Usage de la machine

(p. Préface-69).

CFR-631136102 MS 1522 Usage de la machine.pdfFR-631136102 MS 1522 Usage de la machine.pdf/29Préface-69

M. l’abbé Bossut me remettant cet ecrit, peu de semaines avant sa mort, me dit : Cette instruction vaut beaucoup mieux que celle qui est employée dans mon édition des œuvres de Pascal, 1779, 5 vol. in-8 — mais pourquoi ne lui aver-nous pas donné la préférence ? — Parce que mon siege étoit fait. J’avois tout disposé lorsqu’on me procura cette piece, et je ne pus l’introduire dans mon édition."

Lorsqu’en 1819 M. Le fevre, libraire, fit une nouvelle et très bonne édition des œuvres de Pascal, 5 vol. in-8, , je lui offris l’usage de ce cahier, il l’accepta, et sans doute l’oublia ensuite, car il ne me l’a jamais fait demander, et l’edition a paru avec l’ancienne description.

13^e avril 1827

Usage de la machine

1^er cahier

On suppose que ceux qui se servent de cette machine connoissent les caracteres des chifres 1.2.3 &c et qu’ils scavent que les chifres de la premiere colonne a droite sont les unitez ou nombres simples, que ceux de la 2^e colonne en remontant a gauche valent des dixaines, ceux de la 3.^e des centaines, ceux de la 4.^e des milles, ceux de la 5.^e des dixaines de mille &c.

Pour operer sur la machine on se sert d’un poincon d'hyvoire que l’on pose dans les ouvertures des Estoilles vis a vis des chifres dont on a besoin, et l’on tourne ensuite l’Estoile jusqu’a ce que le poincon soit arreté par l’aiguille qui est au bas de l’Estoile. Il faut seulement prendre garde a distribuer chaque chifres sur la roüe ou Estoile a la quelle il appartient en observant de mettre les deniers sur l’Estoile des deniers, les sols sur celle des sols, et les livres sur celle des livres, scavoir les nombres simples sur l’Estoile des nombres, les dixaines sur celle des dixaines, les centaines sur l’Estoile de centaines &c. suivant les titres de la bande qui est entre les Estoilles et les tambours.

Quand on a écrit ainsi sur la machine toutes les sommes qu’on veut ajouter, ou soustraire, ou multiplier, l’opperation se trouve faite et paroit sur les tambours par les ouvertures ou fenêtre de la platine, sans que celuy qui opere soit obligé de retenir ni emprunter.

L’effet de la machine est egal ; et l’opperation est la même, soit qu’on commence à operer par les Estoilles du côté gauche en allant a droite, ou que l’on aille de droit a gauche. Mais il est plus naturel d’aller de gauche a droite comme on feroit pour Ecrire.

Il faut remarquer que pour se servir de cette machine il est necessaire de la poser a plat parce qu’etant renversée ou panchée les poids par les quels elle agit ne font plus leur effet.

Mais il est necessaire de remarquer la pratique de cette machine pour chacune des quatre regles d’arithemetique en particulier.

Pour l’addition

Avant que de commencer l’operation on fait couler vers le bord de la machine la bande mobile EF qui couvre les petites fenêtres de la machine par ou se voyent les chifres des tambours. Ensuite on dispose les Etoilles en sorte qu’il ne paroisse que des zero, 0. sur tous les tambours, ce qui se fait en mettant le poincon entre les deux rayons de l’Estoile couverts de papier blanc, et faisant tourner l’Estoile jusqu’a ce que le poincon soit arretée ; ce qui fait venir aux petites fenétres les plus haut chifres que chaque roüe puisse porter c’est a dire 9. sur toutes les roües des livres, 19. sur celle des sols, et 11 sur celle des deniers. Puis l’on avance d’un seul rayon la derniére étoile a droite qui est ordinairement celle des deniers et alors tous les tambours changent et montrent le zero, 0.

* trouverCela étant fait, supposé qu’on veuille * a quelle somme, par exemple, montent ces deux cy, Deux cent nonante livres dix sols six denie et huit cent neuf livres quinze sols neuf deniers ce qui s’exprime en cette manière par chifre :

290.H 10S. 6d.

809 15 9.[il faut simplement écrire ces deux sommes de suite sur la machine, aprés quoi il ne paroit plus sur les tambours de la machine aucune de ces deux sommes, mais seulement celle de 1100^H 6s. 3^d. qui est le produit ou l’addition des deux sommes.

Voici donc la maniére dont on opere.

Pour la premiére somme qui est 290^H 10s. 6 d., on opere d’abord sur la roüe des centaines, parce que ce premier chifre 2. vaut deux cent, et l’on pose le poincon sur l’estoile des centaines dans l’intervale des rayons qui repond au 2. du cercle qui environne l’Estoile. Puis on tourne jusqu’a ce que le poincon soit arrété par l’aiguille du Bord de ce cercle et alors le 2 paroit sur le tambour de la roüe des centaines. On ne peut se meprendre en tournant l’estoile d’un sens au lieu de l’autre car elle n’est mobile que d’un côté. Il faut observer de ne pas enlever le poincon avant qu’il soit arreté par l’aiguille du bord du cercle. Ensuite pour faire venir sur la Machine le second chifre qui est 9.et qui vaut neuf dixaines, on opere sur l’Estoile des dixaines en placant le poincon dans l’intervale des rayons vis a vis le 9. du cercle et tournant l’Etoile jusqu’a ce que l’aiguille arréte le poincon, et en même temps le 9. paroit sur le tambour des dixaines.

Pour le 3.^e chifre qui est le zero, on ne l’exprime pas autremant qu’en sautant cette Roüe sans y operer.

On passe donc a la Roüe des sols et l’on porte le poincon vis a vis le 10. de l’Etoile jusqu’a ce que lon soit arreté par l’aiguille et le 10. paroit sur le tambour.

Enfin l’on opere sur la Roüe des deniers, et l’on porte le poincon vis a vis le 6. de l’Etoile, et en tournant jusqu’a l’aiguille ; le 6. se trouve a la petite fenétre.

Alors les chifres qui paroissent sur les tambours expriment la premiére somme proposée 290^H. 10s. 6^d. qui est deux cent nonante livres dix sols six deniers. Ensuite on écrit la seconde somme sur la machine de la même maniere et s’il y avoit plusieurs somne à ajouter on en feroit de même. Mais la difference qu’il y a entre la premiere somme et les autres qu’on porte sur la machine, c’est que lorsqu’on y met la premiere somme la machine n’exprime que cette même somme ; au lieu que quand on pose une seconde et une 3^e. somme ce ne sont pas ces somme mêmes qui paroissent mais le produit de toutes ensembles c’est a dire l’operation toute faite. c’est ce qu’on va voir par l’operation de la seconde.

Pour mettre sur la machine cette seconde somme 809^H 15s. 9^d. on commence par le premier chifre qui est 8. et comme ce 8. vaut huit cent, on opere sur la Roüe des centaines, sur laquelle il y a déja un 2. on pose le poincon entre les rayons de l’Etoile qui sont vis a vis le 8. du cercle et l’on tourne jusqu’a ce que le poincon soit arrété par l’aiguille et alors il ne paroit sur le tambour des centaines ni le 2. qui y étoit, ny le 8. qu’on y a mis, mais le produit des deux nombres, scavoir I. sur le tambour des milles et zero sur celui des centaines. Il est bon d’avertir icy que l’orsqu’on remarque ainsi qu’en operans sur une Roüe, les autres Roües changent de chifre, il ne faut pas s’imaginer qu’il y ait du desordre dans la machine car au contraire l’operation se forme par ce changement qui se fait des chifres a mesure qu’on les pose sur chaque roüe.

Pour le second chifre qui est le zero des dixaines on ne l’exprime sur la machine qu’en operant pas sur cette roüe.

Ainsi l’on passe au troisiéme chifre qui est le 9. des nombres simples ; et apres avoir mis le poinçon d’ans l’intervale de l’Estoile des nombres simples vis a vis le 9. on tourne jusqu’a l’aiguille, et le 9. paroist a la fenétre du tambour.

On opere ensuite sur la roüe des sols, et l’on pose le poinçon dans le 15. de l’Etoile que l’on tourne jusqu’a l’aiguille. Alors le tambour des sols et presque tous ceux des livres changent de chifres ; car au luieu de dix sols que le tambour des sols portoit, il marque 5.d. La premiere Roüe des livres qui est celle des nombres simples qui avoit 9. vient au zero, et celle des dixaines qui marquoit aussi 9. (de)vient encore au zero, et celle des centaines qui étoit sur le zero vient a 1.

