8ee319dbdc32825)
et l’on fera
![{\displaystyle x_{1}=\lambda _{2}+{\frac {1}{x_{2}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9f210568a2911afe3cc320bb26bd6b692a8dcb7a)
et ainsi de suite.
Maintenant, je remarque que la quantité
qui est sous le signe dans l’expression de
devient, en substituant les valeurs de
et de
et ôtant ce qui se détruit, celle-ci
qui est la même que celle qui est sous le signe dans l’expression de
d’où il est facile de conclure que la quantité radicale sera toujours la même dans les expressions de
Donc, si l’on suppose, pour abréger,
![{\displaystyle \mathrm {B=\varepsilon ^{2}+EE_{1}} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3594337f5696eaf503de3d51fe90adc3b6d79195)
et qu’on fasse (le signe
dénote qu’il faut prendre le nombre entier qui est immédiatement moindre)
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{3}&&\lambda _{1}&<\mathrm {\frac {\varepsilon \ +{\sqrt {B}}}{E_{1}}} ,&\varepsilon _{1}&=\lambda _{1}\mathrm {E} _{1}-\varepsilon ,\\\mathrm {E} _{2}&=\mathrm {E} \ +2\varepsilon \ \lambda _{1}-\mathrm {E} _{1}\lambda _{1}^{2},\qquad &\lambda _{2}&<\mathrm {\frac {\varepsilon _{1}+{\sqrt {B}}}{E_{2}}} ,\qquad &\varepsilon _{2}&=\lambda _{2}\mathrm {E} _{2}-\varepsilon _{1},\\\mathrm {E} _{3}&=\mathrm {E} _{1}+2\varepsilon _{1}\lambda _{2}-\mathrm {E} _{2}\lambda _{2}^{2},&\lambda _{3}&<\mathrm {\frac {\varepsilon _{2}+{\sqrt {B}}}{E_{3}}} ,&\varepsilon _{3}&=\lambda _{3}\mathrm {E} _{3}-\varepsilon _{2},\\\mathrm {E} _{4}&=\mathrm {E} _{2}+2\varepsilon _{2}\lambda _{3}-\mathrm {E} _{3}\lambda _{3}^{2},&\lambda _{4}&<\mathrm {\frac {\varepsilon _{3}+{\sqrt {B}}}{E_{4}}} ,&\varepsilon _{4}&=\lambda _{4}\mathrm {E} _{4}-\varepsilon _{3},\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,&\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots ,&\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a8cb9b4db9324f3e5f6ae0f1bc93ec84396c0579)
on aura
![{\displaystyle {\begin{aligned}x\,\ &=\mathrm {\frac {\varepsilon \,\ +{\sqrt {B}}}{E_{1}}} =\lambda _{1}+{\frac {1}{x_{1}}},\\x_{2}&=\mathrm {\frac {\varepsilon _{1}+{\sqrt {B}}}{E_{2}}} =\lambda _{2}+{\frac {1}{x_{2}}},\\x_{3}&=\mathrm {\frac {\varepsilon _{2}+{\sqrt {B}}}{E_{3}}} =\lambda _{3}+{\frac {1}{x_{3}}},\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4a99cc0b5a104a534ef2fcc498b874e3ac3195e4)
d’où
![{\displaystyle x=\lambda _{1}+{\frac {1}{\lambda _{2}+{\cfrac {1}{\lambda _{3}+\ddots }}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/61ba8d6608f6be1d7e66d636b46aba931fe7e3e2)
Quant au radical
il faudra toujours lui donner le même signe qu’on lui a supposé dans la valeur de la racine, cherchée
.
On peut observer encore que, comme on a trouvé
![{\displaystyle \varepsilon _{1}^{2}+\mathrm {E_{1}E_{2}=\varepsilon ^{2}+EE_{1}=B} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/109deb3d59106f036752cdc64f244843e3e85ca8)
on aura
![{\displaystyle \mathrm {E_{2}={\frac {B-\varepsilon _{1}^{2}}{E_{1}}}} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f40107418ad5518a0f6607315415d5705a3c95b1)
et de même
![{\displaystyle \mathrm {E_{3}={\frac {B-\varepsilon _{2}^{2}}{E_{2}}},\quad E_{4}={\frac {B-\varepsilon _{3}^{2}}{E_{3}}}} ,\quad \ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/44cea60e0b4e04b1aa66feef1b626a62e84434e7)
Ainsi l’on pourra, si on le juge plus commode, employer ces formules à la place de celles qu’on a données plus haut, pour avoir les valeurs de ![{\displaystyle \mathrm {E_{2},E_{3}} ,\ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6316f629a51cfc4fb19d779399809cb7adff1f44)
53. Maintenant je dis que la fraction continue qui exprime la valeur de
sera toujours nécessairement périodique.
Pour pouvoir démontrer ce théorème, nous commencerons par prouver en général que, quelle que soit l’équation proposée, on doit toujours nécessairement arriver à des équations transformées dont le premier et le dernier terme soient de signes différents. En effet, nous avons vu dans le no 19 qu’on doit toujours nécessairement arriver à une équation transformée qui n’ait qu’une seule racine plus grande que l’unité, après quoi chacune des transformées suivantes n’aura aussi qu’une seule racine plus grande que l’unité ; soit donc
![{\displaystyle au^{m}+bu^{m-1}+cu^{m-2}+\ldots +k=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/80c2826bb3aec67fd47675ed00a7a94936530652)
une de ces transformées qui n’ont qu’une seule racine plus grande que l’unité, et soit
la valeur entière approchée de
on fera, pour avoir la transformée suivante,
ce qui, étant substitué, donnera
une transformée dans laquelle il est aisé de voir que le premier terme sera
![{\displaystyle \left(as^{m}+bs^{m-1}+cs^{m-2}+\ldots +k\right)\scriptstyle {\mathcal {W}}^{m},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6bde4c3a1322d38efb917d6beb30cbbe3ee15bd5)
et que le dernier sera,
Or, puisque la vraie valeur de
dans la transformée précédente tombe entre ces deux-ci
et
entre lesquelles il ne se trouve aucune autre valeur de
(hypothèse), il s’ensuit qu’en faisant ces deux substitutions dans l’équation en
on aura nécessairement des résultats de signes contraires ; car il est facile de concevoir qu’il n’y aura, en ce cas, qu’un seul des facteurs de cette équation qui pourra changer de signe en passant d’une valeur de
à l’autre ({n°
). Mais la supposition de
![{\displaystyle u=\infty }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/720220ae487bb719d4658dc188d927162d868bc8)
donne le résultat
![{\displaystyle au^{m}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e9dade54536b04cb430f076384025d538531ffcc)
(tous les autres termes devenant nuls vis-à-vis de celui-ci), lequel est de même signe que le coefficient
![{\displaystyle a\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c37ac87891c432353e6e70aba37e6a6afed6d481)
donc il faudra que la supposition de
![{\displaystyle u=s}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4917c88a09cecda7fbc7d0d0229ff5828dcffbf6)
donne un résultat de signe contraire à
![{\displaystyle a\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c37ac87891c432353e6e70aba37e6a6afed6d481)
mais ce résultat est égal à}}
![{\displaystyle as^{m}+bs^{m-1}+cs^{m-2}+\ldots +k\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ba074bb0c684b2c4e15e1ee542b4c6fec7754a3a)
donc, puisque cette quantité est en même temps le coefficient du premier terme de l’équation transformée en
dont le dernier terme est
il s’ensuit que cette transformée aura nécessairement ses deux termes extrêmes de signes différents.
Et l’on peut prouver de la même manière que cela aura lieu, à plus forte raison, dans toutes les transformées suivantes.
Cela posé, puisque l’équation proposée
![{\displaystyle \mathrm {E} _{1}x^{2}-2\varepsilon x-\mathrm {E} =0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3958cf0e2f8df478c100c2106d3104a973f818eb)
donne les transformées (no 52)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {E} _{2}x_{1}^{2}-2\varepsilon _{1}x_{1}-\mathrm {E} _{1}&=0,\\\mathrm {E} _{3}x_{2}^{2}-2\varepsilon _{2}x_{2}-\mathrm {E} _{2}&=0,\\\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots &\ldots ,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/05b793da9eab6b952fa244372b1604aa0aa1556b)
il s’ensuit de ce que nous venons de démontrer qu’on parviendra nécessairement à des transformées comme
![{\displaystyle {\begin{aligned}&\mathrm {E} _{\gamma +1}x_{\gamma }^{2}-2\varepsilon _{\gamma }x_{\gamma }-\mathrm {E} _{\gamma }=0,\\&\mathrm {E} _{\gamma +2}x_{\gamma +1}^{2}-2\varepsilon _{\gamma +1}x_{\gamma +1}-\mathrm {E} _{\gamma +1}=0,\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7d7b4b59654ac5e66392571c1b470f3fd4709286)
dont les premiers et derniers termes seront de signes différents de sorte que les nombres
![{\displaystyle \mathrm {E_{\gamma },\quad E_{\gamma +1},\quad E_{\gamma +2}} ,\quad \ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/479d8f8dc894a725710a8b50f545dd3aba4cec8a)
seront tous de même signe. Or on a (no 52)
![{\displaystyle \mathrm {B=\varepsilon _{\gamma }^{2}+E_{\gamma }E_{\gamma +1}=\varepsilon _{\gamma +1}^{2}+E_{\gamma +1}E_{\gamma +2}} =\ldots \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/27e2ecfd09c1331dcadf8f98ef67e48cdc907f45)
donc, puisque
sont de même signe, les produits
seront nécessairement positifs ; d’où il s’ensuit :
1o Oue l’on aura
![{\displaystyle \varepsilon _{\gamma }^{2}<\mathrm {B} ,\quad \varepsilon _{\gamma +1}^{2}<\mathrm {B} ,\quad \ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/081093a71be8d761552e10b9c3e936b9a4d6dd81)
c’est-à-dire (en faisant abstraction du signe)
![{\displaystyle \varepsilon _{\gamma }<{\sqrt {\mathrm {B} }},\quad \varepsilon _{\gamma +1}<{\sqrt {\mathrm {B} }},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d0081cc1e85fa3faac74454dc2e8a5fce4b84a09)
et ainsi de suite à l’infini ;
2o Que l’on aura aussi, à cause que les nombres
sont tous entiers
![{\displaystyle \mathrm {E_{\gamma }<\mathrm {B} ,\quad E_{\gamma +1}<\mathrm {B} ,\quad E_{\gamma +2}<B} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3a9d64b9b952b549c9fe94e726b232837828a8f2)
et ainsi de suite. Donc, comme
est donné, il est clair qu’il n’y aura qu’un certain nombre de nombres entiers qui pourront être moindres que
et que
de sorte que les nombres
![{\displaystyle \mathrm {E_{\gamma },\ \ E_{\gamma +1},\ \ E_{\gamma +2}} ,\ \ \ldots ,\ \ \varepsilon _{\gamma },\ \ \varepsilon _{\gamma +1},\ \ \varepsilon _{\gamma +2},\ \ \ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0977c3e8187ec288ae5f3a78c8e87f26fd4428af)
ne pourront avoir qu’un certain nombres de valeurs différentes, et qu’ainsi dans l’une et l’autre de ces séries, si on les pousse à l’infini, il faudra nécessairement que les mêmes termes reviennent une infinité de fois ; et, par la même raison, il faudra aussi qu’une même combinaison de termes correspondants dans les deux séries revienne une infinité de fois ; d’où il s’ensuit qu’on aura nécessairement, par exemple,
![{\displaystyle \mathrm {E} _{\gamma +\delta +\nu }=\mathrm {E} _{\gamma +\delta }\quad {\text{et}}\quad \varepsilon _{\gamma +\delta +\nu }=\varepsilon _{\gamma +\delta },}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1cd9c01564ae25d9da0056a44253e8def061f197)
ou bien, faisant ![{\displaystyle \gamma +\delta =\mu ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c72e789ab3e01340e9ff99a24d7d7498d1dee9c8)
![{\displaystyle \mathrm {E} _{\mu +\nu }=\mathrm {E} _{\mu }\quad {\text{et}}\quad \varepsilon _{\mu +\nu }=\varepsilon _{\mu }\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/df392fa0f9276789d2bcbaf62b29183b0739d346)
donc, à cause de
![{\displaystyle \mathrm {B=\varepsilon _{\mu }^{2}+E_{\mu }E_{\mu +1}=\varepsilon _{\mu +\nu }^{2}+E_{\mu +\nu }E_{\mu +\nu +1}} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3c5e7be051271ba196b732f0b848c487acf0cb28)
on aura aussi
![{\displaystyle \mathrm {E} _{\mu +\nu +1}=\mathrm {E} _{\mu +1}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eba034d365c6194c76a4e01db2ec922930b7b107)
mais on a
![{\displaystyle x_{\mu }=\mathrm {\frac {\varepsilon _{\mu }+{\sqrt {B}}}{E_{\mu +1}}} \quad {\text{et}}\quad x_{\mu +\nu }=\mathrm {\frac {\varepsilon _{\mu +\nu }+{\sqrt {B}}}{E_{\mu +\nu +1}}} \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d3e7b50b32513735544bbc14befd7ce6d3a80778)
donc
donc la fraction continue sera nécessairement périodique (no 48).
54. En effet, on voit, par les formules du no 52, que si l’on a
![{\displaystyle \mathrm {E} _{\mu +\nu }=\mathrm {E} _{\mu }\quad {\text{et}}\quad \varepsilon _{\mu +\nu }=\varepsilon _{\mu },}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/59bcf26b58823bcde3340094fd67b174579d8562)
on aura
![{\displaystyle \mathrm {E} _{\mu +\nu +1}=\mathrm {E} _{\mu +1},\quad \lambda _{\mu +\nu +1}=\lambda _{\mu +1},\quad \varepsilon _{\mu +\nu +1}=\varepsilon _{\mu +1},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7205b81db7b47f3cfee139868a3bf282a62acfeb)
et ainsi de suite ; de sorte qu’en général les termes des trois séries
![{\displaystyle \mathrm {E,\ \ E_{1},\ \ E_{2}} ,\ \ \ldots ,\quad \varepsilon ,\ \ \varepsilon _{1},\ \ \varepsilon _{2},\ \ \ldots ,\quad \lambda _{1},\ \ \lambda _{2},\ \ \ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3ef98b0a6b53fab02630548e4df73135f052cf6a)
qui auront pour exposant
seront les mêmes que les termes précédents dont les exposants seront
en prenant pour
un nombre quelconque entier positif.
Ainsi chacune de ces trois séries deviendra périodique, à commencer par les termes
et leurs périodes seront de
termes, après lesquels les mêmes termes reviendront dans le même ordre, à l’infini.
55. Nous venons de démontrer qu’en continuant la série des nombres
on doit nécessairement trouver des termes consécutifs qui soient de même signe, et qu’ensuite la série doit nécessairement devenir périodique ; or je dis que, dès que, dans la même série, on sera parvenu à deux termes consécutifs, comme
qui soient de même signe, on sera assuré que l’un de ces deux termes sera déjà un des termes périodiques, lequel reparaîtra nécessairement dans chaque période.
En effet, comme
et
sont de même signe, il est clair que la transformée
![{\displaystyle \mathrm {E} _{\gamma +1}x_{\gamma }^{2}-2\varepsilon _{\gamma }x_{\gamma }-\mathrm {E} _{\gamma }=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8e6e3d40c364170e9eb05d739237fe07f1ed3c4f)
aura nécessairement une racine positive et l’autre négative, de sorte qu’elle n’en pourra avoir qu’une seule qui soit plus grande que l’unité ; donc toutes les transformées suivantes auront nécessairement leurs termes extrêmes de signes différents (no 53) par conséquent, tous les nombres
seront de même signe, de sorte que chacun d’eux sera moindre que
et que chacun des nombres
sera moindre que
(numéro cité).
