Œuvres de Descartes/Édition Adam et Tannery/Tome 6/Texte entier

René Descartes : Œuvres de Descartes, éd. Adam et Tannery, Tome 6

ŒUVRES

DE

DESCARTES

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DISCOURS DE LA MÉTHODE & ESSAIS

VI

M. Darboux, de l’Académie des Sciences, doyen de la Faculté

des Sciences de l’Université de Paris, et M. Boutroux, de l’Académie des Sciences Morales et Politiques, professeur d’histoire de la philosophie moderne à la Sorbonne, ont suivi l’impression de cette publication en qualité de commissaires responsables.

ŒUVRES
DE
DESCARTES

PUBLIÉES
PAR
Charles ADAM & Paul TANNERY
SOUS LES AUSPICES
DU MINISTÈRE DE L’INSTRUCTION PUBLIQUE

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DISCOURS DE LA MÉTHODE & ESSAIS
VI

PARIS
LÉOPOLD CERF, IMPRIMEUR-ÉDITEUR
12, RUE SAINTE-ANNE, 12
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1902

Page:Descartes - Œuvres, éd. Adam et Tannery, VI.djvu/13 Page:Descartes - Œuvres, éd. Adam et Tannery, VI.djvu/14 Avertissement. VII

indique pour distinguer ses corrections, à savoir la liberté prise par rapport au texte de 1637, est évidemment insuffisant pour discerner sûrement les retouches de détail, lorsque l’au- teur n’a cherché, par le choix d’une expression, qu’à préciser un peu mieux sa pensée. Dans ces conditions, on doit dire que, pour s’assurer si Descartes, pour tel passage des Essais que l’on veut approfondir, n’a pas eu un repentir avant 1644, il faut toujours confronter avec soin le texte des Specimina. Nous avons donc jugé nécessaire de le donner intégralement, en petits caractères ; la seule indication des divergences, en notes sur le texte français, eût entraîné, soit une minutie excessive, soit des exclusions arbitraires; d’autre part, la fréquence, dans la littérature philosophique, des renvois au texte des Specimina rendait désirable la réédition de ce texte. Quant aux nombreuses éditions du premier ouvrage de Descartes, qui ont suivi sa mort, nous n’avions pas à en tenir compte, notre plan étant limité à la reproduction des éditions originales. Mais nous donnons celles-ci complètement, du titre aux tabies des matières et aux privilèges. Exception n’a été faite que pour les errata, que nous avons naturellement corri- gés en leur lieu. Les dispositions typographiques convenables ont été prises pour indiquer le commencement et la fin de chaque page des éditions originales et pour établir la correspondance entre les pages de cette édition pour le texte français et pour le texte latin Il nous reste à dire quelques mots sur les principes que nous avons suivis pour l’orthographe, en particulier pour celle du texte français, qui seule peut faire question. Les Remarques sur l’orthographe de Descartes, insérées pages lxxix-cv du Tome I de la Correspondance, nous dispensent de nouveaux développements sur ce sujet , mais nous avons à justifier les écarts apparents à l’annonce qui y a été faite que . Pour le texte français, les numéros des pages originales figurent sur la ligne du titre courant ; pour le texte latin, voir la note delà page 540. Œuvres. I. b Page:Descartes - Œuvres, éd. Adam et Tannery, VI.djvu/16 Page:Descartes - Œuvres, éd. Adam et Tannery, VI.djvu/17 Page:Descartes - Œuvres, éd. Adam et Tannery, VI.djvu/18 Page:Descartes - Œuvres, éd. Adam et Tannery, VI.djvu/19 Page:Descartes - Œuvres, éd. Adam et Tannery, VI.djvu/20

DISCOURS
DE LA METHODE
Pour bien conduire sa raison, & chercher
la verité dans les sciences.
Plus
LA DIOPTRIQVE.
LES METEORES.
ET
LA GEOMETRIE.
Qui sont des effais de cette Methode.

à Leyde
De l’Imprimerie de Ian Maire.
CIƆ IƆ C XXXVII.
Avec Priuilege.

DISCOURS

DE LA METHODE

POUR BIEN CONDUIRE SA RAISON ET CHERCHER
LA VERITÉ DANS LES SCIENCES

Si ce diſcours ſemble trop long pour eſtre tout leu en vne fois, on le pourra diſtinguer en ſix parties. Et, en la premiere, on trouuera diuerſes conſiderations touchant les ſciences. En la ſeconde, les principales regles de la Methode que l’Autheur a cherchée. En la 3, quelques vnes de celles de la Morale qu’il a tirée de cete Methode. En la 4, les raiſons par leſquelles il prouue l’exiſtence de Dieu & de l’ame humaine, qui ſont les fondemens de ſa Metaphyſique. En la 5, l’ordre des queſtions de Phyſique qu’il a cherchées & de particulierement l’explication du mouuement du cœur & de quelques autres difficultez qui appartienent a la Medecine, puis auſſy la difference qui eſt entre noſtre ame & celle des beſtes. Et en la derniere, quelles choſes il croit eſtre requiſes pour aller plus auant en la recherche de la Nature qu’il n’a eſté, & quelles raiſons l’ont fait eſcrire.

Premiere partie.

Le bon ſens eſt la choſe du monde la mieux partagée : car chaſcun penſe en eſtre ſi bien pouruû, que ceux mesme qui sont les plus difficiles a contenter en toute autre chose, n’ont point coustume d’en desirer plus qu’ils en ont. En quoy il n’est pas vraysemblable que tous se trompent ; mais plutost cela tesmoigne que la puissance de bien iuger, & distinguer le vray d’auec 5 le faux, qui est proprement ce qu’on nomme le bon sens ou la raison, est naturellement esgale en tous les hommes ; et ainsi que la diuersité de nos opinions ne vient pas de ce que les vns sont plus raisonnables que les | autres, mais seulement de ce que nous condui- 10 sons nos pensées par diuerses voyes, & ne considerons pas les mesmes choses. Car ce n’est pas assez d’auoir l’esprit bon, mais le principal est de l’appliquer bien. Les plus grandes ames sont capables des plus grans vices, aussy bien que des plus grandes vertus ; et ceux 15 qui ne marchent que fort lentement, peuuent auancer beaucoup dauantage, s’ils suiuent tousiours le droit chemin, que ne sont ceux qui courent, & qui s’en esloignent.

Pour moy, ie n’ay iamais presumé que mon esprit 20 fust en rien plus parfait que ceux du commun ; mesme i’ay souuent souhaité d’auoir la pensée aussy prompte, ou l’imagination aussy nette & distincte, ou la me- moire aussy ample, ou aussy presente, que quelques autres. Et ie ne sçache point de qualitez que celles 25 cy, qui seruent a la perfection de l’esprit : car pour la raison, ou le sens, d’autant qu’elle est la seule chose qui nous rend hommes, & nous distingue des bestes, ie veux croyre qu’elle est toute entiere en vn chascun, & suiure en cecy l’opinion commune des Philosophes, 30 qui disent qu’il n’y a du plus & du moins qu’entre les accidens, & non point entre les formes, ou natures, des indiuidus d’vne mesme espece.

Mais ie ne craindray pas de dire que ie pense auoir eu beaucoup d’heur, de m’estre rencontré dés ma ieunesse en certains chemins, qui m’ont conduit a des considerations & des maximes, dont i’ay formé vne Methode, par laquelle il me semble que i’ay moyen d’augmenter par degrez ma connoissance, & de l’esleuer peu a peu au plus haut point, auquel la mediocrité de mon esprit & la courte durée de ma vie luy pourront permettre d’atteindre. Car i’en ay desia recueilly de tels fruits, qu’encore qu’aux iugemens que ie fais de moymesme, ie tasche tousiours de pencher vers le costé de la defiance ; plutost que vers celuy de la presomption ; & que, regardant d’vn Ïil de Philosophe les diuerses actions & entreprises de tous les hommes, il n’y en ait quasi aucune qui ne me semble vaine & inutile ; ie ne laisse pas de receuoir vne extreme satisfaction du progrés que ie pense auoir desia fait en la recherche de la verité, & de conceuoir de telles esperances pour l’auenir, que si, entre les occupations des hommes purement hommes, il y en a quelqu’vne qui soit solidement bonne & importante, i’ose croyre que c’est celle que i’ay choisie.

Toutefois il se peut faire que ie me trompe, & ce n’est peutestre qu’vn peu de cuiure & de verre que ie prens pour de l’or & des diamans. Ie sçay combien nous sommes suiets a nous méprendre en ce qui nous touche, & combien aussy les iugemens de nos amis nous doiuent estre suspects, lorsqu’ils sont en nostre faueur. Mais ie seray bien ayse de faire voir, en ce discours, quels sont les chemins que i’ay suiuis, & d’y representer ma vie comme en vn tableau, affin que chascun en puisse iuger, & qu’apprenant du bruit commun les opinions qu’on en aura) ce soit vn nouueau moyen de m’instruire, que i’adiousteray a ceux dont i’ay coustume de me seruir.

Ainsi mon dessein n’est pas d’enseigner icy la Methode que chascun doit suiure pour bien conduire sa raison, mais seulement de faire voir en quelle sorte i’ay tasché de conduire la miene. Ceux qui se meslent de donner des preceptes, se doiuent estimer plus habiles que ceux ausquels ils les donnent ; & s’ils manquent en la moindre chose, ils en sont blasmables. Mais, ne proposant cet escrit que comme vne histoire, ou, si vous l’aymez mieux, que comme vne fable, en laquelle, parmi quelques exemples qu’on peut imiter, on en trouuera peutestre aussy plusieurs autres qu’on aura raison de ne pas suiure, i’espere qu’il sera vtile a quelques vns, sans estre nuisible a personne, & que tous me sçauront glé de ma flanchise.

I’ay esté nourri aux lettres dés mon enfance, & pource qu’on me persuadoit que, par leur moyen, on pouuoit acquerir vne connoissance claire & assurée de tout ce qui est vtile a la vie, i’aurois vn extreme desir de les apprendre. Mais sitost que i’eu acheué tout ce cours d’etudes, au bout duquel on a coustume d’estre receu au rang des doctes, ie changeay entierement d’opinion. Car ie me trouuois embarassé de tant de doutes & d’erreurs, qu’il me sembloit n’auoir fait autre profit, en taschant de m’instruire, sinon que i’auois découuert de plus en plus mon ignorance. Et neanmoins i’estois en l’vne des plus celebres escholes de l’Europe, où ie pensois qu’il deuoit y auoir de sçauans hommes, s’il y en auoit en aucun endroit de la terre. I’y auois appris tout ce que les autres y apprenoient ; & mesme, ne m’estant pas contenté des sciences qu’on nous enseignoit, i’auois parcouru tous les liures, traitans de celles qu’on estime les plus curieuses & les plus rares, qui auoient pû tomber entre mes mains. Auec cela, ie sçauois les iugemens que les autres faisoient de moy ; & ie ne voyois point qu’on mestimast inferieur a mes condisciples, bien qu’il y en eust desia entre eux quelques vns, qu’on destinoit a remplir les places de nos maistres. Et enfin nostre siecle me sembloit aussy fleurissant, & aussy fertile en bons esprits, qu’ait esté aucun des precedens. Ce qui me faisoit prendre la liberté de iuger par moy de tous les autres, & de penser qu’il n’y auoit aucune doctrine dans le monde, qui fust telle qu’on m’auoit auparauant fait esperer.

Ie ne laissois pas toutefois d’estimer les exercices, ausquels on s’occupe dans les escholes. Ie sçauois que les langues qu’on y apprent sont necessaires pour l’intelligence des liures anciens ; que la gentillesse des fables resueille l’esprit ; que les actions memorables des histoires le releuent, & qu’estant leués auec discretion, elles aydent a former le iugement ; que la lecture de tous les bons liures est comme vne conuersation auec les plus honnestes gens des siecles passez, qui en ont esté les autheurs, & mesme vne conuersation estudiée, en laquelle ils ne nous découurent que les meilleures de leurs pensées ; que l’Eloquence a des forces & des beautez incomparables ; que la Poësie a des delicatesses & des douceurs tres rauissantes ; que les Mathematiques ont des inuentions tres subtiles, & qui peuuent beaucoup seruir, tant a contenter les curieux, qu’a faciliter tous les arts, & diminuer le trauail des hommes ; que les escris qui traitent des meurs contienent plusieurs enseignemens, & plusieurs exhortations a la vertu qui sont fort vtiles ; que la Theologie enseigne a gaigner le ciel ; que la Philosophie donne moyen de parler vraysemblablement de toutes choses, & se faire admirer des moins sçauans ; que la Iurisprudence, la Medecine & les autres sciences apportent des honneurs & des richesses a ceux qui les cultiuent ; et enfin, qu’il est bon de les auoir toutes examinées, mesme les plus superstitieuses & les plus fausses, affin de connoistre leur iuste valeur, & se garder d’en estre trompé.

Mais ie croyois auoir desia donné assez de tems aux langues, & mesme aussy a la lecture des liures anciens, & a leurs histoires, & a leurs fables. Car c’est quasi le mesme de conuerser auec ceux des autres siecles, que de voyasger. Il est bon de sçauoir quelque chose des meurs de diuers peuples, affin de iuger des nostres plus sainement, & que nous ne pensions pas que tout ce qui est contre nos modes soit ridicule, & contre raison, ainsi qu’ont coustume de faire ceux qui n’ont rien vû. Mais lorsqu’on employe trop de tems a voyasger, on deuient enfin estranger en son païs ; & lorsqu’on est trop curieux des choses qui se pratiquoient aux siecles passez, on demeure ordinairement fort ignorant de celles qui se pratiquent en cetuycy. Outre que les fables font imaginer plusieurs euenemens comme possibles qui ne le sont point ; et que mesme les histoires les plus fideles, si elles ne changent ny n’augmentent la valeur des choses, pour les rendre plus dignes d’estre leuës, au moins en omettent elles presque tousiours les plus basses & moins illustres circonstances : d’où vient que le reste ne paroist pas tel qu’il est, & que ceux qui reglent leurs meurs par les exemples qu’ils en tirent, sont suiets a tomber dans les extrauagances des Paladins de nos romans, & a conceuoir des desseins qui passent leurs forces.

I’estimois fort l’Eloquence, & i’estois amoureux de la Poësie ; mais ie pensois que l’vne & l’autre estoient des dons de l’esprit, plutost que des fruits de l’estude. Ceux qui ont le raisonnement le plus fort, & qui digerent le mieux leurs pensées, affin de les rendre claires & intelligibles, peuuent tousiours le mieux persuader ce qu’ils proposent, encore qu’ils ne parlassent que bas Breton, & qu’ils n’eussent iamais apris de Rhetorique. Et ceux qui ont les inuentions les plus agreables, & qui les sçauent exprimer auec le plus d’ornement & de douceur, ne lairroient pas d’estre les meilleurs Poëtes, encore que l’art Poëtique leur fust inconnu.

Ie me plaisois surtout aux Mathematiques, a cause de la certitude & de l’euidence de leurs raisons ; mais ie ne remarquois point encore leur vray vsage, & pensant qu’elles ne seruoient qu’aux Arts Mechaniques, ie m’estonnois de ce que, leurs fondemens estans si fermes & si solides, on n’auoit rien basti dessus de plus releué. Comme, au contraire, ie comparois les escris des anciens payens, qui traitent des meurs, a des palais fort superbes & fort magnifiques, qui n’estoient bastis que sur du sable & sur de la bouë. Ils esleuent fort haut les vertus, & les font paroistre estimables par dessus toutes les choses qui sont au monde ; mais ils n’enseignent pas assez a les connoistre, & souuent ce qu’ils appelent d’vn si beau nom, n’est qu’vne insensibilité, ou vn orgueil, ou vn desespoir, ou vn parricide.

Ie reuerois nostre Theologie, & pretendois, autant qu’aucun autre, a gaigner le ciel ; mais ayant appris, comme chose tres assurée, que le chemin n’en est pas moins ouuert aux plus ignorans qu’aux plus doctes, que les veritez reuelées, qui y conduisent, sont au dessus de nostre intelligence, ie n’eusse osé les soumettre a la foiblesse de mes raisonnemens, & ie pensois que, pour entreprendre de les examiner & y reussir, il estoit besoin d’auoir quelque extraordinaire assistence du ciel, & d’estre plus qu’homme.

Ie ne diray rien de la Philosophie, sinon que, voyant qu’elle a esté cultiuée par les plus excellens esprits qui ayent vescu depuis plusieurs siecles, & que neanmoms il ne s’y trouue encore aucune chose dont on ne dispute, & par consequent qui ne soit douteuse, ie n’auois point assés de presomption pour esperer d’y rencontrer mieux que les autres ; et que, considerant combien il peut y auoir de diuerses opinions, touchant vne mesme matiere, qui soient soustenuës par des gens doctes, sans qu’il y en puisse auoir iamais plus d’vne seule qui soit vraye, ie reputois presque pour faux tout ce qui n’estoit que vraysemblable.

Puis, pour les autres sciences, d’autant qu’elles empruntent leurs principes de la Philosophie, ie iugeois qu’on ne pouuoit auoir rien basti, qui fust solide, sur des fondemens si peu fermes. Et ny l’honneur, ny le gain qu’elles promettent, n’estoient suffisans pour me conuier a les apprendre ; car ie ne me sentois point, graces a Dieu, de condition qui m’obligeast a faire vn mestier de la science, pour le soulagement de ma fortune ; et quoy que ie ne fisse pas profession de mespriser la gloire en Cynique, ie faisois neanmoins fort peu d’estat de celle que ie n’esperois point pouuoir acquerir qu’a faux titres. Et enfin, pour les mauuaises doctrines, ie pensois desia connoistre assés ce qu’elles valoient, pour n’estre plus suiet a estre trompé, ny par les promesses d’vn Alchemiste, ni par les predictions d’vn Astrologue, ny par les impostures d’vn Magicien, ny par les artifices ou la venterie d’aucun de ceux qui font profession de sçauoir plus qu’ils ne sçauent.

