Une nouvelle figure du monde. Les Théories d’Einstein/3

Lucien Fabre

Une nouvelle figure du monde. Les Théories d’Einstein

Payot, 1921 (p. 128-167).

CHAPITRE III

EXPOSÉ LOGIQUE DES THÉORIES DE LA RELATIVITÉ

I. — Par la revision des notions d’espace et de temps on peut arriver à mettre en harmonie parfaite toutes les lois physiques avec le principe de relativité.

Le lecteur a sans doute déjà remarqué combien est impropre et même insensée l’expression « principe de relativité ». En réalité ce principe est plutôt un principe d’indépendance que de relativité. Il revient à dire que dans tout système en mouvement tout se passe comme si ce système était seul, les lois ne changeant pas à l’intérieur de ce système. Nous allons voir comment par une simple revision des notions d’espace et de temps on peut arriver à mettre en harmonie parfaite toutes les lois physiques avec ce principe de la relativité.

II. — Notion de la dissociation des idées de temps et d’espace.

Toutes les sciences s’occupent de faits que le savant, d’accord avec le philosophe, loge dans l’espace et le temps ; ces deux catégories sont généralement dissociées par une opération de la pensée ; nous verrons que les relativistes ont fait remarquer après Minkowski qu’on ne peut les concevoir séparément. Toutefois, disons bien qu’il n’intervient dans leur raisonnement aucune préoccupation métaphysique, mais simplement le désir de réaliser la figuration mathématique de phénomènes tels que l’expérience de Michelson et Morlay.

Nous allons montrer comment s’est exercé l’effort des savants dans le but de rendre manifeste l’indépendance des réalités qui font l’objet de la géométrie, de la mécanique, de la physique et des sciences exactes en général.

Cet exposé nous permettra de faire apparaître comme rationnelle la tentative des relativistes qui prend tout naturellement sa place dans l’édifice logique ainsi constitué.

III. — Les réalités de l’espace indépendantes des axes fictifs auxquels le géomètre les rapporte. — traduction mathématique.

A. — Le relatif et l’absolu scientifiques.

L’objet de la science est d’énoncer les lois naturelles avec le maximum de commodité et de rigueur ; c’est, autant que possible, d’en donner une traduction mathématique et, par le jeu d’une formule, de fournir, sans procéder aux mesures, le résultat exact des événements considérés.

Le premier problème qui se pose au savant est donc, par l’établissement d’une expression mathématique, de déterminer les grandeurs, seules soumises à la mesure physique, dont les combinaisons mathématiques permettront, par l’analyse, d’arriver au résultat.

Toute la science repose par conséquent sur la définition de ces grandeurs. La démarche scientifique procède toujours (nous avons eu l’occasion de le faire remarquer) suivant les lois mêmes de notre esprit, de la manière suivante :

1^o Définition d’une grandeur X.

2^o Définition de deux grandeurs X égales.

Le principe philosophique d’identité qui s’énonce : « X est X », revient alors ici à affirmer la réalité en soi de la grandeur considérée, c’est-à-dire l’invariance de cette grandeur en soi, quel que soit le système de mesures qu’on emploie ou le système d’axes auquel on la rapporte.

Donc étant donnée une grandeur, il existe pour elle : quelque chose d’absolu qui est sa réalité indépendante de tous les systèmes de références ; quelque chose de relatif qui est son expression dans les différents systèmes.

B. — Cas de l’espace.

Riemann a énoncé la loi suivante implicitement admise par tous les géomètres et qu’il a dégagée, par une analyse minutieuse, des fondements de la géométrie :

« Toutes les lignes indépendamment de leur situation possèdent une longueur et chaque ligne doit être mesurable par une autre. »

Traduisons cette loi mathématiquement :

a) Prenons d’abord le cas simple et particulier d’une ligne droite rapportée à trois axes rectangulaires dans l’espace euclidien. Soient : $\scriptstyle x_{0},y_{0},z_{0}$, $\scriptstyle x_{1},y_{1},z_{1}$ les coordonnées des points extrêmes.

Nous écrivons

$(x_{1}-x_{0})^{2}+(y_{1}-y_{0})^{2}+(z_{1}-z_{0})^{2}={\text{constante}}\ d^{2}$

Qu’est-ce à dire ?

Cela signifie que, quel que soit le changement d’axes que nous effectuerons, il y aura une chose qui demeurera inchangée ; autrement dit : il existe un invariant. Nous pouvons en effet faire ressortir cette invariance par une autre démarche. Soient $\scriptstyle x,y,z$ les coordonnées d’un point déterminé dans un premier système d’axes ; $\scriptstyle x',y',z'$ les coordonnées de ce même point dans un deuxième système ; enfin $\scriptstyle x'',y'',z''$, les coordonnées de ce même point dans un troisième système d’axes.

On peut passer du premier au second par les formules suivantes :

${\begin{array}{c}x'=a_{1}+b_{1}x+c_{1}y+d_{1}z,\\y'=a_{2}+b_{2}x+c_{2}y+d_{2}z,\\z'=a_{3}+b_{3}x+c_{3}y+d_{3}z,\end{array}}$

et du second au troisième par :

${\begin{array}{c}x''=m_{1}+n_{1}x'+p_{1}y'+q_{1}z',\\y''=m_{2}+n_{2}x'+p_{2}y'+q_{2}z',\\z''=m_{3}+n_{3}x'+p_{3}y'+q_{3}z',\end{array}}$

où les coefficients des coordonnées sont des paramètres qui définissent la position des axes et sont eux-mêmes liés par les conditions d’orthogonalité.

Le passage du premier système d’axes au troisième se ferait directement par des formules de transformation analogues et les valeurs finales obtenues seraient exactement les mêmes $\scriptstyle x'',y'',z''$. On exprime ce fait en disant que l’ensemble des transformations constitue un groupe.

L’invariance peut encore être mise en évidence d’une autre manière. Prenons deux points quelconques $\scriptstyle x_{0},y_{0},z_{0}$ et $\scriptstyle x_{1},y_{1},z_{1}$, rapportés à un système de coordonnées. Le postulat d’invariance écrit plus haut pour la longueur d’une droite s’écrira ici :

$(x_{1}-x_{0})^{2}+(y_{1}-y_{0})^{2}+(z_{1}-z_{0})^{2}={\text{constante}}\ d^{2}$

c’est-à-dire exactement de la même manière Un changement d’axes s’exprimera par l’égalité

$(x_{1}-x_{0})^{2}+(y_{1}-y_{0})^{2}+(z_{1}-z_{0})^{2}=$$(x'_{1}-x'_{0})^{2}+(y'_{1}-y'_{0})^{2}+(z'_{1}-z'_{0})^{2}=$ ${\text{constante}}\ d^{2}$

Ce qui est la condition à laquelle doit satisfaire l’ensemble des coefficients analogues à ceux que nous avons fait intervenir dans les formules de transformation précitées.

b) Passons maintenant au cas général.