56. Or comme on a
![{\displaystyle \mathrm {B=\varepsilon _{\gamma }^{2}+E_{\gamma }E_{\gamma +1}} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/75b2691b0d235cdd9952e7f4fe4be823fa0ba2de)
il est visible que les nombres
seront, ou tous les deux moindres que
ou que, si l’un est plus grand, l’autre en sera nécessairement moindre, de sorte qu’il y en aura au moins toujours un qui sera moindre que ![{\displaystyle {\sqrt {\mathrm {B} }}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6aed0bbe7afc249329c333f4670d640ea64ec9a6)
Supposons que ce soit
je vais prouver que les nombres
![{\displaystyle \mathrm {E_{\gamma },\ \ E_{\gamma +1},\ \ E_{\gamma +2}} ,\ \ \ldots ,\quad \varepsilon _{\gamma },\ \ \varepsilon _{\gamma +1},\ \ \varepsilon _{\gamma +2},\ \ \ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/602d5af421ccfc4d8f90765ecc9a948d8ee71a7c)
seront tous nécessairement du même signe que le radical
En effet, puisque les racines
des équations transformées doivent être toutes plus grandes que l’unité par la nature de la fraction continue, on aura donc aussi
et
et ainsi de suite ;
donc
![{\displaystyle \mathrm {\frac {\varepsilon _{\gamma }+{\sqrt {B}}}{E_{\gamma +1}}} >1,\quad \mathrm {\frac {\varepsilon _{\gamma +1}+{\sqrt {B}}}{E_{\gamma +2}}} >1,\quad \ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d765a4582cfe2e6d10eed94c0139bf543178371d)
et, comme
![{\displaystyle \mathrm {B=\varepsilon _{\gamma }^{2}+E_{\gamma }E_{\gamma +1}=\varepsilon _{\gamma +1}^{2}+E_{\gamma +1}E_{\gamma +2}} =\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/76686279f9e2470354558667090198278d291bb9)
on aura
![{\displaystyle \mathrm {\frac {\varepsilon _{\gamma }+{\sqrt {B}}}{E_{\gamma +1}}} =\mathrm {\frac {E_{\gamma }}{{\sqrt {B}}-\varepsilon _{\gamma }}} ,\quad \mathrm {\frac {\varepsilon _{\gamma +1}+{\sqrt {B}}}{E_{\gamma +2}}} =\mathrm {\frac {E_{\gamma +1}}{{\sqrt {B}}-\varepsilon _{\gamma +1}}} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b7f261f02fdecbf4631d296d2a5f8a75f86c7df7)
et ainsi des autres ; donc aussi
![{\displaystyle \mathrm {\frac {E_{\gamma }}{{\sqrt {B}}-\varepsilon _{\gamma }}} >1,\quad \mathrm {\frac {E_{\gamma +1}}{{\sqrt {B}}-\varepsilon _{\gamma +1}}} >1,\quad \ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a164d2259f3eb15e3bfaf5484a8cb6734e60cda1)
Or, comme,
sont plus petits que
il est clair que, quel que soit le signe de ces nombres,
les dénominateurs
seront nécessairement de même signe que
donc il faudra que les numérateurs
soient tous aussi du même signe que ![{\displaystyle {\sqrt {\mathrm {B} }}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6aed0bbe7afc249329c333f4670d640ea64ec9a6)
Maintenant supposons, pour plus de simplicité,
positif ; en sorte que
doivent être aussi tous positifs ; je dis que ![{\displaystyle \varepsilon _{\gamma },\varepsilon _{\gamma +1},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/99bba95a8479ba85b6af5141b9f2b6e3c7c36eac)
le seront aussi. Car soit, s’il est possible,
(
étant un nombre positif) ; comme
(hypothèse), on aura, à plus forte raison,
donc
sera
au lieu que cette quantité doit être
donc doit être positif. Soit ensuite, s’il est possible,
comme on a, par les formules du no 52,
on aura
donc, à cause que
et
sont des nombres positifs moindres que
et que
est aussi un nombre entier positif, il est clair que
devra être moindre que
et, dans ce cas, on prouvera, comme ci-devant, que
devra être positif, et ainsi de suite.
Si
était pris négativement, on prouverait de la même manière que
devraient être négatifs ; et même, sans faire un nouveau calcul, il n’y aura qu’à remarquer que les formules du numéro cité demeurent les mêmes en y changeant les signes de toutes les quantités
et du radical
de sorte qu’on pourra toujours regarder ce radical comme positif, en prenant les quantités ![{\displaystyle \mathrm {E,E_{1},E_{2}} ,\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d474ca6dbf642c38ccb4ac46445178c93abbe846)
avec des signes contraires.
57. Cela posé, je dis que, si deux termes correspondants quelconques des suites
sont donnés, tous les précédents dans les mêmes suites seront nécessairement donnés aussi.
Supposons, par exemple, que
et
soient donnés (on verra aisément que la démonstration est générale, quels que soient les termes donnés), et voyons quels doivent être les termes qui précèdent ceux-ci, en vertu des formules du no 52 et des conditions du numéro précédent. On aura d’abord
![{\displaystyle \varepsilon _{\gamma +3}=\lambda _{\gamma +3}\mathrm {E} _{\gamma +3}-\varepsilon _{\gamma +2}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b32b93ff81ca5aac0d3edef58b08868d8e2625f7)
donc
![{\displaystyle \varepsilon _{\gamma +2}=\lambda _{\gamma +3}\mathrm {E} _{\gamma +3}-\varepsilon _{\gamma +3}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d4ec2b74dd4372888b199d6ad8cc3ebb84250c21)
mais on doit avoir
donc il faudra que l’on ait
![{\displaystyle \lambda _{\gamma +3}<\mathrm {\frac {\varepsilon _{\gamma +3}+{\sqrt {B}}}{E_{\gamma +3}}} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d653127a1f3e19eac7d26b3cd92b46a973d9336d)
On aura de même
![{\displaystyle \varepsilon _{\gamma +1}=\lambda _{\gamma +2}\mathrm {E} _{\gamma +2}-\varepsilon _{\gamma +2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/73daeac010825e163c796b22420a043de290b3d1)
d’où, à cause de
on tirera
![{\displaystyle \lambda _{\gamma +2}<\mathrm {\frac {\varepsilon _{\gamma +2}+{\sqrt {B}}}{E_{\gamma +2}}} \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f88a1d6fda47c070ef537fe0ac75031362f25510)
mais il faut, par la nature de la fraction continue, que
soit un nombre entier positif ; donc il faudra qu’on ait
![{\displaystyle \varepsilon _{\gamma +2}+{\sqrt {\mathrm {B} }}>\mathrm {E} _{\gamma +2}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b01bc592d2ea7487262e143a62ab56a444ad771d)
or on a aussi
![{\displaystyle \mathrm {E_{\gamma +2}E_{\gamma +3}=B-\varepsilon _{\gamma +2}^{2}=\left({\sqrt {B}}+\varepsilon _{\gamma +2}\right)\left({\sqrt {B}}-\varepsilon _{\gamma +2}\right)} \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d43460a22c6040eea5d8d43e7a7cd0aebf93e7a9)
donc
![{\displaystyle {\sqrt {\mathrm {B} }}-\varepsilon _{\gamma +2}<\mathrm {E} _{\gamma +3},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8d5d3cccf7e79e5e47a517957713808bb3d781de)
savoir, en mettant pour
![{\displaystyle \varepsilon _{\gamma +2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3783fe40da7f92b45ff643b24ab5d374c20cc29f)
sa valeur ci-dessus,
![{\displaystyle \mathrm {{\sqrt {B}}-\lambda _{\gamma +3}E_{\gamma +3}+\varepsilon _{\gamma +3}<E_{\gamma +3}} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a88e9656204863ef3922074dfff258471413d5a7)
d’où
![{\displaystyle \lambda _{\gamma +3}>\mathrm {\frac {\varepsilon _{\gamma +3}+{\sqrt {B}}}{E_{\gamma +3}}} -1.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/01cbf7d9dfb191b9e725de0edc2809a3ee3d98c0)
Donc, puisque le nombre
doit être entier, il est clair qu’il ne pourra être égal qu’au nombre entier qui sera immédiatement plus petit que
ainsi
sera donné, et de là
le sera aussi, et comme
![{\displaystyle \mathrm {E_{\gamma +2}={\frac {B-\varepsilon _{\gamma +2}^{2}}{E_{\gamma +3}}}} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4879c98f56482427d74af37ac8e9b891f4b69dec)
il est clair que
sera aussi donné. Maintenant on aura
![{\displaystyle \varepsilon _{\gamma }=\lambda _{\gamma +1}\mathrm {E} _{\gamma +1}-\varepsilon _{\gamma +1},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cca31648175f0784477ba37b6fbd6d78bed860f7)
et par conséquent, à cause de ![{\displaystyle \varepsilon <{\sqrt {\mathrm {B} }},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c0419c9d04dd1ca87f587e06e527d0ce87a650ed)
![{\displaystyle \lambda _{\gamma +1}<\mathrm {\frac {\varepsilon _{\gamma +1}+{\sqrt {B}}}{E_{\gamma +1}}} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f6d6171cdfafb202c576e7fa120ab8b52213ebc2)
Donc, pour que
soit entier positif tel qu’il doit être, il faudra que
![{\displaystyle \varepsilon _{\gamma +1}+{\sqrt {\mathrm {B} }}>\mathrm {E} _{\gamma +1}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/112f678b524004a6f7c0a81ed1683fc028bd2c7c)
par conséquent, à cause de
![{\displaystyle \mathrm {E_{\gamma +1}E_{\gamma +2}=B} -\varepsilon _{\gamma +1}^{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/df9788feeef12fba2bd766f2532b66119ba59642)
il faudra que
![{\displaystyle {\sqrt {\mathrm {B} }}-\varepsilon _{\gamma +1}<\mathrm {E} _{\gamma +2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ce769ed2f0d660562cc1c7053daabb0be6c1f01a)
ou bien, en mettant pour
sa valeur ci-dessus,
![{\displaystyle \mathrm {{\sqrt {B}}-\lambda _{\gamma +2}E_{\gamma +2}+\varepsilon _{\gamma +2}<E_{\gamma +2}} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c155f3102322f1bf9e1c63f656cfe31cdc1fad81)
d’où l’on tire
![{\displaystyle \lambda _{\gamma +2}>\mathrm {\frac {\varepsilon _{\gamma +2}+{\sqrt {B}}}{E_{\gamma +2}}} -1.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/decccdafe40f998518af1fee68f84a5fa6bba9ba)
De sorte que le nombre
ne pourra être que le nombre entier qui
sera immédiatement plus petit que la quantité donnée
![{\displaystyle \mathrm {\frac {\varepsilon _{\gamma +2}+{\sqrt {B}}}{E_{\gamma +2}}} \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/db9247926d1dd472375f7c30e32778b3ace6a56f)
nombre sera donné, et par là les nombres
![{\displaystyle \varepsilon _{\gamma +1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/755c9c867c2076c583f9d145ae39e4a99afa7631)
et
![{\displaystyle \mathrm {E} _{\gamma +1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8d0d2e5fb9d81d07a497d509af031f23e90fa7c1)
le seront aussi.
Enfin, puisque
est (hypothèse)
on aura à plus forte raison
![{\displaystyle \varepsilon _{\gamma }+{\sqrt {\mathrm {B} }}>\mathrm {E} _{\gamma }\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f35f02e38d8749e81ad6867216783dc43060ce2c)
et de là, à cause de
on aura
![{\displaystyle {\sqrt {\mathrm {B} }}-\varepsilon _{\gamma }<\mathrm {E} _{\gamma +1},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a2c759ba32f075081bf32bc3924fb6c5771858f2)
ou bien, en substituant pour
sa valeur trouvée ci-dessus,
![{\displaystyle \mathrm {{\sqrt {B}}-\lambda _{\gamma +1}E_{\gamma +1}+\varepsilon _{\gamma +1}<E_{\gamma +1}} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8cbe43225ed9fddb22c711b10f0cfa2bec203198)
ce qui donne
![{\displaystyle \lambda _{\gamma +1}>\mathrm {\frac {\varepsilon _{\gamma +1}+{\sqrt {B}}}{E_{\gamma +1}}} -1.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/330d64ca46da7e383a2f34e30730f5e3cef21054)
Donc le nombre
ne pourra être que le nombre entier qui est immédiatement moindre que la quantité donnée
et par conséquent ce nombre sera entièrement donné, et par conséquent les nombres
et
le seront aussi.
Or nous avons vu (no 53) qu’en continuant les séries
il arrivera nécessairement que deux termes correspondants, comme
reparaîtront après un certain nombre d’autres termes, en sorte que l’on aura, par exemple,
![{\displaystyle \mathrm {E} _{\gamma +\nu +\delta }=\mathrm {E} _{\gamma +\delta },\quad \varepsilon _{\gamma +\nu +\delta }=\varepsilon _{\gamma +\delta }\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7a0ee6ae26dd1e57b94281cef8522081da417272)
donc, par ce que nous venons de démontrer, on aura aussi en remontant
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{2}\mathrm {E} _{\gamma +\nu +\delta -1}&=\mathrm {E} _{\gamma +\delta -1},\qquad &\varepsilon _{\gamma +\nu +\delta -1}&=\varepsilon _{\gamma +\delta -1},\\\mathrm {E} _{\gamma +\nu +\delta -2}&=\mathrm {E} _{\gamma +\delta -2},\qquad &\varepsilon _{\gamma +\nu +\delta -2}&=\varepsilon _{\gamma +\delta -2},\\\ldots \ldots \ldots &\ldots \ldots \ldots ,&\ldots \ldots \ldots &\ldots \ldots \ldots ,\\\mathrm {E} _{\gamma +\nu }&=\mathrm {E} _{\gamma },&\varepsilon _{\gamma +\nu }&=\varepsilon _{\gamma }.\end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/744447b637e3a1d4d6ee41549765b36a635a5c47)
58. De là je conclus en général que, lorsque dans la série des nombres
on en trouvera deux consécutifs de même signe, celui des deux qui sera moindre que
sera déjà nécessairement périodique.
Ainsi, si dans l’équation proposée
![{\displaystyle \mathrm {E} x^{2}-2\varepsilon x-\mathrm {E} =0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d5426b45aba1fbe99bebc274be85974c517242b6)
les coefficients
et
étaient de même signe, alors la série serait périodique dès le premier ou le second terme.
Si l’on a
en sorte que
alors on aura
d’où l’on voit que, des deux nombres
le plus petit sera moindre que
et le plus grand sera nécessairement plus grand que
donc, dans ce cas, si le nombre
dont il s’agit d’extraire la racine carrée est plus petit que l’unité, la série sera périodique dès le premier terme
et s’il est plus grand que l’unité, la période ne pourra pas commencer plus bas qu’au second terme.