Et quand on ajoute le dennier chifre de la somme qui est 9 deniers, il se fait encore un peu de changement, en ce que le tambour des deniers qui étoit au 6. vient au 3. et celuy des sols qui marquoit 5.porte 6. Alors on voit aux fenétres des tambours ces chifres cy 1100.^H 6s. 3^d. qui font mille cent livres six sols trois deniers, ce qui est la somme a laquelle monte les deux sommes proposées

290^H 10 s. 6^d.

809.15.9

1100H 6s. 3d.

On opereroit de la même maniere pour ajouter plusieurs sommes de suite, et quand on cesseroit d’operer on veroit par les chifres qui paroitroient aux tambours a quelle somme monteroient les sommes qu’on auroit mises sur la machine.

Il est aisé de remarquer par ce qu’il vient dêtre dit de l’usage de cette machine que si l’on a acquis tant soit peu d’habitude pour ces operations, on y peut exprimer les chifres presque aussi promptement que sur le papier. Et quand il faudroit un peut plus de temps pour certains nombres, il y en a d’autres pour les quels il en faut moins ; par exemple si l’on a plutot écrit a la plume ce nombre 976456^H 18s.11^d. qu’on ne l’auroit exprimé sur la machine, parce qu’il faut operer sur toutes les roües en particulier(s) il est certain qu’on auroit plutot exprimer sur la machine que sur le papier ce nombre cy 30000^H 0 s 0^d. a cause qu’il n’y a a operer que sur trois roües. Ainsi l’on peut dire que le temps est a peu prés compensé et que la facilité et la seureté de l’operation sur la machine est infiniment plus grande qu’a le faire sur le papier. avant l’addition[A l’égard de l’explication qu’on donne icy de la maniére d’operer sur cette machine quoi quelle paroisse un peu longue et embrouillée par la mutitude des paroles dont on a été obligé de se servir pour l’exprimer, elle sera fort intelligible pourveu qu’on opere sur la machine a mesure qu’on lira l’explication et cette pratique paroitra très facile et trés prompte quand on l’aura exercée deux ou trois fois.

Soustraction

Je fais d’abort couler la bande mobile qui couvre les tambours en sorte quil ne paroise que la rangée des chifres qui est plus proche du bord de la machine.

Puis je méts tous les tambours au plus haut chifre qu’ils peuvent (ataindre a) porter, cest a dire 9. Pour toutes les Roües des livres, 19. pour les sols et 11 pour les deniers, ce qui se fait en la même maniére qu’on a expliqué dans l’addition pour faire venir les zero. Car je n’ai qu’a mettre le poinçon sur chaque étoile (jusqu’a ce que l’aiguille) entre les rayons qui ont (de) du papier blanc, et puis tourner l’estoile jusqu’a ce que l’aiguille arréte le poinçon. Alors tous les tambours sont au zero ; mais en avançan d’un point l’Etoile des deniers tous les tambours changent et ceux des livres viennent au 9. celui des sols au 19. et celui des deniers au 11. Apres quoy si je veux scavoir ce qui restera de la somme de huit cent quatre vingt dix livres neuf sols sept deniers, après en avoir ôté celle de deux cent six livres douze sols neuf deniers, ce qui s’exprime par ces chifres cy ${\frac {890^{H}.9s.7^{d}.}{206.12.9.}}$ . Je ne fait autre chose que de mettre simplement ces deux sommes de suitte sur la machine, et alors je n’y trouve plus ni l’une ni l’autre de ces sommes, mais celle de 683^H 16s. 10^d. qui est le restant que je cherche.

Pour faire paroitre aux fenétres des tambours cette premiere somme de 890^H 9s. 7^d. je ne met pas le poinçon sur les Etoilles dans les mêmes chifres que je veux faire venir aux fenétres comme l’on fait pour l’addition, mais je prend le supplement de 9. c’est a dire je met le poinçon au chifre(s) qui fait 9. étant ajouté a celui que je veux qui paroisse. Ainsi pour amener 8. qui est le premier chifre de la somme proposée lequel 8 vaut huit cent j’opere sur la Roüe des centaines, et au lieu de mettre le poinçon au chifre 8. que je veux faire paroître, je le mets au chifre 1. et je tourne du côté ordinaire jusqu’a ce que l’aiguille m’arréte, et alors je vois sur le tambour le chifre 8 que je cherche.

Ensuite je viens a la Roüe des dixaines pour y mettre le second chifre de la somme proposée qui est un 9. Et comme je trouve que le 9.y est deja, je passe a la Roüe des nombres.

Pour faire venir le 3.^e chifre qui est un zero, je dit, zero et 9. que je pose, c’est 9, et je mets le poinçon sur l’Estoile au rayon qui répond au 9. Je tourne l’estoile jusqu’a l’aiguille et le zero paroit au tambour.

J’opere ensuite sur la Roüe des sols ou il faut faire venir 13. au lieu de 13. je prens le supplement de 19. qui est le plus haut chifre de cette Roüe, c’est a dire je prens le 6. qui avec 13. fait 19. Ainsi en tournant l’Estoile avec le poinçon depuis le 6. jusqu’a l’aiguille, le 13. vient a la fenétre.

J’en fais de même a la Roüe des deniers, et comme le plus haut chifre de cette Roüe est 11. j’y prens le supplement de 11. c’est a dire le chifre qui étant ajouté a celui que je veux mettre fait 11. Et comme dans l’exemple proposé il faut faire venir 7. deniers, je mets le poinçon, non sur le 7. mais sur le 4. parce que 7. et 4. font 11. et après avoir tourné l’Estoile jusqu’a l’aiguille le 7. paroit sur le tambour.

Je viens ensuite a la seconde somme de 206^H 12 s. 9^d. qui est celle que je veux oter de 890^H. 13 s. 7^d. et je mets ces 206^H 12 s. 9^d. non en la maniére que j’ai posé la premiere somme c’est a dire*par le supplement de 9. , mais en placant le poinçon dans l’Etoile aux chifres mêmes que je veux poser sur la machine.

Ainsi pour le premier chifre qui est 2. et qui vaut deux cent, j’opere sur la Roüe des centaines et aiant posé le poinçon entre les rayons de l’Estoile qui repondent au 2. je tourne jusqu’a l’aiguille, et le tambour change de chifre, car au lieu du 8. qui y étoit il paroit 6. c’est a dire que l’operation se fait parce qu’en effet quand on ôte 2 de 8 ; il ne doit rester que 6.

Je viens ensuite aux dixaines, et je trouve que le second chifre de la somme proposée est un zero. Je passe donc sans operer sur cette Roüe.

Pour le troisiéme chifre qui est 6. j’opere sur la Roüe des nombres simples, et je pose le poinçon vis a vis le 6. de l’Etoile. Je tourne jusqu’a l’aiguille et en même temps la Roüe des dixaines et celles des nombres simples changent, car au lieu du 9. qui étoit sur tambour des dixaines il paroit un 8. et a la place du zero du tambour des nombres il y vient 4. c’est a dire que la machine fait l’operation, parce qu’en otant 6. de 90 il ne reste que 84.

Ensuite je passe a la Roüe des sols et je pose le poinçon au 12. de l’Estoile que je tourne jusqu’a l’aiguille et au lieu de 9. qui étoit sur ce tambour il y vient 17. et sur la Roüe des nombres le 4. se change en 3.

Enfin je viens a la Roüe des deniers, et je prens le 9. de l’Etoile que je tourne jusqu’a l’aiguille et les tambours des sols et des deniers, changent, car au lieu de 17 s. 7 d. il vient 16 s. 10 d.

Alors je trouve aux fenétres des tambours ces chifres cy 683^H. 16 s. 10^d. qui sont le reste de la somme de 890^H. 9 s. 7^d. après en avoir ôtée celle de 206^H 12 s. 9^d.