C’est pourquoy, sitost que l’aage me permit de sortir de la suietion de mes Precepteurs, ie quittay entierement l’estude des lettres. Et me resoluant de ne chercher plus d’autre science, que celle qui se pourroit trouuer en moymesme, ou bien dans le grand liure du monde, i’employay le reste de ma ieunesse voyasger, a voir des cours & des armées, a frequenter des gens de diuerses humeurs & conditions, a recueillir diuerses experiences, a m’esprouuer moymesme dans les rencontres que la fortune me proposoit, & partout a faire telle reflexion sur les choses qui se presentoient, que i’en pûsse tirer quelque profit. Car il me sembloit que ie pourrois rencontrer beaucoup plus de verité, dans les raisonnemens que chascun fait touchant les affaires qui luy importent, & dont l’euenement le doit punir bientost aprés, s’il a mal iugé, que dans ceux que fait vn homme de lettres dans son cabinet, touchant des speculations qui ne produisent aucun effect, & qui ne luy sont d’autre consequence, sinon que peutestre il en tirera d’autant plus de vanité qu’elles seront plus eslolgnées du sens commun, a cause qu’il aura deu employer d’autant plus d’esprit & d’artifice a tascher de les rendre vraysemblables. Et i’auois tousiours vn extreme desir d’apprendre a distinguer le vray d’auec le faux, pour voir clair en mes actions, | & marcher auec assurance en cete vie.

Il est vray que, pendant que ie ne faisois que considerer les meurs des autres hommes, ie n’y trouuois gueres de quoy m’assurer, & que i’y remarquois quasi autant de diuersité que i’auois fait auparauant entre les opinions des Philosophes. En sorte que le plus grand profit que i’en retirois, estoit que, voyant plusieurs choses qui, bien qu’elles nous semblent fort extrauagantes & ridicules, ne laissent pas d’estre communement receuës & approuuées par d’autres grans peuples, i’apprenois a ne rien croyre trop fermement de ce qui ne m’auoit esté persuadé que par l’exemple & par la coustume ; et ainsi ie me deliurois peu a peu de beaucoup d’erreurs, qui peuuent offusquer nostre lumiere naturelle, & nous rendre moins capables d’entendre raison. Mais aprés que i’eu employé quelques années a estudier ainsi dans le liure du monde, & a tascher d’acquerir quelque experience, ie pris vn iour resolution d’estudier aussy en moymesme, & d’employer toutes les forces de mon esprit a choysir les chemins que ie deuois suiure. Ce qui me reussit beaucoup mieux, ce me semble, que si je ne me fusse jamais éloigné, ni de mon pays, ni de mes livres.

LA DIOPTRIQUE

LA DIOPTRIQUE.

DISCOURS PREMIER.

DE LA LUMIÈRE.

Toute la conduite de notre vie dépend de nos sens, entre lesquels celui de la vue étant le plus universel et le plus noble, il n’y a point de doute que les inventions qui servent à augmenter sa puissance ne soient des plus utiles qui puissent être. Et il est malaisé d’en trouver aucune qui l’augmente davantage que celle de ces merveilleuses lunettes, qui, n’étant en usage que depuis peu, nous ont déjà découvert de nouveaux astres dans le ciel, et d’autres nouveaux objets dessus la terre en plus grand nombre que ne sont ceux que nous y avions vus auparavant : en sorte que, portant notre vue beaucoup plus loin que n’avait coutume d’aller l’imagination de nos pères, elles semblent nous avoir ouvert le chemin pour parvenir à une connaissance de la Nature beaucoup plus grande et plus parfaire qu’ils ne l’ont eue.

par lequel ils pénètrent plus ou moins facilement que par celui d'où ils viennent, et cette façon de se détourner s'appelle en eux réfraction

DE LA RÉFRACTION. Discours Second.

D’autant que nous aurons besoin ci-après de savoir exactement la quantité de cette réfraction, et qu’elle peut assez commodément être entendue par la comparaison dont je viens de me servir, je crois qu’il est à propos que je tache ici tout d’un train de l’expliquer, et que je parle premièrement de la réflexion, afin d’en rendre l’intelligence d’autant plus aisée. Pensons donc qu’une balle étant poussée de A vers B rencontre au point B la superficie de la terre CBE, qui, l’empêchant de passer outre, est cause qu’elle se détourne ; et voyons vers quel côté.

justement au point T ; et les autres s'en doivent écarter quelque peu tout à l'entour, ainsi que j'expli-

Fig. p. 43. Page:Descartes - Œuvres, éd. Adam et Tannery, VI.djvu/145 Page:Descartes - Œuvres, éd. Adam et Tannery, VI.djvu/146 La Dioptrique. — Discours V. 125

dément remarquer diverses particularités dont je désire ici vous avertir, afin que vous en fassiez l’ex- I26 Œuvres de Descartes.

l’expérience, si vous ne l’avez encore jamais faite. Voyez donc premièrement que, si on ne met aucun verre au-devant du trou qu’on aura fait en cette chambre, il paraîtra bien quelques images sur le linge, pourvu que le trou soit fort étroit, mais qui seront fort confuses et imparfaites, et qui le seront d’autant plus que ce trou sera moins étroit ; et qu’elles seront aussi d’autant plus grandes qu’il y aura plus de distance entre lui et le linge : en sorte que leur grandeur doit avoir à peu près même proportion avec cette distance que la grandeur des objets qui les causent avec la distance qui est entre eux et ce même trou. Comme il est évident que, si ACB est l’objet, D le trou, et EGF l’image, EG est à FD comme AB est à CD.

Puis, ayant mis un verre en forme de lentille au-devant de ce trou, considérez qu’il y a certaine distance déterminée à laquelle, tenant le linge, les images paraissent fort distinctes, et que, pour peu qu’on l’éloigné ou qu’on l’approche davantage du verre, elles commencent à l’être moins ; et que cette distance doit être mesurée par l’espace qui est, non pas entre le linge et le trou, mais entre le linge et le verre : en sorte que, si Ton met le verre un peu au-delà du trou de part ou d’autre, le linge en doit aussi être d’autant approché ou reculé ; et qu’elle dépend en partie de la figure de ce verre, et en partie aussi de l’éloignement des objets : car, en laissant l’objet en même lieu, moins les superficies Page:Descartes - Œuvres, éd. Adam et Tannery, VI.djvu/149 128 Œuvres de Descartes.

les raisons sont fort aisées à déduire de ce que j’ai dit ; et elles seront bien plus vôtres, s’il vous faut user d’un peu de réflexion pour les concevoir, que si vous les trouviez ici mieux expliquées.

Au reste, les images des objets ne se forment pas seulement ainsi au fond de l’œil, mais elles passent encore au-delà jusqu’au cerveau, comme vous entendrez facilement, si vous pensez que, par exemple, les rayons qui viennent dans l’œil de l’objet V touchent au point R l’extrémité de l’un des petits filets Page:Descartes - Œuvres, éd. Adam et Tannery, VI.djvu/151 Page:Descartes - Œuvres, éd. Adam et Tannery, VI.djvu/152 Page:Descartes - Œuvres, éd. Adam et Tannery, VI.djvu/153 Page:Descartes - Œuvres, éd. Adam et Tannery, VI.djvu/154 La Dioptrique. — Discours VI. 133

jet VXY, considérés tous ensemble, dans le fond de l’œil A que dans celui de l’œil B, toutefois pourceque ces rayons ne s’y étendent qu’en l’espace TR, qui est plus petit que n’est HI, dans lequel ils s’étendent au fond de l’œil B, ils y doivent agir avec plus de force contre chacune des extrémités du nerf optique qu’ils y touchent, ce qui est fort aisé à calculer ; car si, par exemple, l’espace HI est quadruple de TR, et qu’il contienne les extrémités de quatre mille des petits filets, du nerf optique, TR ne contiendra que celles de mille, et par conséquent chacun de ces petits filets sera mû dans le fond de l’œil A par la millième partie des forces qu’ont tous les rayons qui y entrent, jointes ensemble, et dans le fond de l’œil B par le quart de la millième partie seulement. Il faut aussi considérer qu’on ne peut discerner les parties des corps qu’on regarde qu’en tant qu’elles diffèrent en quelque façon de couleur, et que la vision distincte de ces couleurs ne dépend pas seulement de ce que tous les rayons qui viennent de chaque point de l’objet se rassemblent à peu près en autant d’autres divers points au fond de l’œil, et de ce qu’il n’en vient aucun autre d’ailleurs vers ces mêmes points, ainsi qu’il a été tantôt amplement expliqué, mais aussi de la multitude des petits filets du nerf optique qui sont en l’espace qu’occupe l’image au fond de l’œil. Car si, par exemple, l’objet VXY est Page:Descartes - Œuvres, éd. Adam et Tannery, VI.djvu/156

La Dioptrique. — Discours VI. 135

stituée de la nature pour faire non seulement que l’âme connaisse en quel endroit est chaque partie du corps qu’elle anime au respect de toutes les autres, mais aussi qu’elle puisse transférer de là son attention à tous les lieux contenus dans les lignes droites qu’on peut imaginer être tirées de l’extrémité de chacune de ces parties et prolongées à l’infini.

Comme lorsque l'aveugle, dont nous avons déjà tant parlé ci-dessus, tourne sa main A vers E, ou C aussi vers E, les nerfs insérés en cette main causent un certain changement en son cerveau qui donne moyen à son âme de connaître non seulement le lieu A ou C, mais aussi tous les autres qui sont en la ligne droite AE ou CE, en sorte qu’elle peut porter son attention jusqu’aux objets B et D, et déterminer les lieux où ils sont, sans connaître pour cela ni penser aucunement à ceux où sont ses deux mains. Et ainsi, lorsque notre œil ou notre tête se tourne vers quelque côté, notre âme, en est avertie par le changement que les nerfs, insérés dans les muscles qui servent à ces mouvements, causent en notre cerveau.

Comme ici, en l’œil RST[18], il faut penser que la situation du petit filet du nerf optique, qui est au point R, ou S, ou T, est suivie d’une autre certaine situation de la partie du cerveau 7, ou 8, ou 9, qui fait que l’âme peut connaître tous les lieux qui sont en la ligne RV, ou SX, ou TY ; de façon que vous ne devez pas trouver étrange que les objets puissent être vus en leur vraie situation, 136 Œuvres de Descartes.

nonobstant que la peinture qu’ils impriment

dans l’œil en ait une toute contraire : ainsi que notre aveugle peut sentir en même temps l’objet B, qui est à droite, par l’entremise de sa main gauche ; et D, qui est à gauche, par l’entremise de sa main droite. Et, comme cet aveugle ne juge point qu’un corps soit double, encore qu’il le touche de ses deux mains, ainsi, lorsque nos yeux sont tous deux disposés en la Page:Descartes - Œuvres, éd. Adam et Tannery, VI.djvu/159 Page:Descartes - Œuvres, éd. Adam et Tannery, VI.djvu/160

La Dioptrique. — Discours VI. 130

prement à voir, mais à imaginer sa distance. Comme,

Figure p.61

regardant de loin quelque corps que nous avons ac- Page:Descartes - Œuvres, éd. Adam et Tannery, VI.djvu/162 Page:Descartes - Œuvres, éd. Adam et Tannery, VI.djvu/163

142 OEuvres de Descartes. 63-64

en même temps en leurs vrais lieux par l’entremise de l’autre œil RST, ils sembleront doubles. En même façon que, touchant la petite boule G des deux doigts A et D croisés l’un sur l’autre, on en pense toucher deux, à cause que, pendant que ces doigts se retiennent l’un l’autre ainsi croisés, les muscles de chacun d’eux tendent à les écarter, A vers C et D vers F, au moyen de quoi les parties du cerveau, d’où viennent les nerfs qui sont insérés en ces muscles, se trouvent disposées en la façon qui est requise pour faire qu’ils semblent être A vers B et D vers E, et par conséquent y toucher deux diverses boules H et I. De plus, à cause que nous sommes accoutumés de juger que les impressions qui meuvent notre vue viennent des lieux vers lesquels nous devons regarder pour les sentir, quand il arrive qu’elles viennent d’ailleurs, nous y pouvons facilement être trompés ; comme ceux qui ont les yeux infectés de la jaunisse, ou bien qui regardent au travers d’un verre jaune, ou qui sont enfermés dans une chambre où il n’entre aucune lumière que par de tels verres, attribuent cette couleur à tous les corps qu’ils regardent. Et celui qui est dans la chambre obscure, que j’ai tantôt décrite^[1], attribue au corps blanc RST les couleurs des objets VXY, à cause que c’est seulement vers lui qu’il dresse sa vue, Et les yeux A,B,C,D,E,F voyant les objets T,V,X,Y,Z,U, au travers des verres N,0,P, et dans les miroirs Q,R,S, les jugent être aux points G,H,I,K,L,M ;

64 -66. La Dioptrique. — Discours VI. 143

V,Z être plus petits, et X,U plus grands qu’ils ne sont : ou bien aussi X,U plus petits et avec cela renversés, à savoir, lorsqu’ils sont un peu loin des yeux C,F, d’autant que ces verres et ces miroirs détournent les rayons qui viennent de ces objets en telle

sorte que ces yeux ne les peuvent voir distinctement qu’en se disposant comme ils doivent être pour regarder vers les points G, H, I, K, L, M, ainsi que connaitront facilement ceux qui prendront la peine de Page:Descartes - Œuvres, éd. Adam et Tannery, VI.djvu/166 Page:Descartes - Œuvres, éd. Adam et Tannery, VI.djvu/167 146 Œuvres de Descartes. 67-68.

de leur distance, mais aussi en ce que leurs images s’impriment plus grandes dans le fond de l’œil : car il faut remarquer que les bouts des filets du nerf optique qui le couvrent, encore que très petits, ont néanmoins quelque grosseur ; en sorte que chacun d’eux peut être touché en l’une de ses parties par un objet, et en d’autres par d’autres ; et que, n’étant toutefois capable d’être mû que d’une seule façon à chaque fois, lorsque la moindre de ses parties est touchée par quelque objet fort éclatant, et les autres par d’autres qui le sont moins, il suit tout entier le mouvement de celui qui est le plus éclatant, et en représente l’image sans représenter celle des autres. Comme si les bouts de ces petits filets sont 1 ,2,3, et que les rayons qui viennent, par exemple, tracer l’image d’une étoile sur le fond de l’œil s’y étendent sur celui qui est marqué I et tant soit peu au-delà tout autour sur les extrémités des six autres marqués 2, sur lesquels je suppose qu’il ne vient point d’autres rayons, que fort faibles, des parties du ciel voisines à cette étoile, son image s’étendra en tout l’espace qu’occupent ces six marqués 2, et même peut-être encore en tout celui qu’occupent les douze marqués 3, si la force du mouvement est si grande qu’elle se communique aussi à eux.

LES MÉTÉORES.

DISCOURS PREMIER.

DE LA NATURE DES CORPS TERRESTRES.

Nous avons naturellement plus d’admiration pour les choses qui sont au-dessus de nous que pour celles qui sont à pareille hauteur, ou au-dessous ; et quoique les nues n’excèdent guère les sommets de quelques montagnes, et qu’on en voie même souvent de plus basses que les pointes de nos clochers, toutefois, à cause qu’il faut tourner les yeux vers le ciel pour les regarder, nous les imaginons si relevées, que même les poètes et les peintres en composent le trône de Dieu, et font que là il emploie ses propres mains à ouvrir et fermer les portes des vents, à verser la rosée sur les fleurs, et à lancer la foudre sur les rochers. Ce qui me fait espérer que si j’explique ici leur nature, en telle sorte qu’on n’ait plus occasion d’admirer rien de ce qui s’y voit, ou qui en descend, on croira facilement qu’il est possible en même

façon de trouver les causes de tout ce qu’il y a de plus admirable dessus la terre.

232

157-158

Œuvres de Descartes.

Je parlerai en ce premier discours de la nature des corps terrestres en général, afin de pouvoir mieux expliquer dans le suivant celle des exhalaisons et des vapeurs. Puis à cause que ces vapeurs s’élevant de l’eau de la mer forment quelquefois du sel au-dessus de sa superficie, je prendrai de là occasion de m’arrêter un peu à le décrire, et d’essayer en lui si on peut connaître les formes de ces corps que les philosophes disent être composés des éléments par un mélange parfait, aussi bien que celles des météores, qu’ils disent n’en être composés que par un mélange imparfait. Après cela, conduisant les vapeurs par l’air, j’examinerai d’où viennent les vents ; et les faisant assembler en quelques endroits, je décrirai la nature des nues ; et faisant dissoudre ces nues, je dirai ce qui cause la pluie, la grêle et la neige, où je n’oublierai pas celle dont les parties ont la figure de petites étoiles à six pointes très parfaitement compassées, et qui, bien qu’elle n’ait point été observée par les anciens, ne laisse pas d’être l’une des plus rares merveilles de la nature. Je n’oublierai pas aussi les tempêtes, le tonnerre, la foudre, et les divers feux qui s’allument en l’air, ou les lumières qui s’y voient ; mais, surtout, je tâcherai de bien dépeindre l’arc-en-ciel, et de rendre raison de ses couleurs, en

telle sorte qu’on puisse aussi entendre la nature de toutes celles qui se trouvent en d’autres sujets ; à quoi j’ajouterai la cause de celles qu’on voit communément dans les nues, et des cercles qui environnent les astres, et enfin la cause des soleils, ou des lunes, qui paraissent quelquefois plusieurs ensemble.

158-159

233

Les Météores - Discours I.

Il est vrai que la connaissance de ces choses dépendant des principes généraux de la nature, qui n’ont point encore été, que je sache, bien expliqué, il faudra que je me serve, au commencement, de quelques suppositions, ainsi que j’ai fait en la Dioptrique ; mais je tâcherai de les rendre si simples et si faciles, que vous ne ferez peut-être pas difficulté de les croire, encore que je ne les aie point démontrées.