59. On avait remarqué depuis longtemps que toute fraction continue périodique pouvait toujours se ramener à une équation du second degré, mais personne, que je sache, n’avait encore démontré l’inverse de cette proposition, savoir que toute racine d’une équation du second degré se réduit toujours nécessairement en une fraction continue périodique. Il est vrai que M. Euler, dans un excellent Mémoire imprimé au tome XI des Nouveaux Commentaires de Pétersbourg, a observé que la racine carrée d’un nombre entier se réduisait toujours en une fraction continue périodique ; mais ce théorème, qui n’est qu’un cas particulier du nôtre, n’a pas été démontré par M. Euler, et ne peut l’être, ce me semble, que par le moyen des principes que nous avons établis plus haut.
60. Nous avons donné plus haut des formules générales pour trouver aisément tous les termes des fractions convergentes vers la racine d’une équation donnée, lorsqu’on a reconnu que la fraction continue qui exprime cette racine est périodique.
Or, dans le cas où l’équation est du second degré, et où l’on se sert de la méthode du no 52, on pourra, si l’on veut, simplifier beaucoup les calculs des nos 48 et suivants pour trouver les termes
et
de chacune des fractions convergentes vers
.
En effet, ayant
![{\displaystyle x_{\mu }=\mathrm {\frac {{\sqrt {B}}+\varepsilon _{\mu }}{E_{\mu +1}}} \quad {\text{et}}\quad x_{\mu +\varpi }=\mathrm {\frac {{\sqrt {B}}+\varepsilon _{\mu +\varpi }}{E_{\mu +\varpi +1}}} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9fa88e6969e51c8469b0cca79508a5204ed85316)
sont connus (
étant
), il n’y aura qu’à substituer ces valeurs dans les deux équations du no 48, et faisant, pour abréger,
![{\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {l_{\mu }\ \varepsilon _{\mu }}{\mathrm {E} _{\mu +1}}}+l_{\mu -1}\ =f_{\mu },\\&\mathrm {{\frac {L_{\mu }\varepsilon _{\mu }}{E_{\mu +1}}}+L_{\mu -1}} =\mathrm {F} _{\mu },\\&\mathrm {{\frac {H_{\nu }\varepsilon _{\mu }}{E_{\mu +1}}}+H_{\nu -1}} =\mathrm {K} _{\nu },\\&\mathrm {H_{\varpi }\varepsilon _{\mu +\varpi }+H_{\varpi -1}E_{\mu +\varpi +1}} =\mathrm {G} _{\varpi },\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/75717cd9569f2cd41ad180bca205ff7c2e671086)
on aura
![{\displaystyle {\begin{aligned}&\left(f_{\mu }\ +{\frac {l_{\mu }\ {\sqrt {\mathrm {B} }}}{\mathrm {E} _{\mu +1}}}\right)\mathrm {\left(G_{\varpi }+H_{\varpi }{\sqrt {B}}\right)} \mathrm {\left(K_{\nu }+{\frac {H_{\nu }{\sqrt {B}}}{E_{\mu +1}}}\right)} ^{n}\\&\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad =l_{\rho }\ \varepsilon _{\mu +\varpi }+l_{\rho -1}\ \mathrm {E} _{\mu +\varpi +1}+l_{\rho }\ {\sqrt {\mathrm {B} }},\\&\mathrm {\left(F_{\mu }+{\frac {L_{\mu }{\sqrt {B}}}{E_{\mu +1}}}\right)\left(G_{\varpi }+H_{\varpi }{\sqrt {B}}\right)\left(K_{\nu }+{\frac {H_{\nu }{\sqrt {B}}}{E_{\mu +1}}}\right)} ^{n}\\&\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad =\mathrm {L_{\rho }\varepsilon _{\mu +\varpi }+L_{\rho -1}E_{\mu +\varpi +1}+L_{\rho }{\sqrt {B}}} ,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/17c54364608b6a27063c656622447af1eec1de65)
d’où, à cause de l’ambiguïté du signe du radical
on tire sur-le-champ
![{\displaystyle {\begin{aligned}l_{\rho }=&{\frac {\begin{aligned}&\left(f_{\mu }+{\frac {l_{\mu }{\sqrt {\mathrm {B} }}}{\mathrm {E} _{\mu +1}}}\right)\mathrm {\left(G_{\varpi }+H_{\varpi }{\sqrt {B}}\right)} \mathrm {\left(K_{\nu }+{\frac {H_{\nu }{\sqrt {B}}}{E_{\mu +1}}}\right)} ^{n}\\-&\left(f_{\mu }-{\frac {l_{\mu }{\sqrt {\mathrm {B} }}}{\mathrm {E} _{\mu +1}}}\right)\mathrm {\left(G_{\varpi }-H_{\varpi }{\sqrt {B}}\right)} \mathrm {\left(K_{\nu }-{\frac {H_{\nu }{\sqrt {B}}}{E_{\mu +1}}}\right)} ^{n}\end{aligned}}{2{\sqrt {\mathrm {B} }}}}\\\\\mathrm {L} _{\rho }=&{\frac {\begin{aligned}&\mathrm {\left(F_{\mu }+{\frac {L_{\mu }{\sqrt {B}}}{E_{\mu +1}}}\right)\left(G_{\varpi }+H_{\varpi }{\sqrt {B}}\right)\left(K_{\nu }+{\frac {H_{\nu }{\sqrt {B}}}{E_{\mu +1}}}\right)} ^{n}\\-&\mathrm {\left(F_{\mu }-{\frac {L_{\mu }{\sqrt {B}}}{E_{\mu +1}}}\right)\left(G_{\varpi }-H_{\varpi }{\sqrt {B}}\right)\left(K_{\nu }-{\frac {H_{\nu }{\sqrt {B}}}{E_{\mu +1}}}\right)} ^{n}\end{aligned}}{2{\sqrt {\mathrm {B} }}}},\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/407d7fb0e21ee25d7f12496410aab76054370c9f)
étant, comme plus haut, égal à ![{\displaystyle \mu +n\nu +\varpi .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7c2eaf33cc23fc6ee1ab365ac0032bdc953d9b49)
61. On peut aussi remarquer que la valeur de
peut se déterminer par le moyen de celles de
et
sans avoir besoin d’un nouveau calcul.
En effet, ayant
![{\displaystyle x=\mathrm {{\frac {\varepsilon +{\sqrt {B}}}{E}}={\frac {E}{{\sqrt {B}}-\varepsilon }}} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9edb60667edb21f9c359ecdc6071679f2ceab71d)
et de même
![{\displaystyle x_{\rho }=\mathrm {\frac {E_{\rho }}{{\sqrt {B}}-\varepsilon _{\rho }}} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/664267f4fa8fed17d348815e8a90ad3391e996a1)
on aura, par l’équation (G) du no 51,
![{\displaystyle \mathrm {\frac {E}{{\sqrt {B}}-\varepsilon }} ={\frac {l_{\rho }\mathrm {E} _{\rho }+l_{\rho -1}\left({\sqrt {\mathrm {B} }}-\varepsilon _{\rho }\right)}{\mathrm {L_{\rho }E_{\rho }+L_{\rho -1}\left({\sqrt {B}}-\varepsilon _{\rho }\right)} }},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/27b420c39a9113dfc1756088d0198ebadf2cd648)
savoir
![{\displaystyle \mathrm {E\left[L_{\rho }E_{\rho }+L_{\rho -1}\left({\sqrt {B}}-\varepsilon _{\rho }\right)\right]} =l_{\rho }\mathrm {E} _{\rho }\left({\sqrt {\mathrm {B} }}-\varepsilon \right)+l_{\rho -1}\left[\mathrm {B} +\varepsilon \varepsilon _{\rho }-(\varepsilon _{\rho }+\varepsilon ){\sqrt {\mathrm {B} }}\right],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c52bc877a65038a7688af36501c07a89373ad266)
de sorte qu’en comparant la partie rationnelle avec la rationnelle, et l’irrationnelle avec l’irrationnelle, on aura
![{\displaystyle \mathrm {L} _{\rho -1}={\frac {l_{\rho }\mathrm {E} _{\rho }-l_{\rho -1}(\varepsilon _{\rho }+\varepsilon )}{\mathrm {E} }},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9a4bfd00da16a7d4bf4b3ca5549859e93208474e)
![{\displaystyle \mathrm {L_{\rho }E_{\rho }-L_{\rho -1}} \varepsilon _{\rho }={\frac {-l_{\rho }\mathrm {E} _{\rho }\varepsilon +l_{\rho -1}(\mathrm {B} +\varepsilon \varepsilon _{\rho })}{\mathrm {E} }},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d83012e0ba689e01e9815145d2b56b611a0449ee)
d’où, à cause de
on aura
![{\displaystyle \mathrm {L} _{\rho }={\frac {l_{\rho }(\varepsilon _{\rho }-\varepsilon )+l_{\rho -1}\mathrm {E} _{\rho +1}}{\mathrm {E} }}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/46c21fe971a4869d197772183b1e851847b5f784)
Or,
étant égal à
on aura
![{\displaystyle \varepsilon _{\rho }=\varepsilon _{\mu +\varpi },\quad \mathrm {E_{\rho +1}=E_{\mu +\varpi +1}} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/01666e65170ff3c3caf89cf2ff6b10fc1bf52742)
de sorte que
et
seront connus, quel que soit le quantième
.
62. Supposons, pour donner un exemple de l’application des formules précédentes, qu’on demande la racine carrée de
par une fraction continue.
Faisant
on aura l’équation
![{\displaystyle 3x^{2}-11=0\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fd8b43796e24ba167c27cd0ec74f8c3936a58d92)
donc (
no 52)
ainsi l’on fera (no 53) le calcul suivant, en prenant ![{\displaystyle B=33,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3f977323738d3398c227a31e07e6381307ba4e7c)
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{3}\mathrm {E} \,\ =&11,&&&\varepsilon \,\ =&0,\\\mathrm {E} _{1}=&{\frac {33-0}{11}}=3,\qquad &\lambda _{1}<&{\frac {{\sqrt {33}}+0}{3}}=1,\qquad &\varepsilon _{1}=&\ \ 1.3-0=3,\\\mathrm {E} _{2}=&{\frac {33-9}{3}}=8,\qquad &\lambda _{2}<&{\frac {{\sqrt {33}}+3}{8}}=1,\qquad &\varepsilon _{2}=&\ \ 1.8-3=5,\\\mathrm {E} _{3}=&{\frac {33-25}{8}}=1,\qquad &\lambda _{3}<&{\frac {{\sqrt {33}}+5}{1}}=10,\qquad &\varepsilon _{3}=&10.1-5=5,\\\mathrm {E} _{4}=&{\frac {33-25}{1}}=8,\qquad &\lambda _{4}<&{\frac {{\sqrt {33}}+5}{8}}=1,\qquad &\varepsilon _{4}=&\ \ 1.8-5=3,\\\mathrm {E} _{5}=&{\frac {33-0}{8}}=3,\qquad &\lambda _{5}<&{\frac {{\sqrt {33}}+3}{3}}=2,\qquad &\varepsilon _{5}=&\ \ 2.3-3=3.\end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3f10827aae13009d25d4d21689eac6242b752014)
Je m’arrête ici parce que je vois que
et
de sorte que j’aurai dans ce cas
et
et par conséquent
![{\displaystyle x=1+{\frac {1}{1+{\cfrac {1}{10+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{10+\ddots }}}}}}}}}}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/70f5f9fef80f73f275c16247d65054560a5f393b)
63. Telle est donc la fraction continue qui exprime la valeur de
mais, si l’on veut trouver les fractions convergentes vers cette valeur, on fera, dans les formules du no 60,
et comme
doit être
on fera successivement
On aura donc [formule (A), no 47]
![{\displaystyle l_{\mu }=l_{1}=\lambda _{1}=1,\quad l_{\mu -1}=l=1,\quad \varepsilon _{\mu }=\varepsilon _{1}=3,\quad \mathrm {E_{\mu +1}=E_{2}} =8\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/603ace1f22979c9f22c65b218f86f8a9b5640dcc)
donc (no 60)
![{\displaystyle f_{\mu }={\frac {1.3}{8}}+1={\frac {11}{8}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d762707043226dc6739b7fe2f7fc338069df6cc1)
on trouvera de même
![{\displaystyle \mathrm {L} _{\mu }=1,\quad \mathrm {F} _{\mu }={\frac {3}{8}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/420563ec49db8afaec02dcb4e64914b06272219a)
Ensuite on calculera les valeurs de
jusqu’à
par les formules (C) du no 48, et l’on trouvera
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {H} \ \,=&0,\\\mathrm {H} _{1}=&1,\\\mathrm {H} _{2}=&\lambda _{3}\mathrm {H} _{1}=10,\\\mathrm {H} _{3}=&\lambda _{4}\mathrm {H_{2}+H_{1}} =11,\\\mathrm {H} _{4}=&\lambda _{5}\mathrm {H_{3}+H_{2}} =32,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f6752a8f926eaab0c0f26b928b8932e7fdb7f715)
d’où
![{\displaystyle \mathrm {H} _{\nu }=32,\quad \mathrm {H} _{\nu -1}=11,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/659cec84e12aa76629982110032a99dbbcfce967)
et de là
![{\displaystyle \mathrm {K} _{\nu }={\frac {32.3}{8}}+11=23.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7556afe32a48da6f72f06a18288775352b9bc495)
Maintenant :
1o Soit
on aura
![{\displaystyle \mathrm {H} _{\varpi }=0\quad {\text{et}}\quad \mathrm {H} _{\varpi -1}=1,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cadf70b1689f77221b0061a308a5825ffbaaa709)
car il est facile de voir, par la nature des formules (C), que le terme qui précéderait
serait nécessairement
en effet, on doit avoir par l’analogie
![{\displaystyle \mathrm {H_{1}=\lambda _{\mu +1}H+H_{-1}} \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/28f03a1f24a26f0b49c43f6aec0a8e55a933e5ed)
on prouverait de même que le terme qui précéderait
serait
Donc
![{\displaystyle \mathrm {G} _{\varpi }=\mathrm {E} _{\mu +1}=8.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9bc83a23f7794f311a274a6ae99ba5faf6cabbe1)
2o Soit
on aura
![{\displaystyle \mathrm {H} _{\varpi }=1,\quad \mathrm {H} _{\varpi -1}=0\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6ab90c3a3af059506ff00d493ece21d4c3055c62)
donc
![{\displaystyle \mathrm {G} _{\varpi }=\varepsilon _{\mu +1}=\varepsilon _{2}=5..}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3ca2bf8a5e8552bd47750d3fdac315d93377e81a)
3o Soit
donc
![{\displaystyle \mathrm {H_{\varpi }=10,\quad H_{\varpi -1}=1,\quad G_{\varpi }=10\varepsilon _{\mu +2}+1,\quad E_{\mu +3}=10\varepsilon _{3}+E_{4}=58} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d60029f0727d17e490405e8403dd41acf393a475)
4o soit
donc
![{\displaystyle \mathrm {H_{\varpi }=11,\quad H_{\varpi -1}=10,\quad {\text{et}}\quad G_{\varpi }=11\varepsilon _{4}+10E_{5}=63} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/794dab34095dd4e2cb18e08525260337f40080b9)
Donc, substituant ces valeurs dans les expressions de
et
du no 60, et multipliant ensemble, pour plus de simplicité, les deux facteurs
![{\displaystyle f_{\mu }\pm {\frac {l_{\mu }{\sqrt {\mathrm {B} }}}{\mathrm {E} _{\mu +1}}},\quad \mathrm {G_{\varpi }\pm H_{\varpi }{\sqrt {B}}} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0c679ae9d803766d297eca057f276d00391a52f3)
comme aussi les deux
![{\displaystyle \mathrm {F_{\mu }\pm {\frac {L_{\mu }{\sqrt {B}}}{E_{\mu +1}}},\quad G_{\varpi }\pm H_{\varpi }{\sqrt {B}}} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/79d2786e153035bfc49faaf2a36665db9ffa77d8)
ce qui donne ces facteurs simples
![{\displaystyle {\begin{aligned}&f_{\mu }\ \mathrm {G} _{\varpi }+{\frac {l_{\mu }\ \mathrm {H_{\varpi }B} }{\mathrm {E} _{\mu +1}}}\pm \left(f_{\mu }\ \mathrm {H} _{\varpi }+{\frac {l_{\mu }\ \mathrm {G} _{\varpi }}{\mathrm {E} _{\mu +1}}}\right){\sqrt {\mathrm {B} }},\\&\mathrm {F_{\mu }G_{\varpi }+{\frac {L_{\mu }H_{\varpi }B}{E_{\mu +1}}}\pm \left(F_{\mu }H_{\varpi }+{\frac {L_{\mu }G_{\varpi }}{E_{\mu +1}}}\right){\sqrt {B}}} ,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/338a3f075376550e994a3fc7c43a3b296c8661d5)
on aura les formules suivantes