L’exposé que nous venons de faire, bien que logique en apparence, ne résiste pas à l’analyse. Ainsi que l’a fait remarquer Riemann, toutes nos démarches scientifiques doivent se conformer strictement aux principes de continuité et de causalité. Dans le cas qui nous occupe, le premier de ces principes nous invite à formuler seulement une loi différentielle ; le second intervient par l’application même de la relativité.

Sous sa forme la plus générale on peut alors énoncer le postulat d’invariance de la manière suivante : quels que soient le nombre des dimensions de l’espace considéré et la nature des coordonnées auxquelles on se réfère (cartésiennes, obliques, de Gauss, etc.), il existe une expression invariante du second degré, entière, homogène et de la forme suivante :

$ds^{2}=g_{11}dx_{1}^{2}+g_{12}dx_{1}dx^{2}+\cdots +g_{34}dx_{3}dx_{4}+g_{44}dx_{4}$

dans laquelle les coefficients g sont des fonctions des variables $\scriptstyle x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}$.

On peut facilement vérifier cette proposition dans un cas particulier en suivant la marche donnée plus haut, à partir de deux points $\scriptstyle x_{1},x_{2},x_{3}$ et $\scriptstyle x_{1}+dx_{1},x_{2}+dx_{2},x_{3}+dx_{3}$ rapportés par exemple à des axes rectangulaires dans un espace à trois dimensions. L’élément invariant sera trouvé égal à

$ds^{2}=dx_{1}^{2}+dx_{2}^{2}+dx_{3}^{2}.$

Ici

${\begin{array}{c}g_{11}=g_{22}=g_{33}=1,\\g_{12}=g_{13}=g_{23}=0.\end{array}}$

c) Nous n’avons fait que donner un exemple, fondamental il est vrai, car il entraînait des considérations qui nous seront utiles par la suite. Le lecteur généralisera de lui-même. Géométriquement on peut considérer comme des réalités irréductibles d’autres grandeurs qui, par le fait, constituent souvent la définition de figures. Définir un carré, c’est exprimer la constance de quatre longueurs ou, si l’on veut, écrire cinq relations entre des longueurs et des angles : une première relation exprime que les quatre points sont dans le même plan, trois autres que l’un des côtés du quadrilatère est égal à chacun des trois autres côtés et une dernière que deux angles consécutifs sont égaux. Ces relations sont bien, on le voit, indépendantes des axes. Ce sont des relations intrinsèques dont la forme par son invariance définit la réalité de l’espace.

d) Nous pouvons donc conclure par l’énoncé suivant :

Principe de la relativité de l’espace. — Toutes nos opérations géométriques postulent, sous des formes diverses relatives aux axes de référence choisis, une réalité invariante.

Ou :

Étant donnés divers groupes d’observateurs rapportant les mesures géométriques à des systèmes d’axes différents, les propriétés des figures considérées sont exactement les mêmes pour tous ces groupes d’observateurs.

Ou enfin :

Les lois de la géométrie sont indépendantes du système de référence auquel on les rapporte.

IV. — Les réalités du mouvement indépendantes du système d’axes fictifs auquel le mécanicien les rapporte. — Traduction mathématique.

Le passage de la géométrie à la mécanique se fait par la théorie des déplacements. Mais les déplacements ne sont en géométrie qu’un moyen d’étudier les propriétés de figures idéales ; la mécanique étudie le mouvement proprement dit d’objets matériels. Ainsi est-elle obligée de fixer dès le début une figure propre au calcul pour les conceptions de masse, de force, de temps et d’espace inséparables de celle de la matière. Les définitions ainsi posées entraînent d’elles-mêmes certaines invariances traduisibles en langage intrinsèque, c’est-à-dire indépendant des axes de référence. Ce langage sera constitué par des relations entre éléments définis comme invariants ; de ce nombre seront la masse, le temps, la force, etc.

Les équations fondamentales de la mécanique sont évidemment, d’après l’objet même de la mécanique, les équations du mouvement d’un point matériel ; la matière y est représentée par la masse et la force ; le mouvement (c’est-à-dire l’espace et le temps) par l’accélération.

Elles considéreront un point matériel comme complètement défini quand elles nous auront fixé : sur sa nature, par l’intervention d’un coefficient propre au point considéré et appelé masse ; sur sa position actuelle, par l’intervention de coordonnées d’espace et de temps rapportées à un système de référence.

À un point de vue logique, le plus général que nous puissions nous placer, si un point matériel rapporté à un système d’axes ${\rm {S}}$ est défini par les éléments $\scriptstyle (m,x,y,z,t)$, il sera, quand nous le rapporterons à un autre système ${\rm {S^{\prime }}}$, défini par les éléments $\scriptstyle (m',x',y',z',t')$ différents des premiers.

De ce point de vue, considérons sous sa forme intrinsèque la loi fondamentale de la dynamique

${\rm {F}}=m\gamma .$

Rapportons-la aux systèmes d’axes ${\rm {S}}$ et ${\rm {S^{\prime }}}$ en lui donnant sa forme analytique habituelle ; elle s’exprime par les équations bien connues

${\begin{array}{lc}({\rm {S)}}&{\rm {X}}=m{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}},{\rm {Y}}=m{\frac {d^{2}y}{dt^{2}}},{\rm {Z}}=m{\frac {d^{2}z}{dt^{2}}},\\&\\({\rm {S^{\prime }}})&{\rm {X^{\prime }}}=m^{\prime }{\frac {d^{2}x^{\prime }}{dt^{\prime 2}}},{\rm {Y^{\prime }}}=m^{\prime }{\frac {d^{2}y^{\prime }}{dt^{\prime 2}}},{\rm {Z^{\prime }}}=m^{\prime }{\frac {d^{2}z^{\prime }}{dt^{\prime 2}}}.\end{array}}$

Au point de vue de la mécanique classique, les équations (${\rm {S^{\prime }}}$) garderont toute leur généralité en s’écrivant

${\rm {X^{\prime }}}=m{\frac {d^{2}x^{\prime }}{dt^{2}}},{\rm {Y^{\prime }}}=m{\frac {d^{2}y^{\prime }}{dt^{2}}},{\rm {Z^{\prime }}}=m^{\prime }{\frac {d^{2}z^{\prime }}{dt^{2}}}.$

c’est-à-dire en posant ${\begin{array}{c}m=m^{\prime }={\text{constante}}\\t=t^{\prime }={\text{constante}}\end{array}}$

La mécanique classique admet donc :

1^o que chaque point matériel est caractérisé par un coefficient attaché à ce point appelé masse et indépendant des axes de référence.

2^o que le temps est indépendant des axes de référence. Autrement dit : si deux événements apparaissent comme simultanés aux observateurs du système ${\rm {S}}$, ils apparaîtront également comme tels aux observateurs du système ${\rm {S^{\prime }}}$. Les intervalles de temps ont même sens dans les deux systèmes ; le temps n’est pas relatif à ces systèmes ; il est absolu.