Je suppose premièrement que l’eau, la terre, l’air, et tous les autres tels corps qui nous environnent, sont composés de plusieurs petites parties de diverses figures et grosseurs, qui ne sont jamais si bien arrangées, ni si justement jointes ensemble, qu’il ne reste plusieurs intervalles autour d’elles ; et que ces intervalles ne sont pas vides, mais remplis de cette matière fort subtile, par l’entremise de laquelle j’ai dît ci-dessus que se communiquait l’action de la lumière. Puis, en particulier, je suppose que les petites parties dont l’eau est composée sont longues, unies et

glissantes, ainsi que de petites anguilles, qui, quoiqu’elles se joignent et s’entrelacent, ne se nouent » ni ne s’accrochent jamais pour cela en telle façon qu’elles ne puissent aisément être séparées ; et au contraire que presque toutes celles, tant de la terre que même de l’air, et de la plupart des autres corps, ont des figures fort irrégulières et inégales, en sorte qu’elles ne peuvent être si peu entrelacées qu’elles ne s’accrochent et se lient les unes aux autres, ainsi que font les diverses branches des arbrisseaux qui croissent ensemble dans une haie. Et lorsqu’elles se

234

159-160

Œuvres de Descartes.

lient en cette sorte, elles composent des corps durs comme de la terre, du bois, ou autres semblables, air lieu que si elles sont simplement posées l’une sur l’autre, sans être que fort peu ou point du tout entrelacées, et qu’elles soient avec cela si petites qu’elles puissent être mues et séparées par l’agitation de la matière subtile qui les environne, elles doivent occuper beaucoup d’espace, et composer des corps liquides fort rares et fort légers, comme des huiles ou de l’air. De plus il faut penser que la matière subtile qui remplit les intervalles qui sont entre les parties de ces corps est de telle nature qu’elle ne cesse jamais de se mouvoir çà et là grandement vite, non point toutefois exactement de même vitesse , en tous lieux et en tous temps, mais qu’elle se meut communément un peu plus vite vers la perficie de la terre, qu’elle ne fait au haut de l’air où sont les nues, et plus vite vers les lieux proches de l’équateur, que vers le pole, et au même lieu plus vite lété que l’hiver, et le jour que la nuit. Dont la raison est évidente, en supposant que la lumière n’est autre chose qu’un certain mouvement, ou une action dont les corps lumineux poussent cette matière subtile de tous côtés autour d’eux en ligne droite, ainsi qu’il a été dit en la Dioptrique. Car il suit de là que les rayons du soleil tant droits que réfléchis, la doivent agiter davantage le jour que la nuit, et l’été que l’hiver, et sous l’équateur que sous les poles, et contre la terre que vers les nues. Puis il faut aussi penser que cette matière subtile est composée de diverses parties qui bien qu’elles soient toutes très petites, le sont toutefois

160-161

235

Les Météores - Discours I.

beaucoup moins les unes que les autres, et que les plus grosses, ou, pour mieux parler, les moins petites, ont toujours le plus de force, ainsi que généralement tous les grands corps en ont plus que les moindres, quand ils sont autant ébranlés. Ce qui fait que moins cette matière est subtile, c’est-à-dire composée de parties moins petites, plus elle peut agiter les parties des autres corps ; et ceci fait aussi qu’elle est ordinairement le moins subtile aux lieux et aux temps où elle est le plus agitée, comme vers la superficie de la terre que vers les nues, et sous l’équateur que sous les

Pôles, & en efté qu’en hyuer, & de iour que de nuit. Dont la raifon eft que les plus grofles de fes parties. ayant le plus de force, peuuent le mieux aller vers i5 les lieux où, l’agitation eftant plus grande, il leur eft plus ayfé de continuer leur mouuement. Toutefois, il y en a toufiours quantité de fort petites qui fe coulent parmi ces plus grofles. Et il eft a remarquer que tous les cors terreftres ont bien des pores, par où »6 ces plus petites peuuent pafler, mais qu’il y en a plu- fieurs qui les ont fi eftroits, ou tellement difpofés, qu’ils ne reçoiuent point les plus grofles; & que ce font ordinairement ceux cy qui fe fentent les plus froids quand on les touche, ou feulement quand on

S s’en approche. Comme, d’autant que les marbres &

les metaus fe fentent plus froids que le bois, on doit penfer que leurs pores ne reçoiuent pas fi facilement les parties fubtiles de cete matière, & que les pores de la glace les reçoiuent encore moins facilement o que ceux des marbres ou des metaus, d’autant qu’elle

Jusques ici j’ai tâché de me rendre intelligible à tout le monde ; mais pour ce traité, je crains qu’il ne pourra être lu que par ceux qui savent déjà ce qui est dans les livres de géométrie ;

car, d’autant qu’ils contiennent plusieurs vérités fort bien démontrées, j’ai cru qu’il seroit superflu de les répéter, et n’ai pas laissé pour cela de m’en servir.

La Géométrie

LIVRE PREMIER.

Des problèmes qu’on peut construire sans y employer que des cercles et des lignes droites.

Tous les problèmes de géométrie se peuvent facilement réduire à tels termes, qu’il n’est besoin par après que de connaître la longueur de quelques lignes droites pour les construire.

Comment le calcul d’Arithmétique se rapporte aux opérations de Géométrie.

Et comme toute l’arithmétique n’est composée que de quatre ou cinq opérations, qui sont, l’addition, la soustraction, la multiplication, la division, et l’extraction des racines, qu’on peut prendre pour une espèce de division * ; ainsi n’a-t-on autre chose à faire en Géométrie touchant les lignes qu’on cherche pour les préparer à être connues, que leur en ajouter d’autres, ou en ôter ; ou bien en ayant une

Nous indiquons, par des étoiles, les endroits auxquels se rapportent les commentaires de Schooten dans ses éditions latines de la Géométrie (1649 et 1659). La lettre de renvoi correspondante est, pour cette page, A. que je nommerai l’unité pour la rapporter d’autant mieux aux nombres, et qui peut ordinairement être prise à discrétion, puis en ayant encore deux autres, en trouver une quatrième qui soit à l’une de ces deux comme l’autre est à l’unité, ce qui est le même que la multiplication ; ou bien en trouver une quatrième qui soit à l’une de ces deux comme l’unité est à l’autre, ce qui est le même que la division ; ou enfin trouver une ou deux, ou plusieurs moyennes proportionnelles entre l’unité et quelque autre ligne, ce qui est le même que tirer la racine carrée ou cubique, etc. Et je ne craindrai pas d’introduire ces termes d’arithmétique en la géométrie, afin de me rendre plus intelligible.

Comment se font géométriquement la multiplication, la division et l’extraction de la racine carrée

La Multiplication

Soit, par exemple, AB l’unité, et qu’il faille multiplier BD par BC, je n’ai qu’à joindre les points A et C, puis tirer DE parallèle à CA, et BE est le produit de cette multiplication.

La Division

Ou bien, s’il faut diviser BE par BD, ayant joint les points E et D, je tire AC parallèle à DE, et BC est le produit de cette division.

L’extraction de la racine carrée

Ou s’il faut tirer la racine carrée de GH, je lui ajoute en ligne droite FG, qui est l’unité, et divisant FH en deux parties égales au point K, du centre K je tire le cercle FIH, puis élevant du point G une ligne droite jusqu’à I à angles droits sur FH, c’est GI, la racine cherchée. Je ne dis rien ici de la racine cubique, ni des autres, à cause que j’en parlerai plus commodément ci-après.

Comment on peut user de chiffres en géométrie

Mais souvent on n’a pas besoin de tracer ainsi ces lignes sur le papier, et il suffit de les désigner par quelques lettres, chacune par une seule. Comme pour ajouter la ligne BD à GH, je nomme l’une a et l’autre b, et écris a + b ; et a - b pour soustraire b de a ; et ab pour les multiplier l’une par l’autre ; et ${a\over b}$ pour diviser a par b ; et aa ou $a^2$ pour multiplier a par soi-même ; et $a^3$ pour le multiplier encore une fois par a, et ainsi à l’infini ; et $\sqrt{a^2 + b^2}$ pour tirer la racine carrée de $a^2 + b^2$ ; et $\sqrt{C.a^3 - b^3 + ab^2}$ , pour tirer la racine cubique de $a^3 - b^3 + ab^2$ , et ainsi des autres.

Où il est à remarquer que par $a^2$ , ou $b^3$ , ou semblables, je ne conçois ordinairement que des lignes toutes simples, encore que pour me servir des noms usités en l’algèbre je les nomme des carrés ou des cubes, etc.

Il est aussi à remarquer que toutes les parties d’une même ligne se doivent ordinairement exprimer par autant de dimensions l’une que l’autre, lorsque l’unité n’est point déterminée en la question, comme ici $a^3$ en contient autant que $ab^2$ ou $b^3$ dont se compose la ligne que j’ai nommée

$\sqrt{C.a^3 - b^3 + ab^2}$ ;

mais que ce n’est pas de même lorsque l’unité est déterminée, à cause qu’elle peut être sous-entendue partout où il y a trop ou trop peu de dimensions : comme s’il faut tirer la racine cubique de $a^2b^2$ - b, il faut penser que la quantité $a^2b^2$ est divisée une fois par l’unité, et que l’autre quantité b est multipliée deux fois par la même^[2].

Au reste, afin de ne pas manquer à se souvenir des noms de ces lignes, il en faut toujours faire un registre séparé à mesure qu’on les pose ou qu’on les change, écrivant par exemple :

AB1, c’est-à-dire AB égal à 1.
GHa.
BDb, etc.

Comment il faut venir aux équations qui servent à résoudre les problèmes.

Ainsi, voulant résoudre quelque problème, on doit d’abord le considérer comme déjà fait, et donner des noms à toutes les lignes qui semblent nécessaires pour le construire, aussi bien à celles qui sont inconnues qu’aux autres. Puis, sans considérer aucune différence entre ces lignes connues et inconnues, on doit parcourir la difficulté selon l’ordre qui montre le plus naturellement de tous en quelle sorte elles dépendent mutuellement les unes des autres, jusqu’à ce qu’on ait trouvé moyen d’exprimer une même quantité en deux façons, ce qui se nomme une équation ; car les termes de l’une de ces deux façons sont égaux à ceux de l’autre. Et on doit trouver autant de telles équations qu’on a supposé de lignes qui étaient inconnues.

Ou bien, s’il ne s’en trouve pas tant, et que nonobstant on n’omette rien de ce qui est désiré en la question, cela témoigne qu’elle n’est pas entièrement déterminée. Et lors on peut prendre à discrétion des lignes connues pour toutes les inconnues auxquelles ne correspond aucune équation. Après cela, s’il en reste encore plusieurs, il se faut servir par ordre de chacune des équations qui restent aussi, soit en la considérant toute seule, soit en la comparant avec les autres, pour expliquer chacune de ces lignes inconnues, et faire ainsi, en les démêlant, qu’il n’en demeure qu’une seule égale à quelque autre qui soit connue, ou bien dont le carré, ou le cube, ou le carré de carré, ou le sursolide, ou le carré de cube, etc., soit égal à ce qui se produit par l’addition ou soustraction de deux ou plusieurs autres quantités, dont l’une soit connue, et les autres soient composées de quelques moyennes proportionnelles entre l’unité et ce carré, ou cube, ou carré de carré, etc., multipliées par d’autres connues.

Ce que j’écris en cette sorte :

z = b,

ou z² = - az + b²,

ou z³ = + az² + b²z – c³,

ou z³ = az³ - c³z + d⁴, etc.^[3] ;

C’est-à-dire z, que je prends pour la quantité inconnue, est égale à b; ou le carré de z est égal au carré de b moins a multiplié par z; ou le cube de z est égal à a multiplié par le carré de z plus le carré de b multiplié par z moins le cube de c ; et ainsi des autres.

Et on peut toujours réduire ainsi toutes les quan- tités inconnues à une seule, lorsque le problème se peut construire par des cercles et des lignes droites, ou aussi par des sections coniques, ou même par quelque autre ligne qui ne soit que d’un ou deux degrés plus composée. Mais je ne m’arrête point à expliquer ceci plus en détail, à cause que je vous ôterais le plaisir de l’apprendre de vous-même, et l’utilité de cultiver votre esprit en vous y exerçant, qui est à mon avis la principale qu’on puisse tirer de cette science. Aussi que je n’y remarque rien de si difficile que ceux qui seront un peu versés en la géométrie commune et en l’algèbre, ait qui prendront garde à tout ce qui est en ce traité, ne puissent trouver.

C’est pourquoi je me contenterai ici de vous avertir que, pourvu qu’en démêlant ces équations, on ne manque point à se servir de toutes les divisions qui seront possibles, on aura infailliblement les plus simples termes auxquels la question puisse être réduite.

Quels sont les problèmes plans.

Et que si elle peut être résolue par la géométrie ordinaire, c’est-à-dire en ne se servant que de lignes droites et circulaires tracées sur une superficie plate, lorsque la dernière équation aura été entièrement démêlée, il n’y restera tout au plus qu’un carré inconnu, égal à ce qui se produit de l’addition ou soustraction de sa racine multipliée par quelque quantité connue, et de quelque autre quantité aussi connue.

Comment ils se résolvent.

Et lors cette racine, ou ligne inconnue, se trouve aisément ; car si j’ai par exemple

z² = az + b²,

je fais le triangle rectangle NLM, dont le côté LM est égal à b, racine carrée de la quantité connue b², et l’autre LN est $\frac {1}{2}a$ , la moitié de l’autre quantité connue qui était multipliée par z, que je suppose être la ligne inconnue ; puis prolongeant MN, la base de ce triangle, jusqu’à 0, en sorte que NO soit égale à NL, la toute OM est z, la ligne cherchée^[4] ; et elle s’exprime en cette sorte :

$z = \frac{1}{2} a + \sqrt{\frac{1}{4} a^2 + b^2}$ .

Que si j’ai y² = - ay + b², et que y soit la quantité qu’il faut trouver, je fais le même triangle rectangle NLM, et de sa base MN j’ôte NP égale à NL, et le reste PM est y, la racine cherchée. De façon que j’ai

$y = -\frac{1}{2} a + \sqrt{\frac{1}{4} a^2 + b^2}$ .

Et tout de même si j’avais

x⁴ = - ax² + b².

PM serait x² et j’aurais

$x = \sqrt{-\frac{1}{2} a + \sqrt{\frac{1}{4} a^2 + b^2}}$ ;

et ainsi des autres. Enfin si j’ai

z² = az – b²,

je fais NL égale à $\frac {1}{2}a$ , et LM égale à b comme devant, puis, au lieu de joindre les points M, N, je tire MQR parallèle à LN, et du centre N par L ayant décrit un cercle qui la coupe aux points Q et R, la ligne cherchée z est MQ, ou bien MR, car en ce cas elle s’exprime en deux façons, à savoir

$z = \frac{1}{2} a + \sqrt{\frac{1}{4} a^2 - b^2}$ ,

et

$z = \frac{1}{2} a - \sqrt{\frac{1}{4} a^2 - b^2}$ .

Et si le cercle, qui ayant son centre au point N, passe par le point L, ne coupe ni ne touche la ligne droite MQR, il n’y a aucune racine en l’Équation, de façon qu’on peut assurer que la construction du problème proposé est impossible.

Au reste, ces mêmes racines se peuvent trouver par une infinité d’autres moyens, et j’ai seulement voulu mettre ceux-ci, comme fort simples, afin de faire voir qu’on peut construire tous les problèmes de la géométrie ordinaire sans faire autre chose que le peu qui est compris dans les quatre figures que j’ai expliquées.

Ce que je ne crois pas que les anciens aient remarqué ; car autrement ils n’eussent pas pris la peine d’en écrire tant de gros livres où le seul ordre de leurs propositions nous fait connaître qu’ils n’ont point eu la vraie méthode pour les trouver toutes, mais qu’ils ont seulement ramassé celles qu’ils ont rencontrées. Exemple tiré de Pappus

Et on peut le voir aussi fort clairement de ce que Pappus a mis au commencement de son septième livre, où après s’être arrêté quelque temps à dénombrer tout ce qui avait été écrit en géométrie par ceux qui l’avaient précédé, il parle enfin d’une question qu’il dit que ni Euclide, ni Apollonius, ni aucun autre, n’avaient su entièrement résoudre ; et voici ses mots^[5] :

Je cite plutôt la version latine que le texte grec, afin que chacun l’entende plus aisément.

Quem autem dicit (Apollonius) in tertio libro locum ad tres et quatuor lineas ab Euclide per fectum non esse, neque ipse per ficere poterat, neque aliquis alius ; sed neque paululum quid addere üs, qux Euclides scripsit, per ea tantum conica, quœ usque ad Euelidis tempora praemonstrata sunt, etc.

Et un peu après il explique ainsi quelle est cette question :

At locus ad tres et quatuor lineas, in quo (Apollonius) magnifies se jactat, et ostentat, nulla habita gratia ei, qui prius scripserat, est hujusmodi. Si positione datis tribus rectis lineis ab uno et eodem puncto, ad tres lineas in datis angulis rectœ linew ducantur, et data sit proportio rectanguli contenti duabus ductis ad quadratum reliquX : punctum contingit positione datum solidum locum, hoc est unana ex tribus conicis sectionibus. Et si ad quatuor rectas lineas positione datas in datis angulis lineœ ducantur, et rectanguli duabus dutctis contenti ad contentum duabus reliquis proportio data sit : similiter punctum datam coni sectionem positione continget. Si quidem igitur ad duas tantum locus planus ostensus est. Quod si ad pluies quam quatuor, punctum continget lotos non adhuc cognitos, sed lineas tantum dictas ; quales auteur sint, vel quam habeant proprietatem, non constat : earum unam, neque primam, et qua manifestissima videtur, composuerunt ostendentes utilem esse. Propositiones auteur ipsarum hœ sunt.

Si ab aliquo puncto ad positione datas rectas lineas quinque ducantur recta linex in datis angulis, et data sit proportio solidi parallelepipedi rectanguli, quod tribus ductis lineis continetur ad solidum parallelepipedum rectangulum, quod continetur reliquis duabus, et data quapiam linea, punctum positione datam lineam continget. Si auteur ad sex, et data sit proportio solidi tribus lineis contenti ad solidum, quod tribus reliquis continetur; cursus punctum continget positione datam lineam. Quod si ad pluies quam sex, non adhuc habent dicere, an data sit proportio cujuspiam contenti quatuor lineis ad id quod reliquis continetur, quoniam non est aliquid contentum pluribus quam tribus dimensionibus.

Où je vous prie de remarquer en passant que le scrupule que faisaient les anciens d’user des termes de l’arithmétique en la géométrie, qui ne pouvait procéder que de ce qu’ils ne voyaient pas assez clairement leur rapport, causait beaucoup d’obscurité et d’embarras en la façon dont ils s’expliquaient ; car Pappus poursuit en cette sorte :

Acquiescunt auteur his, qui paulo ante talia interpretati La Géométrie. — Livre I. 379

sunt ; neque unum aliquo pacte comprehensibile signi ficantes quod his continetur. Licebit auteur per conjunctas proportiones hic, et dicere, et demonstrare universe in dictis proportionibus, atque his in hune modum. Si ab aliquo puncto ad positione datas rectas lineas ducantur recta linex in datas angulis, et data sit proportio conjuncta ex ea, quam habet una ductaruin ad unam, et altera ad alteram, et alla ad aliam, et relique ad datam lineam, si sint septem; si vero octo, et reliqua ad reliquam punctum continget positione datas lineas. Et similiter quotcumque sint impares vel pares multitudine, cum hxc, ut dixi, loto ad quatuor lineas respondeant, nullum igitur posuerunt ita ut linea nota sit, etc.