![{\displaystyle {\begin{aligned}l_{4n+1}\ =&{\frac {\left(11+{\sqrt {33}}\right)\left(23+4{\sqrt {33}}\right)^{n}-\left(11-{\sqrt {33}}\right)\left(23-4{\sqrt {33}}\right)^{n}}{2{\sqrt {33}}}},\\\mathrm {L} _{4n+1}=&{\frac {\left(3+{\sqrt {33}}\right)\left(23+4{\sqrt {33}}\right)^{n}-\left(3-{\sqrt {33}}\right)\left(23-4{\sqrt {33}}\right)^{n}}{2{\sqrt {33}}}},\\l_{4n+2}\ =&{\frac {\left(11+2{\sqrt {33}}\right)\left(23+4{\sqrt {33}}\right)^{n}-\left(11-2{\sqrt {33}}\right)\left(23-4{\sqrt {33}}\right)^{n}}{2{\sqrt {33}}}},\\\mathrm {L} _{4n+2}=&{\frac {\left(6+{\sqrt {33}}\right)\left(23+4{\sqrt {33}}\right)^{n}-\left(6-{\sqrt {33}}\right)\left(23-4{\sqrt {33}}\right)^{n}}{2{\sqrt {33}}}},\\l_{4n+3}\ =&{\frac {\left(121+21{\sqrt {33}}\right)\left(23+4{\sqrt {33}}\right)^{n}-\left(121-21{\sqrt {33}}\right)\left(23-4{\sqrt {33}}\right)^{n}}{2{\sqrt {33}}}},\\\mathrm {L} _{4n+3}=&{\frac {\left(63+11{\sqrt {33}}\right)\left(23+4{\sqrt {33}}\right)^{n}-\left(63-11{\sqrt {33}}\right)\left(23-4{\sqrt {33}}\right)^{n}}{2{\sqrt {33}}}},\\l_{4n+4}\ =&{\frac {\left(132+23{\sqrt {33}}\right)\left(23+4{\sqrt {33}}\right)^{n}-\left(132-23{\sqrt {33}}\right)\left(23-4{\sqrt {33}}\right)^{n}}{2{\sqrt {33}}}},\\\mathrm {L} _{4n+4}=&{\frac {\left(69+12{\sqrt {33}}\right)\left(23+4{\sqrt {33}}\right)^{n}-\left(69-12{\sqrt {33}}\right)\left(23-4{\sqrt {33}}\right)^{n}}{2{\sqrt {33}}}},\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eb660bc1a9151ac3937f5b1dad552a740e92ca1b)
au moyen desquelles on pourra trouver la valeur de chacune des fractions
![{\displaystyle {\frac {l_{1}}{\mathrm {L} _{1}}},\ {\frac {l_{2}}{\mathrm {L} _{2}}},\ {\frac {l_{3}}{\mathrm {L} _{3}}},\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5aa57db5b34e1b0fdf27d6924aa9f184a0c2bfe4)
convergentes vers la racine de
Ainsi, faisant d’abord
on aura les quatre premières fractions ; faisant ensuite
on aura les quatre suivantes, et ainsi de suite : et ces fractions seront
![{\displaystyle {\frac {1}{1}},\ \ {\frac {2}{1}},\ \ {\frac {21}{11}},\ \ {\frac {23}{12}},\ \ {\frac {67}{35}},\ \ {\frac {90}{47}},\ \ {\frac {967}{505}},\ \ {\frac {1057}{552}},\ \ \ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d9efc7dca41807c2a3869059a3cee39cea341f59)
Si l’on voulait avoir, par exemple, le cinquantième terme de cette série, c’est-à-dire la fraction
il n’y aurait qu’à diviser
par
ce qui donne
de quotient et
de reste, et l’on ferait
de sorte qu’en développant la puissance douzième de
et faisant, pour abréger,
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {M} =&(23)^{12}+66.33(4)^{2}(23)^{10}+495(33)^{2}(4)^{4}(23)^{8}+924(33)^{3}(4)^{6}(23)^{6}\\&+495(33)^{4}(4)^{8}(23)^{4}+66(33)^{5}(4)^{10}(23)^{2}+(33)^{6}(4)^{12},\\\\\mathrm {N} =&12.4(23)^{11}+220(33)(4)^{3}(23)^{9}+792(33)^{2}(4)^{5}(23)^{7}\\&+792(33)^{3}(4)^{7}(23)^{5}+220(33)^{4}(4)^{9}(23)^{3}+12(33)^{5}(4)^{11}23,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f3c8176ce01c3a3c91885fb81cf38b7011dade32)
on aura
![{\displaystyle \left(23\pm 4{\sqrt {33}}\right)^{n}=\mathrm {M} \pm \mathrm {N} {\sqrt {33}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e0e4c29044ba01bab850b010dbeaf604d797b506)
donc, substituant cette valeur dans les expressions de
et
on aura, pour la fraction cherchée,
![{\displaystyle \mathrm {\frac {2M+11N}{M+6N}} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cb90e614983842373f4e731602086f316d9a7324)
64. Je vais terminer cette Remarque par une observation qui me paraît digne d’attention. Lorsque l’équation proposée a des diviseurs commensurables du premier degré, alors les fractions continues qui représenteront les racines de ces diviseurs seront nécessairement terminées ; et lorsque l’équation aura des diviseurs commensurables du second degré à racines réelles, alors les fractions continues qui exprimeront les racines de ces diviseurs seront nécessairement périodiques. Ainsi, la méthode des fractions continues a non-seulement l’avantage de donner toujours les valeurs rationnelles les plus approchantes qu’il est possible de la racine cherchée, mais elle a encore celui de donner tous les diviseurs commensurables du premier et du second degré que l’équation proposée peut renfermer. Il serait à souhaiter que l’on pût trouver aussi quelque caractère qui pût servir à faire reconnaître les diviseurs commensurables du troisième, quatrième, degré, lorsqu’il y en a dans l’équation proposée ; c’est du moins une recherche qui me paraît très-digne d’occuper les Géomètres.
ARTICLE III.
Généralisation de la théorie des fractions continues.
65. Nous avons supposé, dans le Chapitre III, que les nombres
étaient les valeurs entières approchées des racines
mais plus petites que ces racines ; c’est-à-dire que
étaient les nombres entiers immédiatement plus petits que les valeurs de
cependant il est clair que rien n’empêcherait qu’on ne prît pour
les nombres entiers qui seraient immédiatement plus grands que les racines
,
66. Imaginons donc qu’on prenne pour
le nombre entier qui est immédiatement plus grand que
en sorte que
et
il est clair qu’il faudra faire, dans ce cas,
c’est-à-dire qu’il faudra prendre
négativement, et comme
et
on aura
et
et par conséquent
comme dans le cas où l’on aurait pris
(no 18). Ainsi l’on pourra prendre de nouveau pour
le nombre entier qui serait immédiatement plus petit que
ou celui qui serait immédiatement plus grand, et l’on fera, dans le premier cas,
et, dans le second,
et ainsi de suite.
De cette manière, on aurait donc
![{\displaystyle x=p\pm {\frac {1}{y}},\quad y=q\pm {\frac {1}{z}},\quad z=r\pm {\frac {1}{u}},\quad \ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/083727f92bdbea82a983b0b06f1dbd413b5a6def)
ce qui donnerait la fraction continue
![{\displaystyle x=p\pm {\frac {1}{q\pm {\cfrac {1}{r\pm {\cfrac {1}{s\pm \ddots }}}}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ca72e544c2e4a6bf6b3b336ec0962bfcf4fd5079)
où il est bon de remarquer que chacun des dénominateurs
qui sera suivi d’un signe
devra nécessairement être
ou
car puisque
si l’on fait
on aura
donc
donc
devant être un nombre entier sera nécessairement
ou
et ainsi des autres.
67. J’observe maintenant que ces sortes de fractions qui procèdent ainsi par addition et par soustraction peuvent toujours facilement se changer en d’autres qui ne soient formées que par la simple addition.
En effet, supposons en général
![{\displaystyle a-{\frac {1}{t}}=\mathrm {A+{\frac {1}{T}}} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1930d1fe981d00734a0ed1a248bffac2a3fcfb98)
et
devant être des nombres entiers, et
des nombres plus grands que l’unité ; on aura donc
![{\displaystyle a-\mathrm {A} ={\frac {1}{t}}+{\frac {1}{\mathrm {T} }}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ef2868745b7f37a9c036c05dfd4a435ba71522c2)
donc, puisque
et ![{\displaystyle {\frac {1}{\mathrm {T} }}<1,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cf3275170902d6f18bfd15b769aaf7c3c2fd107a)
![{\displaystyle {\frac {1}{t}}+{\frac {1}{\mathrm {T} }}\quad {\text{sera}}\quad <2\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0c199a3bf9680f877899593b823fb9fa74bb0e6c)
donc on ne pourra supposer que
ce qui donne
on aura donc
![{\displaystyle a-{\frac {1}{t}}=a-1+{\frac {1}{\mathrm {T} }}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1f38b6bc661ff3b9691ae07ee4724135e073fefd)
donc
![{\displaystyle {\frac {1}{\mathrm {T} }}=1-{\frac {1}{t}},\quad {\text{et}}\quad \mathrm {T} ={\frac {t}{t-1}}=1+{\frac {1}{t-1}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a9a4ae4509aa185fc9c90166dc91b2b56ed5ee7f)
de sorte qu’on aura en général
![{\displaystyle a-{\frac {1}{t}}=a-1+{\frac {1}{1+{\cfrac {1}{t-1}}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3343a3401b8e045303131ab8d92342fb4958638d)
et cette formule servira pour faire disparaître tous les signes
dans une fraction continue quelconque.
Soit, par exemple, la fraction
![{\displaystyle p-{\frac {1}{q+{\cfrac {1}{r+\ddots }}}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9e75fb5f971b0b8142482ba0a4ee7cae2d7867ea)
elle deviendra, en faisant
et ![{\displaystyle t=q+{\frac {1}{r}},\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/63b5e20d7b3b2fd3218fcfc1c55dc4949329f9a4)
![{\displaystyle p-1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{q-1+{\cfrac {1}{r+\ddots }}}}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/599c8eba84af19a7a283eaf6c810da535bf404ef)
et si l’on avait la fraction
![{\displaystyle p-{\cfrac {1}{q-{\cfrac {1}{r-\ddots }}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/27341c882464c61a42d3ba78542fbfa9b0cbbc67)
elle se changerait d’abord en
![{\displaystyle p-1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{q-1-{\cfrac {1}{r-\ddots }}}}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/98b17a46bd2f7a3aaeea7cbf7badc3baf391a26d)
et ensuite en
![{\displaystyle p-1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{q-2+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{r-1+\ddots }}}}}}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/206fb5814eded69d4a9f6dfea484fe7db1131128)
et ainsi des autres fractions semblables. Il est bon de remarquer qu’il peut arriver que dans ces sortes de transformations quelqu’un des dénominateurs devienne nul, auquel cas la fraction deviendra plus simple.
En effet, supposons que la fraction à réduire soit
![{\displaystyle p-{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{r+\ddots }}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b74b50c9a99e688909e0730d028e856a98d78f33)
la transformée sera.
![{\displaystyle p-1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{0+{\cfrac {1}{r+\ddots }}}}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7c4a647ca929369bc63de5b4230d09f731a969a5)
c’est-à-dire
![{\displaystyle p-1+{\frac {1}{1+r+\ddots }}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a3e439459542cf63b52a7009b98b3c4136b87733)
De même, si l’on avait la fraction
![{\displaystyle p-{\cfrac {1}{2-{\cfrac {1}{r+\ddots }}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aace617a7b3f20da1046b38e98c2a8e4ad858de9)
elle se réduirait à celle-ci
![{\displaystyle p-1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{0+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{r-1+\ddots }}}}}}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0829c8d89f59df204806933abe197f3d4d3a5518)
savoir
![{\displaystyle p-1+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{r-1+\ddots }}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2d1726aee69642a22f55fd0cf61a4b6828a144ec)
et ainsi du reste.
68. La formule que nous avons trouvée ci-dessus, et qu’on peut mettre sous cette forme
![{\displaystyle a+{\frac {1}{1+{\cfrac {1}{t}}}}=a+1-{\frac {1}{t+1}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a92c2f1ea4e99727b78c1f36b18cf8c74649bb43)
fait voir qu’une fraction continue dont tous les termes ont le signe
![{\displaystyle +}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fe6ef363cd19902d1a7a71fb1c8b21e8ede52406)
peut quelquefois être simplifiée en y introduisant des signes
![{\displaystyle -\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2dc78a1565778ea264ba7928f01724f475a057fd)
c’est ce qui a lieu lorsqu’il y a des dénominateurs égaux à l’unité ; car soit, par exemple, la fraction
![{\displaystyle p+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{r+\ddots }}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e95192ca5b9dcf796493b8ed0c866e4a8f950df6)
elle pourra se réduire, par la formule précédente, à celle-ci,
![{\displaystyle p+1-{\frac {1}{r+1+\ddots }},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bc3c24adb3234290c9c4cae5678d37a64ad84c4f)
qui a, comme on voit, un terme de moins ; donc, si l’on avait la fraction
![{\displaystyle p+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{s+\ddots }}}}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/875cd281b51a5f8c2509c1a99709eaf3c9175f57)
elle se réduirait à celle-ci
![{\displaystyle p+1-{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{s+\ddots }}}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6e497ec96275c0298417bbfd21e908e94d6d1968)
et si l’on avait celle-ci
![{\displaystyle p+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{s+\ddots }}}}}}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/18d695b215c97a4663568a361ce337b152aee55a)
elle se réduirait d’abord à
![{\displaystyle p+1-{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{s+\ddots }}}}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4f004b3e328557501ff3a7364456d6c8f9c0e5eb)
et ensuite à
![{\displaystyle p+1-{\cfrac {1}{3-{\cfrac {1}{s+1+\ddots }}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d0b9cc98522b408edfca122814914bcc7558735d)
D’où il est facile de conclure en général que, si l’on a une fraction continue qui n’ait que des signes
et où il y ait des dénominateurs égaux à l’unité, on pourra toujours la changer en une autre qui ait autant de termes de moins qu’il y aura de pareils dénominateurs, pourvu qu’ils ne se suivent pas immédiatement ; car, lorsqu’il y en aura deux de suite, on ne pourra faire disparaître qu’un seul terme ; lorsqu’il y en aura trois de suite, on pourra faire disparaître deux termes ; et en général, s’il y en a
ou
de suite, on ne pourra faire disparaître que
ou
termes.