Du produit $\scriptstyle m{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}$ seul $\scriptstyle x$, c’est-à-dire l’espace nous est donné comme relatif aux axes de référence dans la mécanique newtonienne. Cela résulte du sens commun. La distance des deux bombes, nulle sur l’avion, c’est-à-dire pour l’observateur du système ${\rm {S}}$ qui les place successivement dans le même orifice, sera considérable sur la terre, c’est-à-dire pour les observateurs du système ${\rm {S^{\prime }}}$ qui notent les points de chute. Il semble au contraire à priori que les intervalles de temps lus sur les chronomètres de ${\rm {S}}$ et de ${\rm {S^{\prime }}}$ soient bien les mêmes.

La disparité entre les intervalles de temps et d’espace est donc bien énoncée dans la mécanique classique, les premiers étant donnés comme absolus, les seconds comme relatifs. La relativité de l’espace dans cette mécanique ne souffre qu’une exception et qui lui vient sans doute des géomètres ; elle considère que la forme d’un corps est la même pour tous les observateurs : cela revient à dire que les positions simultanées de points matériels dans l’espace ont un sens absolu.

Reprenons les équations fondamentales de la dynamique

${\rm {X}}=m{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}},{\rm {Y}}=m{\frac {d^{2}y}{dt^{2}}},{\rm {Z}}=m{\frac {d^{2}z}{dt^{2}}}$

Les premiers membres sont les projections de la force, c’est-à-dire d’un vecteur, sur des axes. Dans les seconds membres, $\scriptstyle m$ et $\scriptstyle t$ sont des invariants. À quelles conditions, dans le passage de ${\rm {S}}$ à ${\rm {S^{\prime }}}$, ces seconds membres garderont-ils leur

forme, c’est-à-dire seront-ils eux-mêmes des invariants ? À la condition que les dérivées secondes des seules quantités non invariantes de définition, c’est-à-dire des coordonnées, gardent leur forme, autrement dit que ces coordonnées soient liées par des fonctions linéaires en $\scriptstyle t$.

$x^{\prime }=f(x,t)^{1}$

Or on sait qu’une telle fonction définit un mouvement uniforme. Si donc, par exemple, ${\rm {S^{\prime }}}$ ayant ses axes parallèles à ceux de ${\rm {S}}$ se déplace d’un mouvement rectiligne parallèle à son axe des $\scriptstyle x$ les observateurs de ${\rm {S}}$ et ceux de ${\rm {S^{\prime }}}$ feront des calculs mécaniques tout à fait identiques. En effet, les équations fondamentales seront demeurées les mêmes pour eux.

Soit $\scriptstyle {\rm {P}}xyz,x^{\prime }y^{\prime }z^{\prime }$ le point matériel objet de leurs observations et de leurs calculs :

Les mécaniciens ${\rm {S}}$ écriront ses équations fondamentales

${\rm {X}}=m{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}},{\rm {Y}}=m{\frac {d^{2}y}{dt^{2}}},{\rm {Z}}=m{\frac {d^{2}z}{dt^{2}}}.$

Les mécaniciens ${\rm {S^{\prime }}}$ les écriront

${\rm {X}}=m{\frac {d^{2}x^{\prime }}{dt^{2}}},{\rm {Y}}=m{\frac {d^{2}y^{\prime }}{dt^{2}}},{\rm {Z}}=m{\frac {d^{2}z^{\prime }}{dt^{2}}}.$

Or, nous connaissons $\scriptstyle x^{\prime }y^{\prime }z^{\prime }$ puisque nous connaissons la loi du mouvement de ${\rm {S^{\prime }}}$ par rapport à ${\rm {S}}$. Cette loi s’exprime par les relations suivantes

${\begin{array}{ll}\,&x^{\prime }=x-vt,\\\,&y^{\prime }=y,\\\,&z^{\prime }=z,\end{array}}$

d’où nous tirons par double dérivation

${\frac {d^{2}x^{\prime }}{dt^{2}}}={\frac {d^{2}x}{dt^{2}}},\qquad {\frac {d^{2}y^{\prime }}{dt^{2}}}={\frac {d^{2}y}{dt^{2}}},\qquad {\frac {d^{2}z^{\prime }}{dt^{2}}}={\frac {d^{2}z}{dt^{2}}}.$

Les équations écrites par les mécaniciens de ${\rm {S^{\prime }}}$ seront par conséquent les mêmes que celles qui seront écrites par les mécaniciens de ${\rm {S}}$. Pour des observateurs passant de ${\rm {S}}$ à ${\rm {S^{\prime }}}$ ou inversement, un même phénomène mécanique gardera donc une expression invariante. Un mécanicien observant un gyroscope dans un train lancé en mouvement uniforme notera les chiffres mêmes qu’il eut notés en observant le même gyroscope dans son laboratoire. En examinant la question sous un autre aspect il en déduira que l’observation du gyroscope ne peut pas lui fournir le moyen de savoir s’il est emporté par un mouvement uniforme ou s’il est au repos.

Le principe de la relativité des mécaniciens peut donc s’énoncer sous les formes suivantes :

Les phénomènes mécaniques dans un système animé d’un mouvement rectiligne et uniforme se produisent exactement comme dans les systèmes au repos.

ou

Les équations de la mécanique ne sont pas modifiées quand on passe d’un système de coordonnées à un autre système animé d’un mouvement rectiligne uniforme par rapport au premier.

ou

Il est impossible par des expériences mécaniques à des observateurs situés dans un système en mouvement par rapport à un autre système, de déceler ce mouvement s’il est uniforme et rectiligne.

V. — Les réalités de la physique indépendantes du système d’axes fictifs auxquels le physicien les rapporte. Traduction mathématique.

De même que nous sommes passés de la géométrie à la mécanique, étendons encore le champ de notre activité et passons de la mécanique à la physique. Nous aurons désormais à nous inquiéter non seulement des phénomènes mécaniques comme ceux de l’acoustique, mais de tous les phénomènes d’ordre physique comme les phénomènes optiques, électriques, etc. et, en dernière analyse, des phénomènes électromagnétiques auxquels on peut ramener tous les autres.

Einstein a énoncé pour les physiciens un principe de relativité analogue aux principes de relativité des géomètres et des mécaniciens :

Il est impossible par des expériences physiques, et c’est-à-dire électromagnétiques, à des observateurs situés dans un système en mouvement par rapport à un autre système, de déceler ce mouvement s’il est uniforme et rectiligne.

ou

Les équations de l’électromagnétisme ne sont pas modifiées quand on passe d’un système de coordonnées à un autre système animé d’un mouvement rectiligne et uniforme par rapport au premier.

ou

Les phénomènes électromagnétiques dans un système animé d’un mouvement rectiligne et uniforme se produisent exactement comme dans le système au repos.