La question donc qui avait été commencée à résoudre par Euclide et poursuivie par Apollonius, sans avoir été achevée par personne, était telle : Ayant trois ou quatre, ou plus grand nombre de lignes droites données par position; premièrement on demande un point duquel on puisse tirer autant d’autres lignes droites, une sur chacune des données, qui fassent avec elles des angles donnés, et que le rectangle contenu en deux de celles qui seront ainsi tirées d’un même point, ait la proportion donnée avec le carré de la troisième, s’il n’y en a que trois ; ou bien avec le rectangle des deux autres, s’il y en a quatre ; ou bien, s’il y en a cinq, que le parallélépipède composé de trois ait la proportion donnée avec le parallélépipède composé des deux qui restent, et d’une autre ligne donnée ; ou s’il y en a six, que le parallélépipède composé de trois ait la proportion donnée avec le parallélépipède des trois autres ; ou s’il y en a sept, que ce qui se produit lorsqu’on en multiplie quatre l’une par l’autre, ait la raison donnée avec ce qui se produit par la multiplication des trois autres, et encore d’une autre ligne donnée ; ou s’il y en a huit, que le produit de la multiplication de quatre ait la proportion donnée

380 Œuvres de Descartes.

avec le produit des quatre autres ; et ainsi cette question peut s'étendre à tout autre nombre de lignes. Puis à cause qu'il y a toujours une infinité de divers points qui peuvent satisfaire à ce qui est ici demandé, il est aussi requis de connaître et de tracer la ligne dans laquelle ils doivent tous se trouver. Et Pappus dit que lorsqu'il n'y a que trois ou quatre lignes droites données, c'est en une des trois sections coniques ; mais il n'entreprend point de la déterminer ni de la décrire, non plus que d'expliquer celles où tous ces points se doivent trouver, lorsque la question est proposée en un plus grand nombre de lignes. Seulement il ajoute que les anciens en avaient imaginé une qu'ils montraient y être utile, mais qui semblait la plus manifeste, et qui n'était pas toutefois la première. Ce qui m'a donné occasion d'essayer si, par la méthode dont je me sers, on peut aller aussi loin qu'ils ont été.

Réponse à la question de Pappus

Et premièrement j'ai connu que cette question n'étant proposée qu'en trois, ou quatre, ou cinq lignes, on peut toujours trouver les points cherchés par la géométrie simple, c'est-à-dire en ne se servant que de la règle et du compas, ni ne faisant autre chose que ce qui a déjà été dit ; excepté seulement lorsqu'il y a cinq lignes données, si elles sont toutes La Géométrie. — Livre I. 381

parallèles : auquel cas, comme aussi lorsque la question est proposée en 6, ou 7, ou 8, ou 9 lignes, on peut toujours trouver les points cherchés par la géométrie des solides, c’est-à-dire en y employant quelqu’une des trois sections coniques ; excepté seulement lorsqu’il y a neuf lignes données, si elles sont toutes parallèles : auquel cas, derechef, et encore en 10, 11, 12 ou 13 lignes, on peut trouver les points cherchés par le moyen d’une ligne courbe qui soit d’un degré plus composé que les sections coniques ; excepté en treize, si elles sont toutes parallèles : auquel cas, et en quatorze, 15, 16 et 17, il y faudra employer une ligne courbe encore d’un degré plus composée que la précédente, et ainsi à l’infini.

Puis j’ai trouvé aussi que lorsqu’il n’y a que trois ou quatre lignes données, les points cherchés se rencontrent tous, non seulement en l’une des trois sections coniques, mais quelquefois aussi en la circonférence d’un cercle ou en une ligne droite ; et que lorsqu’il y en a cinq, ou six, ou sept, ou huit, tous ces points se rencontrent en quelqu’une des lignes qui sont d’un degré plus composées que les sections coniques, et il est impossible d’en imaginer aucune qui ne soit utile à cette question; mais ils peuvent aussi derechef se rencontrer en une section conique, ou en un cercle, ou en une ligne droite. Et s’il y en a 9, ou 10, ou 11, ou 12, ces points se rencontrent en une ligne qui ne peut être que d’un degré plus composée que les précédentes ; mais toutes celles qui sont d’un degré plus composées y peuvent servir, et ainsi à l’infini.

Au reste, la première et la plus simple de toutes, après les sections coniques, est celle qu’on peut décrire par l’intersection d’une parabole et d’une ligne droite, en la façon qui sera tantôt expliquée. En sorte que je pense avoir entièrement satisfait ’à ce que Pappus nous dit avoir été cherché en ceci par les anciens ; et je tâcherai d’en mettre la démonstration en peu de mots, car il m’ennuie déjà d’en tant écrire.

Soient AB, AD, EF, GH, etc., plusieurs lignes données par position, et qu’il faille trouver un point, comme C, duquel ayant tiré d’autres lignes droites sur les données, comme CB, CD, CF et CH, en sorte que les angles CBA, CDA, CFE, CHG, etc., soient donnés, et que ce qui est produit par la multiplication d’une partie de ces lignes soit égal à ce qui est produit par la multiplication des autres, on bien qu’ils aient quelque autre proportion donnée, car cela ne rend point la question plus difficile.

Comment on doit poser les termes pour venir à l’équation en cet exemple

Premièrement, je suppose la chose comme déjà faite, et pour me démêler de la confusion de toutes

La Géométrie. — Livre I. 383

ces lignes je considère l'une des données, et l'une de celles qu'il faut trouver, par exemple AB et CB, comme les principales et auxquelles je tâche de rapporter ainsi toutes les autres. Que le segment de la ligne AB, qui est entre les points A et B, soit nommé x; et que BC soit nommé y ; et que toutes les autres lignes données soient prolongées jusqu’à ce qu'elles coupent ces deux aussi prolongées, s'il est besoin, et si elles ne leur sont point parallèles ; comme vous voyez ici qu'elles coupent la ligne AB aux points A, E, G, et BC aux points R, S, T. Puis à cause que tous les angles du triangle ARB sont donnés, la proportion qui est entre les côtés AB et BR est aussi donnée, et je la pose comme de z à b, de façon que AB étant x, BR sera $\frac{bx}{z}$ et la toute CR sera $y + \frac{bx}{z}$ , à cause que le point B tombe entre C et R ; car si R tombait entre C et B, CR serait $y -\frac{bx}{z}$ et si C tombait entre B et R, CR serait $- y + \frac{bx}{z}$ . Tout de même les trois angles du triangle DRC sont donnés, et par conséquent aussi la proportion qui est entre les côtés CR et CD, que je pose comme de z à c, de façon que CR étant $y + \frac{bx}{z}$ , CD sera $\frac{cy}{z} + \frac{bcx}{z^2}$ . Après cela, pourceque les lignes AB, AD et EF sont données par position, la distance qui est entre les points A et E est aussi donnée, et si on la nomme k, on aura EB égal à k + x ; mais ce serait k - x si le point B tombait entre E et A ; et - k + x si E tombait entre A et B. Et pourceque les angles du triangle ESB sont tous donnés, la proportion de BE à BS est aussi donnée, et je la pose comme de z à d, si bien que BS est $\frac{dk + dx}{z}$ et la toute CS est $\frac {zy + dk + dx}{z}$ mais ce serait $\frac {zy - dk - dx}{z}$ si le point S

384 Œuvres de Descartes.

tombait entre B et C ; et ce serait $\frac {- zy + dk + dx}{z}$ si C tombait entre B et S. De plus les trois angles du triangle FSC sont donnés, et ensuite la proportion de CS à CF, qui soit comme de z à e, et la toute CF sera $\frac{ezy + dek + dex}{z^2}$ .

En même façon AG que je nomme 1 est donnée, et BG est l - x, et à cause du triangle BGT, la proportion de BG à BT est aussi donnée, qui soit comme de z à f, et BT sera {fl – fx}/z et CT = {zy + fl – fx}/z. Puis derechef la proportion de CT à CH est donnée à cause du triangle TCH, et la posant comme de z à g, on aura CH = $\frac{gzy + fgl - fgx}{z^2}$ .

Et ainsi vous voyez qu'un tel nombre de lignes données par position qu'on puisse avoir, toutes les lignes tirées dessus du point C à angles donnés, suivant la teneur de la question, se peuvent toujours exprimer chacune par trois termes, dont l'un est composé de la quantité inconnue y, multipliée ou divisée par quelque autre connue ; et l'autre de la quantité inconnue x, aussi multipliée ou divisée par quelque autre

La Géométrie. — Livre I. 385

connue ; et le troisième d'une quantité toute connue ; excepté seulement si elles sont parallèles, ou bien à la ligne AB, auquel cas le terme composé de la quantité x sera nul ; ou bien à la ligne CB, auquel cas celui qui est composé de la quantité y sera nul, ainsi qu'il est trop manifeste pour que je m'arrête à l'expliquer. Et pour les signes + et - qui se joignent â ces termes, ils peuvent être changés en toutes les façons imaginables.

Puis vous voyez aussi que, multipliant plusieurs de ces lignes l'une par l'autre, les quantités x et y qui se trouvent dans le produit n'y peuvent avoir que chacune autant de dimensions qu'il y a eu de lignes à l'explication desquelles elles servent, qui ont été ainsi multipliées ; en sorte qu'elles n'auront jamais plus de deux dimensions en ce qui ne sera produit que par la multiplication de deux lignes ; ni plus de trois, en ce qui ne sera produit que par la multiplication de trois, et ainsi à l'infini.

Comment on trouve que ce problème est plan lorsqu'il n'est point proposé en plus de cinq lignes

De plus, à cause que pour déterminer le point C, il n'y a qu'une seule condition qui soit requise, à savoir que ce qui est produit par la multiplication d'un certain nombre de ces lignes soit égal, ou, ce qui n'est de rien plus malaisé, ait la proportion donnée à ce qui est produit par la multiplication des autres ; on peut prendre à discrétion l'une des deux quantités inconnues x ou y, et chercher l'autre par cette équation, en laquelle il est évident que, lorsque la question n'est point posée en plus de cinq lignes, la quantité x, qui ne sert point à l'expression de la première, peut toujours n'y avoir que deux dimensions. De façon que, prenant une quantité connue pour y, il ne restera que

x² = + ou - ax + ou - b² ;

et ainsi on pourra trouver la quantité x avec la règle et le compas, en la façon tantôt expliquée. Même, prenant successivement infinies diverses grandeurs pour la ligne y, on en trouvera aussi infinies pour la ligne x, et ainsi on aura une infinité de divers points, tels que celui qui est marqué C, par le moyen desquels on décrira la ligne courbe demandée.

Il se peut faire aussi, la question étant proposée en six ou plus grand nombre de lignes, s’il y en a entre les données qui soient parallèles à BA ou BC, que l’une des deux quantités x ou y n’ait que deux dimensions en l’équation, et ainsi qu’on puisse trouver le point C avec la règle et le compas. Mais au contraire si elles sont toutes parallèles, encore que la question ne soit proposée qu’en cinq lignes, ce point C ne pourra ainsi être trouvé, à cause que la quantité x ne se trouvant point en toute l’équation, il ne sera plus permis de prendre une quantité connue pour celle qui est nommée y, mais ce sera celle qu’il faudra chercher. Et pourcequ’elle aura trois dimensions, on ne le pourra trouver qu’en tirant la racine d’une équation cubique, ce qui ne se peut généralement faire sans qu’on y emploie pour le moins une section conique. Et encore qu’il y ait jusqu’à neuf lignes données, pourvu qu’elles ne soient point toutes parallèles, on peut toujours faire que l’équation ne monte

La Géométrie. — Livre I. 387 que jusqu’au carré de carré ; au moyen de quoi on la peut aussi toujours résoudre par les sections coniques, en la façon que j'expliquerai ci-après. Et encore qu'il y en ait jusqu’à treize, on peut toujours faire qu'elle ne monte que jusqu’au carré de cube ; ensuite de quoi on la peut résoudre par le moyen d'une ligne, qui n'est que d'un degré plus composée que les sections coniques, en la façon que j'expliquerai aussi ci-après. Et ceci est la première partie de ce que j'avais ici à démontrer ; mais avant que je passe à la seconde, il est besoin que je dise quelque chose en général de la nature des lignes courbes.

LA GEOMETRIE

LIVRE SECOND.

De la nature des lignes courbes.

Quelles sont les lignes courbes qu’on peut recevoir en géométrie

Les anciens ont fort bien remarqué qu’entre les problèmes de géométrie, les uns sont plans, les autres solides et les autres linéaires, c’est-à-dire que les uns peuvent être construits en ne traçant que des lignes droites et des cercles ; au lieu que les autres ne le peuvent être, qu’on n’y emploie pour le moins quelque section conique ; ni enfin les autres, qu’on n’y emploie quelque autre ligne plus composée. Mais je m’étonne de ce qu’ils n’ont point outre cela distingué divers degrés entre ces lignes plus composées, et je ne saurais comprendre pourquoi ils les ont nommées mécaniques plutôt que géométriques. Car de dire que c’ait été à cause qu’il est besoin de se servir de quelque machine pour les décrire, il faudrait rejeter par même raison les cercles et les lignes droites, vu qu’on ne les décrit sur le papier qu’avec un compas et une règle, qu’on peut aussi nommer des machines. Ce n’est pas non plus à cause

315-316. La Géométrie. — Livre II. 389

que les instruments qui servent à les tracer, étant plus composés que la règle et le compas, ne peuvent être si justes ; car il faudrait pour cette raison les rejeter des mécaniques, où la justesse des ouvrages qui sortent de la main est désirée, plutôt que de la géométrie, où c'est seulement la justesse du raisonnement qu'on recherche, et qui peut sans doute être aussi parfaite touchant ces lignes que touchant les autres.

Je ne dirai pas aussi que ce soit à cause qu'ils n'ont pas voulu augmenter le nombre de leurs demandes, et qu'ils se sont contentés qu'on leur accordât qu'ils pussent joindre deux points donnés par une ligne droite, et décrire un cercle d'un centre donné qui passât par un point donné ; car ils n'ont point fait de scrupule de supposer outre cela, pour traiter des sections coniques, qu'on pût couper tout cône donné par un plan donné.

Et il n'est besoin de rien supposer pour tracer toutes les lignes courbes que je prétends ici d'introduire, sinon que deux ou plusieurs lignes puissent être mues l'une par l'autre, et que leurs intersections en marquent d'autres ; ce qui ne me paraît en rien plus difficile.

Il est vrai qu'ils n'ont pas aussi entièrement reçu les sections coniques en leur géométrie, et je ne veux pas entreprendre de changer les noms qui ont été approuvés par l'usage ; mais il est, ce me semble, très clair que, prenant comme on fait pour géométrique ce qui est précis et exact, et pour mécanique ce qui ne l'est pas, et considérant la géométrie comme une science qui enseigne généralement à connaître les mesures de tous les corps, on n'en doit pas plutôt exclure les lignes les plus composées que les

390 Œuvres de Descartes. 316-317.

plus simples, pourvu qu'on les puisse imaginer être décrites par un mouvement continu, ou par plusieurs qui s'entre-suivent, et dont les derniers soient entièrement réglés par ceux qui les précèdent ; car par ce moyen on peut toujours avoir une connaissance exacte de leur mesure.

Mais peut-être que ce qui a empêché les anciens géomètres de recevoir celles qui étaient plus composées que les sections coniques, c'est que les premières qu'ils ont considéré, ayant par hasard été la spirale, la quadratrice et semblables, qui n'appartiennent véritablement qu'aux mécaniques, et ne sont point du nombre de celles que je pense devoir ici être reçues, à cause qu'on les imagine décrites par deux mouvements séparés, et qui n'ont entre eux aucun rapport qu'on puisse mesurer exactement ; bien qu'ils aient après examiné la conchoïde, la cissoïde, et quelque peu d'autres qui en sont, toutefois à cause qu'ils n'ont peut-être pas assez remarqué leurs propriétés, ils n'en ont pas fait plus d'état que des premières ; ou bien c'est que, voyant qu'ils ne connaissaient encore que peu de choses touchant les sections coniques, et qu'il leur en restait même beaucoup, touchant ce qui se peut faire avec la règle et le compas, qu'ils ignoraient, ils ont cru ne devoir point entamer de matière plus difficile.

Mais pourceque j'espère que dorénavant ceux qui auront l'adresse de se servir du calcul géométrique ici proposé, ne trouveront pas assez de quoi s'arrêter touchant les problèmes plans ou solides, je crois qu'il est à propos que je les invite à d'autres recherches, où ils ne manqueront jamais d'exercice plus simples, pourvu qu'on les puisse imaginer être décrites par un mouvement continu, ou par plusieurs qui s'entre-suivent, et dont les derniers soient entièrement réglés par ceux qui les précèdent ; car par ce moyen on peut toujours avoir une connaissance exacte de leur mesure.

Mais peut-être que ce qui a empêché les anciens géomètres de recevoir celles qui étoilent plus composées que les sections coniques, c'est que les premières qu'ils ont considéré, ayant par hasard été la spirale, la quadratrice et semblables, qui n'appartiennent véritablement qu'aux mécaniques, et ne sont point du nombre de celles que je pense devoir ici être reçues, à cause qu'on les imagine décrites par deux mouvements séparés, et qui n'ont entre eux aucun rapport qu'on puisse mesurer exactement ; bien qu'ils aient après examiné la conchoïde, la cissoïde, et quelque peu d'autres qui en sont, toutefois à cause qu'ils n'ont peut-être pas assez remarqué leurs propriétés, ils n'en ont pas fait plus d'état que des premières ; ou bien c'est que, voyant qu'ils ne connaissaient encore que peu de choses touchant les sections coniques, et qu'il leur en restait même beaucoup, touchant ce qui se peut faire avec la règle et le compas, qu'ils ignoraient, ils ont cru ne devoir point entamer de matière plus difficile.

Mais pourceque j'espère que dorénavant ceux qui auront l'adresse de se servir du calcul géométrique ici proposé, ne trouveront pas assez de quoi s'arrêter touchant les problèmes plans ou solides, je crois qu'il est à propos que je les invite à d'autres recherches, où ils ne manqueront jamais d'exercice.