Ainsi, la fraction continue qui exprime le rapport de la circonférence au diamètre étant, comme on sait,
![{\displaystyle 3+{\cfrac {1}{7+{\cfrac {1}{15+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{292+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{2+\ddots }}}}}}}}}}}}}}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/456570453cb9ba620c6da1e7a4cdebaaab0583bc)
elle peut se réduire à une autre qui ait déjà trois termes de moins, et qui sera
![{\displaystyle 3+{\cfrac {1}{7+{\cfrac {1}{16-{\cfrac {1}{294-{\cfrac {1}{3-{\cfrac {1}{3+\ddots }}}}}}}}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a010d2a9b76a0617c216f9791aeb045adf9a7eb3)
69. Pour pouvoir comprendre sous une même forme générale les fractions continues où les signes sont tous positifs et celles où il y a des signes négatifs, il est bon de transformer ces dernières en sorte que les signes négatifs n’affectent que les dénominateurs, ce qui est très-facile car ayant, par exemple, la fraction
![{\displaystyle p-{\cfrac {1}{q+{\cfrac {1}{r-{\cfrac {1}{s+\ddots }}}}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bd5fec389e64ed9a3e0719a8f46a3632e2853441)
il est clair qu’elle peut d’abord se changer en
![{\displaystyle p+{\cfrac {1}{-q-{\cfrac {1}{r-{\cfrac {1}{s+\ddots }}}}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/18cb5d4261dce8138fd1a5bd01536408d3b49f57)
ensuite en celle-ci
![{\displaystyle p+{\cfrac {1}{-q+{\cfrac {1}{-r+{\cfrac {1}{s+\ddots }}}}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c6719a39507603afd0fe3c1e4c0e99e12adc8337)
et ainsi des autres.
De cette manière, la forme générale des fractions continues dont nous venons de parler ci-dessus sera
![{\displaystyle p+{\cfrac {1}{q+{\cfrac {1}{r+\ddots }}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d32ea946d5ce334e5c75fdf5ff2f972f00b99672)
les nombres
étant tous entiers, mais pouvant être positifs ou négatifs, au lieu que jusqu’ici nous les avions toujours supposés positifs.
Il faut cependant remarquer que, si quelqu’un des dénominateurs
se trouve égal à l’unité prise positivement ou négativement, alors le dénominateur suivant devra être de même signe ; c’est ce qui suit de ce qu’un dénominateur positif et égal à l’unité ne saurait jamais être suivi du signe
(no 68).
70. Il s’ensuit de là que la méthode d’approximation donnée dans le Chapitre III peut être généralisée en cette sorte :
Soit
la racine cherchée ; on prendra d’abord pour
la valeur entière approchée de
c’est-à-dire qu’on fera
égal à l’un des deux nombres entiers entre lesquels tombe la vraie valeur de
et qu’on peut toujours trouver par la méthode du Chapitre Ier ; et l’on supposera ensuite
![{\displaystyle x=p+{\frac {1}{y}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/89cd9fa8cb1529a2943f120b4d9f869812cf6c27)
ce qui donnera une transformée en
qui aura nécessairement une racine positive ou négative plus grande que l’unité ; on prendra de même pour
la valeur entière approchée de
soit plus grande ou plus petite que
et l’on fera
![{\displaystyle y=q+{\frac {1}{z}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8c71963d9adcf6be331e6b3d15a9a3eb0ae42a0f)
et ainsi de suite.
Si l’équation en
avait plusieurs racines, on ferait sur les transformées en
en
des remarques analogues à celles du no 19.
Ayant donc
![{\displaystyle x=p+{\frac {1}{y}},\quad y=q+{\frac {1}{z}},\quad z=r+{\frac {1}{u}},\quad \ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c68c470ae225b2214c236f8fb07459686d766ecc)
on aura
![{\displaystyle x=p+{\cfrac {1}{q+{\cfrac {1}{r+\ddots }}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c49426344bb85e96437a74c22182303525e2201d)
où les dénominateurs
pourront être positifs ou négatifs, comme nous l’avons supposé ci-dessus, et cette fraction pourra ensuite se réduire, si l’on veut, à une autre dont les dénominateurs soient tous positifs, et qui ne contiennent d’ailleurs que des signes
(no 67).
L’avantage de la méthode que nous proposons ici consiste en ce qu’on est libre de prendre pour les nombres
les nombres entiers qui sont immédiatement plus grands ou plus petits que les racines
ce qui pourra souvent donner lieu à des abrégés de calcul dont nous parlerons plus bas.
Au reste, si l’on veut avoir la fraction continue la plus courte et par conséquent la plus convergente qu’il soit possible, il faudra prendre toujours les nombres
plus petits que les racines
tant que ces nombres seront différents de l’unité ;-mais, dès qu’on en trouvera un égal à l’unité, alors il faudra augmenter le précédent d’une unité, c’est-à-dire qu’on le prendra plus grand que la racine correspondante cela suit évidemment de ce que nous avons démontré sur ce sujet (no 68).
71. Maintenant, si l’on fait, comme dans le no 23,
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{2}\alpha =&p,&\alpha '=&1,\\\beta =&\alpha q+1,&\beta '=&\alpha 'q,\\\gamma =&\beta r+\alpha ,\qquad &\gamma '=&\beta 'r+\alpha ',\\\delta =&\gamma s+\beta ,&\delta '=&\gamma 's+\beta ',\\.\ldots &\ldots \ldots ,&..\ldots &\ldots \ldots \ldots ,\end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/651e2bfc7144dc79bfe6b100abea814e037d866f)
on aura, en ajoutant au commencement la fraction
qui est plus grande que toute quantité donnée, les fractions
![{\displaystyle {\frac {1}{0}},\quad {\frac {\alpha }{\alpha '}},\quad {\frac {\beta }{\beta '}},\quad {\frac {\gamma }{\gamma '}},\quad {\frac {\delta }{\delta '}},\quad \ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e358f224a2343196789c4fae579b2c2314885f9b)
lesquelles seront nécessairement convergentes vers la valeur de
.
Et, pour pouvoir juger de la nature de ces fractions, nous remarquerons :
1o Que l’on aura toujours
![{\displaystyle {\begin{aligned}\alpha 0\ -1\,\alpha '=&-1,\\\beta \alpha '-\alpha \beta '=&\quad \ 1,\\\gamma \,\beta '-\beta \gamma '=&-1,\\\delta \,\gamma '-\gamma \delta '=&\quad \ 1,\\\ldots \ldots \ldots \ldots &\ldots ,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ff9e2d0366cf29f8a67a77fa8d6145900c12822f)
d’où l’on voit que les nombres
![{\displaystyle \alpha ,\alpha ',\beta ,\beta ',\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f05631bc1e8a40fdab033528f31524fbc1d30cc8)
n’auront aucun diviseur commun, et que par conséquent les fractions
![{\displaystyle {\frac {\alpha }{\alpha '}},{\frac {\beta }{\beta '}},\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87983c68136c0f98bbd09376e15fbcc7be202810)
seront déjà réduites à leurs moindres termes ;
2o Que les nombres
et
pourront être positifs ou négatifs (lorsque la valeur de
est positive, les deux termes de chaque fraction seront de même signe, mais ils seront de signes différents lorsque la valeur de
sera négative), et qu’abstraction faite de leurs signes ces nombres iront en augmentant ;
3o Que l’on aura, à cause de
![{\displaystyle {\begin{aligned}x=&{\frac {\alpha y+1}{\alpha 'y}},\\x=&{\frac {\beta z+\alpha }{\beta 'z+\alpha '}},\\x=&{\frac {\gamma u+\beta }{\gamma 'u+\beta '}},\\.\ldots &\ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4c92bedfeb30c83af1351a8b9f2b2f6e25a0afdf)
72. Donc, en général, si
sont trois termes consécutifs quelconques de la série
et
les termes correspondants de la série
en sorte que
soient trois fractions consécutives convergentes vers la valeur de
on aura
![{\displaystyle \rho \varpi '-\varpi \rho '=\pm 1,\quad {\text{et}}\quad \sigma \rho '-\rho \sigma '=\mp 1,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4b8c1c91cea82e0489605120b5daadc9d3265824)
les signes supérieurs étant pour le cas où le quantième de la fraction
est impair, et les inférieurs pour celui où ce quantième est pair, à compter depuis la première fraction
de plus, on aura (abstraction faite des signes)
![{\displaystyle \rho >\varpi ,\quad \sigma >\rho ,\quad \rho '>\varpi ',\quad {\text{et}}\quad \sigma '>\rho '\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/356678de1e371e4b531d7163039d10ad5a16ab4b)
enfin, si l’on dénote par
le terme correspondant dans la série
on aura rigoureusement
![{\displaystyle x={\frac {\rho t+\varpi }{\rho 't+\varpi '}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e76c20012c663ab69ef754766140efdc81a63cdd)
d’où l’on voit que les nombres
n’auront aucun diviseur commun, et que par conséquent les fractions
seront déjà réduites à leurs moindres termes ;
2o Que les nombres
et
pourront être positifs ou négatifs (lorsque la valeur de
est positive, les deux termes de chaque fraction seront de même signe, mais ils seront de signes différents lorsque la valeur de
sera négative), et qu’abstraction faite de leurs signes ces nombres iront en augmentant ;
3o Que l’on aura, à cause de
![{\displaystyle {\begin{aligned}x=&{\frac {\alpha y+1}{\alpha 'y}},\\x=&{\frac {\beta z+\alpha }{\beta 'z+\alpha '}},\\x=&{\frac {\gamma u+\beta }{\gamma 'u+\beta '}},\\.\ldots &\ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4c92bedfeb30c83af1351a8b9f2b2f6e25a0afdf)
72. Donc, en général, si
sont trois termes consécutifs quelconques de la série
et
les termes correspondants de la série
en sorte que
soient trois fractions consécutives convergentes vers la valeur de
on aura
![{\displaystyle \rho \varpi '-\varpi \rho '=\pm 1,\quad {\text{et}}\quad \sigma \rho '-\rho \sigma '=\mp 1,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4b8c1c91cea82e0489605120b5daadc9d3265824)
les signes supérieurs étant pour le cas où le quantième de la fraction
est impair, et les inférieurs pour celui où ce quantième est pair, à compter depuis la première fraction
de plus, on aura (abstraction faite des signes)
![{\displaystyle \rho >\varpi ,\quad \sigma >\rho ,\quad \rho '>\varpi ',\quad {\text{et}}\quad \sigma '>\rho '\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/356678de1e371e4b531d7163039d10ad5a16ab4b)
enfin, si l’on dénote par
le terme correspondant dans la série
on aura rigoureusement
![{\displaystyle x={\frac {\rho t+\varpi }{\rho 't+\varpi '}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e76c20012c663ab69ef754766140efdc81a63cdd)
Et si
![{\displaystyle k}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c3c9a2c7b599b37105512c5d570edc034056dd40)
est la valeur entière approchée de
![{\displaystyle t,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4ea3ad87830a1055c7b85c04cf940cfd3b847ae6)
soit plus grande ou plus petite que
![{\displaystyle t,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4ea3ad87830a1055c7b85c04cf940cfd3b847ae6)
on aura
![{\displaystyle \sigma =\rho k+\varpi ,\quad \sigma '=\rho 'k+\varpi '.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2f3a76c59614317227030de7e91ef4fc27ba7215)
73. Cela posé, considérons la fraction
et voyons combien elle diffère de la vraie valeur de
pour cela, nous aurons
![{\displaystyle x-{\frac {\rho }{\rho '}}={\frac {\rho l+\varpi }{\rho 'l+\varpi '}}-{\frac {\rho }{\rho '}}={\frac {\rho '\varpi -\rho \varpi '}{\rho '(\rho 't+\varpi ')}}=\mp {\frac {1}{\rho '(\rho 't+\varpi ')}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e35fb56ff4bc3371b29b866a5e76632f7f28c8c7)
donc
![{\displaystyle x={\frac {\rho }{\rho '}}\mp {\frac {1}{\rho '(\rho 't+\varpi ')}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/968aae7588460069edc30d9d05fbb3c92e780a9a)
Ainsi l’erreur sera
![{\displaystyle \mp {\frac {1}{\rho '(\rho 't+\varpi ')}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fa030953c072ee96866f419a25a0c9724d351d6b)
or, si
et
sont les deux nombres entiers entre lesquels tombe la vraie valeur de
il est clair que la quantité
tombera entre ces deux
et
et qu’ainsi l’erreur de la fraction
sera renfermée entre ces deux limites
![{\displaystyle \mp {\frac {1}{\rho '(\rho '\theta +\varpi ')}}\quad {\text{et}}\quad \mp {\frac {1}{\rho '\left[\rho '(\theta +1)+\varpi '\right]}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3ad44febd5fc117b855b3281b11c49f9a77d3de5)
Or on peut prendre
ou
de sorte qu’on aura :
![{\displaystyle \sigma '=\rho '\theta +\varpi '\quad {\text{ou}}\quad =\rho '(\theta +1)+\varpi ',}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3ebb3fbf3134464562c8bcef76da3e2376f44dfa)
d’où je conclus que si, pour distinguer les deux cas, on nomme
le dénominateur de la fraction qui suit
lorsqu’on prend la valeur approchée de
en défaut, et
le dénominateur de la même fraction lorsqu’on prend la valeur approchée de
en excès, l’erreur de la fraction
sera nécessairement renfermée entre ces deux limites
![{\displaystyle \mp {\frac {1}{\rho '\sigma '}}\quad {\text{et}}\quad \mp {\frac {1}{\rho '\Sigma '}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e06909dc00af7dfa97c96492774546f3cd0aa5fd)
D’où l’on voit que l’erreur ira toujours en diminuant d’une fraction à l’autre, à cause que les dénominateurs
ou
vont nécessairement en augmentant. On voit aussi, à cause de
et
que l’erreur sera toujours moindre que
c’est-à-dire que l’erreur de chaque fraction sera moindre que l’unité divisée parle carré du dénominateur de cette fraction. D’où il est facile de conclure que la fraction
approchera plus de la valeur de
que ne pourrait faire aucune autre fraction quelconque qui serait conçue en termes plus simples ; car supposons que la fraction
approche plus de
que la fraction
étant
et comme la valeur de
est contenue entre
et
ou entre
et
il faudra que la valeur de
soit pareillement contenue entre ces limites ; donc la différence entre
et
devra être
mais cette différence est
dont le numérateur ne peut jamais être moindre que l’unité, et dont le dénominateur sera nécessairement plus grand que
à cause de
donc, etc.
74. On doit remarquer au reste que, si les dénominateurs
sont tous de même signe ou de signes alternatifs, les erreurs seront alternativement positives ou négatives, de sorte que les fractions ![{\displaystyle {\frac {\alpha }{\alpha '}},{\frac {\beta }{\beta '}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2d41c01593c8c59ab6f3de331d42e67230b01b87)
seront alternativement plus petites et plus grandes que la véritable valeur de
comme nous l’avons dit dans le no 23 ; mais cela cessera d’avoir lieu lorsque les nombres
ne seront pas deux à deux de même signe ou de signes différents ; c’est ce qui arrivera nécessairement lorsque, parmi les dénominateurs
de la fraction continue, il y en aura de positifs et de négatifs, c’est-à-dire lorsqu’on prendra les valeurs approchées de
tantôt plus grandes, tantôt plus petites que les véritables.