Que s’il y avoit plusieurs sommes a oter d’une seule, je n’aurois qu’a mettre toutes ces sommes de suite sur la machine en la maniére que je viens de l’expliquer pour une seule somme, et ce qui paroitroit aux tambours seroit le restant après toutes ces sommes déduites. Enquoi la machine abrége beaucoup plus que si l’on opperoit a la plume. Car en faisant pour regle une soustraction dans laquelle on peut oter plusieurs sommes d’une seule, il faut faire deux operations, scavoir une addition des sommes a soustraire afin de les reduire en une seule somme comme en l’exemple qui vient d’être expliqué, et en suite une soustraction de cette somme de l’autre. Au lieu que sur la machine je trouve pour une même operation ce qui reste apres la deduction de plusieurs sommes d’une seule, sans avoir fait autre chose que mettre sur la Machine toutes ces sommes de suite.

Il y a même de cet avantage qu’a mesure qu’on met sur la Machine les sommes qu’on veut déduire, le restant paroit aux fenestre des tambours. De sorte que dans un compte entre associée ou pour des rentes, on voit precisement de combien la masse ou le principal ont diminué a chaque payement, et par consequent de combien le profit de la societé, ou les Rentes ont dû diminuer. Tout cela ne se trouveroit par les regles d’arithmetique qu’en faisant autant de differentes soustraction qu’on voudroit distinguer de payement.

De la Multiplication

On scait que pour la multiplication il y a trois trois^[sic] nombres a considerer, le nombre multiplié, le nombre multipliant, et celui qui resulte des deux et qu’on appelle le produit de la multiplication.

Ainsi dans cette operation il s’ajit de trouver ce produit lequel doit contenir autant de fois le nombre multiplié qu’il y a d’unitutez au multipliant.

Il est indifferent lequel des deux nombre l’on prenne pour le multiplié ou pour le multipliant, car le produit est le même. Mais il y a plus de facilité de prendre le plus grand nombre pour le multiplié.

Cela étant j’écrit a la plume ces deux nombres, scavoir le plus grand nombre ou le multiplié au dessus, et le plus petit ou le multipliant au dessous ; et je dispose les chifres de ces deux nombres sur une petite bande de papier ausi égloignez les uns des autres que le sont les tambours de la Machine, en cette sorte

4. 2. 3.

4. 6.

Puis je place cette bande de papier sur la machine entre les tambours et les Etoilles afin d’avoir present les chifres du multiplié et du multipliant pour les faire rependre aux Roües sur les quelles il faut operer, et je prens soins de faire répondre les nombres sous les nombres, les dixaines sous les dixaines &c.

Avant que d’operer je pousse vers le bord de la machine la bande mobile qui couvre les tambours en sort qui ne paroisse que la rangé des chifres qui servent a l’addition et qui sont dans leur ordre naturel 1.2.3.

Apres quoi je fais paroitre des zero sur tous les tambours en la maniére qu’on a fait voir au commancement de L’addition.

Ensuite je multiplie le nombre multiplié par tous les chifres du nombre multipliant l’un apres l’autre, en commencant par le dernier a droite, c’est a dire pour celuy qui est dans la colonne des nombres simples ; et j’observe de mettre a son rang le premier produit de chaque chifre du nombre multipliant, de sorte que lorsque je multiplie par le chifre qui est dans la colonne des nombres simples, je mets son premiers produit sous les nombres simples ; si je multiplie par les dixainnes, je les mets au rang des dixaines &c. Et apres avoir operé sur chaqun des chifres du multipliant le produit du total qui est ce que l’on cherche paroit aux fenétres du tambour.

Il faut observer que pour multiplier ainsi les chifres du multipliée par ceux du multipliant il faut se servir de la table suivante qui contient la multiplication des nombres simples l’un par l’autre et qu’on appelle ordinairement le livret la quelle Table il est aisé d’apprendre et de se rendre familiere en sorte qu’on ait pas besoin de l’avoir devans les yeux pour operer.

tabl. de py. Je fais donc l’operation sur la machine en cette sorte. Supposé que le nombre multiplié soit celui cy 423. et que le nombre multipliant soit celui cy 46.

Je dit d’abord 6. fois 3. c’est 18 et pose 18. sur la machine sçavoir l’1 sur la Roüe des dixaines, en plaçant le poinçon a l’ordinaire entre les rayons de l’Estoile qui repondans a l’1. et et tournant jusqu’a ce que le cran marréte, et le 8. sur l’estoile des nombres simples, parce que c’est icy le premier produit du 6. du multipliant qui est dans la colomne des nombres simples.

Ensuite sans oter le poinçon de cette Estoile des nombres, je continue et je dis 6 fois 2. cest 12.je leve le poinçon, je recule à gauche de deux roues, et je pose 12 Sçavoir l’1 sur la Roüe des centaines et le 2. sur la Roüe des dixaines parce que le deux qu[e] j’ai multiplié est dans la rangée des dixaines, et je laise le poinçon sur cette Etoile des dixaines. Je fais de même au 3^e. chifre du multiplié qui est un 4. je le multiplie encore par le 6 du multipliant, et je dis, 6. fois 4. c’est 24. Je leve le poinçon je recule de deux Etoilles a gauche et je pose 24. sçavoir 2 sur la Roue des mille puis 4. sur celle des centaines qui est la rangée ou repond ce 4. que j’ai multiplié. Je trouve alors sur la machine aux fenétres des tambou[rs] cette somme 2538. qui est le produit du premier chifre du multipliant c’est a dire que 6 fois 423 montent a 2538.

Je viens au second chifre du multipliant qui est 5 et je fais une operation semblable et comme ce 5 vaut 5 dixaines et que le produit sera des dixaines je change de scituation la petite bande de papier faisant repondre sous la rangée des dixaines le dernier chifre du multipliée qui est le 3 et ensuite je multiplie encore par ce 5. la même somme de 423. que j’ay multipliée par 6.

Ainsi je dis d’abord sur le 3. en disant 5 fois 3 font 15. je pose 15 sur la machine, sçavoir 1 sur la Roüe des centaines et 5 sur celle des dixaines.

Ensuite je pose au second chifre du multiplié qui est 2. et sans lever le poinçon de l’Estoile des dixaines, je dis 5 fois 2. c’est 10. je recule de deux Estoiles et je pose 1 sur la Roüe des mille ce qui fait venir 3. mille au lieu de 2. et je n’opere pas sur la Roüe des centaines parce que c’est un zero qui y repond. [Je laisse donc le poinçon sur les milles et je multiplie le dernier chifre du multiplié qui est le 4, en disans 5. fois 4. c’est 20. Je recule le poinçon d’une Roüe et je pose le 2. sur lEstoile des dixaines de mille. Pour la Roüe des mille comme cest un zero qui y repond, je n’y opere pas.

Il paroit alors sur la Machine la somme de 23688. qui est la somme totale qu’on cherche et le produit de 423. multiplié par 56.

Que s’il y avoit plusieurs chifres au multipliant, il faudroit observer la même chose que ce qui vient d’etre remarqué dans cet Exemple, et reculer la petite bande de papier des dixaines au centaines, puis des centaines au milles &c. a chaque fois que l’on changeroit de chifres du multipliant.

On voit assez de combien la machine abrege plus que la plume cette operation de la multiple, puisqu’apres avoir multiplié par tous les chifres du multipliant l’un apres l’autre sur le papier, il reste encore une operation entiere a faire qui est l’addition des produits particuliers de chaque chifre du multipliant.

De la division

Il y a trois nombres à considerer dans la division aussi bien que dans la multiplication, sçavoir le nombre a diviser ou le dividende celui par lequel se fait la division qu’on appelle diviseur, et le nombre qui resulte de la division de ces deux l’un par l’autre, qui est ce qu’on appelle quotient, parce qu’il montre combien de fois le diviseur est contenu dans le dividende, et ce dernier nombre que l’on cherche par l’operation de la division.

Il est aisé de juger que le nombre a diviser dividende doit toujour etre plus grand que le diviseur puisque dans cette operation il est question de trouver combien de fois le diviseur est contenu dans le dividende. Ainsi supposé que le dividende soit 23688. et que le diviseur soit 56. je dispose ces deux nombres en cette sorte, ${\begin{array}{r|l}23\,688.&56.\quad {\text{diviseur}}\\\hline {\text{Dividence}}&322.\quad {\text{quotient}}\end{array}}$ et je fais un trait sous le diviseur pour y placer le quotient a mesure que je trouverai en operans sur la machine, et la somme qui restera aux fenétres des tambours apres l’operation achevée sera le restant qui ne poura être divisé.

Avans que de commencer a operer je dispose la bande mobile comme a la soustraction en sorte que ce soient les chifres les plus proche du Bord de la Machine qui paroisent aux tambours.

Puis je fais venir tous tambours au 9. en la maniere qui a été expliquée pour la soustraction.