Dans les cas des géomètres et des mécaniciens, nous avons posé des définitions conformes aux indications du sens commun ; de ces postulats ont découlé les lois qui constituent les sciences de la géométrie et de la mécanique et se trouvent suffisamment vérifiées par la pratique pour que nous les considérions comme commodes, sinon comme rigoureusement conformes à la réalité.

Le cas d’Einstein diffère de celui de Newton.

Einstein ne se trouve pas comme Newton en présence d’une science rationnelle d’ailleurs encore amorphe, mais au contraire d’une science constituée et expérimentale ; il ne peut pas se donner des bases, énoncer ses postulats et construire un monument déductif. Au contraire, son principe, s’il en émet un, pourra être vraisemblablement contrôlé tout de suite par l’expérience, étant donné l’état d’avancement de la physique, et, suivant les résultats, donner lieu à un examen des hypothèses fondamentales dont quelques-unes seront peut-être à modifier légèrement, d’autres à transformer davantage, d’autres à récuser.

La plus connue des expériences se rapportant à cet ordre de recherches est celle de Michelson et Morlay dont nous donnerons ailleurs la description. Elle est importante d’abord parce qu’elle vérifie le principe et ensuite parce qu’elle a conduit Einstein à énoncer une loi inséparable du principe de relativité donné plus haut :

Quel que soit le système en mouvement rectiligne uniforme où l’on mesure la vitesse de la lumière et quelles que soient les conditions dans lesquelles s’effectue cette mesure, on obtient toujours pour la vitesse cherchée la même vitesse numérique c.

De même que nous nous sommes servis des équations de la dynamique pour faire apparaître le principe de la relativité newtonien sous la forme mathématique, utilisons cette loi physique pour mettre en évidence le principe einsteinien.

Soient deux systèmes ${\rm {S,S^{\prime }}}$ en mouvement relatif rectiligne et uniforme. Supposons que l’on émette un signal lumineux à l’origine commune des coordonnées à l’instant zéro. Nous ne faisons bien entendu aucune des hypothèses restrictives de Newton sur le temps et la masse. Le même signal réel dans un seul état est reporté par les observateurs de ${\rm {S}}$ et ceux de ${\rm {S^{\prime }}}$ à la sphère sur laquelle il se trouve. Soit :

pour ${\rm {S}}$ $x^{2}+y^{2}+z^{2}=c^{2}t^{2}$

pour ${\rm {S^{\prime }}}$ $x^{\prime 2}+y^{\prime 2}+z^{\prime 2}=c^{2}t^{\prime 2}$

Or, d’après le principe d’Einstein, les équations ne doivent pas changer de forme quand on passe de ${\rm {S}}$ à ${\rm {S^{\prime }}}$. Nous aurons donc l’identité

$x^{2}+y^{2}+z^{2}-c^{2}t^{2}\equiv x^{\prime 2}+y^{\prime 2}+z^{\prime 2}-c^{2}t^{\prime 2}$

Nous avons ainsi une des relations entre les coordonnées dans ${\rm {S}}$ et celles dans ${\rm {S^{\prime }}}$. Nous savons d’autre part que les coordonnées dans ${\rm {S}}$ sont des fonctions linéaires de celles dans ${\rm {S^{\prime }}}$ puisque les deux systèmes sont en mouvement relatif rectiligne et uniforme ; de ce fait les coefficients ne peuvent être que des fonctions de la vitesse $v$ et doivent se correspondre dans les deux systèmes en changeant le signe de $v$.

Cherchons ces coefficients $a_{1}a_{2}$, etc.

Écrivons :

${\begin{array}{c}x^{\prime }=a_{11}x+a_{12}y+a_{13}z+a_{14}t\\y^{\prime }=a_{21}x+a_{22}y+a_{23}z+a_{24}t\\z^{\prime }=a_{31}x+a_{32}y+a_{33}z+a_{34}t\\t^{\prime }=a_{41}x+a_{42}y+a_{43}z+a_{44}t\end{array}}$

Mais remarquons que, par suite de la coïncidence continue des plans des $xz$ et des $xyz$ avec ceux des $x^{\prime }z^{\prime }$ et des $x^{\prime }y^{\prime }$, on a toujours :

${\begin{array}{lccc}{\text{ 1° }}&x^{\prime }=0{\text{ et }}x=vt&{\text{ quels que soient }}&y{\text{ et }}z,\\{\text{ 2° }}&y^{\prime }=0{\text{ et }}y=0&{\text{ —— }}&x,z{\text{ et }}t,\\{\text{ 3° }}&z^{\prime }=0{\text{ et }}z=0&{\text{ —— }}&x,y{\text{ et }}t,\end{array}}$

Donc : 1^o $x^{\prime }$ est indépendant de $y$ et $z$, autrement dit :

$a_{12}=0$ et $a_{13}=0$

2^o $y^{\prime }$ est indépendant de $x$, de $z$ et de $t$, autrement dit :

$a_{21}=0$, $a_{23}=0$ et $a_{24}=0$

3^o $z^{\prime }$ est indépendant de $x$, de $y$ et de $t$, autrement dit :

$a_{31}=0$, $a_{32}=0$ et $a_{34}=0$

De plus

4^o la relation entre $y$ et $y^{\prime }$ doit être analogue à celle entre $z$ et $z^{\prime }$ puisque les directions des axes des $y$ et des $z$ sont arbitraires et peuvent être changées.

Il nous reste donc :

${\begin{array}{l}x^{\prime }=a_{11}x+a_{14}t\\y^{\prime }=a_{21}y\\z^{\prime }=a_{31}z\\t^{\prime }=a_{41}x+a_{42}y+a_{43}z+a_{44}t\end{array}}$

Nous pouvons facilement déterminer $a_{21}$ ; il suffit de nous rappeler que les coefficients de $y$ et de $y^{\prime }$ doivent se correspondre en changeant le signe de $v$ ; il faut donc que la fonction que sont les coefficients soit de degré zéro en $v$ ; et même, soit l’unité. Donc $a_{21}=1$

d’où   ${\begin{array}{r}y^{\prime }=y\\z^{\prime }=z\end{array}}$

Enfin du groupe

${\begin{array}{l}x^{\prime }=0\\x^{\prime }=vt\\x^{\prime }=a_{11}x+a_{14}t.\end{array}}$

Nous tirons

${\begin{array}{c}x^{\prime }=a_{11}(x-vt).\end{array}}$

Portons ces diverses expressions des coordonnées $x^{\prime },y^{\prime },z^{\prime },t^{\prime }$, dans notre identité ; il vient :

${\begin{array}{c}a_{11}^{2}(x-vt)^{2}+y^{2}+z^{2}+c^{2}(a_{41}x+a_{42}y+a_{43}z+a_{44}t)^{2}\\=x^{2}+y^{2}+z^{2}-c^{2}t^{2}.\end{array}}$

Cette identité nous donne tous les coefficients qui nous manquaient, ce qui nous permet d’écrire les formules de transformation :

${\begin{array}{l}x^{\prime }={\frac {1}{\rm {B}}}(x-vt),\\y^{\prime }=y,\\z^{\prime }=z,\\t^{\prime }={\frac {1}{\rm {B}}}(t-{\frac {vx}{c^{2}}}),\\{\rm {B}}={\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}\end{array}}$

appelées formules de Lorentz.