317-318. La Géométrie. — Livre II. 391

Voyez les lignes AB, AD, AF et semblables, que je suppose avoir été décrites par l'aide de l'instrument YZ, qui est composé de plusieurs règles tellement jointes que celle qui est marquée YZ étant arrêtée sur la ligne AN, on peut ouvrir et fermer l'angle XYZ, et que lorsqu'il est tout fermé, les points B, C, D, <E,> F, G, H sont tous assemblés au point A ;

mais qu'à mesure qu'on l'ouvre, la règle BC, qui est jointe à angles droits avec XY au point B, pousse vers Z la règle CD, qui coule sur YZ en faisant toujours des angles droits avec elle ; et CD pousse DE, qui coule tout de même sur YX en demeurant parallèle à BC ; DE pousse EF, EF pousse FG, celle-ci pousse GH, et on en peut concevoir une infinité d'autres qui se poussent consécutivement en même façon, et dont les unes fassent toujours les mêmes angles avec YX et les autres avec YZ. Or, pendant

a. XYZ Schooten.

b. E a été ajouté par Schooten,

392 Œuvres de Descartes. 318-319.

qu'on ouvre ainsi l'angle XYZ, le point B décrit la ligne AB, qui est un cercle ; et les autres points D, F, H, où se font les intersections des autres règles, décrivent d'autres lignes courbes AD, AF, AH, dont les dernières sont par ordre plus composées que la première, et celle-ci plus que le cercle ; mais je ne vois pas ce qui peut empêcher qu'on ne conçoive aussi nettement et aussi distinctement la description de cette première que du cercle, ou du moins que des sections coniques ; ni ce qui peut empêcher qu'on ne conçoive la seconde, et la troisième, et toutes les autres qu'on peut décrire, aussi bien que la première ; ni par conséquent qu'on ne les reçoive toutes en même façon pour servir aux spéculations de géométrie.

La façon de distinguer toutes ces lignes courbes en certains genres, et de connaître le rapport qu'ont tous leurs points à ceux des lignes droites

Je pourrais mettre ici plusieurs autres moyens pour tracer et concevoir des lignes courbes qui seraient de plus en plus composées par degrés à l'infini; mais pour comprendre ensemble toutes celles qui sont en la nature, et les distinguer par ordre en certains genres, je ne sache rien de meilleur que de dire que tous les points de celles qu'on peut nommer géométriques, c'est-à-dire qui tombent sous quelque mesure précise et exacte, ont nécessairement quelque rapport à tous les points d'une ligne droite, qui peut être exprimée par quelque équation, en tous par une même ; et que, lorsque cette équation ne monte que jusqu'au rectangle de deux quantités indéterminées, ou bien au carré d'une même, la ligne courbe est du premier et plus simple genre, dans lequel il n'y a que le cercle, la parabole, l'hyperbole et l'ellipse qui soient comprises ; mais que lorsque l'équation monte jusqu'à

319-320. La Géométrie. — Livre II. 393

la trois ou quatrième dimension des deux, ou de l'une des deux quantités indéterminées (car il en faut deux pour expliquer ici le rapport d'un point à un autre), elle est du second ; et que lorsque l'équation monte jusqu'à la cinquième ou sixième dimension, elle est du troisième ; et ainsi des autres à l'infini.

Comme si je veux savoir de quel genre est la ligne EC, que j'imagine être décrite par l'intersection de la règle GL et du plan rectiligne CNKL, dont le côté KN est indéfiniment prolongé vers C, et qui, étant mu sur le plan de dessous en ligne droite, c'est-à-dire en telle sorte que son diamètre KL se trouve toujours appliqué sur quelque endroit de la ligne BA prolongée de part et d'autre, fait mouvoir circulairement cette règle GL autour du point G, à cause qu'elle lui est tellement jointe qu'elle passe toujours par le point L. Je choisis une ligne droite comme AB, pour rapporter à ses divers points tous ceux de cette ligne courbe EC ; et en cette ligne AB je choisis un point comme A, pour commencer par lui ce calcul. Je dis que je choisis et l'un et l'autre, à cause qu'il est libre de les prendre tels qu'on veut ; car encore qu'il y ait beaucoup de choix pour rendre l'équation plus courte et plus aisée, toutefois en quelle façon qu'on les prenne, on peut toujours faire que la

294 Œuvres de Descartes. 320-322.

ligne paraisse de même genre, ainsi qu’il est aisé à démontrer. Après cela prenant un point à discrétion dans la courbe, comme C, sur lequel je suppose que l’instrument qui sert à la décrire est appliqué, je tire de ce point C la ligne CB parallèle à GA, et pourceque CB et BA sont deux quantités indéterminées et inconnues, je les nomme l’une y et l’autre x; mais afin de trouver le rapport de l’une à l’autre, je considère aussi les quantités connues qui déterminent la description de cette ligne courbe, comme GA, que je nomme a, KL que je nomme b, et NL, parallèle à GA, que je nomme c; puis je dis, comme NL est à LK, ou c à b, ainsi CB ou y est à BK, qui est par conséquent $\frac bc y$ : et BL est $\frac bc y - b$ , et AL est $x+ \frac bc y - b$ . De plus, comme CB est à LB, ou y à $\frac bc y - b$ , ainsi a ou GA est à LA ou $x + \frac bc y - b$ ; de façon que, multipliant la seconde par la troisième, on produit $\frac {ab}{c} y - ab$ , qui est égale à $xy + \frac bc y^2 - by$ , qui se produit en multipliant la première par la dernière : et ainsi l’équation qu’il fallait trouver est

$y^2 = cy - \frac {cx}b y + ay - ac$ ,

de laquelle on connaît que la ligne EC est du premier genre, comme en effet elle n’est autre qu’une hyperbole.

Que si, en l’instrument qui sert à la décrire, on fait qu’au lieu de la ligne droite CNK, ce soit cette hyperbole, ou quelque autre ligne courbe du premier genre, qui termine le plan CNKL, l’intersection de cette ligne et de la règle GL décrira, au lieu de l’hyperbole EC,

322-323. La Géométrie. — Livre II. 395

une autre ligne courbe qui sera d'un second genre. Comme si CNK est un cercle dont L soit le centre, on décrira la première conchoïde des anciens ; et si c'est une parabole dont le diamètre soit KB, on décrira la ligne courbe que j'ai tantôt dit être la première et la plus simple pour la question de Pappus, lorsqu'il n'y a que cinq lignes droites données par position; mais si au lieu d'une de ces lignes courbes du premier genre, c'en est une du second qui termine le plan CNKL, on en décrira, par son moyen, une du troisième, ou si c'en est une du troisième, on en décrira une du quatrième, et ainsi à l'infini, comme il est fort aisé à connaître par le calcul. Et en quelque autre façon qu'on imagine la description d'une ligne courbe, pourvu qu'elle soit du nombre de celles que je nomme géométriques, on pourra toujours trouver une équation pour déterminer tous ses points en cette sorte.

Au reste, je mets les lignes courbes qui font monter cette équation jusqu'au carré, au même genre que celles qui ne la font monter que jusqu'au cube ; et celles dont l'équation monte au carré de cube, au même genre que celles dont elle ne monte qu'au sursolide, et ainsi des autres : dont la raison est qu'il y a règle générale pour réduire au cube

396 Œuvres de Descartes. 323-324.

toutes les difficultés qui vont au carré de carré, et au sursolide toutes celles qui vont au carré de cube ; de façon qu'on ne les doit point estimer plus composées.

Mais il est à remarquer qu'entre les lignes de chaque genre, encore que la plupart soient également composées, en sorte qu'elles peuvent servir à déterminer les mêmes points et construire les mêmes problèmes, il y en a toutefois aussi quelques-unes qui sont plus simples, et qui n'ont pas tant d'étendue en leur puissance ; comme entre celles du premier genre, outre l'ellipse, l'hyperbole et la parabole, qui sont également composées, le cercle y est aussi compris, qui manifestement est plus simple ; et entre celles du second genre, il y a la conchoïde vulgaire, qui a son origine du cercle ; et il y en a encore quelques autres qui, bien qu'elles n'aient pas tant d'étendue que la plupart de celles du même genre, ne peuvent toutefois être mises dans le premier.

Suite de l'explication de la question de Pappus mise au livre précédent

Or, après avoir ainsi réduit toutes les lignes courbes à certains genres, il m'est aisé de poursuivre en la démonstration de la réponse que j'ai tantôt faite à la question de Pappus ; car premièrement, ayant fait voir ci-dessus que, lorsqu'il n'y a que trois ou quatre lignes droites données, l'équation qui sert à déterminer les points cherchés ne monte que jusqu'au carré, il est évident que la ligne courbe où se trouvent ces points est nécessairement quelqu'une de celles du premier genre, à cause que cette même équation explique le rapport qu'ont tous les points des lignes du premier genre à ceux d'une ligne droite ; et que lorsqu'il n'y a point plus de huit lignes droites données, cette équation ne monte que jusqu'au carré de carré tout au plus, et que par conséquent la ligne cherchée ne peut être que du second genre, ou au-dessous ; et que lorsqu'il n'y a

324-325. La Géométrie. — Livre II. 397

point plus de 8 lignes données, l’équation ne monte que jusqu’au carré de cube, et que par conséquent la ligne cherchée n’est que du troisième genre, ou au-dessous ; et ainsi des autres. Et même à cause que la position des lignes droites données peut varier en toutes sortes, et par conséquent faire changer tant les quantités connues que les signes + et - de l’équation, en toutes les façons imaginables, il est évident qu’il n’y a aucune ligne courbe du premier genre qui ne soit utile à cette question, quand elle est proposée en quatre lignes droites ; ni aucune du second qui n’y soit utile, quand elle est proposée en huit ; ni du troisième, quand elle est proposée en douze ; et ainsi des autres : en sorte qu’il n’y a pas une ligne courbe qui tombe sous le calcul et puisse être reçue en géométrie, qui n’y soit utile pour quelque nombre de lignes.

Solution de cette question quand elle n’est proposée qu’en trois ou quatre lignes

Mais il faut ici plus particulièrement que je détermine et donne la façon de trouver la ligne cherchée qui sert en chaque cas, lorsqu’il n’y a que trois ou quatre lignes droites données ; et on verra, par même moyen, que le premier genre des lignes courbes n’en contient aucunes autres que les trois sections coniques et le cercle.

Reprenons les quatre lignes AB, AD, EF et GH données ci-dessus, et qu’il faille trouver une autre ligne, en laquelle il se rencontre une infinité de points tels que C, duquel ayant tiré les 4 lignes CB, CD, CF,

398 Œuvres de Descartes. 325-326.

et CH, à angles donnés, sur les données, CB multipliée par CF, produit une somme égale à CD, multipliée par CH.

C'est-à-dire ayant fait CB = y, CD = $\frac{czy + bcx}{ z^2}$ ,

CF = $\frac{ezy + dek + dex}{z^2}$ et CH = $\frac{gzy + fgl - fgx}{z^2}$ l'équation est

$y^2 = \frac {(-dekz^2 + cfglz)y + (-dez^2x - cfgzx + bcgzx)y + (bcfglx - bcfgx^2)}{ez^3 - cgz^2}$

au moins en supposant ez plus grand que eg car s'il était moindre, il faudrait changer tous les signes + et -. Et si la quantité se trouvait nulle, ou moindre que rien en cette équation, lorsqu'on a supposé

le point C en l'angle DAG, il faudrait le supposer aussi en l'angle DAE, ou EAR, ou RAG, en

326-327. La Géométrie. — Livre II 399

changeant les signes + et – selon qu’il serait requis à cet effet. Et si en toutes ces 4 positions la valeur de y se trouvait nulle, la question serait impossible au cas proposé^*. Mais supposons-la ici être possible, et pour en abréger les termes, au lieu des quantités $\frac {cflgz -dekz^2}{ez^3 - cgz^2}$ écrivons 2m, et au lieu de $\frac {dez^2 + cfgz - bcgz}{ez^3 - cgz^2}$ écrivons $\frac {2n}{z}$ , et ainsi nous aurons y² = $2my - \frac {2n}{z} xy +\frac {bcflgx -bcfgx^2}{ez^3 - cgz^2}$ dont la racine est

$y=m-\frac{nx}{z}+\sqrt{m^2-\frac{2mnx}{z}+\frac{n^2x^2}{z^2} + {bcflgx-bcfgx^2}{ez^3 - cgz^2}}$

et derechef pour abréger, au lieu de $- \frac{2mnx}{z}+ {bcflg}{ez^3 - cgz^2}$ , écrivons o ;

et au lieu de $\frac{n^2}{z^2} - \frac{bcfg}{ez^3 - cgz^2}$ écrivons^[6] $-\frac{p}{m}$ , car ces quantités étant toutes données, nous les pouvons nommer comme il nous plaît et ainsi nous avons

$y = m -\frac {n}{z} x + \sqrt {m^2+ox +\frac {p}{m} x^2}$ qui doit être la longueur de la ligne BC, en laissant AB, ou x indéterminée.

Et il est évident que la question n’étant proposée qu’en trois ou quatre lignes, on peut toujours avoir de tels termes, excepté que quelques-uns d’eux peuvent être nuls, et que les signes + et - peuvent diversement être changés.

BB (1659) 400 Œuvres de Descartes. 327-328.

Après cela je fais KI égale et parallèle à BA, en sorte qu'elle coupe de BC la partie BK égale à m, à cause qu'il y a ici + m ; et je l'aurais ajoutée en tirant cette ligne IK de l'autre côté, s'il aurait eu -m ; et je ne l'aurais point du tout tirée, si la quantité m eut été nulle. Puis je tire aussi IL, en sorte que la ligne IK est à KL, comme z est à n. c'est-à-dire que

IK étant x, KL est $\frac nz x$ . Et par même moyen je connais aussi la proportion qui est entre KL, et IL, que je pose comme entre n et a : si bien que KL étant $\textstyle\frac{n}{z}x$ , iL est $\textstyle\frac{a}{z}x$ . Et je fais que le point K soit entre L et C, à cause qu'il y a ici $-\textstyle\frac{n}{z}x$ ; au lieu que j'aurais mis L entre K et C, si j'eusse eu $+\textstyle\frac{n}{z}x$ ; et je n'eusse point tiré cette ligne IL, si $\textstyle\frac{n}{z}x$ eût été nulle.

Or cela fait, il ne me reste plus pour la ligne LC, que ces termes

$LC = \sqrt{m^2 + ox +\frac{p}{m}x^2}$

d'où je vois que s'ils étaient nuls, ce point C se trou- verait en la ligne droite IL ; et que s’ils étaient tels que la racine s’en pût tirer, c’est-à-dire que m² et $\textstyle\frac{p}{m}x^2$ étant marqués d’un même signe + [ou -]^[7], o² fût égal à 4pm, ou bien que les termes m² et ox, ou ox et $\textstyle\frac{p}{m}x^2$ fussent nuls, ce point C se trouverait en une autre ligne droite qui ne serait pas plus malaisée à trouver que IL. Mais lorsque cela n’est pas, ce point C est toujours en l’une des trois sections coniques, ou en un cercle, dont l’un des diamètres est en la ligne IL, et la ligne LC est l’une de celles qui s’appliquent par ordre à ce diamètre ; ou au contraire LC est parallèle au diamètre, auquel celle qui et en la ligne IL et appliquée par ordre^[8]. À savoir si le terme $\textstyle\frac{p}{m}x^2$ , est nul cette section conique et une Parabole ; et s’il est marqué du signe +, c’est une Hyperbole, et enfin s’il et marqué du signe - c’est une Ellipse. Excepté seulement si la quantité a²m est égale à pz², et que l’angle ILC soit droit ; auquel cas on a un cercle au lieu d’une Ellipse. Que si cette section est une Parabole, son côté droit est égal à $\frac{oz}{a}$ , et son diamètre et toujours en la ligne IL, et pour trouver le point N, qui en est le sommet, il faut faire IN égale à $\frac{am^2}{oz}$ ; et que le point I soit entre L et N, si les termes sont +m² + ox ; ou bien que le point L, soit entre I et N, s’ils sont +m² - ox ; ou bien il faudrait que N fût entré I et L, s’il y avait -m² + ox. Mais il ne peut jamais y avoir - m², en

↑ a. « Voir la figure en la page 6l. « (P. l39 ci-avant.)
↑ Sous-entendez unité.
↑ z⁴ = + az³ + b²z² + c³z + d⁴(Schooten)
↑ a. On voit qu’en tout ce passage, Descartes ne reconnaît nullement les racines négatives des équations.
↑ Voir, à la fin du volume, la Note I, où est donnée la traduction de ce passage latin et où il est commenté. Descartes reproduit le texte de la version, parfois inexacte, de Commandin : Pappi Alexandrini mathema- ticce collectiones a Federico Commaiidino Vrbinate in latinum conversa et commentariis illustratœ. — Pisauri, apud Hieronymum Concordiarn, 1588(1602). — Venetiis, apud Franciscurn de Franciscis Senensem, 1589. — Même édition sous trois tirages différents.
↑ Nous ajoutons le signe - qui manque dans l’édition princeps et aussi bien dans les éditions latines de Shooten.
↑ Les mots entre crochets ont été supprimés par Schooten dans l’édition de 1659.
↑ Ce second cas est celui où IL, ne rencontrant pas la conique, n’était pas alors considérée comme un diamètre.

402 Œuvres de Descartes. 329-330.

en la façon que les termes ont ici été posés. Et enfin le point N serait le même que le point I si la quantité m² était nulle. Au moyen de quoi il et aisé de trouver cette Parabole par le premier Problème du premier livre d’Apollonius^*.

Que si la ligne demandée est un cercle, ou une ellipse, ou une hyperbole, il faut premièrement chercher le point M, qui en est le centre, et qui est toujours en

la ligne droite IL, ou on le trouve en prenant $\frac{aom}{2pz}$ pour IM en sorte que si la quantité o est nulle, ce centre est justement au point I. Et si la ligne cherchée est un cercle, ou une Ellipse, on doit prendre le point M du même côté que le point L, au respect du point I, lorsqu’on a +ox ; et lorsqu’on a –ox, on le doit prendre de l’autre. Mais tout au contraire en l’hyperbole, si on a -ox, ce centre M doit être vers L ; et si on a +ox, il doit être de l’autre côté.

Après cela, le

CCC (1659).
330-332. La GEOMETRIE. LlVRE II. 403

côté droit de la figure doit être

$\sqrt{\frac{o^2z^2}{a^2} + \frac{4mpz^2}{a^2}}$

lorsqu'on a +m², et que la ligne cherchée est un cercle, ou une Ellipse ; ou bien lorsqu'on a -m², et que c'est une Hyperbole, et il doit être

$\sqrt{\frac{o^2z^2}{a^2} - \frac{4mpz^2}{a^2}}$

si la ligne cherchée étant un cercle, ou une Ellipse, on a - m² ; ou bien si étant une Hyperbole et la quantité o² étant plus grande que 4mp, on a +m². Que si la quantité m² est nulle, ce côté droit est $\frac{oz}{a}$ et si ox est nulle, il est $\frac{4mpz^2}{a^2}$ .