Alors je commence en mettant sur la machine la somme du dividende qui est en cet exemple 23688. Et pour cela j’observe ce qui a été remarqu[é] pour la premiere somme de la soustraction, sçavoir qu’au lieu de mettre le poinçon sur l’estoile dans le chifre qu’on veut faire paroitre au tambour, il faut prendre le supplement de 9. cest a dire ce qui manque pour aller a 9.

Ainsi pour faire venir le premier chifre du dividende qui est 2 et qui vaut deux dixaines de mille je pose le poinçon sur l Etoille des dixaines de mille et au lieu de le placer dans le 2. je dis 2 et 7 que je prends font 9. et tournant le poinçon a l’ordinaire jusqu’au cran, le tambour montre le 2. que je cherche. Et afin que la somme que j’écris ne se confonde pas avec celle qui se trouve avancée sur la machine acause des 9. que chaque Roüe porte, je mets au zero les tambours qui precedent le premier sur le quel j’opere, et j’y fais venir le zero en mettans le poinçon au 9. Je viens ensuite au second chifre qui est 3. lequel vaut trois mille, et j’opere sur l’Estoile des mille, et au lieu de prendre le 3. je place le poinçon dans le 6. et il vient au 3. Pour le 6 qui est le 3^e. chifre du dividende, et qui vaut 6. je mets le poinçon au 3 de la Roüe des centaines et le 6 vient a a l’ouverture de la fenétre.

Je fais encore de même pour les deux dernier chifres qui sont des 8. et je pose le poinçon dans les rayons des deux dernieres Estoiles vis a vis l’1. en disant 8 et 1 que je prends font 9. et tournant en même temps le poinçon, j’amene le 8. qui se montre sur les tambours des dixaines et des nombres simples. Alors la somme entiere du dividende qui est 23688. paroit aux fenétres des tambours.

Je procede ensuite a l’operation en la maniere qui va être expliqué me servant encore de la Table de multiplication des nombres simples dont on a parlé au sujet de la multiplication. J’ecris sur une petite bande de papier les chifres du diviseur a la même distance que sous les tambours, et je fais couler cette bande entre les Estoilles et les tambours a mesure que je fait l’operation, afin d’eviter de me reprendre.

Je remarque ensuite de combien de fois le premier chifre du diviseur est renfermé dans le premier du dividende en commençant a gauche, et je ne fais d’abord attention qu’a ce seul chifre du diviseur, apres quoy j’ecrist ce nombre pour le quotient sur le papier a part au dessous du diviseur. Je me sert pour cela de la table de multiplication des nombres simple dont il a été parlé, et je multiplie ce premier chifre du diviseur part un autre nombre simple, en sorte que le produit des deux soit le plus proche au dessous de celuy du dividende sur le quel je dois operer. Ainsi si le premier chifre du diviseur et 2. et que je veuille sçavoir combien de fois 2. et en 9. qui est le chifre du dividende sur le quel j’ai a operer, je multiplie 2. par (t) 4. ce qui me donne 8.qui est le nombre plus proche au dessous du 9. puisse atteindre en multiplians 2. C’est donc 4. qui seroit icy le quotient et qui me marqueroit que 2. est 4. fois en 9.

Mais comme il pouroit arriver que l’on mettroit un chiffre ~~du diviseur pour~~ trop grand au quotient en prenant ainsi toujours le premier chifre du diviseur pour sa valeur juste, je le prens toujours pour un de plus qu’il ne vaut, c’est a dire 3. au lieu de 2. et 5. au lieu de 4. 10. au lieu de 9. et ainsi des autres. Ensuite je me sert de ce quotient pour multiplier le diviseur, apres avoir mis sur la machine les chifres que me donne cette multiplication je trouve aux fenetre des tambours ce quis reste a diviser.

Que si ce restant et encore plus grand que le diviseur c’est une marque que le quotient devoit être plus fort, mais ce ne sera jamais que d’1 et l’on ajoutera cet 1. au dessous du quotient qu’on aura marqué. Ce qui ne causera aucune difficulté, etant facile de voir par exemple que le quotient vaut 7. si l’on a mis dabord un 6. et qu’ensuite on ait ajouté 1. par dessous en cette sorte ${\frac {6}{1}}$ .

Je mets donc sur cette bande 56. pour l’exemple proposé et en posant ces chifres au dessous des deux premiers a gauche du du dividende qui sont 23. je vois que ce nombre de 56. exede celui de 23. et par consequent que je ne puis operer sur ces deux nombres, puisque 56. n’est pas ~~constant~~ contenu une seule fois en 23. ce qui moblige d’avancer cette bande a droite en sorte que les chifres 5 et 6. repondent sous le second et troisieme chiffre du dividende en cette sorte 236 et alors je suis en état de chercher combien de fois 56. est contenu en 236.

J’observe pour cela combien de fois le 5. qui est le premier chifre du diviseur est contenu dans les deux premiers du dividende qui sont 23. et en augmentant d’un la valeur de ce premier chifre du diviseur, suivant qu’il a été dit, au lieu de dire icy 5. en 23 est 4. fois, je dis, 6 en 23 est 3 fois, et jecris au quotient un 3 ensuite j’opere sur la machine et me servant de la table de multiplication je multiplie les deux chifres du diviseur par 3. en commancent par le premier, et disant, 3. fois 5 c’est 15. et posant 15 sur la machine, aux mêmes Roües qui portent le 23. et je prens pour exprimer ce 15. les chifres naturels des Estoiles 1 et 5. je dis encore de même sur le second chifre du diviseur, 3. fois 6. cest 18. et je pose 18. sur la machine au Roües qui repondent aux deux chifres du diviseur.

Je trouve alors sur ces deux Roües 68. et comme ce nombre excede celui du diviseur qui est 56. cest une marque le diviseur y est encore contenu une fois. Je mest donc un 1. aux dessous du 3. au quotient et je pose une fois 56. sur la Machine aux Roües qui repondent aux chifres du diviseur, et il reste ces deux chifres 1.2. au(x) dessus des chifres 526 du diviseu. Et comme je vois que ce nombre de 12. est moindre que celui du diviseur, j’avance d’un chifre a droite la bande qui porte les chifres du diviseur, et je fais repondre le 5 et le 6. du diviseur sous le 2. et le 8. du Dividende.

Alors j’opere comme ci devant, en observant combien de fois le premier chifre du diviseur est contenu dans les deux premiers du Dividende sur les quels j’ai a operer, et en augmentans d’un comme il a été expliqué, je dis 6.en 12 est 2. fois et je pose 2. au quotient.

Puis j’opere sur la machine en multiplians les deux chifres du Diviseur par 2.& je dis 2 fois 5 c’est 10. que je pose sur la machine en plaçant le poinçon a l’Estoile des mille dans le raion 1. qui vaut 10 a l’egard du Diviseur.

Je fais la même chose pour le 6. qui est le second chifre du diviseur et je le multiplie encore par 2 en disant 2 fois 6. c’est 12. et je mets 12 sur la machine en prenant 1. sur la Roüe de devant le 6. du Diviseur, et le 2. sur la Roüe qui repond au dessus de ce 6.

Je trouve alors 16. au dessus de 56. du diviseur lequel 16. estant moindre que le diviseur, je suis obligé d’avancer sous le chifre suivant la bande qui porte le diviseur et j’opere sur les 3. chifres du dividende 168. en la même maniére qu’il a été expliqué.

J’avance donc les 56. du diviseur sous les chifres 5. 9. du Dividende, et je remarque combien de fois le premier chifre du diviseur est contenu dans les deux premier du dividende sur lesquels j’opere, et augmentant d’un comme ci dessus je prens le 5 du diviseur pour 6. et je dis 6. en 16. est 2. fois. je pose ce 2. au quotient.

Ensuite je multiplie ~~sous~~ par ce quotient les deux chifres du diviseur a l’ordinaire, en disans, 2. fois 5 c’est 10. que je pose sur la Machine en prenant le rayon 1. de l’Estoile qui précede le 5 que je multiplie, et qui tient lieu de dixaine a légard de ce 5 et il vient un zero a la place de l’1.

Je dis de même pour le second chifre du Diviseur, et je le multiplie encore par 2. en disant, 2 fois 6. cest 12. et je pose 12. sur la Machine, sçavoir 1. au dessus du 5 du Diviseur et 2. au dessus du 6. et il me reste aux ouvertures des tambours 56.