On voit que si $v$ est très petit par rapport à $c$, ${\rm {B}}$ est négligeable et les formules deviennent celles de la transformation de Newton. Celle-ci est donc un cas particulier correspondant aux vitesses réalisées dans la pratique.

VI. — Les réalités de la gravitation universelle indépendantes du système d’axes fictifs auquel le savant les rapporte. Traduction mathématique.

J’ai essayé de mettre en évidence la gradation, l’effort vers une synthèse plus large que l’étude attentive des théories qui nous occupent peut dégager. Le lecteur arrivé à ce point doit de lui-même oser tenter une hypothèse. N’y a-t-il pas moyen d’aller plus loin, de risquer l’énoncé d’un principe non pas seulement plus général mais le plus général possible ? De tous les éléments du mouvement nous n’avons jusqu’ici laissé de côté qu’un seul : l’accélération. De toutes les forces mises en jeu dans la nature, une seule nous a échappé : la gravitation. Ne peut-on trouver un groupe de transformations d’une application plus vaste que celui de Lorentz, d’une application universelle ? c’est-à-dire tel que les équations d’un champ de gravitation puissent être ramenées à la forme qu’ont celles d’un champ sans gravitation rapporté à un système d’axes quelconques en état d’accélération ? Résoudre ce problème c’est se donner le moyen de mettre sous une forme intrinsèque absolument indépendante de tous axes de coordonnées toutes les lois scientifiques. C’est ce qu’a cherché et réalisé Einstein.

Les faits que nous notons sont tous déterminés dans l’espace et le temps. Ils sont tous caractérisés par une heure et un lieu ; ils constituent une coïncidence de quatre coordonnées $x,y,z,t$. Voyons par exemple ce qui se passe sur une surface. Construisons des courbes quelconques, les adiabatiques et les isothermes de plusieurs systèmes thermiques par exemple. Elles se coupent en de nombreux points. Notons un certain nombre de ces coïncidences sur une feuille de papier que nous froissons ensuite. Malgré la déformation, les éléments des coïncidences seront encore exacts et l’observation demeurera d’accord avec eux, car aucune des coïncidences n’aura été changée ou détruite. La déformation subie par la feuille à deux dimensions dans l’espace à trois dimensions ne diminue en rien la valeur scientifique des résultats qu’elle porte. De même les lois naturelles doivent nous fournir des coïncidences intrinsèques, c’est-à-dire se mettre sous une forme indépendante des axes. Cet exemple nous fait concevoir facilement que, rapportés à des systèmes d’axes inaccoutumés, les phénomènes naturels puissent paraître surprenants.

Je prends un autre exemple. Si dans les équations d’un point matériel j’introduis un terme caractéristique de la force centrifuge, on en peut aussi bien conclure la rotation d’un système d’axes autour du point que du point autour d’un axe. Je puis donc ici indifféremment considérer que j’ai affaire à une force centrifuge fictive propriété du système d’axes en rotation ou bien à une force centrifuge réelle agissant sur le point matériel. Les observateurs entraînés sur le système d’axes qui est leur monde ou, comme on dit, leur continu, auront à choisir entre les deux suppositions.

J’insiste sur cette idée en rappelant une image de Poincaré. Un savant placé sur la planète Jupiter qui est toujours couverte de nuages ne saura acquérir la certitude de la rotation de sa planète car, n’ayant pas de repères, il sera uniquement sensible à une force centrifuge dont il ne pourra décider si c’est une force fictive due à la rotation ou une force vraie qui lui est appliquée de l’extérieur.

Partant de là nous apercevons mieux la signification formelle de nos lois. Elles sont généralement rapportées à des axes rectangulaires en mouvement non accélérés dits axes de Galilée. Or il ne nous est pas possible de reconnaître de tels axes intuitivement ; tout ce que nous pouvons en dire, c’est donc qu’ils conviennent à la forme particulière donnée aux lois, c’est-à-dire qu’ils sont privilégiés. Notre but est de trouver une forme telle qu’il n’y ait plus d’axes privilégiés.

Cette question me paraît tellement importante qu’on me pardonnera de prendre encore un exemple pour en signaler un autre aspect important. Considérons l’appareil du général Marin. Suivant que le cylindre sera, d’une part, de génératrice rectiligne, concave ou convexe et, d’autre part, en mouvement uniforme, uniformément accéléré ou varié, c’est-à-dire suivant la nature du mouvement et la courbure des axes, nous obtiendrons un graphique, c’est-à-dire une expression mathématique de la loi de la chute des corps, totalement différent et valable seulement pour le système choisi. Il s’agit de découvrir, si elle existe, la forme intrinsèque, autrement dit indépendante des axes, universelle. D’ores et déjà, tout nous fait supposer que dans cette forme universelle interviendra le fait universel que nous nommons la gravitation.

Les exemples que je viens de donner nous permettront à présent de comprendre sans difficulté le but, la signification et la portée du principe énoncé par Einstein sous la dénomination de principe de l’équivalence :

Un champ de forces de gravitation est exactement équivalent à un champ de forces introduit par une transformation des coordonnées de référence, en sorte que nous ne pouvons, par aucune expérience imaginable, distinguer entre eux.

C’est donner de ce principe une forme humoristique que d’exprimer la sensation de chute où le sol paraît monter, en disant que la personne qui tombe voit accourir à elle ses axes de référence avec un mouvement uniformément accéléré.

⁂

Nous avons montré les observateurs liés à un système comme attribuant la force centrifuge qui s’exerçait sur un point matériel aux propriétés de leur espace particulier, de leur continu.

Passons de l’abstrait au concret. Soyons nous-mêmes ces observateurs liés au système particulier qui est notre continu et cherchons une expression de la loi qui nous parait universelle, c’est-à-dire la loi de la gravitation, en la considérant comme une propriété de ce continu. Ce continu, même considéré comme défini ainsi par réciprocité en fonction de la loi la plus générale que nous connaissions, ne saurait évidemment être, partout où nous concevons son existence, identique à lui-même (je veux dire, jouir de propriétés exactement toutes les mêmes en qualité, degré ou grandeur) ; par exemple, il doit prendre sa pleine signification nouvelle au voisinage des masses où la gravitation se fait particulièrement sentir ; par contre, loin de tout corps gravitant, il doit devenir sensiblement homaloïdal, c’est-à-dire que sa dynamique ne doit plus reconnaître le champ de gravitation et que les axes naturellement choisis y doivent être rectangulaires et en mouvement uniforme. Une des tâches que s’imposera Einstein sera justement de définir la variation du continu considéré. Il y parviendra par l’introduction de coefficients différentiels dans l’expression de la loi universelle : suivant l’ordre des infiniment petits par quoi s’exprimera l’influence de la gravitation, le continu se transformera. En ce sens, on peut dire qu’il y a, non pas un espace, mais une infinité d’espaces se transformant insensiblement les uns dans les autres

⁂

Étudions maintenant les opérations mathématiques qui ont permis à Einstein d’atteindre le but poursuivi. Ce sont ces opérations qui, avec la hardiesse des conceptions initiales, font le mieux pressentir le génie de ce savant. On peut définir ce génie : une logique imaginative c’est-à-dire créatrice poussée à l’extrême de la rigueur et de l’ingéniosité et insoucieuse de toutes les idées jusqu’ici acceptées, logique associée à une intuition mathématique qui rappelle celle d’Abel ou de Poincaré.