75. Si, au lieu des fractions convergentes
on aimait mieux avoir une suite de termes décroissants, on remarquerait que
![{\displaystyle {\frac {\beta }{\beta '}}-{\frac {\alpha }{\alpha '}}={\frac {\beta \alpha '-\alpha \beta '}{\alpha '\beta '}}={\frac {1}{\alpha '\beta '}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2e0e0992fde889db755fea6b1a93fd7265eaebce)
et, de même,
![{\displaystyle {\frac {\gamma }{\gamma '}}-{\frac {\beta }{\beta '}}=-{\frac {1}{\beta '\gamma '}},\quad {\frac {\delta }{\delta '}}-{\frac {\gamma }{\gamma '}}={\frac {1}{\gamma '\delta '}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e59ebee2324fbb764b61445e9a1cba92d0a66435)
et ainsi de suite ; d’où l’on tire, à cause de ![{\displaystyle \alpha '=1,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/28b0fc355e714a56b3301e61309de8c3d0336902)
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\beta }{\beta '}}=&\alpha +{\frac {1}{\alpha '\beta '}},\\{\frac {\gamma }{\gamma '}}=&\alpha +{\frac {1}{\alpha '\beta '}}-{\frac {1}{\beta '\gamma '}},\\{\frac {\delta }{\delta '}}=&\alpha +{\frac {1}{\alpha '\beta '}}-{\frac {1}{\beta '\gamma '}}+{\frac {1}{\gamma '\delta '}},\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fae6d01dfbd5f51f990c1226c30b05500311c2fd)
et en général
![{\displaystyle {\frac {\rho }{\rho '}}=\alpha +{\frac {1}{\alpha '\beta '}}-{\frac {1}{\beta '\gamma '}}+{\frac {1}{\gamma '\delta '}}-\ldots \pm {\frac {1}{\varpi '\rho '}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/906aaf4473c1d7912c54843537009f7a0081167c)
Ainsi l’on aura, pour la valeur de
la série
![{\displaystyle \alpha +{\frac {1}{\alpha '\beta '}}-{\frac {1}{\beta '\gamma '}}+\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ddb77928e90a8f588d177d6c4b5fbecf27d3e236)
laquelle en approchera d’autant plus qu’elle sera poussée plus loin ; et si, après avoir continué cette série jusqu’à un terme quelconque
on veut savoir de combien elle diffère encore de la véritable valeur de
on sera assuré que l’erreur se trouvera entre ces deux limites
et
(no 73), de sorte qu’elle sera nécessairement moindre que ![{\displaystyle {\frac {1}{\rho '^{2}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/af64a7c39a4db4fa140b215bfc8489560ccf57a3)
76. Il est à remarquer que chaque terme de la série
![{\displaystyle \alpha +{\frac {1}{\alpha '\beta '}}-{\frac {1}{\beta '\gamma '}}+\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cdb3450f707f8708db4246c7c6865864c6664eff)
répond à chaque terme de la fraction continue
![{\displaystyle p+{\cfrac {1}{q+{\cfrac {1}{r+\ddots }}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d32ea946d5ce334e5c75fdf5ff2f972f00b99672)
d’où elle dérive ; de sorte que la série dont nous parlons sera plus ou moins convergente, suivant que cette fraction le sera. Or, nous avons donné plus haut (no 68) le moyen de rendre une fraction continue la plus convergente qu’il est possible donc on pourra avoir aussi la suite la plus convergente qu’il soit possible.
Ainsi, pour avoir une suite qui soit la plus convergente de toutes vers le rapport de la circonférence au diamètre, on prendra la fraction continue qui exprime ce rapport, et, après l’avoir simplifiée comme nous l’avons fait (no 68), on la mettra sous la forme suivante
![{\displaystyle 3+{\cfrac {1}{7+{\cfrac {1}{16+{\cfrac {1}{-294+{\cfrac {1}{3+{\cfrac {1}{-3+\ddots }}}}}}}}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9fcfbf5a31ba548e2928c93b4c1d12cb8af71043)
de sorte qu’on aura
![{\displaystyle p=3,\quad q=7,\quad r=16,\quad s=-294,\quad \ldots \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/45a75177cea0892002c1b7499da1642b3133a6f5)
donc on trouvera (no 71)
![{\displaystyle \alpha '=1,\quad \beta '=7,\quad \gamma '=7\times 16+1=113,\quad \delta '=113\times (-294)+7=-33215,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f70b791d40fc9308ba8a0ef3dcd98602bbef851b)
![{\displaystyle \varepsilon '=-33215\times 3+113=-99532,\quad \zeta '=-99532\times (-3)-33215=265381,\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/694f793d72a7fae50972a12a61305b97f39fc9e0)
de sorte que la série cherchée sera
![{\displaystyle 3+{\frac {1}{7}}-{\frac {1}{7\times 113}}-{\frac {1}{113\times 33215}}-{\frac {1}{33215\times 99532}}-{\frac {1}{99532\times 265381}}\ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1ebe1bf8801e824bd187d375c2e34418acae5162)
ARTICLE IV.
Où l’on propose différents moyens pour simplifier le calcul des racines par les fractions continues.
77. Nous avons trouvé en général (no 72) que, si
et
sont deux fractions consécutives convergentes vers la valeur de
on aura
![{\displaystyle x={\frac {\rho t+\varpi }{\rho 't+\varpi '}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a46816313552257c5bd9f0f0f16c486d8d2345c1)
donc si l’on substitue cette expression de
dans l’équation en
dont on cherche la racine, on aura une transformée en
qui sera nécessairement la même que celle qu’on aurait eue par les substitutions successives de
à la place de
de
à la place de
et pour avoir la fraction suivante
il faudra trouver la valeur entière approchée de
laquelle étant nommée
on aura
![{\displaystyle \sigma =k\rho +\varpi ,\quad \sigma '=k\rho '+\varpi '.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9510e1cc6f3ca5dee310595cd093f1cba54892ba)
De cette manière, connaissant les deux premières fractions
et
qui sont toujours
et
(no 71), on pourra trouver successivement toutes les autres à l’aide de la seule équation en ![{\displaystyle x.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d07e9f568a88785ae48006ac3c4b951020f1699a)
78. Au reste, soit qu’on emploie les substitutions successives de
à la place de
de
à la place de
soit qu’on fasse usage de la substitution générale
à la place de
la difficulté se réduira toujours à trouver, dans chaque équation transformée, la valeur entière approchée de la racine positive ou négative, au-dessus de l’unité, que cette équation contiendra nécessairement (no 70). Or, si la première valeur approchée
ne convient qu’à une seule racine, alors toutes les équations transformées en
en
n’auront chacune qu’une seule racine plus grande que l’unité, de sorte qu’on pourra trouver les valeurs entières approchées de ces racines par la simple substitution des nombres naturels (no 19). Mais ; si la même valeur appartient à plusieurs racines, alors les transformées auront nécessairement plusieurs racines plus grandes que l’unité, soit positives ou négatives, jusqu’à ce que l’on arrive à une de ces transformées qui n’ait plus qu’une pareille racine ; car alors toutes les suivantes n’en auront plus qu’une seule au-dessus de l’unité, comme nous l’avons démontré dans le numéro cité.
Avant d’être parvenu à cette transformée, il arrivera souvent que la simple substitution des nombres naturels ne suffira pas pour faire trouver les valeurs entières approchées dont on aura besoin, parce que l’équation aura des racines qui différeront entre elles par des quantités moindres que l’unité. Dans ce cas donc il semble qu’il faudrait avoir recours à la méthode générale que nous avons donnée dans le Chapitre I ; mais, ayant déjà employé cette méthode pour trouver les premières valeurs approchées des racines
de l’équation primitive, on pourra se dispenser de faire un nouveau calcul à chaque équation transformée ; c’est ce qu’il est bon de développer.
79. En faisant usage de la méthode dont nous parlons, on trouvera d’abord les limites entre lesquelles chaque racine réelle de l’équation proposée sera renfermée, en sorte qu’entre deux limites trouvées il n’y ait qu’une seule racine (no 13).
Soient
et
les limites de la racine cherchée ; l’expression
![{\displaystyle x={\frac {\rho t+\varpi }{\rho 't+\varpi '}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2fc21416234e382094956e979e04705402acfd9d)
donne
![{\displaystyle t={\frac {\varpi 'x-\varpi }{\rho -\rho 'x}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d7342760dd61e3c5dc01b38c74996c0ad1352d71)
donc la valeur de
sera renfermée entre les limites
![{\displaystyle {\frac {\varpi '\lambda -\varpi }{\rho -\rho '\lambda }},\quad {\frac {\varpi '\Lambda -\varpi }{\rho -\rho '\Lambda }}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bb0875257c6b249c4a0b9951ced7a6712b989f50)
par conséquent, si ces dernières limites différent l’une de l’autre moins que de l’unité, on aura sur-le-champ la valeur entière approchée de
![{\displaystyle t\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c451614a798a0d4d0c4e6aa6d2a2616d9763535b)
mais, si elles diffèrént rune de l’autre d’une quantité égale ou plus grande que l’unité, alors ce sera une marque que la racine cherchée
![{\displaystyle t}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/65658b7b223af9e1acc877d848888ecdb4466560)
différera des autres racines de l’équation transformée en
![{\displaystyle t}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/65658b7b223af9e1acc877d848888ecdb4466560)
par des quantités égales ou plus grandes que l’unité ; de sorte qu’on sera sûr de pouvoir trouver la valeur entière approchée de cette racine par la simple substitution des nombres naturels à la place de
![{\displaystyle t\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c451614a798a0d4d0c4e6aa6d2a2616d9763535b)
et la même chose aura lieu à plus forte raison dans les transformées suivantes.
80. La formule
![{\displaystyle t={\frac {\varpi 'x-\varpi }{\rho -\rho 'x}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e2bec3d8caf9f43c82ae23e84afb498e7d47d44f)
peut être aussi très-utile pour réduire en fraction continue toute quantité
qui sera renfermée entre les limites données, au moins pour trouver les termes de cette fraction qui pourront être donnés par ces limites ; car, nommant comme ci-dessus
et
les deux limites de
on aura
![{\displaystyle {\frac {\varpi '\lambda -\varpi }{\rho -\rho '\lambda }}\quad {\text{et}}\quad {\frac {\varpi '\Lambda -\varpi }{\rho -\rho '\Lambda }}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/70a1d27f9a2ceca16f55bf7b2ca71d5784ca3c93)
pour celles de
de sorte que, tant que la différence entre ces dernières limites ne sera pas plus grande que l’unité, on pourra trouver exactement la valeur entière de
ainsi, prenant
et
(
étant la valeur entière approchée de
) pour les deux premières fractions, on pourra pousser la suite des fractions convergentes et par conséquent la fraction continue jusqu’à ce que les limites dont nous parlons diffèrent entre elles d’une quantité plus grande que l’unité ; alors il faudra s’arrêter, parce que les limites données
et
ne comporteront pas une plus grande exactitude dans la valeur de
.
Par ce moyen, on n’aura jamais à craindre de se tromper en poussant la fraction continue plus loin qu’on ne doit, comme cela arriverait facilement si, pour avoir cette fraction, on se contentait de prendre l’un des nombres
ou
et d’y pratiquer la même opération dont on se sert pour trouver la plus grande commune mesure, conformémentà la manière usitée de réduire les fractions ordinaires en fractions continues.
Pour pouvoir employer cette méthode en toute sûreté ; il faudrait faire la même opération sur les deux nombres
et
et n’admettre ensuite que la partie de la fraction continue qui proviendrait également des deux opérations ; mais la méthode précédente paraît plus commode et plus simple.
81. Voyons maintenant d’autres moyens pour simplifier encore la recherche des valeurs entières approchées dans les différentes équations transformées. Soit
![{\displaystyle t^{n}-at^{n-1}+bt^{n-2}-\ldots =0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0e8de8f4c90380782774f582a5176edf7bd8ef17)
une quelconque de ces équations, dans laquelle il s’agit de trouver la valeur entière approchée de
que nous désignerons en général par
cette équation, étant dérivée de l’équation proposée en
sera du même degré que celle-ci, et aura par conséquent le même nombre de racines, que nous supposons égal à
.