Et comme je vois que les 56. du diviseur sont encore compris dans ces 56 du dividende, c’est a dire que le quotient que je n’ay compté que pour deux doit être encore augmenté d’un j’ajoute un 1. au dessous du dernier 2. que j’avois mis au quotient et je multiplie sur la Machine les 56. du Dividende par ce quotient, en disant 1. fois 5. cest 5. que je pose sur la Roüe qui repond au 5. du diviseur, et de même 1.fois 6. cest 6 sur la Roüe au dessus du 6. du diviseur. Alors il ne reste plus rien sur la machine ~~quand~~ puisque tous les tambours sont au zero.

Je joint ensuite les chifres du quotient que j’ai mis l’un sur l’autre, et je vois que la somme de 23688. qui est dividende proposé, étant divisé par 56. qui est le diviseur, fait 423. portion qui est le nombre du quotient qu’il s’agissoit de trouver, et qui reste encore 1 a diviser.

Que s’il restoit quelques chifres sur la machine dont le nombre fust moindre que celui du diviseur, ce reste ne se pourroit diviser par le meme diviseur, si ce n’est en le reduisant en fractions.

Les fractions abregée pour la machine

L’addition des fractions

première Regle.

Etant donné deux fractions ou plus a ajouter en une somme on posera les numerateurs ou range des Roües qui sont au milieu du couvercle, et les denominateurs au dessous, pus on multiplira en croix les denominateurs par les numerateurs et on posera les produits au premier rang des roües, et en même temps l’addition sera faite. Et pour avoir le dominateur commun des fractions susdites on multiplira continuellement les dominateurs l’un par l’autre : et le produit sera le dominateur commun qu’on fera paroitre au bas des Cylindres qui sont dans la boite, en même temps on vera sur un des espaces des Cylindres, combien la fraction contient d’entier, et soustrayant de l’addition la Somme qu’on trouve sur les Espaces des Cylindres, au bout de laquelle on a deja trouvé les entiers ; on vera quel sera le reste s’il s’en trouve qui sera encore une fraction.

Exemple

On veut ajouter ${\frac {3}{4}}$ avec ${\frac {13}{17}}$ ; il faut poser comme il est dit cy dessus, le numérateur de la fraction ${\frac {13}{17}}$ ; sçavoir au rang du milieu, le 3. au nombre et l’unité 1. aux dizaines, et son dominateur 17. en la rangée des roües au dessous, le 7. sous le 3., l’unité 1. sous l’unité 1. et les deux Roües des centaines qui sont devant la fraction deja posée, on leur fera paroître le blanc qui est un éspace entre deux chifres, qui ne signifiant rien, sert de separation aux fractions : aprés l’on fera paroître la fraction ${\frac {3}{4}}$ , posant le numerateur 3 au rang du milieu, a la roües des milles, et son denominateur 4. à la Roües au dessous. Les fractions étant ainsi posées, l’on multipliera en croix les dominateurs par les numerateurs, disant 3 fois 17 font 51. que l’on posera au bord du couvercle : puis multipliant le dominateur 4 par le numerateur 13. l’on aura 52. qu’il faut ajouter aux 51. qui sont deja au bord du couvercle et la somme sera aux petites fenétres 103 : apres pour avoir le denominateur commun, l’on multipliera les deux dominateurs, 4 et 17. l’un par l’autre, disant 4 fois 17. font 68. que l’on fera paroître aux bas des cylindres, et la fraction sera ${\frac {103}{68}}$ en même temps on vera combien il y a d’entiers en la fraction, regardant au cylindre le premier Espace qui est le plus prochain moindre, duquel l’unité 1. dont il est marqué montre qu’il y a en la fraction un entier : et soustrayant le nombre de l’espace 68. de la somme des fraction restera 35. qui est encore une fraction ; c’est a dire 1. entier, et une fraction de ${\frac {35}{68}}$ .

Pratique de la Multiplication facilitée sur la machine

Soient les nombres deja proposée a multiplier, 935 ; par 67. pour soulager ma memoire, je fait paroitre aux petites fenetres des Roües de la rangée C. le nombre a multiplier 935. et a celle des Roües de la rangée B. qui est au dessous, je fais paroître le multiplicateur 67. parmy les cylindres ou prizmes mobiles PP j’en prens 3. les uns aupres des autres, pour les trois du nombre a multiplier. Sur le premier des trois en allant de droit a gauche, je fais paroître la lame qui a le chifre 5 en tête : sur le second, celle qui a le chifre 3. et sur le troisieme celle qui a le chifre 9. au pres de laquelle je fais paroître la lame des nombres digites soit en abbatant une petite lame de cuivre qui se trouve aupres de chaque prîsme dans ma grande machine de laton, ou bien en tournant le cylindre voisin jusques a ce que cette lame des nombres digites y paroisse, comme dans mes petites machines de bois dont je parlerai cy apres. La face de ces Cylindre ou prismes ainsi arrangée et des Roues B et C est telle.

Cherchant le chiffre 7 du multiplicateur dans la lame des nombres digites, je trouve comme cy-dessous vis avis de luy les cellules des cylindres ainsi disposés et sur la roue des nombres de la rangée A que j'ai dit sevoir a la soustraction et

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addition, je marque en la maniere que j'ai expliqué dans l'addition, a sa petite fenétre le chifre 5 de l'espace droit de la cellule du premier cylindre, puis a la fenestre de la roue des dixaines le chifre 3 de l'espace gauche de ladite cellule, auquel j’ajoute le chifre 1. de l’espace droit de la cellule ; du second cylindre, et cela fait 4. qui paroit dans ladite fenêtre. Ensuite sur la roüe des centaines je marque le chifre 2. de l’espace gauche de ladite cellule du second cylindre, puis je lui ajoute le 3. de l’espace droit de la cellule du 3.^e ; et il paroit 5. a la petite fenétre. Enfin sur la roue des milles je marque le chifre 6. de l’espace gauche de ladite 3.^e cellule, et j’ai par ce moyen dans les petites fenétres 6545. produit de 935. pour 7.

Je cherche ensuite dans les nombres digites le chifre 6. et je trouve les cellules des cylindres qui y repondent disposées en cette maniére, M, et parce que le caractere 6. est sur la roüe des dixaines dans la rangée BB. 6.||5.|4.||1.|8||3.|0| Je porte le caractere de M. l’espace droit de la premiére cellule sur la roüe des dixaines de la rangée AA a la fenétre de laquelle paroit deja le chifre 4. et parce que ce caractere est un 0, je laise la Roüe en l’etat qu’elle est, gardant toujours 4. a la fenétre. Ensuite je porte le chifre 3. de l’espace gauche de ladite cellule par la roüe precedente qui est celle des centaines en la maniére que j’ai dit a l’addition, c’est a dire mettant la pointe du stilet au trou de la roüe mobile, qui est vis a vis le chifre 3. du cercle immobile, et l’amenant en retrogradant a l’entaillure du zero ; et qu’il y avoit deja 5. a la fenetre de cette Roüe, il y paroîtra 8. J’y ajoute encore le chifre 8 de l’espace droit de la cellule du second cylindre, et au lieu du 8. qui paroissoit, il ne paroit plus qu’un 6 mais en même temps la Roüe precedente qui est celle des milles se trouve avoir avancée d’un chifre, et au lieu de 6. qui étoit a sa fenétre il paroit un 7. Je porte en suite sur ladite Roüe des milles le chifre 1 de l’espace gauche de ladite celulle et il se trouve a sa fenetre 8. au lieu du 7 qui y etoit. J’ajoute encore sur cette roüe le 4. de l’espace droit de la cellule précédente, ~~qui est celle~~ et alors le 8. qui étoit a sa fenétre ne paroit plus et en sa place il y a un 2 : mais en même temps la Roüe précédente qui est celle des dixaines de milles ou il ne paroissoit qu’un 0, se trouve avancée d’un point, et a sa fenétre le chifre 1. Enfin je porte sur cette derniere roüe le chifre 5. de l’espace gauche de ladite 3^e. cellule, et il vient le caractere 6. a la petite fenétre. Cela étant fait je trouve aux fenetres desdites roües 62645. qui est le produit total de 935. par 67. Toute cette pratique paroit longue et embrouillée dans l’explica？ ; mais lors qu’on l’aura veu exercer deux ou trois fois sur la Machine, rien ne semblera plus court ni plus facile. Si l’on a plus de deux chifres au multiplicateur, il faudra continuer comme cy dessus, observant de commencer l’addition des chifres des cellules par la roüe qui repond au lieu ou est le chifre, dont on ajoute le produit.