Puis pour le côté traversant, il faut trouver une ligne qui sera ce côté droit, comme a²m est à pz² ; à savoir si ce côté droit est

$\sqrt{\frac{o^2z^2}{a^2} + \frac{4mpz^2}{a^2}}$

le traversant est $\sqrt{\frac{a^2o^2m^2}{p^2z^2} + \frac{4a^2m^3}{pz^2}}$

Et en tous ces cas le diamètre de la section et en la ligne IM, et LC et l'une de celles qui lui sont appliquées par ordre^[1]. Si bien que faisant MN égale a la moitié du côté traversant et le prenant du même côté du point M, qu'est le point L, on a le point N pour le sommet de ce diamètre ; ensuite de quoi il est aisé de trouver la section par les second et troisième problèmes du premier livre d'Apollonius.

Mais quand cette section étant une Hyperbole, on à +m²; et que la quantité o² et nulle ou plus petite que 4pm, on doit tirer du centre M la ligne MOP parallèle à LC, et CP parallèle à LM, et faire MO égale à

$\sqrt{m^2 - \frac{o^2m}{4p}}$

ou bien la faire égale à m si la quantité ox est nulle. Puis considérer le point O, comme le sommet de cette Hyperbole ; dont le diamètre et OP, et CP la ligne qui lui est appliquée

404 Œuvres de Descartes. 332.

par ordre, et son côté droit est

$\sqrt{\frac{4a^4m^4}{p^2z^4} - \frac{a^4o^2m^3}{p^3z^4}}$

et son côté traversant est $\sqrt{4m^2 - \frac{o^2m}{p}}$

Excepté quand ox est nulle, car alors le côté droit est $\frac{2a^2m^2}{pz^2}$ ,

et le traversant est 2m ; et ainsi il est aisé de la trouver par le troisième problème du premier livre d'Apollonius.

Démonstration de tout ce qui d’être expliqué.

Et les démonstrations de tout ceci sont évidentes car composant un espace des quantités que j’ai assignées pour le côté droit, et le traversant, et pour le segment du diamètre NL, ou OP, suivant la teneur du 11^e, du 12^e et du 13^e théorèmes du premier livre d'Apollonius, on trouvera tous les mêmes termes dont est composé le carré de la ligne CP, ou CL, qui est appliquée par ordre à ce diamètre. Comme en cet exemple, ôtant IM qui est $\frac{aom}{2pz}$ ,

de NM qui est $\frac{am}{2pz}\sqrt{o^2 + 4mp}$ ,

j’ai IN, à laquelle ajoutant IL, qui est $\frac{a}{z} x$

j’ai NL qui est $\frac{a}{z} x - \frac{aom}{2pz} +\frac{am}{2pz}\sqrt{o^2 + 4mp}$

et ceci étant multiplié par $\frac{z}{a}\sqrt{o^2 + 4mp}$ , qui et le côté droit de la figure,

il vient

$x\sqrt{o^2 + 4mp}-\frac{om}{2p}\sqrt{o^2 + 4mp}+\frac{mo^2}{2p} +2m^2$

332-333. La Géométrie. — Livre II. 405

pour le rectangle, duquel il faut ôter un espace qui soit au carré de NL comme le côté droit est au traversant, et ce carré de NL est

$\frac{a^2}{z^2} x^2 - \frac{a^2om}{pz^2} x$ $- \frac{a^2m}{pz^2}x \sqrt{o^2 + 4mp}$ $+ \frac{a^2o^2m^2}{2p^2z^2}+\frac{a^2m^3}{pz^2} - \frac{a^2om^2}{2p^2z^2}\sqrt{o^2 + 4mp}$

qu’il faut diviser par a²m et multiplier par pz², à cause que ces termes expliquent la proportion qui et entre le côté traversant et le droit, et il vient

$\frac{p}{m}x^2-ox+x\sqrt{o^2+4mp}+\frac{o^2m}{2p}-\frac{om}{2p}\sqrt{o^2+4mp}+m^2$

ce qu’il faut ôter du rectangle précédent, et on trouve

$m^2 + ox -\frac{p}{m}x^2$

pour le carré de CL, qui par conséquent et une ligne appliquée par ordre dans une Ellipse, ou dans un cercle, au segment du diamètre NL.

Et si on veut expliquer toutes les quantités données par nombres, en faisant par exemple EA = 3, AG = 5, AB = BR, BS = $\frac 12$ BE,GB = BT, CD = $\frac 32$ CR, CF = 2CS, CH = $\frac 23$ CT, et que l’angle ABR soit de 60 degrés ; et enfin que le rectangle des deux CB, et CF, soit égal au rectangle des deux autres CD et CH ; car il faut avoir toutes ces choses afin que la question soit entièrement déterminée. et avec cela supposant AB = x; et CB = y, on trouve par la façon ci-dessus expliqué

y² = 2y - xy + 5x - x²

$y = 1 - \frac 12 x + \sqrt{1 + 4x -\frac 34 x^2}$

si bien que BK doit être 1, et KL doit être la moitié da KI, et pourceque l’angle IKL ou ABR est de 60 degrés, et KIL qui est la moitié de KIB ou IKL, de 30, ILK est droit. Et pourceque IK ou AB est nommé x, KL est $\frac 12$ x, et IL est $x\sqrt{\frac 34}$ , et la quantité qui

était tantôt nommée z est 1, celle qui était a est $\sqrt{\frac 34}$ , celle qui était m est 1, celle qui était o est 4, et celle qui était p est $\frac 34$ , de façon qu’on a $\sqrt{\frac {16}{3}}$ pour IM, et $\sqrt{\frac {19}{3}}$ pour NM ; et pourceque a²m ; qui est $\frac 34$ est ici égal à pz², et que l’angle ILC est droit, on trouve que la ligne courbe NC est un cercle. Et on peut examiner facilement examiner tous les autres cas de la sorte.

Quels sont les lieux plans et solides, et la façon de les trouver tous

Au reste, à cause que les équations qui ne montent que jusqu’au carré sont toutes comprises en ce que je viens d’expliquer, non seulement le problème des anciens en trois et quatre lignes est ici entièrement achevé, mais aussi tout ce qui appartient à ce qu’ils nommaient la composition des lieux solides, et par conséquent aussi à celle des lieux plans, à cause qu’ils sont compris dans les solides. Car ces lieux ne sont autre

334-335. La Géométrie. — Livre II. 407

chose, sinon que, lorsqu'il est question de trouver quelque point auquel il manque une condition pour être entièrement déterminé, ainsi qu'il arrive en cet exemple, tous les points d'une même ligne peuvent être pris pour celui qui est demandé : et si cette ligne est droite ou circulaire, on la nomme un lieu plan; mais si c'est une parabole, ou une hyperbole, ou une ellipse, on la nomme un lieu solide : et toutefois et quand cela est, on peut venir à une équation qui contient deux quantités inconnues, et est pareille à quelqu'une de celles que je viens de résoudre. Que si la ligne qui détermine ainsi le point cherché est d'un degré plus composée que les sections coniques, on la peut nommer, en même façon, un lieu sursolide, et ainsi des autres. Et s'il manque deux conditions à la détermination de ce point, le lieu où il se trouve est une superficie, laquelle peut être tout de même ou plate, ou sphérique, ou plus composée. Mais le plus haut but qu'aient eu les anciens en cette matière a été de parvenir à la composition des lieux solides ; et il semble que tout ce qu'Apollonius a écrit des sections coniques n'a été qu'à dessein de la chercher.

De plus, on voit ici que ce que j'ai pris pour le premier genre des lignes courbes n'en peut comprendre aucunes autres que le cercle, la parabole, l'hyperbole et l'ellipse, qui est tout ce que j'avais entrepris de prouver.

Quelle est la première et la plus simple de toutes les lignes courbes qui servent à la question des anciens quand elle est proposée en cinq lignes

Que si la question des anciens est proposée en cinq lignes qui soient toutes parallèles, il est évident que le point cherché sera toujours en une ligne droite ;

408 Œuvres de Descartes. 335-337.

Quelle est la première et la plus simple de toutes les lignes courbes qui servent à la question des anciens quand elle est proposée en cinq lignes

Mais si elle est proposée en cinq lignes, dont il y en ait quatre qui soient parallèles, et que la cinquième les coupe à angles droits, et même que toutes les lignes tirées du point cherché les rencontrent aussi à angles droits, et enfin que le parallélépipède composé de trois des lignes ainsi tirées sur trois de celles qui sont parallèles soit égal au parallélépipède composé proposée en des deux lignes tirées, l'une sur la quatrième de celles qui sont parallèles, et l'autre sur celle qui les coupe à angles droits, et d'une troisième ligne donnée, ce qui est, ce semble, le plus simple cas qu'on puisse imaginer après le précédent, le point cherché sera en la ligne courbe qui est décrite par le mouvement d'une parabole, en la façon ci-dessus expliquée.

Soient par exemple les lignes données AB, IH, ED, GF, et GA, et qu'on demande le point C, en sorte que tirant CB, CF, CD, GH et CM à angles droits sur les données, le parallélépipède des trois CF, CD et CH soit égal à celui des deux autres CB et CM, et d'une troisième qui soit AL. Je pose GB = y, CM = x, AI ou AE ou GE = a; de façon que le point C étant entre les lignes AB et DE, j'ai CF = 2a - y, CD = a - y, et CH = y + a ; et multipliant ces trois l'une par l'autre, j'ai y³ - 2ay² - a²y + 2a³ égal au produit des trois autres, qui est axy. Après cela je considère la ligne courbe CEG, que j'imagine être décrite par l'intersection de la

337-338. La Géométrie. — Livre II. 409

parabole CKN, qu'on fait mouvoir en telle sorte que son diamètre KL est toujours sur la ligne droite AB, et de la règle GL qui tourne cependant autour du point G en telle sorte qu'elle passe toujours dans le plan de cette parabole par le point L. Et je fais KL = a, et le côté droit principal, c'est-à-dire celui qui se rapporte à l'essieu de cette parabole, aussi égal à a, et GA = 2a, et CB ou MA = y, et CM ou AB = x. Puis à cause des triangles semblables GMC et CBL, GM qui est 2a - y, est à MC qui est x, comme CB qui est y, est à BL qui est par conséquent $\frac {xy}{2a-y}$ . Et pourceque KL est a, BK est $a - \frac {xy}{2a-y}$ , ou bien $\frac {2a^2 - ay - xy}{2a-y}$ . Et enfin pourceque ce même BK, étant un segment du diamètre de la parabole, est à BC qui lui est appliquée par ordre, comme celle-ci est au côté droit qui est a, le calcul montre que y³ - 2ay² - a²y + 2a² est égal à axy; et par conséquent que le point C est celui qui était demandé. Et il peut être pris en tel endroit de la ligne CEG qu'on veuille choisir, ou aussi en son

410 Œuvres de Descartes. 338-339.

adjointe cEGc, qui se décrit en même façon, excepté que le sommet de la parabole est tourné vers l'autre côté, ou enfin en leurs contreposées NIo, nIO, qui sont décrites par l'intersection que fait la ligne GL en l'autre côté de la parabole KN.

Or encore que les parallèles données AB, IH, ED, et GF, ne fussent point également distantes, et que GA ne les coupât point à angles droits, ni aussi les lignes tirées du point C vers elles, ce point C ne laisserait pas de se trouver toujours en une ligne courbe qui serait de même nature : et il s'y peut aussi trouver quelquefois, encore qu'aucune des lignes données ne soient parallèles. Mais si lorsqu'il y en a quatre ainsi parallèles, et une cinquième qui les traverse, et que le parallélépipède de trois des lignes tirées du point cherché, l'une sur cette cinquième, et les deux autres sur deux de celles qui sont parallèles, soit égal à celui des deux tirées sur les deux autres parallèles, et d'une autre ligne donnée : ce point cherché est en une ligne courbe d'une autre nature, à savoir en une qui est telle, que toutes les lignes droites appliquées par

339-340. La Géométrie. — Livre II. 411

ordre à son diamètre étant égales à celles d'une section conique, les segments de ce diamètre qui sont entre le sommet et ces lignes ont même proportion à une certaine ligne donnée, que cette ligne donnée a aux segments du diamètre de la section conique, auxquels les pareilles lignes sont appliquées par ordre. Et je ne saurais véritablement dire que cette ligne soit moins simple que la précédente, laquelle j'ai cru toutefois devoir prendre pour la première, à cause que la description et le calcul en sont en quelque façon plus faciles.

Pour les lignes qui servent aux autres cas, je ne m'arrêterai point à les distinguer par espèces, car je n'ai pas entrepris de dire tout ; et, ayant expliqué la façon de trouver une infinité de points par où elles passent, je pense avoir assez donné le moyen de les décrire.

Quelles sont les lignes courbes qu'on décrit en trouvant plusieurs de leurs points qui peuvent être reçues en géométrie

Même il est à propos de remarquer qu'il y a grande différence entre cette façon de trouver plusieurs points pour tracer une ligne courbe, et celle dont on se sert pour la spirale et ses semblables ; car par cette dernière on ne trouve pas indifféremment tous les points de la ligne qu'on cherche, mais seulement ceux qui peuvent être déterminés par quelque mesure plus simple que celle qui est requise pour la composer ; et ainsi, à proprement parler, on ne trouve pas un de ses points, c'est-à-dire pas un de ceux qui lui sont tellement propres qu'ils ne puissent être trouvés que par elle ; au lieu qu'il n'y a aucun point dans les lignes qui servent à la question proposée, qui ne se puisse rencontrer entre ceux qui se déterminent par la façon tantôt expliquée. Et pour cette façon de tracer une ligne courbe, en trouvant indifféremment plusieurs de ses points, ne s’étend qu’à celles qui peuvent aussi être décrites par un mouvement régulier et continu, on ne la doit pas entièrement rejeter de la géométrie.

Quelles sont aussi celles qu’on décrit avec une corde qui peuvent y être reçues

Et on n’en doit pas rejeter non plus celle où on se sert d’un fil ou d’une corde repliée pour déterminer l’égalité ou la différence^[2] de deux ou plusieurs lignes droites qui peuvent être tirées de chaque point de la courbe qu’on cherche, à certains autres points, ou sur certaines autres lignes à certains angles, ainsi que nous avons fait en la Dioptrique pour expliquer l’ellipse et l’hyperbole ; car encore qu’on n’y puisse recevoir aucunes lignes qui semblent à des cordes, c’est-à-dire qui deviennent tantôt droites et tantôt courbes, à cause que la proportion qui est entre les droites et les courbes n’étant pas connue, et même, je crois, ne le pouvant être par les hommes, on ne pourrait rien conclure de là qui fût exact et assuré. Toutefois à cause qu’on ne se sert de cordes en ces constructions que pour déterminer des lignes droites dont on connaît parfaitement la longueur, cela ne doit point faire qu’on les rejette.

Que, pour trouver toutes les propriétés des lignes courbes, il suffit de savoir le rapport qu’ont tous leurs points à ceux des lignes droites ; et la façon de tirer d’autres lignes qui les coupent en tous ces points à angles droits

Or de cela seul qu’on sait le rapport qu’ont tous les points d’une ligne courbe à tous ceux d’une ligne droite, en la façon que j’ai expliquée, il est aisé de trouver aussi le rapport qu’ils ont à tous les autres points et lignes données ; et ensuite de connaître les diamètres, les essieux, les centres et autres lignes

341-342. La Géométrie. Livre II. 413

ou points à qui chaque ligne courbe aura quelque rapport plus particulier ou plus simple qu'aux autres ; et ainsi d'imaginer divers moyens pour les décrire, et d'en choisir les plus faciles ; et même on peut aussi, par cela seul, trouver quasi tout ce qui peut être déterminé touchant la grandeur de l'espace qu'elles comprennent, sans qu'il soit besoin que j'en donne plus d'ouverture. Et enfin pour ce qui est de toutes les autres propriétés qu'on peut attribuer aux lignes courbes, elles ne dépendent que de la grandeur des angles qu'elles font avec quelques autres lignes. Mais lorsqu'on peut tirer des lignes droites qui les coupent à angles droits, aux points où elles sont rencontrées par celles avec qui elles font les angles qu'on veut mesurer, ou, ce que je prends ici pour le même, qui coupent leurs contingentes, la grandeur de ces angles n'est pas plus malaisée à trouver que s'ils étaient compris entre deux lignes droites. C'est pourquoi je croirai avoir mis ici tout ce qui est requis pour les éléments des lignes courbes, lorsque j'aurai généralement donné la façon de tirer des lignes droites qui tombent à angles droits sur tels de leurs points qu'on voudra choisir. Et j'ose dire que c'est ceci le problème le plus utile et le plus général, non seulement que je sache, mais même que j'aie jamais désiré de savoir en géométrie.

- Façon générale pour trouver des lignes droites qui coupent les courbes données ou leurs contingentes à angles droits

Soit CE la ligne courbe, et qu'il faille tirer une ligne droite par le point C, qui fasse avec elle des angles droits. Je suppose la chose déjà faite, et que la ligne cherchée est CP, laquelle je prolonge jusqu’

414 Œuvres de Descartes. 342-343.

au point P, ou elle rencontre la ligne droite GA, que je suppose être celle aux points de laquelle on rapporte tous ceux de la ligne CE : en sorte que faisant MA ou CB = y et CM ou BA = x, j’ai quelque équation, qui explique le rapport, qui est entre x et y. Puis je fais P C = s et PA = v, ou PM = v - y, et à cause du triangle rectangle PMC, j’ai s² qui est le carré de la base égal à x² + v² - 2vy + y², qui sont les carrés des deux côtés ; c’est-à-dire j’ai

$x = \sqrt{s^2 - v^2 + 2vy - y^2}$ ,

ou bien

$y = v +\sqrt{s^2 - x^2}$ ,

et par le moyen de cette équation, j’ôte de l’autre équation qui m’explique le rapport qu’ont tous les points de la courbe CB à ceux de la droite GA, l’une des deux quantités indéterminées x ou y ce qui est aisé à faire en mettant partout

$\sqrt{s^2 - v^2 + 2vy - y^2}$ ,

au lieu de x, et le carré de cette somme au lieu de x², et son cube au lieu de x³, et ainsi des autres, si c’est x que je veuille ôter ; ou bien si c’est y, en mettant en son lieu $v + \sqrt{s^2 - x^2}$ ,

et le carré, ou le cube, etc. de cette somme, au lieu de y² ou y³, etc. De façon qu’il reste toujours après cela une équation, en laquelle il n’y a plus qu’une seule quantité indéterminée, x ou y.