J’ai déjà rappelé au lecteur que Riemann a donné, indépendamment de toute théorie, l’expression caractéristique du continu le plus général, en résolvant le problème suivant : traduire en langage mathématique intrinsèque le principe d’identité philosophique, autrement dit le fait qu’une grandeur faisant l’objet de nos raisonnements mathématiques reste invariable pendant tout le cours de ces raisonnements. Si $\scriptstyle ds$ est l’élément linéaire considéré dans un continu à $\scriptstyle n$ dimensions $\scriptstyle x_{1},x_{2},\ldots x_{n}$ Riemann démontre que son expression sera de la forme

$ds^{2}=g_{11}dx_{1}^{2}+g_{22}dx_{2}^{2}+\cdots +2g_{12}dx_{1}dx_{2}+\cdots$

Cette expression est la même pour tous les continus superposables ; elle est donc bien indépendante des axes. Il en résulte que la loi générale intrinsèque que nous recherchons doit être constituée par un ensemble de relations auxquelles satisferont les coefficients $\scriptstyle g$ du continu correspondant.

Il s’agit par conséquent de trouver ces coefficients et, pour rendre claire la recherche, de donner d’abord au lecteur une représentation commode de ce continu. Il y a une infinité de représentations concevables. Il y en a des milliers d’imaginables. Nous choisirons celle qui semble bien être la plus réussie et qui est due à Minkowski. Mais avant d’exposer le résultat des travaux ingénieux de ce savant, je désire, afin de bien faire ressortir qu’il n’y intervient aucune hypothèse métaphysique, donner un exemple facile.

⁂

Soit un système de référence à deux dimensions constitué par deux axes $\scriptstyle ox,oy$ situés dans un plan. Le déplacement d’un point matériel dans cet espace à deux dimensions sera rapporté aux deux axes. Menons maintenant un troisième axe $\scriptstyle ot$ normal au plan et sur lequel nous compterons les temps. À chaque point de la courbe plane correspondra une heure de passage du point matériel sur la courbe, c’est-à-dire une valeur de $\scriptstyle t$ que nous porterons sur la normale au plan au point considéré. Nous aurons ainsi une trajectoire qui définit complètement le mouvement du point matériel (puisqu’elle en donne tous les éléments sensibles) par l’intervention d’un continu à trois dimensions (dont nous ne nous inquiétons pas de savoir s’il est réel ou fictif au sens qu’on attache habituellement à ces mots).

On peut projeter cette trajectoire caractéristique :

1^o Sur le plan des $\scriptstyle xy$ ; on aura ainsi la courbe décrite par le point matériel aux yeux des observateurs à deux dimensions ;

2^o Sur les plans des $\scriptstyle xt$ et des $\scriptstyle yt$ : on aura des courbes dont les tangentes donneront, par leur direction, les composantes à chaque instant $\scriptstyle {\frac {dx}{dt}},{\frac {dy}{dt}}$ de la vitesse du point matériel.

Voyons comment dans un tel continu s’exprime le passage d’un système de référence ${\rm {S}}$ à un autre ${\rm {S^{\prime }}}$ en mouvement uniforme par rapport au premier.

Les formules de transformation sont :

$x=x^{\prime }+vt^{\prime },y=y^{\prime },t=t^{\prime }.$

Il est évident que les équations du mouvement d’un point matériel ne seront pas modifiées par la transformation puisque les dérivées secondes restent invariables (les formules étant linéaires). Donc la courbe caractéristique dans le continu sera, après le passage du repos au mouvement, ce qu’elle était avant cette transformation.

Si, d’autre part, ces renseignements que nous demandons aux formules ont trait non pas au mouvement relatif des systèmes, mais à la transformation de leurs axes, nous voyons qu’elles définissent un système de coordonnées obliques $\scriptstyle x^{\prime }y^{\prime }t^{\prime }$ tel que $\scriptstyle ox^{\prime }$ coïncide avec $\scriptstyle ox$, $\scriptstyle oy^{\prime }$ avec $\scriptstyle oy$, $\scriptstyle ot^{\prime }$ ayant tourné dans les plans $\scriptstyle x\,o\,t$ et $\scriptstyle yo\,t$ d’un angle ${\rm {A}}$ tel que

$v={\rm {tg\,A.}}$

Donc on pourra, grâce à l’intervention d’un continu comprenant le temps, représenter le passage du repos au mouvement rectiligne et uniforme, sans changer les équations du mouvement ni la courbe caractéristique, et cela par une simple rotation de l’axe des temps.

⁂

Nous commençons à nous rendre compte des commodités que présente l’emploi d’un continu.

Notre continu, au lieu de s’écrire $\scriptstyle x,y,t$, s’écrira $\scriptstyle x,y,z,t$, autrement dit il aura une dimension de plus que le précédent. Mais Minkowski a trouvé mieux ; au lieu de $\scriptstyle x,y,z,t$, il propose $\scriptstyle x,y,z,ict$, $\scriptstyle i$ étant $\scriptstyle {\sqrt {-1}}$ et $\scriptstyle c$ la vitesse de la lumière. Le principe de constance de la vitesse de la lumière que nous avons énoncé plus haut sous la forme

$x^{2}+y^{2}+z^{2}-c^{2}t^{2}\equiv x^{\prime 2}+y^{\prime 2}+z^{\prime 2}-c^{2}t^{\prime 2}$

s’écrit alors

$x^{2}+y^{2}+z^{2}+t^{2}\equiv x^{\prime 2}+y^{\prime 2}+z^{\prime 2}+T^{\prime 2}$

avec $\scriptstyle t=ict$ ou, sous une apparence plus homogène encore,

$x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+x_{4}^{2}\equiv x_{1}^{\prime 2}+x_{2}^{\prime 2}+x_{3}^{\prime 2}+x_{4}^{\prime 2}$

Par une démarche parallèle à celle que nous avons faite précédemment (dans le cas du principe de la relativité restreinte), voyons ce que deviennent les formules de transformation de Lorentz avec l’intervention de cet axe $\scriptstyle ict$.