Pratique de la Division facilitee sur la Machine

Soit comme cy dessus le nombre a diviser 62645^H. et le diviseur 935. sur la rangée aa. des Roüez qui servent a laddition et a la soustraction je marque le nombre a diviser 62645 ; et sur la rangée des Roües BB. le diviseur 935. en sorte que le chifre 9 soit vis a vis du chifre 2. de la rangée aa. et par consequent le chifre 5. sera vis a vis du chifre 4. de ladite rangée a la place des dixaines. La rangée CC. ou je n’ai encore rien marquée me servira a mettre le quotient quand il sera trouvé. Pour cet éffet je fais paroître sur les Cylindres ou primes mobiles 1.2.3. les lames des chifres du diviseur 9.3.5. aupres desquelles je mets la lame des nombres digites, comme dans la figure IV. Je chercher parmy les differentes rangées de cellules, celle dont les chiffres pris de la maniére que j’ai deja dite sont un nombre plus aprochant de 6264. qui se trouve dans la rangée aa. le diviseur marqué sur les Roües BB. je trouve que c’est la rangée M, dans les chifres, ajoutez et disposez comme j’ai dit cy dessus 6|5|4|1|8|3|0|M font 5610. le prochain nombre au dessous du nombre a diviser 6264. j’ecrit sur celle des roües de la rangée C. qui repond a la Roüe de la rangée B. ou est le dernier chifre du diviseur qui se trouve être sur la roüe des dixaines : j’ecris deja sur cette roüe le chifre digite 6. qui repond a ladite rangée de cellules, M ; je soustroit en suite lesdits chifres de la rangée, M, dudit nombre a diviser en cette sorte Pour soustraire le chifre 5. de l’espace gauche de la 3^e. cellule du premier chifre du nombre a diviser qui est 6. je mets a la roüe ou est ce premier chifre 6. la pointe du stilet au petit trou de la Roüe mobile qui se trouve vis a vis de la petire entaillure d’en bas, et le porte vis a vis le chifre 5. du cercle immobile, et il ne paroit plus a la petite fenétre que le chifre 1. reste de 6. Je soustrait ensuite le 4. de l’espace droit de la même cellule, en mettant le stilet au petit trou vis a vis de l’entaillure d’en bas de la roüe suivante ; a la fenétre de la quelle paroit le second chifre du nombre a diviser, qui est 2. et portant ledit trou vis a vis du chifre 4, du cercle immobile, il paroit 8. a la petite fenétre ou il n’y avoit auparavant que 2. mais la roüe précédente recule pendant ce temps là d’un degré, et au lieu de 1. qu’elle avoit a sa petite fenétre il n’y paroit plus qu’un 0. Ensuite sur la même roüe je soustrait le chifre de l’espace gauche de la seconde cellule, qui est 1. et au lieu de 8. il ne paroit plus que 7. a sa fenétre. Pour le chifre droit de ladite seconde cellule, qui est 8. je le soustrait sur la Roüe suivante, qui est celle ou paroit le chifre 6. en portant comme j’au cy dessus fait, le trou qui est vis a vis du zero. d’en bas jusques au chifre 8, en tournant selon l’ordre naturel ; et alors a la petite fenétre ou étoit 6. il paroit 8. mais en même temps la roue précédente ou paroissoit 7. recule d’un degré et il n’y paroit plus que 6. sur la même roue je soustrais le chifre gauche de la 3^e. cellule qui est 3. et au lieu du 8. il ne paroit plus que 5. Enfin la Roüe suivante ou paroit 4. je soustrais le chifre droit de ladite 3^e. cellule ; mais par ce que c’est seulement un zero qui s’i trouve, je laisse ladite roüe au même Etat qu’elle étoit. Cela fait j’ai de reste aux fenétres des roües sur lesquelles j’ai fait cette soustraction, 6, 5, 4, et sur la Roüe qui suit et a la quelle je n’ai point encore touché, il y a 5. Ce qui fait en tout le nombre 6.545. J’avance ensuite le diviseur 935. d’une Roüe ; et au lieu que le chifre 5. étoit sur la Roüe des dixaines de la rangée BB. je le mets sur la roüe des nombres ; et 3. qui étoit que la roüe des centaines, je le pose sur cette des dixaines ou étoit auparavant le chifre 5. Je fais de même a l’egard du 9. que je transporte de la roüe des milles ou il étoit, sur celle des centaines ou étoit 3. et sur ladite roüe des milles je ne laisse qu’un zero, 0. Je cherche ensuite ledit nombre 6545. ou le plus approchant au dessous dans les rangées des cellules, et je trouve que la rangée N, comprend précisément ledit nombre 7.|6.|3.|2.|1.|3|5|N. d’autant que dans l’espace gauche de la 3^e. cellule il y a six, et que dans son éspace droit il y a 3, qui étant ajoutée avec 2. qui se trouve dans l’espace gauche de la suivante fait 4. Et enfin dans l’espace droit de cette derniere cellule il y a 5. ce qui fait précisement ledit nombre 6545. c’est pourquoi je marque sur celle des Roües CC. qui suit la Roüe ou j’ai marquée 6. et qui repond encore au dernier chifre du diviseur, c’est a dire a la roüe des nombres : je marque deja, sur cette roüe le chifre 7. nombre digite de ladite rangée de cellules, N ; puis soustrayant comme cy dessus les chifres de cette rangée, N, desdits 6545. qui restoient aux fenétres des Roües, a, il ne reste rien ; et le quotient de 62645. divisé par 935 est precisement 67, marqué sur les Roües CC ; Que s’il restoit quelque chose, je le reduirois en fraction ou l’evaluerois comme j’ai dit cy dessus. Il faut observer que lorsqu’il reste quelque chose, ce qui reste est toujours moindre que le diviseur, parce que s’il étoit égal, ou plus grand, on aurois manqué dans l’operation, et l’on n’auroit pas pris la rangée des cellules, qui comprend le nombre a diviser précisement ou celui qui en approche le plus au dessous, comme j’ai dit qu’il falloit faire : on auroit aussi manqué et pris une rangée des cellules dont les chifres surpasseraient le nombre a diviser, et dont le quotient seroit trop haut, si le nombre a diviser ne se trouvoit pas suffisant pour en soustraire les chifres de la rangée de la maniére que j’ai dit.

Il n’est pas nécéssaire que je métende d’avantage ny que je traite des regles de trois, de compagnie, &c. Comme toutes ces regles ont leur fondement sur les quatre que je viens d'expliquer, Sur lesquelles roule toute l’arithmetique ; lorsqu’on saura pratiquer ces quatre sur la machine, il sera fort aisé d’y pratiquer les autres pour peu qu’on veuille s’y appliquer.

J’ajoute seulement que parce que ma grande Machine de Laton, dont j’ai parlé jusqu’icy, ne se peu faire qu’avec bien du temps et bien du travail, et parconsequent est fort chere pour la commodité du public j’en distribue une de bois et de carton fort portative, et a un prix raisonable sur laquelle on fait les operations d’arithmetique tout aussi bien et aussi facillement que sur l’autre. Il y a seulement cette difference quil se trouve dans la Machine de Laton un artifice qui fait que lors qu’on ajoute un nombre a un qui est deja sur une des roües, et que ces deux nombres joins ensemble passent 9, la Roüe précédente avance d’un point d’elle même, et recule d’un point dans la soustraction lorsque le nombre qu’on soustrait et plus grand que celuy dont on le soustrait ; et que dans la Machine de bois cet artifice ne se rencontre point, mais on y supplée aisement ; comme il se verra dans son explication.

Lextraction de la racine quarrée se fait par le cylindre qui est a l’extremité de la boüétte du côté gauche : ce cylindre est divisé en dix colonnes et chaque colonne a 21. éspace ; sur le plus bas desdits espaces est écrit le nombre d’une des racines, s’ensuit les nombres qui sont en bas de chaque colonne 10.30.50.70.90.110.130.150.170.190. et sur chacune des vingt autres espaces de chaque colonne est Ecrit un nombre quarré, et a côté du cylindre, on voit vingt chiffres, 1.2.3.4.5.6.7.8.9.10.1.2.3.4.5.6.7.8.9.10. qui sont sur les vingt éspaces qui repondent au 20. quarré de chaque colonne, chacun desquels étant joint au nombre, qui est au bas de la colonne fait la racine du quarré qui est un cylindre sur l’espace dudit chifre.