Nous avons trouvé en général (no 79)
![{\displaystyle t={\frac {\varpi 'x-\varpi }{\rho -\rho 'x}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8432d6563d28c104639d671334adba253b736c47)
ce qui se réduit à
![{\displaystyle t={\cfrac {\varpi '}{\rho '}}.{\cfrac {x-{\cfrac {\varpi }{\varpi '}}}{{\cfrac {\rho }{\rho '}}-x}}={\cfrac {\varpi '}{\rho '}}.\left({\cfrac {{\cfrac {\rho }{\rho '}}-{\cfrac {\varpi }{\varpi '}}}{{\cfrac {\rho }{\rho '}}-x}}-1\right)\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ffbb5c276ca9d990cc395d94cb0ecdede366a5f3)
mais
![{\displaystyle {\cfrac {\rho }{\rho '}}-{\cfrac {\varpi }{\varpi '}}=\pm {\frac {1}{\rho '\varpi '}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7b4f746d1e1eb3848858e1126b7f080070f957ce)
le signe supérieur étant pour le cas où le quantième de la fraction
est pair, et l’inférieur pour celui où ce quantième est impair ; donc on aura
![{\displaystyle t=\pm {\cfrac {1}{\rho '^{2}\left({\cfrac {\rho }{\rho '}}-x\right)}}-{\cfrac {\varpi '}{\rho '}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/da41a85735990f36933eef1fb146aae1c428adff)
Donc, si l’on dénote par
![{\displaystyle x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4)
la racine cherchée, et par
![{\displaystyle x',x'',\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d02bab71ca272c7fe319d1b4e1a3ef780873a570)
les autres racines de l’équation en
![{\displaystyle x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4)
qui sont au nombre de
![{\displaystyle n,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/397bfafc701afdf14c2743278a097f6f2957eabb)
et qu’on dénote de même par
![{\displaystyle t,t',t'',\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/176c8c07192095f3e08f27c15eeedc8123ae6ac4)
les valeurs correspondantes de
![{\displaystyle t,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4ea3ad87830a1055c7b85c04cf940cfd3b847ae6)
on aura
![{\displaystyle {\begin{aligned}t\ \ &=\pm {\frac {1}{\rho '^{2}\left({\cfrac {\rho }{\rho '}}-x\right)}}-{\frac {\varpi '}{\rho '}},\\t'\ &=\pm {\frac {1}{\rho '^{2}\left({\cfrac {\rho }{\rho '}}-x'\right)}}-{\frac {\varpi '}{\rho '}},\\t''&=\pm {\frac {1}{\rho '^{2}\left({\cfrac {\rho }{\rho '}}-x''\right)}}-{\frac {\varpi '}{\rho '}},\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8313f8d23563ec6e926bb9910411b0a718abc758)
Mais l’équation en
donne
![{\displaystyle a=t+t'+t''+\ldots \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f5c59b77f77288887835d40853df52356eb7d21b)
donc, substituant les valeurs de
que nous venons de trouver, et qui sont au nombre de
on aura
![{\displaystyle a=t-{\cfrac {(n-1)\varpi '}{\rho '}}\pm {\cfrac {1}{\rho '^{2}}}\left({\cfrac {1}{{\cfrac {\rho }{\rho '}}-x'}}+{\cfrac {1}{{\cfrac {\rho }{\rho '}}-x''}}+{\cfrac {1}{{\cfrac {\rho }{\rho '}}-x'''}}+\ldots \right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f7c3c3fb23439e7884fdcfd1795d66797f91bde2)
Or nous avons trouvé (no 73)
![{\displaystyle {\frac {\rho }{\rho '}}=x\pm {\frac {1}{\rho '(\rho 't+\varpi ')}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5a79460d7db26b5fd6e665c608ca9e8328065a6f)
ou bien, en faisant ![{\displaystyle \rho 't+\varpi '=\psi \rho ',}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f76ce262b87c9636c6a8189e70894cb728649a47)
![{\displaystyle {\frac {\rho }{\rho '}}=x\pm {\frac {1}{\psi \rho '^{2}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1b8c48849a3718a5f23bce81d07aea805df23005)
où l’on remarquera que,
étant renfermé entre les limites
et
qui sont l’une et l’autre plus grandes que
(no 72), la quantité
sera nécessairement plus grande que l’unité. Donc, faisant cette substitution dans la formule précédente, on aura
![{\displaystyle t=a+{\cfrac {(n-1)\varpi '}{\rho '}}\mp \left({\cfrac {1}{\rho '^{2}(x-x')\pm {\cfrac {1}{\psi }}}}+{\cfrac {1}{\rho '^{2}(x-x'')\pm {\cfrac {1}{\psi }}}}+\ldots \right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87f26cae28cd2cfa54ddb952cd20356e4957b322)
Mais les quantités
![{\displaystyle x-x',x-x'',\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1c3c762cf87cba00836d8962f4a585cc00f0afce)
sont données, et la quantité
![{\displaystyle \rho '}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e2400eb83af71f78fcb442e55bf294cebdfb9803)
va toujours en augmentant ; donc, puisque la fraction
![{\displaystyle {\frac {1}{\psi }}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1834aacdef737d41aee79b73ec3c3697577acc8f)
est toujours moindre que l’unité, il est clair que chacune des quantités
![{\displaystyle {\cfrac {1}{\rho '^{2}(x-x')\pm {\cfrac {1}{\psi }}}},\quad {\cfrac {1}{\rho '^{2}(x-x'')\pm {\cfrac {1}{\psi }}}},\quad \ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/51dbcb41c4704e1ffe14b5f9724556352dabe8f2)
ira nécessairement en diminuant ; et que par conséquent la somme de ces quantités qui sont au nombre de
ira en diminuant aussi, de sorte qu’elle deviendra nécessairement moindre que ![{\displaystyle {\frac {1}{2}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1ca269377f18d1b032279be1559cb3e7c3623e18)
Donc on parviendra nécessairement à une équation transformée telle que sa racine
sera, à
près, égale à
![{\displaystyle a+{\frac {(n-1)\varpi '}{\rho '}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bb4e8581ae5ae6737f047dc509435831c3f41b17)
(
étant le coefficient du second terme pris négativement), c’est-à-dire que cette racine sera contenue entre les limites
![{\displaystyle a+{\frac {(n-1)\varpi '}{\rho '}}+{\frac {1}{2}}\quad {\text{et}}\quad a+{\frac {(n-1)\varpi '}{\rho '}}-{\frac {1}{2}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d57a44f921171f144951fb963e69749798bc5a3c)
et la même chose aura lieu à plus forte raison pour toutes les transformées suivantes.
Donc, dès qu’on sera parvenu à une pareille transformée, il n’y aura qu’à prendre le nombre entier qui approchera le plus de la quantité
![{\displaystyle a+{\frac {(n-1)\varpi '}{\rho '}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0628edf6cb56006a876337c2af66bf3343be26e4)
c’est-à-dire celui qui sera contenu entre les mêmes limites
![{\displaystyle a+{\frac {(n-1)\varpi '}{\rho '}}+{\frac {1}{2}}\quad {\text{et}}\quad a+{\frac {(n-1)\varpi '}{\rho '}}-{\frac {1}{2}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d57a44f921171f144951fb963e69749798bc5a3c)
et ce nombre sera nécessairement un des deux consécutifs entre lesquels
se trouvera la vraie valeur de
![{\displaystyle t\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c451614a798a0d4d0c4e6aa6d2a2616d9763535b)
de sorte qu’il pourra être pris en toute sûreté pour la valeur approchée
![{\displaystyle k}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c3c9a2c7b599b37105512c5d570edc034056dd40)
(
no 77). Ainsi l’on pourra continuer l’approximation aussi loin qu’on voudra sans le moindre tâtonnement.
82. Puisque
![{\displaystyle a=t+t'+t''+\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e134c9e9625afd5960fadcee16bbd835e637ef97)
en substituant les valeurs de
(no 81), on aura
![{\displaystyle a=\pm {\cfrac {1}{\rho '^{2}}}\left({\cfrac {1}{{\cfrac {\rho }{\rho '}}-x}}+{\cfrac {1}{{\cfrac {\rho }{\rho '}}-x'}}+{\cfrac {1}{{\cfrac {\rho }{\rho '}}-x''}}+\ldots \right)-{\cfrac {n\varpi '}{\rho }}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/042f950db9638baa0a8142ba8d45e59d5d0b32e5)
Or soit
![{\displaystyle x^{n}-\mathrm {A} x^{n-1}+\mathrm {B} x^{n-2}-\ldots =0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/58bf9d482724ddc1ce81d8a8a5b32e04d8a02468)
l’équation proposée ; qu’on fasse le premier membre de cette équation égal à
et il est facile de voir par la théorie des équations que la quantité
deviendra, en y mettant
à la place de
après la différentiation,
![{\displaystyle {\cfrac {1}{{\cfrac {\rho }{\rho '}}-x}}+{\cfrac {1}{{\cfrac {\rho }{\rho '}}-x'}}+{\cfrac {1}{{\cfrac {\rho }{\rho '}}-x''}}+\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c3490ff2a13e603e6eb4bd28f0fefb235a3dea8b)
à cause que
sont les différentes racines de l’équation
Donc on aura
![{\displaystyle a=\pm {\frac {1}{\rho '^{2}\mathrm {X} }}{\frac {d\mathrm {X} }{dx}}-{\frac {n\varpi '}{\rho '}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/074b3c7fefd7863509a85ece6fbc040c9e138f6f)
et par conséquent la quantité
![{\displaystyle a+{\frac {(n-1)\varpi '}{\rho '}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bb4e8581ae5ae6737f047dc509435831c3f41b17)
deviendra
![{\displaystyle \pm {\frac {1}{\rho '^{2}\mathrm {X} }}{\frac {d\mathrm {X} }{dx}}-{\frac {\varpi '}{\rho '}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bd105aba491754df7a83195175fcaa873f6785e4)
Donc, si l’on fait
![{\displaystyle \mathrm {R} ={\frac {n\rho ^{n-1}-(n-1)\mathrm {A} \rho ^{n-2}\rho '+(n-2)\mathrm {B} \rho ^{n-3}\rho '^{2}-\ldots }{\rho ^{n}-\mathrm {A} \rho ^{n-1}\rho '+\mathrm {B} \rho ^{n-2}\rho '^{2}-\ldots }},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e40b6d46fa57bc748c0ec1d613a06f885525f7ca)
la quantité dont il s’agit sera
![{\displaystyle {\frac {\pm \mathrm {R} -\varpi '}{\rho '}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/547fb3e4058e7c5344c7d49481ab509a247965c0)
par conséquent les limites dont nous avons parlé dans le numéro précédent seront
![{\displaystyle {\frac {\pm \mathrm {R} -\varpi '}{\rho '}}+{\frac {1}{2}}\quad {\text{et}}\quad {\frac {\pm \mathrm {R} -\varpi '}{\rho '}}-{\frac {1}{2}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a25e756e8a083b9b4910d6b71ae0d68e258d31bc)
Ainsi l’on pourra trouver ces limites indépendamment de l’équation transformée en
et par le seul moyen de l’équation proposée en
ce qui pourra servir à abréger le calcul.
83. Il reste maintenant à voir comment on pourra reconnaître si la racine
est renfermée entre les limites dont il s’agit ; or cela est facile dès qu’on connaît les deux nombres entiers consécutifs
entre lesquels se trouve cette racine car, soient
et
les deux limites données, il est clair que, pour que
se trouve entre ces limites, il faudra que
tombe entre les mêmes nombres
et même plus près de celui de ces deux nombres dont
approchera davantage. On examinera donc : 1o si
tombe entre
et
2o cela étant, on prendra celui de ces deux nombres dont
approche davantage pour la valeur approchée de
que nous nommerons
et faisant
on verra si l’équation transformée en
a une racine positive ou négative plus grande que
si cette seconde condition a lieu, on sera assuré que la racine
tombera réellement entre les limites
et
et l’on pourra poursuivre le calcul comme nous l’avons dit dans le no 81.
84. On pourrait s’y prendre encore de la manière suivante, pour s’assurer si la racine
tombe entre les limites
et
Il est facile de voir par le no 81 que la difficulté se réduit à savoir si la somme des quantités
![{\displaystyle {\cfrac {1}{{\cfrac {\rho }{\rho '}}-x'}},\quad {\cfrac {1}{{\cfrac {\rho }{\rho '}}-x''}},\quad \ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d34f0bce52f48b91aa8dc260643c9eba511cb3e2)
divisée par
![{\displaystyle \rho '^{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/015201bac1460452c16d68e4000afdc02d1dfe26)
est moindre que
![{\displaystyle {\frac {1}{2}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/25a3f1bd6a094eaad947e01af8dceae13e3a0e95)
ainsi il ne s’agira que de trouver une quantité qui soit plus grande que cette somme, et de voir ensuite si cette quantité est moindre que
Or soient
les racines réelles de l’équation proposée, que nous supposerons au nombre de
et
![{\displaystyle \xi +\psi {\sqrt {-1}},\quad \xi -\psi {\sqrt {-1}},\quad \xi '+\psi '{\sqrt {-1}},\quad \xi '-\psi '{\sqrt {-1}},\quad \ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2666a7e763f107ce0b6fbb9e13da7284f8cbaa2a)
les racines imaginaires, que nous supposerons au nombre de
en sorte que
comme la fraction
diffère de la racine
d’une quantité moindre que
(no 73), il est clair que si
est une quantité égale ou moindre que la plus petite des différences entre les racines réelles de la même équation, chacune des quantités réelles
![{\displaystyle {\cfrac {1}{{\cfrac {\rho }{\rho '}}-x'}},\quad {\cfrac {1}{{\cfrac {\rho }{\rho '}}-x''}},\quad \ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fee49ee695589afd8b8a7b606caeeb77756e4e79)
sera nécessairement moindre que
![{\displaystyle {\cfrac {1}{\Delta \pm {\cfrac {1}{\rho '^{2}}}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b064dc3520ec3c60721a67175642db393ed25643)
et par conséquent la somme de ces quantités qui sont au nombre de
sera moindre que
![{\displaystyle {\cfrac {\mu -1}{\Delta \pm {\cfrac {1}{\rho '^{2}}}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1d6ee5d7c2e6c8808170e2308b8481f04a60783a)
Considérons ensuite les quantités imaginaires, lesquelles seront deux à deux de la forme
![{\displaystyle {\cfrac {1}{{\cfrac {\rho }{\rho '}}-\xi -\psi {\sqrt {-1}}}},\quad {\cfrac {1}{{\cfrac {\rho }{\rho '}}-\xi +\psi {\sqrt {-1}}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/51ef336096f4dfc2c526276877523bb4da5b8e7d)
de sorte qu’on aura
![{\displaystyle \nu }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c15bbbb971240cf328aba572178f091684585468)
quantités de la forme
![{\displaystyle {\cfrac {2\left({\cfrac {\rho }{\rho '}}-\xi \right)}{\left({\cfrac {\rho }{\rho '}}-\xi \right)^{2}+\psi ^{2}}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1d3b663fb2b5739a6a47de8e42a287362f82fe36)
or je remarque que, quels que soient les nombres
et
la quantité
![{\displaystyle {\cfrac {2\left({\cfrac {\rho }{\rho '}}-\xi \right)}{\left({\cfrac {\rho }{\rho '}}-\xi \right)^{2}+\psi ^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/894026ca6527c477bcab84ee4c59af942564a9f3)
sera toujours moindre que
en effet, si l’on considère la quantité
![{\displaystyle {\frac {2y}{y^{2}+\psi ^{2}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/96264eaa1069e0a01fe2bac7c75f71afd7e0d17d)
et qu’on fasse, ce qui est toujours possible,
elle deviendra
![{\displaystyle {\frac {2\sin \varphi \cos \varphi }{\psi }}={\frac {\sin 2\varphi }{\psi }}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/76a03c7aeed22d2230e72959b7c6397f657b26b7)
or, la plus grande valeur de
est l’unité ; donc, etc.
Donc, si l’on dénote par
une quantité égale ou moindre que la plus petite des quantités
la quantité
sera nécessairement plus grande que la somme des quantités imaginaires dont nous parlons.
Donc, en général, la quantité
![{\displaystyle {\cfrac {\mu -1}{\Delta \pm {\cfrac {1}{\rho '^{2}}}}}+{\cfrac {\nu }{\Pi }}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/836d62e7411a84c40887a08ac082fca46cc520ce)
sera plus grande que la somme de toutes les quantités
![{\displaystyle {\cfrac {1}{{\cfrac {\rho }{\rho '}}-x'}},\quad {\cfrac {1}{{\cfrac {\rho }{\rho '}}-x''}},\quad \ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5185012dd2831952ebc5313e48c8030974d7f5b7)
Donc, si l’on a
![{\displaystyle {\frac {\mu -1}{\rho '^{2}\Delta -1}}+{\frac {\nu }{\rho '^{2}\Pi }}=\quad {\text{ou}}\quad <{\frac {1}{2}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9e69a786a6a9eddc136ac2b907d053da68fd6434)
![{\displaystyle \Delta }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/32769037c408874e1890f77554c65f39c523ebe2)
et
![{\displaystyle \Pi }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eed3e3db6cc2028a183af948212ed2551d25c954)
étant prises positivement, on sera sûr que la racine
![{\displaystyle t}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/65658b7b223af9e1acc877d848888ecdb4466560)
tombera entre les limites proposées.
Or, pour avoir les nombres
et
lorsqu’on ne connaît pas d’avance les racines de l’équation proposée, il n’y aura qu’à chercher dans l’équation des différences (D) du no 8 la limite
des racines positives et la limite
des racines négatives, et l’on pourra prendre pour un nombre quelconque
ou
et pour
un nombre quelconque
ou
cela suit évidemment de ce que nous avons démontré dans l’endroit cité.
85. Si l’on avait
![{\displaystyle {\frac {\mu -1}{\Delta -1}}+{\frac {\nu }{\Pi }}<{\frac {1}{2}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e3a17b71ab16cf3e7291fd258aeda3fb7fc78131)
alors la condition requise aurait lieu dès le commencement de la série ; de sorte qu’on pourrait approcher de la valeur de
sans aucun tâtonnement voici le procédé du calcul.