Exemple de cette opération en une ellipse et en une parabole du second genre^[3].

Comme si CE est une Ellipse, et que MA soit le segment de son diamètre, auquel CM soit appliquée par ordre, et qui ait r pour son côté droit et q pour le

343-344.

415

La Géométrie. — Livre II.

traversant, on a par le treizième théorème du premier livre d’Apollonius,

$x^2 = ry - \frac{r}{q}y^2$ ,

D’où ôtant x², il reste

$s^2 - v^2 + 2vy - y^2 = ry - \frac{r}{q}y^2$ ,

ou bien

$y^2 + \frac{qry-2qvy+qv^2-qs^2}{q - r} = 0$ ,

car il est mieux en cet endroit de considérer ainsi ensemble toute la somme, que d’en faire une partie égale à l’autre.

Tout de même si CE est la ligne courbe décrite par le mouvement d’une Parabole en la façon ci-dessus expliquée, et qu’on ait posé b pour GA, c pour KL et d pour le côté droit du diamètre KL en la parabole, l’équation qui explique le rapport qui est entre x et y est

y³ - by² - cdy + bcd +dxy = 0,

d’où ôtant x, on a $y^3 - by^2 - cdy + bcd + dy\sqrt{s^2 - v^2 + 2vy - y^2}$ ;

et remettant en ordre ces termes par le moyen de la multiplication, il vient

$y^6-2by^5+\left.\begin{array}{r}-2cd\\+b^2\\+d^2 \end{array}\right\}y^4+\left.\begin{array}{r}+4bcd\\-2d^2v \end{array}\right\}y^3+\left.\begin{array}{r}-2b^2cd\\+c^2d^2\\ -d^2s^2 \\ +d^2v^2\end{array}\right\}y^2$

$\displaystyle{- 2bc^2d^2y + b^2c^2d^2 = 0}$ ^[4],

et ainsi des autres.

416 Œuvres de Descartes. 344-345.

Autre exemple en un ovale du second genre ^[5]

Même encore que les points de la ligne courbe ne se rapportaient pas, en la façon que j’ai dite à ceux d'une ligne droite, mais en toute autre qu'on saurait imaginer, on ne laisse pas de pouvoir toujours avoir une telle équation. Comme si CE est une ligne, qui ait tel rapport aux trois points F, G et A, que les lignes droites tirées de chacun de ses points comme C, jusqu’au point F, surpassent la ligne SA d'une quantité, qui ait certaine proportion donnée à une autre quantité dont GA surpasse les lignes tirées des mêmes points jusqu’à G. Faisons GA = b, AF = c et prenant à discrétion le point C dans la courbe, que la quantité dont CF surpasse SA, soit à celle dont GA surpasse GC, comme d à c, en sorte que si cette quantité qui est indéterminée se nomme z, FC est c + z et GC est $\textstyle{b - \frac{e}{d}z}$ .

Puis posant MA = y, GM est b - y, et FM est c + y, et à cause du triangle rectangle CMG, ôtant le carré de GM du carré de GC, on a le carré de CM, qui est

$\frac{c^2}{d^2}z^2 - \frac{2bc}{d}z + 2by - y^2$

puis ôtant le carré de FM du carré de FC, on a encore le carré de CM en d'autres termes, à savoir z² + 2cz – 2cy - y² ; et ces termes étant égaux aux précédents, ils font connaître y ou MA, qui est

$\frac{d^2z^2 + 2cd^2z - c^2z^2 + 2bdez}{2bd^2 + 2cd^2}$

et substituant cette somme au lieu de y dans le carré

345-346. La Géométrie. — Livre II. 417

de CM, on trouve qu’il s’exprime en ces termes

$\frac{bd^2z^2 + ce^2z^2 + 2bcd^2z - 2bcdez}{bd^2 + cd^2} - y^2$ .

Puis supposant que la ligne droite PC rencontre la courbe à angles droits au point C, et faisant PC = s et PA = v comme devant, PM est v - y ; et à cause du triangle rectangle PCM, on a r² - v² + 2vy - y² pour le carré de CM, ou derechef ayant au lieu de y substitué la somme qui lui est égale, il vient

$z^2 + \textstyle{\frac{2bcd^2z-2bcdez-2cd^2vz-2bdevz-bd^2s^2+bd^2v^2-cd^2s^2+cd^2v^2}{bd^2 + ce^2 + e^2v - d^2v}} = 0$

pour l’équation que nous cherchions.

Or après qu’on a trouvé une telle équation, au lieu de s’en servir pour connaître les quantités x ou y, ou z, qui sont déjà données, puisque le point C est donné, on la doit employer à trouver v ou s, qui déterminent le point P, qui est demandé. Et à cet effet il faut considérer, que si ce point P est tel qu’on le désire, le cercle dont il sera le centre, et qui passera par le point C, y touchera la ligne courbe CE, sans la couper ; mais que si ce point P, est tant soit peu plus proche, ou plus éloigné du point A, qu’il ne doit, ce cercle coupera la courbe, non seulement au point C, mais aussi nécessairement en quelque autre. Puis il faut aussi considérer, que lorsque ce cercle coupe la ligne courbe CE, l’équation par laquelle on cherche la quantité x ou y, ou quelque autre semblable, en supposant PA et PC être connues, contient nécessairement deux racines, qui sont inégales. Car par exemple si ce cercle

418 Œuvres de Descartes. 346-347.

coupe la courbe aux points C et E, ayant tiré EQ parallèle à CM, les noms des quantités indéterminées x et y, conviendront aussi bien aux lignes EQ et QA, qu’à CM et MA ; puis PE est égale à PC, à cause du cercle, si bien que cherchant les lignes EQ et QA, par PE et PA qu’on suppose comme données, on aura la même équation que si on cherchait CM et MA par PC, PA, d’où il suit évidemment, que la valeur de x ou de y, ou de telle autre quantité qu’on aura supposée, sera double en cette équation, c’est-à-dire qu’il y aura deux racines inégales entre elles, et dont l’une sera CM, l’autre EQ, si c’est x qu’on cherche, ou bien l’une sera MA et l’autre QA, si c’est y ; et ainsi des autres. Il est vrai que si le point E ne se trouve pas du même côté de la courbe que le point C, il n’y aura que l’une de ces deux racines qui soit vraie, et l’autre sera renversée, ou moindre que rien : mais plus ces deux points C et E, sont proches l’un de l’autre, moins il y a de différence entre ces deux racines ; et enfin elles sont entièrement égales, s’ils sont tous deux joints en un ; c’est-à-dire si le cercle, qui passe par C, y touche la courbe CE sans la couper.

De plus il faut considérer, que lorsqu’il y a deux racines égales en une équation, elle a nécessairement la même forme, que si on multiplie par soi-même la quantité qu’on y suppose être inconnue, moins la quantité connue qui lui est égale, et qu’après cela si cette dernière somme n’a pas tant de dimensions que

347-348. La Géométrie. — Livre II. 419

la précédente, on la multiplie par une autre somme qui en ait autant qu’il lui en manque ; afin qu’il puisse y avoir séparément équation entre chacun des termes de l’une et chacun des termes de l’autre.

Comme par exemple je dis que la première équation trouvée ci-dessus, à savoir

$y^2 + \frac{qry - 2qvy + qv^2 - qs^2}{q - r}$

doit avoir la même forme que celle qui se produit en faisant e égal à y, et multipliant y - e par soi-même, d’où il vient y² - 2ey + e², en sorte qu’on peut comparer séparément chacun de leurs termes, et dire que puisque le premier qui est y² est tout le même en l’une qu’en l’autre, le second qui est en l’une $\frac{qry - 2 qvy}{q - r}$

est égal au second de l’autre qui est -2ey, d’où cherchant la quantité v qui est la ligne PA, on a

$v = e - {\frac{r}{q}}e + \textstyle\frac 12 r$

à cause que nous avons suppose e égal à y, on a

$v = y - {\frac{r}{q}}y + \textstyle\frac 12 r$ .

Et ainsi on pourrait trouver s par le troisième terme $e^2 = \frac{qv^2 - qs^2}{q - r}$

mais pourceque la quantité v détermine assez le point P, qui est le seul que nous cherchions, on n’a pas besoin de passer outre.

420

348.

Œuvres de Descartes.

Tout de même la seconde équation trouvée ci-dessus^[6], à savoir

$y^6 - 2by^5 +\left.\begin{array}{r} + b^2 \\ -2cd \\ +d^2 \end{array}\right\}y^4 +\left.\begin{array}{r} +4bcd \\ -2d^2v \end{array}\right\}y^3 +\left.\begin{array}{r} +c^2d^2 \\ -d^2s^2 \\ +d^2v^2 \\ -2b^2cd \end{array}\right\}$ $\displaystyle{-2bc^2d^2y+b^2c^2d^2=0}$ ,^[7]

doit avoir même forme, que la somme qui se produit lorsqu’on multiplie

y² - 2ey + e² par y⁴ + fy³ + g²y² + h³y + k⁴

qui est

$y^6 + \left.\begin{array}{r} +f \\ -2e \end{array}\right\}y^5 + \left.\begin{array}{r} +g^2 \\ -2ef \\ +e^2 \end{array}\right\}y^4 + \left.\begin{array}{r} +h^3 \\ -2eg^2 \\ +e^2f \end{array}\right\}y^3$

$+ \left.\begin{array}{r} +k^4 \\ -2eh^3 \\ +e^2g^2 \end{array}\right\}y^2 + \left.\begin{array}{r} -2ek^4 \\ + e^2h^3 \end{array}\right\}y + e^2k^4$ ^[8]

de façon que de ces deux équations j’en tire six autres, qui servent à connaître les six quantités f, g, h, k, v et s.

D’où il est sort aisé à entendre, que de quelque genre, que puisse être la ligne courbe proposée, il vient toujours par cette façon de procéder autant d’équations, qu’on est obligé de supposer de quantités, qui sont inconnues. Mais pour démêler par ordre ces équations, et trouver enfin la quantité v, qui et la seule dont on a besoin, et à l’occasion de laquelle on cherche les autres, il faut premièrement par le second terme chercher f, la première des quantités inconnues de la dernière somme, et on trouve f = 2e - 2b.

Puis par le dernier il faut chercher k, la dernière des quantités inconnues de la même somme, et on trouve

$k^4 = \frac{b^2c^2d^2}{e^2}$

349-350.

421

La Géométrie. — Livre II.

Puis par le troisième terme il faut chercher g la seconde quantité, et on a

g² = 3e² - 4be – 2cd + b² + d².

Puis par le pénultième il faut chercher h, la pénultième quantité, qui est

$h^3 = \frac{2b^2c^2d^2}{e^2} - \frac{bc^2d^2}{e^2}$ .

Et ainsi il faudrait continuer suivant ce même ordre jusqu’à la dernière, s’il y en avait d’avantage en cette somme ; car c’est chose qu’on peut toujours faire en même façon.

Puis par le terme qui suit en ce même ordre, qui est ici le quatrième, il faut chercher la quantité v, et on a

$v^2 = \frac{2e^2}{d^2}-\frac{3be^2}{d^2}+\frac{be^2}{d^2} - \frac{2ce}{d}+e+\frac{2bc}{d}+\frac{bc^2}{e^2}-\frac{b^2c^2}{e^3}$

ou mettant y au lieu de e qui lui est égal on a

$v^2 = \frac{2y^2}{d^2}-3\frac{by^2}{d^2}+\frac{b^2y}{d^2}-\frac{2cy}{d}+y+\frac{2bc}{d}+\frac{bc^2}{y^2}-\frac{b^2c^2}{y^3}$

pour la ligne AP.

Et ainsi la troisième équation, qui est

$\textstyle{z^2+\frac{2bcd^2z-2bcdez-2cd^2vz-2bdevz-bd^2s^2+bd^2v^2-cd^2s^2+cd^2v^2}{bd^2+ce^2+e^2v-d^2v}}$

422

350.

Œuvres de Descartes.

a la même forme que z² - 2fz + f²,

en supposant f égal à z, si bien qu’il y a derechef équation entre -2f ou -2z, et

$\frac{2bcd^2 - 2bcde - 2cd^2v - 2bdev}{bd^2 + ce^2 + e^2v - d^2v}$ .

d’où on connaît que la quantité v est

$\frac {bcd^2 - bcde + bd^2z + ce^2z}{cd^2 + bde - e^2z + d^2z}$ .

Façon générale pour trouver des lignes droites qui coupent les courbes données ou leurs contingentes à angles droits

C’est pourquoi, composant la ligne AP de cette somme égale à v, dont toutes les quantités sont connues, et tirant du point P ainsi trouvé, une ligne droite vers C, elle y coupe la courbe CE à angles droits ; qui est ce qu’il fallait faire. Et je ne vois rien qui empêche qu’on n’étende ce problème en même façon à toutes les lignes courbes qui tombent sous quelque calcul géométrique.

Même il est à remarquer, touchant la dernière somme, qu’on prend à discrétion pour remplir le nombre des dimensions de l’autre somme lorsqu’il y en manque, comme nous avons pris tantôt

y⁴ + fy³ + g²y² + h³y + k⁴

que les signes + et - y peuvent être supposés tels qu’on veut, sans que la ligne v ou AP se trouve diverse pour cela, comme vous pourrez aisément voir par expérience : car s’il fallait que je m’arrêtasse à

350-352.

423

La Géométrie. — Livre II.

démontrer tous les théorèmes dont je fais quelque mention, je serais contraint d’écrire un volume beaucoup plus gros que je ne désire. Mais je veux bien en passant vous avertir que l’invention de supposer deux équations de même forme, pour comparer séparément tous les termes de l’une à ceux de l’autre, et ainsi en faire naître plusieurs d’une seule, dont vous avez vu ici un exemple, peut servir à une infinité d’autres problèmes, et n’est pas l’une des moindres de la méthode dont je me sers.

Je n’ajoute point les constructions par lesquelles on peut décrire les contingentes ou les perpendiculaires cherchées, ensuite du calcul que je viens d’expliquer, à cause qu’il est toujours aisé de les trouver, bien que souvent on ait besoin d’un peu d’adresse pour les rendre courtes et simples.

Exemple de la construction de ce problème en la conchoïde

Comme par exemple, si DC est la première conchoïde des anciens^[9], dont A soit le pôle et BH la règle, en sorte que toutes les lignes droites qui regardent vers A, et sont comprises entre la courbe CD et la droite BH, comme DB et CE, soient égales, et qu’on veuille trouver la ligne CG qui la coupe au point C à angles droits, on pourrait, en cherchant dans la ligne BH le point par où cette ligne CG doit passer, selon la méthode ici expliquée, s’engager dans un

424

352-353.

Œuvres de Descartes.

calcul autant ou plus long qu’aucun des précédents. Et toutefois la construction qui devrait après en être déduite est fort simple. Car il ne faut que prendre CF en la ligne droite CA, et la faire égale à CH qui est perpendiculaire sur HB ; puis du point F tirer FG parallèle à BA et égale à EA ; au moyen de quoi on a le point G, par lequel doit passer CG la ligne cherchée.

Explication de quatre nouveaux genres d’ovales qui servent à l’optique

Au reste, afin que vous sachiez que la considération des lignes courbes ici proposée n’est pas sans usage, et qu’elles ont diverses propriétés qui ne cèdent en rien à celles des sections coniques, je veux encore ajouter ici l’explication de certaines ovales que vous verrez être très utiles pour la théorie de la catoptrique et de la dioptrique. Voici la façon dont je les décris :

Premièrement, ayant tiré les lignes droites FA et AR, qui s’entrecoupent au point A, sans qu’il importe à quels angles, je prends en l’une le point F à discrétion, c’est-à-dire plus ou moins éloigné du point A, selon que

je veux faire ces Ovales plus ou moins

353.

425

La Géométrie. — Livre II.

grandes, et de ce point F, comme centre, je décris un cercle qui passe quelque peu au-delà du point A, comme par le point 5. Puis de ce point 5 je tire la ligne droite 56, qui coupe l’autre au point 6, en sorte que A6 soit moindre que A5 selon telle proportion donnée qu’on veut, à savoir selon celle qui mesure les réfractions si on s’en veut servir pour la dioptrique. Après cela je prends aussi le point G en la ligne FA du côté où est le point 5, à discrétion, c’est-à-dire en faisant que les lignes AF et GA ont entre elles telle proportion donnée qu’on veut. Puis je fais RA égale à GA en la ligne A6, et du centre G décrivant un cercle dont le rayon soit égal à R6, il coupe l’autre cercle de part et d’autre au point 1, qui est l’un de ceux par où doit passer la première des ovales cherchées. Puis derechef du centre F je décris un cercle qui passe un peu au-deçà ou au-delà du point 5, comme par le point 7, et ayant tiré la ligne droite 78 parallèle à 56, du centre G je décris un autre cercle dont le rayon est égal à la ligne R8 ; et ce cercle coupe celui qui passe par le point 7 au point 1, qui est encore l’un de ceux de la même ovale ; et ainsi on en peut trouver autant d’autres qu’on voudra, en tirant derechef d’autres lignes parallèles à 78, et d’autres cercles des centres F et G.

Pour la seconde ovale^[10], il n’y a point de différence, sinon qu’au lieu de AR, il faut de l’autre côté du point A prendre AS égal à AG, et que le rayon du cercle décrit du centre G, pour couper celui qui est décrit du centre F et qui passe par le point 5, soit

426

353-355.

Œuvres de Descartes.

.

égal à la ligne S6, ou qu’il soit égal à S8, si c’est pour couper celui qui passe par le point 7, et ainsi des autres ; au moyen de quoi ces cercles s’entre-coupent aux points marqués 2, 2, qui sont ceux de cette seconde ovale A2X.

Pour la troisième et la quatrième, au lieu de la ligne AG il faut prendre AH de l’autre côté du point A, à savoir du même qu’est le point F ; et il y a ici de plus à observer que cette ligne AH doit être plus grande que AF, laquelle peut même être nulle, en sorte que le point F se rencontre où est le point A en la description de toutes ces ovales. Après cela les lignes AR et AS étant égales à AH, pour décrire la troisième ovale A3Y, je fais un cercle du centre H, dont le rayon est égal à S6, qui coupe au point 3 celui du centre F, qui passe par le point 5 ; et un autre dont le rayon est égal à S8, qui coupe celui qui

355-356.