Pour cette disposition on peut voir clairement que l’usage du cylindre, est de donner en même temps la racine et le quarré de tout nombre proposé depuis 121. et au dessus jusqu’a 44100 !!

Par exemple on propose 5674. pour en extraire la racine quarrée, on choisira une des colonnes, qui en en ce lieu est celle du 70. sur laquelle on cherchera le quarrée qui sera égal a la somme proposée, ou le plus prochain moindre qui est 5625. ; a coté de ce quarrée, est le chifre 5. qu’il faut joindre au 70. qui est au bas de la colonne, font 75. et c’est la racine du nombre proposée.

La somme surpassant le quarré, on demande qu’elle en peut être la fraction pour repondre a la question il faut soustraire le quarré qui est 5625. de la somme 5674. et la fraction sera 49. mais si on vouloit rendre la somme parfaitement quarrée, il faudroit prendre le quarrée plus haut d’une unité qui est 5776. et le 6. qui se trouve a côté sur le même éspace, étant joint au 70. de la colonne sera 76. et c’est la racine.

Que si l’on vouloit simplement scavoir ce qu’il faudroit ajouter a a la somme pour la rendre quarrée, il ne faut que soustraire la somme 5674. du quarrée 5776. le reste sera 102, qui est ce qu’il faudroit ajouter.

L’extraction de la racine Cubique

Se fait au cylindre qui suit celuy du quarrée ; il est divisé en huit colonnes et donne en même temps la racine et le cube de tous nombre proposé ce puis 1331. et au dessus, jusques a 4913000. quand au reste la maniére de s'en servir est entierement semblable a celle des quarrées ; c'est pourquoy ce qui a été dit des quarrées, servira pour l'entiére intelligence des cubes.

Soustraction en fractions

Seconde Regle.

Pour soustraire une fraction d'une autre fraction, il faut qu'elle soient en même domination, sinon il faut les y reduire. Etant de même denomination, on soustroira le numerateur de la petite fraction dudit numerateur de la grande fraction ; et on fera paroître le reste au second rang des roües du couvercle, et le dominateur aux roües qui sont au dessous.

Pour exemple on veut ôter ${\frac {3}{4}}$ de ${\frac {8}{9}}$ , il faut faire paroitre la fraction ${\frac {8}{9}}$ aux susdits rangs des roües, aux deux roües des nombres, et la fraction ${\frac {3}{4}}$ au même rang des deux roües qui sont aux dixaines : apres on multiplie en croix les dominateurs par les numerateurs des fractions ${\frac {3}{4}}$ , ${\frac {8}{9}}$ : disant 8 fois 4 font 32. qui je fais paroitre au premier rang des roües au dessus des numerateurs : apres je dit 3 fois 9. font 27. qui est la part que je soustrais des 32. cy dessus qu’on doit, qui paroissent au bord du couvercle ; il reste 5. a payeer : et pour avoir le nominateur commun aux deux fractions cy dessus dont la soustraction est deja faite, il faut multiplier les deux denominateurs l’un par l’autre ; disant 4. fois 9. font 36. qu’on fera paroître dessous le 5. et le reste fera ${\frac {5}{36}}$ .

Multiplication en fractions

Troisieme Regle

Etant donné deux fractions a multiplier l’une par l’autre, trouvez le produit.

Pour multiplier deux fractions, il n’est pas necessaire quelles soyent de même denomination, ni de soy, ny par réduction. Par exemple si on veut multiplier ${\frac {2}{3}}$ par ${\frac {3}{4}}$ il faut seulement multiplier les deux numerateurs, 2 et 3. l’un par l’autre, le produit est 6. qu’on fera paroître a la roües des nombres, qui est au bord du couvercle pour numerateur : il faut aussi multiplier les deux denominateurs 3 e 4. l’un par l’autre ; le produit est 12. qu’on posera au dessous pour denominateur et cette fraction ${\frac {6}{12}}$ ou ${\frac {1}{2}}$ sera le produit de la multiplication, ainsi des autres.

Division en fractions

Quatrième Regle

Etant donné deux fractions a diviser l’une par l’autre, auparavant que de passer a la division des fractions, il faut que les fractions proposées soient en même denomination ou d’elles même, ou par reduction supposez que les fractions soient en même denomination, il faut diviser seulement le numerateur du dividende 2e cahierpar le numerateur du diviseur, laissant lesdits denominateurs inutiles, le quotient donnera le requis.

Exemple

On veut diviser ${\frac {6}{7}}$ par ${\frac {2}{7}}$ il faut considerer que les fractions étant de même denomination comme ${\frac {6}{7}}$ et ${\frac {2}{7}}$ il faut diviser seulement le numerateur 6. par le numerateur 2. et il viendera 3. au quotient c’est a dire ${\frac {3}{7}}$ .

Mais si on veut diviser ${\frac {2}{7}}$ par ${\frac {6}{7}}$ il faut rendre le 2 de la fraction ${\frac {2}{7}}$ numerateur au respect du 6. de la fraction ${\frac {6}{7}}$ qui sera réciproquement le denominateur du 2. de la susdite fraction ${\frac {2}{7}}$ : tellement que la division de ${\frac {2}{7}}$ par ${\frac {6}{7}}$ sera ${\frac {2}{6}}$ de Septième ou ${\frac {1}{3}}$ de Septième.

Regle de l’extraction de la racine cubique

1. Regle

D’autant qu’on cherche les trois dimensions egales du cube, et que troïs degrez ne peuvent contenier aucun cube dont la racine prise en nombres entiers ne soit d’une seule figure ; vous separerez le nombre proposé de 3. figures en 3. figures, commençant au premier degré ; Ensuitte vous prendrez la racine cubique de la tranche des premieres figures, laquelle etant écritte au quotient et au diviseur ; vous ôterez son cube du nombre de cette branche, et vous Ecrirez le reste dessous avec lequel vous descendrée la branche suivante pour avoir un divisé particulier.

2^e. Regle.

Pour trouver le diviseur qui doit diviser ce divisé particulier, écrivé a part la racine trouvée avec un 0 a sa suitte, lequel 0 tiendra le lieu de la figure future. Or jappelle cette racine ainsi augmentée de 0, le vieil quotient.

Le triple de son quarré avec le triple du vieil quotient, est le diviseur demandé, pour lequel vous diviserez le divisé particulier, et vous écrirée a la racine, la figure qui vient de cette division.

3^e. Regle.

Pour trouver le nombre a soustraire, il faut prendre trois choses. 1.^e le produit du triple du quarré du vieil quotient multiplié par la figure écrite a la racine. 2^e. Le produit du triple du vieil quotient, multiplié par le quarré de cette derniere figure ecritte a la racine. 3^e. Il faut ajouter le cube de cette derniére figure de la racine, aux deux produits précédents, et ôter leur somme du divisé particulier, et écrire le reste dessous.

4.^me Regle.

S’il y a encore quelques tranches, descendez la suivante avec ce reste, pour avoir un autre divisé particulier, et écrivée a part, toute la racine trouvée avec le 0 a sa suitte ; ce sera le vieil quotient avec lequel vous trouverée un nouveau diviseur, pour diviser le divisée particulier, puis vous trouverée ensuitte le nombre a soustraire, et le reste, comme il est montré a la 2.^e et 3.^e regle alors l’extraction sera faitte, si vous avée ainsi continué jusque a la derniére tranche.

Sil reste quelques nombre après l’extraction faitte, le nombre proposé n’est pas la juste puissance d’un nombre entier ; c’est pourquoy il faudra augmenter sa racine de quelques fraction, la quelle bien souvent ne peut-être précise ; c'est pourquoi il suffit de la prendre la plus approchante du juste qu'il est possible. Exemple de la Racine cubique de 34012224

Racine quarré Sur la Machine.

Racine quarrée sur la Machine

Operation

Il faut premierement poser la lame S. laquelle doit toujours demeurer jusqu'à la fin de l'operation.

Ensuite de quoy il faut poser la Lame 2 a droite de la Lame S et chercher dessus un nombre égal au nombre A, ou qui soit le plus prés au dessous.

D est le nombre qui approche le plus prés dA au dessous.

E est le nombre de la Lame S qui repond à D.