En prenant $\scriptstyle c$ comme unité, on a :

${\rm {B}}=(1-v^{2})^{\frac {1}{2}}$

Si on pose $v=i{\rm {tgA,}}$

il vient ${\rm {B}}=cos-1{\rm {A}},$

et     ${\begin{array}{l}x=x^{\prime }cos{\rm {A}}-t^{\prime }sin{\rm {A}}\\y=y^{\prime }\\z=z^{\prime }\\t=t^{\prime }cos{\rm {A}}+x^{\prime }sin{\rm {A}}.\end{array}}$

La transformation nous apparaîtra donc, comme dans l’exemple simple déjà choisi, être une simple rotation des axes de coordonnées ; elle est définie ici par un angle imaginaire ${\rm {A}}$ dans le plan $\scriptstyle otx$.

⁂

Nos idées étant maintenant éclaircies sur la signification du continu à 4 axes, reprenons la question de la détermination des $\scriptstyle g$.

Pour la commodité des calculs, Einstein affecte l’un des membres de l’équation riemannienne du signe négatif. Cette équation s’écrit alors :

$-ds^{2}=dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}+i^{2}dt^{2}$

ou $ds^{2}=-dx^{2}-dy^{2}-dz^{2}+dt^{2}.$

Faisons bien comprendre comment s’introduisent les coefficients $\scriptstyle g$. Pour cela, faisons apparaître le mécanisme de l’opération.

Nous introduisons les nouvelles coordonnées $\scriptstyle x_{1}x_{2}x_{3}x_{4}$ définies par

${\begin{array}{c}x=f_{1}(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4})\\y=f_{2}(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4})\\z=f_{3}(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4})\\t=f_{4}(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4})\end{array}}$

Alors nous aurons en différentiant :

$dx={\frac {df_{1}}{dx_{1}}}dx_{1}+{\frac {df_{1}}{dx_{2}}}dx_{2}+{\frac {df_{1}}{dx_{3}}}dx_{3}+{\frac {df_{1}}{dx_{4}}}dx_{4}$

et des expressions analogues pour $\scriptstyle dy$, $\scriptstyle dz$ et $\scriptstyle dt$. L’équation riemannienne s’écrira par suite :

$ds^{2}=g_{11}dx_{1}^{2}+g_{22}dx_{2}^{2}+g_{33}dx_{3}^{2}+g_{44}dx_{4}^{2}+2g_{12}dx_{1}dx_{2}$

$+2g_{13}dx_{1}dx_{3}+2g_{14}dx_{1}dx_{4}+2g_{23}dx_{2}dx_{3}$ $+2g_{24}dx_{2}dx_{4}+2g_{34}dx_{3}dx_{4},$

où les $\scriptstyle g$ sont, on le voit, des fonctions des coordonnées primitives et dépendent de la transformation.

C’est entre ces $\scriptstyle g$ que nous devons établir notre relation intrinsèque exprimant la loi de la gravitation universelle.

C’est ici que l’ingéniosité d’Einstein apparaît. Nous avons vu que le passage d’un système d’axes à un autre en mouvement par rapport au premier peut s’exprimer comme une rotation d’axe. Cherchons donc le $\scriptstyle ds^{2}$ correspond à un continu tournant autour d’un axe. Autrement dit, écrivons les formules de transformation suivantes :

${\begin{array}{l}x=f_{1}(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4})=x_{1}\cos wx_{4}-x_{2}\sin wx_{4},\\y=f_{2}(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4})=x_{1}\sin wx_{4}+x_{2}\cos wx_{4},\\z=x_{3},\\t=x_{4}.\end{array}}$

Nous en tirons par dérivation

${\begin{array}{l}dx=\cos wx_{4}dx_{1}-\sin wx_{4}dx_{2}\\\qquad -w(x_{1}\sin wx_{4}+x_{2}\cos wx_{4})dx_{4},\\dy=\sin wx_{4}dx_{1}+\cos wx_{4}dx_{2}\\\qquad +w(x_{1}\cos wx_{4}-x_{2}\sin wx_{4})dx_{4},\\dz=dx_{3},\\dt=dx_{4}.\end{array}}$

D’où

$ds^{2}=-dx_{1}^{2}-dx_{1}^{2}-dx_{3}^{2}$

$+1-w^{2}(x_{1}^{2}+x_{2}^{2})dx_{4}^{-2}+2wx_{2}dx_{1}dx_{4}$

$-2wx_{1}dx_{1}dx_{4}\ldots$

Nous tirons de cette expression les valeurs des $\scriptstyle g$

${\begin{array}{l}g_{11}=-1,\\\ldots \\g_{44}=1-w^{2}(x_{1}^{2}+x_{2}^{2})\\\ldots \end{array}}$

Les observateurs appartenant au système d’axes en rotation pourront, suivant leur tournure d’esprit, considérer soit que leur espace est doué des propriétés métriques particulières exprimées par les valeurs des $\scriptstyle g$, soit qu’il s’y exerce des forces extérieures dont le champ est défini par ces mêmes valeurs des $\scriptstyle g$.

En effet, la mécanique nous apprend que quand nous passons d’un système de référence au repos à un système en rotation, la forme de la trajectoire, dans le continu, d’un point matériel non soumis à des forces et dont l’équation intrinsèque est $\scriptstyle \int ds={\text{constante}}$ passe d’une ligne droite à une courbe. La forme de cette courbe dépend uniquement de l’expression de $\scriptstyle ds$ dans le nouveau système d’axes, c’est-à-dire des $\scriptstyle g$. On pourra donc bien considérer ces $\scriptstyle g$ comme exprimant le champ de la force fictive qui a imposé au point matériel la trajectoire métrique spéciale au système d’axes qu’ils définissent.

La valeur de $\scriptstyle g_{44}$, dans le cas particulier que nous venons d’examiner, a attiré l’attention d’Einstein. Cette valeur se présente en effet sous l’apparence d’un potentiel, le potentiel de la force centrifuge, dont l’application est sollicitée par la rotation des axes. Or, le principe de l’équivalence nous autorise à assimiler ce champ à un champ de gravitation. Dans ce cas nous aurons un terme $\scriptstyle g_{44}$ analogue ; mais il y a tout lieu de croire pour des raisons d’homogénéité que les $\scriptstyle g$ autres que $\scriptstyle g_{44}$ doivent avoir aussi une forme semblable et constituer avec celui-ci les composantes d’un potentiel généralisé. Nous devons donc arriver à des équations, différentielles ou non, exprimant notre loi universelle d’une manière comparable à celle dont la loi de Newton s’exprimait par l’équation de Laplace,

$\Delta ^{2}\varphi =0$

Nous voici en possession d’un premier renseignement ou plutôt nous voici orientés, mais vers un domaine bien vaste ; il faut restreindre le champ de nos essais. Deux simples observations nous y aideront considérablement.

En premier lieu, et raisonnant toujours par analogie, Einstein fait remarquer que, puisque les équations intrinsèques des géomètres sont vectorielles, les équations intrinsèques que nous cherchons doivent l’être aussi.