Ayant trouvé la première valeur entière approchée de
qu’on pourra prendre plus petite ou plus grande que
à volonté, et nommant cette valeur
on aura les deux premières fractions
1o On fera donc
![{\displaystyle \varpi =1,\quad \varpi '=0,\quad \rho =p,\quad \rho '=1,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ec8f1644c7383a9ed828a4e0850d654bb776d9f1)
et, substituant ces valeurs dans l’expression de
(no 82), on prendra le nombre entier qui approchera le plus de
![{\displaystyle {\frac {-\mathrm {R} -\varpi '}{\rho '}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4dc965a0ea3264f59577a6fd2f6c480de901efa8)
c’est-à-dire de
lequel étant nommé
on aura la fraction
![{\displaystyle {\frac {k\rho +\varpi }{k\rho '+\varpi '}}={\frac {kp+1}{k}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/774ddeb039f7a80b2932e9d0e358b5b4f82bcb20)
2o On fera
![{\displaystyle \varpi =p,\quad \varpi '=1,\quad \rho =kp+1,\quad \rho '=k,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/34633b94bffaf0f3817aa6accaa2a3ea9d5bb47f)
et, substituant dans
![{\displaystyle \mathrm {R} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d6eefdda1e40f99e2c96a1709a201ef9bc0266b2)
on prendra le nombre entier qui approchera le plus de
![{\displaystyle {\frac {\mathrm {R} -\varpi '}{\rho '}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/61b873654a16b8dab7234f3d2ef873604ab84158)
c’est-à-dire de
![{\displaystyle {\frac {\mathrm {R} -1}{k}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5dd0811224aff42e04f66baf8a3e232bc65d4b2d)
et, ce nombre étant nommé
![{\displaystyle k',}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9c53f330e4e770341c12790a314457a9326966d2)
on aura la fraction
![{\displaystyle {\frac {k'\rho +\varpi }{k'\rho '+\varpi '}}={\frac {k'(kp+1)+p}{k'k+1}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6116e4afddd8e5e24d5d9279bc5b8c265f809edc)
3o On fera
![{\displaystyle \varpi =kp+1,\quad \varpi '=k,\quad \rho =k'(kp+1)+p,\quad \rho '=k'k+1,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/218ef595038682477a0dc0188455a9aef3b74477)
et l’on prendra la valeur entière la plus approchée de
![{\displaystyle {\frac {-\mathrm {R} -\varpi '}{\rho '}}\quad {\text{ou}}\quad {\frac {-\mathrm {R} -k'}{kk'+1}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/871f1c37de9e1fab65f1b69d610cec72cbc22ee6)
laquelle étant nommée
on aura la fraction
![{\displaystyle {\frac {k''\rho +\varpi }{k''\rho '+\varpi '}}=\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c40bff1b5e8dfb834a2038acdb73d9efeada0cec)
et ainsi de suite.
De cette manière, la valeur de
sera exprimée par la fraction continue
![{\displaystyle p+{\cfrac {1}{k+{\cfrac {1}{k'+{\cfrac {1}{k''+\ddots }}}}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3fd8c13db4ad96621bacf0aea9db0169c6dffcd6)
ou par les fractions convergentes
![{\displaystyle {\frac {1}{0}},\quad {\frac {p}{1}},\quad {\frac {kp+1}{k'}},\quad {\frac {k'(kp+1)+p}{k'k+1}},\quad \ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f7aeda6658abc853f9d46b247088b4af890fedd2)
86. Si l’on n’a pas d’abord
![{\displaystyle {\frac {\mu -1}{\Delta -1}}+{\frac {\nu }{\Pi }}<{\frac {1}{2}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e3a17b71ab16cf3e7291fd258aeda3fb7fc78131)
il n’y aura qu’à chercher la fraction continue par la méthode ordinaire jusqu’à ce que l’on arrive à une fraction dont le dénominateur
soit tel que l’on ait
![{\displaystyle {\frac {\mu -1}{\rho '^{2}\Delta -1}}+{\frac {\nu }{\rho '^{2}\Pi }}<{\frac {1}{2}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/766e0734b50952ea17692e1eb0960f88f81d14af)
ou bien jusqu’à ce que l’on parvienne à une transformée qui soit dans le cas du
no 83.
Au reste, comme, en augmentant toutes les racines d’une équation dans une raison quelconque, on augmente aussi dans la même raison les différences entre ces racines, il est clair que si, dans l’équation proposée, on met
à la place de
ce qui en augmentera les racines en raison de
les nombres
et
qui conviendront à la nouvelle équation, en seront augmentés dans la même raison, et par conséquent deviendront
et
donc on pourra faire en sorte que la condition du no 85 soit vérifiée en donnant à
une valeur telle que
![{\displaystyle {\frac {\mu -1}{f\Delta -1}}+{\frac {\nu }{f\Pi }}=\quad {\text{ou}}\quad <{\frac {1}{2}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0e8d7e4fd0083221489504e4cdad601e64c45841)
Alors on pourra toujours se servir de la méthode du numéro cité pour approchersans tâtonnement de la valeur cherchée de
il faudra seulement diviser ensuite cette valeur par
pour avoir la véritable racine de l’équation proposée ; il est vrai que, de cette manière, on n’aura plus cette racine exprimée par une simple fraction continue, mais on pourra néanmoins en approcher aussi près qu’on voudra, ce qui suffit pour l’usage ordinaire.
87. Soit l’équation proposée
![{\displaystyle x^{n}-\mathrm {A} =0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/28160b3ea6533014eadc0092a9b0bc6993b04fbe)
en sorte que l’on demande la racine
ième du nombre ![{\displaystyle \mathrm {A} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/52b3a778414f6a1907d8bc1577228f859bedad03)
1o Soit
pair et
l’équation aura, comme on sait, deux racines réelles,
et
et
racines imaginaires qui seront exprimées ainsi
![{\displaystyle \left(\cos {\frac {sc}{n}}\pm \sin {\frac {sc}{n}}{\sqrt {-1}}\right){\sqrt[{n}]{\mathrm {A} }},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c745d49ae875cc97d7c0ff939c0f31bca480a4f9)
étant la circonférence ou l’angle de
degrés, et
étant successivement égal à
jusqu’à
donc on aura dans ce
cas (
no 84)
![{\displaystyle \mu =2,\ \nu =m-1,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/63b4b3c99e34fb802b6294455fd0076bf0d7c026)
et l’on pourra prendre
![{\displaystyle \Delta =2{\sqrt[{n}]{\mathrm {A} }},\quad \Pi =\sin {\frac {c}{n}}\times {\sqrt[{n}]{\mathrm {A} }},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eb4c062b07a6d600bd57aae695e632e4d0b083c0)
à cause que
est le plus petit de tous les
donc la condition du no 85 aura lieu si
![{\displaystyle {\cfrac {1}{2{\sqrt[{n}]{\mathrm {A} }}-1}}+{\cfrac {m-1}{\sin {\cfrac {c}{n}}\times {\sqrt[{n}]{\mathrm {A} }}}}=\ \ {\text{ou}}\ \ <{\cfrac {1}{2}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0efecc5b46bde7ce6f7731393319a00687e8e100)
donc elle aura lieu sûrement toutes les fois qu’on aura
![{\displaystyle \mathrm {A} =\ \ {\text{ou}}\ \ >\left({\cfrac {n}{\sin {\cfrac {360^{\circ }}{n}}}}\right)^{n}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/702d40fd4f9844b6c7f947ff034393550646b12f)
2o Soit
impair et
l’équation n’aura qu’une seule racine réelle
et elle en aura
imaginaires de la forme
![{\displaystyle \left(\cos {\frac {sc}{n}}\pm \sin {\frac {sc}{n}}{\sqrt {-1}}\right){\sqrt[{n}]{\mathrm {A} }},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c745d49ae875cc97d7c0ff939c0f31bca480a4f9)
en faisant successivement
jusqu’à
donc on aura dans ce cas
et, comme le plus petit des
est
ou
à cause de
on pourra prendre
![{\displaystyle \Pi =\sin {\frac {180^{\circ }}{n}}\times {\sqrt[{n}]{\mathrm {A} }}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/91ca7723774786d28b79e18d0ecd972a0b079fa8)
de sorte que la condition du numéro cité aura lieu si
![{\displaystyle {\cfrac {m}{\sin {\cfrac {180^{\circ }}{n}}\times {\sqrt[{n}]{\mathrm {A} }}}}=\ \ {\text{ou}}\ \ <{\cfrac {1}{2}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/548b6945ffee1e35392c5cdb81047925f316e30b)
c’est-à-dire si l’on a
![{\displaystyle \mathrm {A} =\ \ {\text{ou}}\ \ >\left({\cfrac {n-1}{\sin {\cfrac {180^{\circ }}{n}}}}\right)^{n}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e5251d0ed61d83848971ade8b819876c77f6235d)
Donc, lorsque le nombre
![{\displaystyle \mathrm {A} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ff6366939c4ebbd4e8494d0dedc54c4b8dd7135a)
ne sera pas au-dessous des limites que nous venons de trouver, on pourra toujours, en faisant usage de la méthode du
no 85, trouver directement et sans tâtonnement la racine
ième de ce nombre ; et, s’il est plus petit que ces limites, on pourra toujours le rendre plus grand en le multipliant par un nombre quelconque qui soit une puissance exacte du même exposant
![{\displaystyle n\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/29fa02a86c74ebd7771bb02f441fd79ee6fe90ba)
en sorte qu’après avoir trouvé la racine de ce nombre composé, il n’y aura plus qu’à la diviser par celle de son multiplicateur pour avoir la racine cherchée de
Quant à la valeur de
(no 83), elle sera, pour l’équation
88. Puisque le cas de
peut se résoudre par la méthode de l’article II ci-dessus, nous en ferons abstraction ici. Soient donc
1
o![{\displaystyle \qquad \qquad \qquad \qquad n=4,\ }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4f9ec986f527ba5e9b26f5e8e9637695c99f846b)
on aura
![{\displaystyle \ \sin {\frac {360^{\circ }}{4}}=1,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cf42eb405b784898e7118b274a847530a32279aa)
donc
![{\displaystyle \mathrm {A} =\ \ {\text{ou}}\ \ >4^{4}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/88d59756bf553d9a711d81b6e1f24ace838f5861)
2
o![{\displaystyle \qquad \qquad \qquad \qquad n=6,\ }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/13f1cebd29a550ac674226846edafad227659177)
on aura
![{\displaystyle \ \sin {\frac {360^{\circ }}{6}}={\frac {\sqrt {3}}{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/56eefcd4165fbae7618084e875b86800df8692b5)
,
donc
![{\displaystyle \mathrm {A} =\ \ {\text{ou}}\ \ >3^{3}.4^{6}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0bd10f0d0a28d9ac02ebf3860a57a067733ed20d)
3
o![{\displaystyle \qquad \qquad \qquad \qquad n=8,\ }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/400ab096b01a15ccb93b79d55c19841daad2d24f)
on aura
![{\displaystyle \ \sin {\frac {360^{\circ }}{8}}={\frac {\sqrt {2}}{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4b40d783b4c887f22b28574141799ec4a3ca340b)
,
donc
![{\displaystyle \mathrm {A} =\ \ {\text{ou}}\ \ >2^{4}.4^{8}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1fc9bce70ba67863b9b0ef494f284d80f5ea3ea3)
et ainsi de suite.
De même, si l’on fait
1
o![{\displaystyle \qquad \qquad \qquad \qquad n=3,\ }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0292d4f3de483d2f81e5c54cb4575e067aba71d1)
on aura
![{\displaystyle \ \sin {\frac {180^{\circ }}{3}}={\frac {\sqrt {3}}{2}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bc0738c7029b04dd845daf337a146315b13199df)
donc
![{\displaystyle \mathrm {A} =\ \ {\text{ou}}\ \ >{\frac {4^{3}}{3{\sqrt {3}}}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6cfe170e2683aea1e37054ec8636a3df45b34896)
2
o![{\displaystyle \qquad \qquad \qquad \qquad n=5,\ }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bd4189ef6c7597cde3894c6f9e5abc2b5148a76b)
on aura
![{\displaystyle \ \sin {\frac {180^{\circ }}{5}}=\sin 36^{\circ },}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/be1b0a4be633fce910675f75ffa8ce7039358fcc)
et, faisant le calcul par les logarithmes, on trouvera
![{\displaystyle \mathrm {A} =\ \ {\text{ou}}\ \ >14595,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/db89de4376cdfd0219a572105b99ef551b94c856)
et ainsi de suite.
89. Supposons, parexemple, qu’on demande la racine cubique de
puisque
est
à cause de
on pourra employer d’abord la méthode du no 85. On aura donc ici, à cause de
et
(no 87),
![{\displaystyle \mathrm {R} ={\frac {3\rho ^{2}}{\rho ^{3}-17\rho '^{3}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d3bf55312133f4abbc4ef7279d792b0acc886531)
Or, le nombre entier le plus proche de
est
ou
de sorte qu’on pourra faire à volonté
ou ![{\displaystyle p=3.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3491524918f947c654d650ce47f82905b5d81f8a)
Faisons
et les premières fractions seront
donc
1
o![{\displaystyle \qquad \qquad \qquad \quad \varpi =1,\quad \varpi '=0,\quad \rho =2,\quad \rho '=1\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0224555b69029dd903ccdda49a1482731c6d8785)
donc
![{\displaystyle \mathrm {R} ={\frac {3.4}{8-17}}=-{\frac {4}{3}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5602cecc212fa5a852d00f374c7f6f8eef809e5e)
et le nombre entier qui approche le plus de
![{\displaystyle {\frac {-\mathrm {R} -\varpi '}{\rho '}}={\frac {4}{3}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e154265eb39734a6c667500cb136836dca185812)
sera
donc
ce qui donne la fraction
![{\displaystyle {\frac {kp+1}{k}}={\frac {3}{1}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/94e929f42d9631dfa8f23704343fc4e3d35d7faf)
2
o![{\displaystyle \quad \qquad \qquad \qquad \varpi =2,\quad \varpi '=1,\quad \rho =3,\quad \rho '=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c300240896910c9701d3d0b2a30a6286bec83c03)
donc
![{\displaystyle \mathrm {R} ={\frac {3.9}{10}}\quad {\text{et}}\quad {\frac {\mathrm {R} -\varpi '}{\rho '}}={\frac {17}{10}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9b1fb215c69eb311885edbe050fdb5e77393e57b)
le nombre entier qui approche le plus de
étant
on fera
ce
qui donnera la fraction
![{\displaystyle {\frac {k'\rho +\varpi }{k'\rho '+\varpi '}}={\frac {8}{3}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9fc31fdd2656785aa838203457ee33eb7995c5ce)
3
o![{\displaystyle \quad \qquad \qquad \qquad \varpi =2,\quad \varpi '=1,\quad \rho =8,\quad \rho '=3\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f224830a49753b4331032ab6859251ffb80de73c)
donc
![{\displaystyle \mathrm {R} ={\frac {3.8^{2}}{8^{3}-17.3^{3}}}={\frac {192}{53}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4a5761521e7645ffaeeaed623ce704c65c3096d7)
et
![{\displaystyle {\frac {-\mathrm {R} -\varpi '}{\rho '}}=-{\frac {241}{159}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a41909e2a74f8233ab8c776de19dcec1813d4c5b)
le nombre entier qui approchera le plus de cette fraction sera
donc
et la fraction
sera
etc.
De cette manière on aura les fractions convergentes vers
![{\displaystyle {\frac {1}{0}},\quad {\frac {2}{1}},\quad {\frac {3}{1}},\quad {\frac {8}{3}},\quad {\frac {-13}{-5}},\quad \ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6ca27f29d8a30b61b3e1ac88ffcbdc8144e434c7)
et la fraction continue sera
![{\displaystyle 2+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{-2+\ddots }}}}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dc0ae2c96a4b644cc0d87c3ad0c5eaad6f233614)