D doit être osté dA

F est ce qui reste, a quoy on ajoute le nombre B

G est 2 E qu'il faut marquer avec les Lames M en sorte que la premiere lame a gauche ait I en tête ; et la seconde, 4 aux côtés des Lames M doivent être mises a droite ？ la lame Q. et a gauche la lame S. - puis sur la lame Q. et sur les autres lames SM. doit être cherché un nombre égal au nombre F. ou qui soit le plus prés au dessous.

H est le nombre qui approche le plus prés de F. au dessous.

I. est le nombre de la lame S. qui repond a H.

H. doit être ôté de F.

L. est ce qui reste. aquoy on ajoute le nombre C.

Les autres opperations se font de même que celle cy : en observant seulement qu'au lieu de l'E, qui a êté pris seul dans l'operation précédente, il faudra prendre tout ensemble l'E et tous les autres nombres qui se trouveront directement au dessous ; et operer comme on a fait avec l'E. seul ; de la maniére qui suit.

M. est 2 B, I. quil faut marquer sur les lames M. aux côtés desquelles doivent être posées la lame S. et la lame Q. comme il a été deja dit.

N. est le nombre cherché sur les lames M et Q qui approche le plus prés de L.

O. est le nombre de la lame S. qui répond a N.

N. doit être ôté de L.

P. est ce qui reste.

E I, O, c'est a dire 753. est la Racine quarrée

La preuve se fait de même qu'en la maniere ordinaire.

Les mêmes observations ont aussi lieu.

Explication

A,B,C Nombre dont on veut chercher la racine ~~quarrée~~ Cubique, distingué de trois en trois figures, en commençant de C vers A quelque nombre de figurer que puisse avoir la derniere division A.

D. est cub. d'A

E est D cub. qu'il faut Soustraire d'A

F est le reste a quoi on ajoute le nombre B

G est 3 D quarré

H est 3 D

I est le produit de G.H

L est le quotient de F dont le diviseur est I. -on ne compte pas la derniere figure de F

M est 3 D qua. in L

N est 3 D in L qua.

O est L cub.

M,N,O doivent être soustraits de F.

P est ce qui reste a quoy on on ajoute le nombre C.

Q est 3 D,L qua.

R est 3 D,L

S est le produit de Q,R

T est le quotient de P dont le diviseur est S.- la derniere figure de P n'est pas comptée.

V est 3 DL, qua in T

x est 3 D L in T qua.

Y est T cub.

V, X, y doivent être soustrais de P Z est ce qui reste

Ainsi l'opération est faite dans la quelle D,L,T c'est à dire 468 est la Racine cubique du nombre A,B,C lequel n'étant pas un nombre cubique il reste le nombre Z c'est a dire 10.

Preuve

AA Rac. cub. multipliée pour elle même

B le produit

B,C le même produit multiplié par la racine cubique (ou, A qua. in. A)

D le nombre resté qu'on ajoute a cette derniere multiplication

E le produit : lequel doit être égal un nombre dont on a cherché la Racine Cubique si l'operation est bonne.

Observation

Les deux observations qui ont été marquée pour la Racine quarrée ont aussi lieu dans la Racine Cubique : et il les y faut garder tout de même.

Racine Cubique sur la Machine

FR-631136102 MS 1522 Usage de la machine (page 93 crop)

Lame, sur laquelle sont décrite les 9 premiers nombres Cubiques ; et qui Sera appellée Lame C c'est a dire Lame Cubique, pour la distinguer des autres, dont les differents noms ont été marqués en partant de la Racine quarrée.

Il faut observer que lors qu'il Se rencontre deux chiffres dans le dernier triangle, il ne faut pas le joindre ensemble ; mais les compter Separement en Sorte que le dernier doit être pris pour des nombres Simples, c'est a dire des unitez , et le penultiéme, pour des dixaines.

Operation

Il faut premierement poser la Lame S la quelle doit

aussi toujours de mesurer jusqu'a la fin de l'operation, comme en la Racine quarrée. Il faut ensuite pour la lame C. a droite de la lame S. et chercher dessus un nombre égal au nombre A. ou le plus prés au dessous.

D. est le nombre qui aproche le plus prés d'A. au dessous

E. est le nombre de la lame S. qui repond a D.

D. doit être ôté d'A.

F. est ce qui reste a quoy on ajoute le nombre B.

G. est 3 E qua. qu'il faut marquer avec les lames M. - aux côtez des quelles sera mise la lame C. a droite ; et la lame S. a gauche. - puis sur la lame C. et sur les autres lames M. doit être cherché un nombre égal au nombre F. ou qui soit le plus prés au dessous.

H. est le nombre qui aproche le plus prés de F. au dessous

I. est le chiffre de la lame S. qui repond au nombre précédent.

L. est I qua. qui se met a gauche de I. de la maniere qu'il est posée dans cet éxemple.

M. est 3 E. qu'il faut marquer avec les lames M. les posant a droite de la lame C.

N. est un nombre prés sur les lames M. qui sont à droite de la lame C. dans la rangée qui est vis a vis du 9. de la lame S. lequel nombre de 9. est determiné par le dernier chiffre de L. qui est 9. en cette rencontre.

O. est aussi un nombre prés sur les mêmes lames M. dans la rangée qui est vis a vis du 4 de la lame S. le quel nombre de 4. est encore determiné par le premier chiffre de L. qui est 4.

P. est le produit de H, N, O. qu'il faudrait ôter de F mais parce qu'il est plus grand que F. il faut prendre un autre

nombre au dessous de H. sur les mêmes lames, scavoir, 29016. aussi marquée H. Puis refaire les memes operations dont la maniere a desja esté expliqué pour H, I, L. M. N. O P. aprés quoy ayant trouvée P. qui est moindre que F. — le placer sous F. pour en être soustrait.

Q. est le chiffre de la lame S. qui répond a la rangée du nombre H.

Sur les lames M. et C. ou ledit nombre a été pris. Il faut remarquer que ce Q. est un autre chiffre de la Rac. Cub. que l’on cherche ; le quel doit être joint avec E.

R. est ce qui reste de F. aprés que P. en a été soustrait.

Voila tout ce qu’il y a de particulier. Si l’on veut continuer l’operation il faut ajouter au nombre R. le nombre C. (c’est a dire, 243.) et operer tout de même. En observant seulement qu’au lieu de l’E. qui a été pris seul dans l’operation précédente ; il faut prendre maintenant l’E. et le Q. tout ensemble ; et operer comme l’on a fait avec l’E. seul.

La preuve se fait de même qu’en la maniere ordinaire.

Les mêmes observations ont enfin lieu.

Racine quarrée

Explication

A,B,C Nombre dont on veut souvent chercher la Racine quarrée distinguées de deux en deux figures, en commençant de C. vers A. Il n'importe que la derniere division A. Soit d'une, ou de deux figures.

D est Rac. qua. dA.

E. est D qua. qu'il faut Soustraire dA.

F. est de qui reste de la soustraction a quoy on ajoute le nombre B;

G. est 2 D

H.' est le quotient de F dont le diviseur est G. On ne compte pas la derniere figure de F.

I. est G in H

L. est H qua.

I;L. doivent etre Soustrait de F

M. est ce qui reste. au quoy on ajoute le nombre C.

N. est 2 D,H

O. est le quotient de M. dont le diviseur est N. On ne compte pas la derniere figure de M.

P. est N in O.

Q. est O. qua.

P, Q. doivent être soustraits de M.

R. est ce qui reste

Ainsi loperation est faite : dans laquelle D,H,O c'est a dire

753 est la Rac. qua. du nombre A, B,C. lequel n'étoient pas un nombre quarrée ; il reste le nombre R c'est à dire 40.

Preuve

A, A. Rac. qua. multipliée pour elle-même.

B.. nombre resté qu'on ajoute à cette multiplication.

C. Le produit lequel doit être égal au nombre dont on a cherché la Racine quarré, si l'opération est bonne.

Observation

I. Si le nombre dont on cherche la Racine, étoit plus grand que celui-cy qui suit d'exemple : il faudrait operer sur les nombres suivans, de la même maniére qu'on a fait sur les nombres B, A C pour en tirer H, A O de la racine quarrée.

2° S'il arrive qu'ayant trouvée un diviseur, tel que sont G et N dans l'exemple proposée, le diviseur est plus grand que le nombre dont on recherche le quotient : alors il faut mettre un zero pour la Racine qua. Et s'il reste encore quelque nombre sur lequel on n'ait pas opéré ; l'on continura l'opération en lamaniere mentionée.