En second lieu, il note qu’en l’absence de toute masse attirante l’expression de $\scriptstyle ds$ dans la loi cherchée doit prendre la forme qu’a cette expression de $\scriptstyle ds$ dans l’espace ordinaire.

Le problème que nous nous sommes posé revient donc à trouver une grandeur :

1^o vectorielle, exprimée en fonction des $\scriptstyle g$.

2^o analogue au potentiel de Laplace, ce qui fait prévoir des équations où entreront des différentielles du second ordre. (Son expression devra donc très probablement renfermer les dérivées secondes des $\scriptstyle g$.)

3^o telle que, en l’absence de toute masse attirante, on retombe pour $\scriptstyle ds^{2}$ sur l’expression correspondant à l’espace ordinaire (où la vitesse $\scriptstyle c$ de la lumière est prise pour unité)

$ds^{2}=-dx^{2}-dy^{2}-dz^{2}+dt^{2}.$

4^o telle que les équations constituées à l’aide de ses composantes et qui constitueront notre loi universelle soient indépendantes des systèmes de coordonnées choisis ou, comme on dit, covariantes.

Quelle est la signification pratique de cette covariance ? Elle est évidemment que les relations dans un système quelconque entre les $\scriptstyle g$ et les coordonnées doivent être exactement les mêmes que celles entre les $\scriptstyle g$ et les coordonnées qui lui correspondent dans un autre système quelconque. Cette condition de covariance peut s’exprimer facilement par le calcul.

Si les équations requises s’écrivent

${\rm {T_{1}}}=0,{\rm {T_{2}}}=0,{\rm {T_{3}}}=0,{\text{etc.}}$

où $\scriptstyle {\rm {T_{1},\,T_{2},\,T_{3}\ldots }}$ sont les composantes de la grandeur vectorielle cherchée, la condition de covariance exprime que, si toutes ces composantes s’annulent dans un système de coordonnées, elles doivent également s’annuler dans tout autre système quelconque. Elles doivent donc obéir à une loi linéaire de transformation

${\begin{array}{l}{\rm {T}}_{1}^{\prime }=a_{1}{\rm {T_{1}}}+a_{2}{\rm {T_{2}}}+\ldots \\{\rm {T}}_{2}^{\prime }=b_{1}{\rm {T_{1}}}+b_{2}{\rm {T_{2}}}+\ldots \\\ldots \end{array}}$

où les coefficients sont fonction des coordonnées dépendant de la transformation. Du fait de cette dernière condition, la grandeur que nous cherchons appartient à la catégorie de ce qu’on appelle les tenseurs.

⁂

Dès lors, le problème qui se pose est de trouver un tenseur spécial jouissant de certaines propriétés, c’est-à-dire astreint à des conditions qui le définissent et que nous venons d’énoncer.

L’examen de ces conditions montre que, pour le résoudre, il faut :

 

1^o d’abord, écrire les équations les plus générales des tenseurs (conditions n^o 1 et n^o 4).

2^o ensuite établir les formules des tenseurs qui jouent le rôle de dérivées (condition n^o 2).

3^o enfin, rechercher les relations nécessaires et suffisantes entre les $\scriptstyle g$ qui doivent être satisfaites dans tous les systèmes de coordonnées quand il n’y a pas de champ de gravitation (condition n^o 3).

Cet ordre réduira certainement au minimum le nombre d’opérations préliminaires. C’est celui que suit Einstein. Ayant ainsi déterminé les équations satisfaites en l’absence du champ de gravitation, Einstein fait alors remarquer que les équations générales entre les $\scriptstyle g$ doivent être des équations covariantes automatiquement satisfaites quand les relations moins générales le sont.

Ayant établi celles-ci, il ne lui restera donc plus qu’à prendre parmi elles la plus simple pour obtenir la loi la plus générale possible, c’est-à-dire la loi unique, et par conséquent la loi universelle intrinsèque de gravitation.

Les éléments donnés étaient si peu nombreux qu’on doit admirer Einstein d’être (à l’aide des procédés du calcul absolu développé depuis Riemann par Christoflel et Levi Civita) arrivé à former les tenseurs appropriés et à déterminer parmi eux le seul qui put pratiquement convenir ; il n’existe en effet qu’une suite d’équations correspondant au tenseur de second rang qui contienne seulement les dérivées premières et secondes des $\scriptstyle g$ et soit linéaire en les dérivées secondes.

Le tenseur ainsi déterminé et qui définit la loi intrinsèque la plus universelle est dénommé tenseur de Riemann-Christoffel. Nous reparlerons de cette loi générale. Il me suffira pour l’instant d’en donner l’énoncé en langage absolu,

${\rm {G}}_{\mu \nu }=0$

⁂

Nous avons donc réussi à exprimer la gravitation en fonction des $\scriptstyle g$ et c’est-à-dire d’une manière intrinsèque, indépendante de tous axes de coordonnées, fixes ou mobiles, rectilignes ou courbes.

Mais d’après le principe de l’équivalence nous pouvons assimiler tout champ de forces à un champ de gravitation ; par conséquent toute loi scientifique sera exprimable en fonction des grandeurs caractéristiques de celui-ci et c’est-à-dire sous forme intrinsèque. Nous pouvons donc à présent énoncer le principe de la relativité universelle sous la forme suivante : Les lois naturelles quelles qu’elles soient sont absolument indépendantes des axes de coordonnées quels qu’ils soient.

VII. — Résumons ce chapitre et faisons ressortir la logique et le progrès de notre démarche par le simple rappel des principes énoncés.

1^o Principe de la relativité des géomètres.

Les lois de la géométrie sont indépendantes du système d’axes auxquels on les rapporte, le mouvement éventuel de ces axes étant fictif et en dehors du temps.

2^o Principe de la relativité des mécaniciens.

Les lois de la mécanique sont indépendantes du système d’axes auxquels on les rapporte, même en mouvement, à condition que ce mouvement soit uniforme.

3^o Principe de la relativité restreinte des physiciens.

Toutes les lois scientifiques (y compris celles de la mécanique), à l’exclusion de celles de la gravitation, sont indépendantes du système d’axes auxquels on les rapporte, même en mouvement, à condition que ce mouvement soit uniforme.

4^o Principe de la relativité universelle.

Toutes les lois scientifiques, y compris celles de la gravitation, sont indépendantes du système d’axes auxquels on les rapporte quel que soit le mouvement de ceux-ci.

VIII. — Que nous reste-t-il donc à faire maintenant ?

Il nous reste à exposer les conséquences tirées de ces principes qui nous fixeront sur leur valeur au point de vue de la logique, de la commodité et de la fécondité, c’est-à-dire des trois éléments les plus importants à considérer dans une théorie scientifique.

Nous ne ferons pas cette étude pour les deux premiers ; elle a été faite bien souvent. Mais nous allons la tenter pour les deux derniers. Ce sera l’objet des chapitres qui vont suivre.

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