427

La Géométrie. — Livre II.

passe par le point 7 au point aussi marqué 3, et ainsi des autres. Enfin, pour la dernière ovale, je fais des cercles du centre H, dont les rayons sont égaux aux lignes R6, R8, et semblables, qui coupent les autres cercles aux points marqués 4.

On pourrait encore trouver une infinité d’autres moyens pour décrire ces mêmes ovales ; comme par exemple, on peut tracer la première AV, lorsqu’on suppose les lignes FA et AG être égales, si on divise

428

356-357.

Œuvres de Descartes.

la toute FG au point L, en sorte que FL soit à LG comme A5 à A6, c’est-à-dire qu’elles aient la proportion qui mesure les réfractions. Puis ayant divisé AL en deux parties égales au point K, qu’on fasse tourner une règle comme EF autour du point F, en pressant du doigt G la corde EC, qui étant attachée au bout de cette règle vers E, se replie de C vers K, puis de K derechef vers C, et de C vers G, où son autre bout soit attaché, en sorte que la longueur de cette corde soit composée de celle des lignes GA, plus AL, plus FE, moins AF ; et ce sera le mouvement du point C qui décrira cette ovale, à l’imitation de ce qui a été dit en la Dioptrique de l’ellipse et de l’hyperbole; mais je ne veux point m’arrêter plus longtemps sur ce sujet.

Or, encore que toutes ces ovales semblent être quasi[-ment] de même nature, elles sont néanmoins de quatre divers genres, chacun desquels contient sous soi une infinité d’autres genres, qui derechef contiennent chacun autant de diverses espèces que fait le genre des ellipses ou celui des hyperboles ; car selon que la proportion qui est entre les lignes A5, A6, ou sem-

357.

429

La Géométrie. — Livre II.

blables, est différente, le genre subalterne de ces ovales est différent ; puis selon que la proportion qui est entre les lignes AF, et AG, ou AH est changée, les ovales de chaque genre subalterne changent d’espèce ; et selon que AG ou AH est plus ou moins grande, elles sont diverses en grandeur ; et si les lignes A5 et A6 sont égales, au lieu des ovales du premier genre ou du troisième, on ne décrit que des lignes droites ; mais au lieu de celles du second on a toutes les hyperboles possibles, et au lieu de celles du dernier toutes les ellipses.

Les propriétés de ces ovales touchant les réflexions et les réfractions.

Outre cela, en chacune de ces ovales il faut considérer deux parties qui ont diverses propriétés ; à savoir en la première, la partie qui est vers A, fait que les rayons qui étant dans l’air viennent du point F, se retournent tous vers le point G, lorsqu’ils rencontrent la superficie convexe d’un verre dont la superficie est 1A1, et dans lequel les réfractions se font telles que, suivant ce qui a été dit en la Dioptrique, elles peuvent toutes être mesurées par la proportion qui est entre les lignes A5 et A6 ou semblables, par l’aide desquelles on a décrit cette ovale.

430

358-359.

Œuvres de Descartes.

Mais la partie qui est vers V fait que les rayons qui viennent du point G se réfléchiraient tous vers F, s’ils y rencontraient la superficie concave d’un miroir dont la figure fût 1V1, et qui fût de telle matière qu’il diminuât la force de ces rayons, selon la proportion qui est entre les lignes A5 et A6 ; car de ce qui a été démontré en la Dioptrique, il est évident que, cela posé, les angles de la réflexion seraient inégaux, aussi bien que sont ceux de la réfraction, et pourraient être mesurés en même sorte.

En la seconde ovale la partie 2A2 sert encore pour les réflexions dont on suppose les angles être inégaux, car étant en la superficie d’un miroir composé de même matière que le précédent, elle ferait tellement réfléchir tous les rayons qui viendraient du point G, qu’ils sembleraient après être réfléchis venir du point F. Et il est à remarquer qu’ayant fait la ligne AG beaucoup plus grande que AF, ce miroir serait convexe au milieu vers A, et concave aux extrémités ; car telle est la figure de cette ligne, qui en cela représente plutôt un cœur qu’une ovale.

Mais son autre partie X2 sert pour les réfractions, et fait que les rayons qui étant dans l’air tendent vers F, se détournent vers G en traversant la superficie d’un verre qui en ait la figure.

La troisième ovale sert toute aux réfractions, et fait que les rayons qui étant dans l’air tendent vers F, se vont rendre vers H dans le verre, après qu’ils ont traversé sa superficie dont la figure est A3Y3, qui est

359-360.

431

La Géométrie. — Livre II.

convexe partout, excepté vers A où elle est un peu concave, en sorte qu’elle a la figure d’un cœur aussi bien que la précédente; et la différence qui est entre les deux parties de cette ovale consiste en ce que le point F est plus proche de l’une que n’est le point H, et qu’il est plus éloigné de l’autre que ce même point H.

En même façon la dernière ovale sert toute aux réflexions, et fait que si les rayons qui viennent du point H rencontraient la superficie concave d’un miroir de même matière que les précédents, et dont la figure fût A4Z4, ils se réfléchiraient tous vers F.

De façon qu’on peut nommer les points F et G ou H les points brûlants de ces ovales, à l’exemple de ceux des ellipses et des hyperboles, qui ont été ainsi nommés en la Dioptrique.

Démonstration de ces propriétés de ces ovales touchant les réflexions et les réfractions.

J’omets quantité d’autres réfractions et réflexions qui sont réglées par ces mêmes ovales, car n’étant que les converses ou les contraires de celles-ci, elles en peuvent

facilement être déduites. Mais il ne faut pas que j’omette la démonstration de ce que j’ai dit ; et à cet effet prenons, par exemple le point C, à discrétion en la première partie de la première de ces ovales ; puis tirons la ligne droite CP, qui coupe la courbe au point C à angles droits, ce qui est facile par le problème précédent. Car prenant b pour AG,

432

360-361.

Œuvres de Descartes.

c pour AF, c + z pour FC et supposant que la proportion qui est entre d et e, que je prendrai ici toujours pour celle qui mesure les réfractions du verre proposé, désigne aussi celle qui est entre les lignes A5, et A6, ou semblables, qui ont servi pour décrire cette ovale, ce qui donne $b - \frac {e}{d}z$ pour GC : on trouve que la ligne AP est

$\frac {bcd^2 - bcde + bd^2z + ce^2z}{bde + cd^2 +d^2z -e^2z}$

ainsi qu’il a été montré ci-dessus^[11].

De plus du point P ayant tiré PQ à angles droits sur la droite FC, et PN aussi à angles droits sur GC Considérons que si PQ est à PN, comme d est à e, c’est-à-dire, comme les lignes qui mesurent les réfractions du verre convexe AC, le rayon qui vient du point F au point C, doit tellement s’y courber en entrant dans ce verre, qu’il s’aille rendre après vers G : ainsi qu’il est très évident de ce qui a été dit en la Dioptrique. Puis enfin voyons par le calcul, s’il est vrai, que PQ soit à PN ; comme d est à e. Les triangles rectangles PQF et CMF sont semblables ; d’où il suit que CF est à CM, comme FP est à PQ ; et par conséquent que FP, étant multipliée par CM, et divisée par CF, est égale à PQ. Tout de même les triangles rectangles PNG, et CMG sont semblables; d’où il suit que GP, multipliée par CM, et divisée par CG, est égale à PN. Puis à cause que les multiplications, ou divisions, qui se font de deux quantités par une même, ne changent point la

360-361

433

La Géométrie - Livre II.

proportion qui est entre elles ; si FP multipliée par CM ; et divisée par CF, est à GP multipliée aussi par CM et divisée par CG ; comme d est à e, en divisant l’une et l’autre de ces deux sommes par CM, puis les multipliant toutes deux par CF, et derechef par CG, il reste FP multipliée par CG, qui doit être à GP multipliée par CF, comme d est à e.

Or par la construction FP est

$c + \frac {bcd^2 - bcde + bd^2z + ce^2z}{bde + cd^2 + d^2z -e^2z}$

Ou blen

FP = $\frac {bcd^2 + c^2d^2 + bd^2z + cd^2z}{bde + cd^2 + d^2z - e^2z}$

et CG est $b - \frac {c}{d} z$

si bien que multipliant FP par CG il vient

$\frac {b^2cd^2+bc^2d^2+b^2d^2z+bcd^2z-bcdez-cd^2ez-bdez^2-cdez^2}{bde + cd^2 + d^2z - e^2z}$

Puis GP est $b - \frac {bcd^2 - bcde + bd^2z + ce^2z }{bde + cd^2 + d^2z - e^2z}$

ou bien

GP = $\frac {b^2de+bcde-be^2z-ce^2z }{bde + cd^2 + d^2z - e^2z}$

et CF est c + z

Si bien que multipliant GP par CF, il vient

$\frac {b^2cde+bc^2de-bceez-cceez+b^2dez+bcdez-be^2z^2-ce^2z^2}{bde + cd^2 +d^2z -e^2z}$

Et pourceque la première de ces sommes divisée par d, est la même que la seconde divisée par e, il est manifeste, que FP multipliée par CG est à GP multipliée par CF ; c’est-à-dire que PQ est à PN, comme d est à e, qui est tout ce qu’il fallait démontrer.

Et sachez que cette même démonstration s’étend à tout ce qui a été dit des autres réfractions ou réflexions, qui se font dans les ovales proposées sans

414

362-363

Œuvres de Descartes.

qu’il y faille changer aucune chose, que les signes + et - du calcul, c’est pourquoi chacun les peut aisément examiner de soi-même, sans qu’il soit besoin que je m’y arête.

Mais il faut maintenant que je satisfasse à ce que j’ai omis en la Dioptrique, lorsqu’après avoir remarqué qu’il peut y avoir des verres de plusieurs diverses figures qui fassent aussi bien l’un que l’autre que les rayons venant d’un même point de l’objet s’assemblent tous en un autre point après les avoir traversés ; et qu’entre ces verres, ceux qui sont fort convexes d’un côté et concaves de l’autre ont plus de force pour brûler que ceux qui sont également convexes des deux côtés ; au lieu que tout au contraire ces derniers sont les meilleurs pour les lunettes. Je me suis contenté d’expliquer ceux que j’ai cru être les meilleurs pour la pratique, en supposant la difficulté que les artisans peuvent avoir à les tailler. C’est pourquoi, afin qu’il ne reste rien à souhaiter touchant la théorie de cette science, je dois expliquer encore ici la figure des verres qui, ayant l’une de leurs superficies autant convexe ou concave qu’on voudra, ne laissent pas de faire que tous les rayons qui viennent vers eux d’un même point, ou parallèles, s’assemblent après en un même point ; et celles des verres qui font le semblable, étant également convexes des deux côtés, ou bien la convexité de l’une de leurs superficies ayant la proportion donnée à celle de l’autre.

Comment on en peut faire un qui fasse le même, et que la convexité de l’une de ses superficies ait la proportion donnée avec la convexité ou, concavité de l’autre

Posons pour le premier cas, que les points G, Y, C et F étant donnés, les rayons qui viennent du point G ou bien qui sont parallèles à GA se doivent assembler

363-364

435

La Géométrie - Livre II.

au point F, après avoir traversé un verre si concave, que Y étant le milieu de sa superficie intérieure, l’extrémité en soit au point C, en sorte que la corde CMC et la flèche YM de l’arc CYC sont données. La question va là, que premièrement il faut considérer de laquelle des ovales expliquées, la superficie du verre YG doit avoir la figure, pour faire que tous les rayons qui étant dedans tendent vers un même point, comme vers H, qui n’est pas encore connu, s’aillent rendre vers un autre, à savoir vers F, après en être sortis. Car il n’y a aucun effet touchant le rapport des rayons, changé par réflexion ou réfraction d’un point à un autre, qui ne puisse être causé par quelqu’une de ces ovales ; et on voit aisément que celui-ci le peut être par la partie de la troisième ovale qui a tantôt été marquée 3A3, ou par celle de la même qui a été marquée 3Y3, ou enfin par la partie de la seconde qui a été marquée 2X2. Et pourceque ces trois tombent ici sous même calcul, on doit, tant pour l’une que pour l’autre, prendre Y pour

leur sommet, C pour l’un des points de leur circonférence, et F pour l’un de leurs points brûlants ; après quoi il ne reste plus à chercher que le point H qui doit être l’autre point brûlant. Et on le trouve en considérant que la différence qui est entre les lignes FY et FC doit être à celle qui est entre les lignes HY

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364-365

Œuvres de Descartes.

et HC comme d est à e, c’est-à-dire comme la plus grande des lignes qui mesurent les réfractions du verre proposé est à la moindre, ainsi qu’on peut voir manifestement de la description de ces ovales. Et pourceque les lignes FY et FC sont données, leur différence l’est aussi, et ensuite celle qui est entre HY et HC, pourceque la proportion qui est entre ces deux différences est donnée. Et de plus, à cause que YM est donnée, la différence qui est entre MH et HG l’est aussi ; et enfin pourceque CM est donnée, il ne reste plus qu’à trouver MH le côté du triangle rectangle CMH dont on a l’autre côté CM, et on a aussi la différence qui est entre CH la base et MH le côté demandé ; d’où il est aisé de le trouver : car si on prend k pour l’excès de GH sur MH, et n pour la longueur de la ligne CM, on aura $\frac{n^2}{2k} - \frac{1}{2} k$ pour MH. Et après avoir ainsi le point H, s’il se trouve plus loin du point Y,

que n’en est le point F, la ligne CY doit être la première partie de l’ovale du troisième genre, qui a tantôt été nommée 3A3. Mais si HY est moindre que FY: ou bien elle surpasse HF de tant, que leur différence est plus grande à raison de la toute FY, que n’est e la moindre des lignes qui mesurent les réfractions comparée avec d la plus grande, c’est-à-dire que faisant HF = c, et HY = c + h, dh est plus grande que 2ce + eh, et lors CY doit être la seconde partie de la même ovale du troisième genre, qui a tantôt été nommée 3Y3 : ou bien dh est égale ou moindre que 2ce + eh, et lors CY doit être la

365-366

437

La Géométrie - Livre II.

seconde partie de l’ovale du second genre, qui a ci-dessus été nommée 2X2 : et enfin si le point H est le même que le point F, ce qui n’arrive que lorsque FY et FC sont égales, cette ligne YC est un cercle.

Après cela il faut chercher CAC l’autre superficie de ce verre, qui doit être une ellipse dont H soit le point brûlant, si on suppose que les rayons qui tombent dessus soient parallèles ; et lors il est aisé de la trouver. Mais si on suppose qu’ils viennent du point G, ce doit être la première partie d’une ovale du premier genre dont les deux points brûlants soient G et H, et qui passe par le point C ; d’où on trouve le point A pour le sommet de cette ovale, en considérant que GC doit être plus grande que GA d’une quantité qui soit à celle dont HA surpasse HC, comme d à e ; car ayant pris k pour la différence qui est entre CH et HM, si on suppose x pour AM, on aura x - k pour la différence qui est entre AH et CH ; puis si on prend g pour celle qui est entre GC et GM qui sont données, on aura g + x pour celle qui est entre GG, et GA ; et pour cette dernière g + x est à l’autre x - k comme d est à e,
on a ge + ex = dx - dk, ou bien $\frac{ge+dk}{d-e}$ pour la ligne x, ou AM, par laquelle on détermine le point A qui était cherché.

Comment on en peut faire un qui fasse le même, et que la convexité de l’une de ses superficies ait la proportion donnée avec la convexité ou, concavité de l’autre.

Posons maintenant pour l’autre cas, qu’on ne donne que les points G, C et F, avec la proportion qui est

438

366-367

Œuvres de Descartes.

est entre les lignes AM et YM, et qu’il faille trouver la figure du verre ACY qui fasse que tous les rayons qui viennent du point G s’assemblent au point F.

On peut derechef ici se servir de deux ovales dont l’une AG ait G et H pour ses points brûlants, et l’autre CY ait F et H pour les siens. Et pour les trouver, premièrement, supposant le point H, qui est commun à toutes deux, être connu, je cherche AM par les trois points G, C, H, en la façon tout maintenant expliquée, à savoir, prenant k pour la différence qui est entre CH et HM, et g pour celle qui est entre GC et GM, et AG étant la première partie de l’ovale du premier genre, j’ai $\frac{ge+dk}{d-e}$ pour AM ; puis je cherche aussi MY par les trois points F, C, H, en sorte que CY soit la première partie d’une ovale du troisième genre ; et prenant y pour MY,

et f pour la différence qui est entre CF et FM, j’ai f + y pour celle qui est entre CF et FY; puis ayant déjà k pour celle qui est entre CH et HM, j’ai k + y pour celle qui est entre CH et HY, que je sais devoir être à f + y comme e est à d, à cause de l’ovale du troisième genre, d’où je trouve que y ou MY est $\frac{fe-dk}{d-e}$ ; puis joignant ensemble les deux quantités trouvées pour AM et MY, je trouve $\frac{ge+fe}{d-e}$ pour la toute AY : d’où il suit que, de quelque côté que soit supposé le point H, cette ligne AY est tou-

367-368

439

La Géométrie - Livre II.

toujours composée d’une quantité qui est à celle dont les deux ensemble GC et CF surpassent la toute GF, comme e, la moindre des deux lignes qui servent à mesurer les réfractions du verre proposé, est à d - e la différence qui est entre ces deux lignes, ce qui est un assez beau théorème. Or, ayant ainsi la toute AY, il la faut couper selon la proportion que doivent avoir ses parties AM et MY; au moyen de quoi, pourcequ’on a déjà le point M, on trouve aussi les points A et Y, et ensuite le point H par le problème précédent. Mais auparavant il faut regarder si la ligne AM ainsi trouvée est plus grande que $\frac{ge}{d-e}$ , ou plus petite, ou égale. Car si elle est plus grande, on apprend de là que la courbe AC doit être la première partie d’une ovale du premier genre, et CY la première d’une du troisième, ainsi qu’elles ont été ici supposées ; au lieu que si elle est plus petite, cela montre que c’est GY qui doit être la première partie d’une ovale du premier genre, et que AC doit être la première d’une du troisième; enfin si AM est égale à $\frac{ge}{d-e}$ , les deux courbes AC et CY doivent être deux hyperboles.

On pourrait étendre ces deux problèmes à une infinité d’autres cas que je ne m’arrête pas à déduire, à cause qu’ils n’ont eu aucun usage en la dioptrique.

On pourrait aussi passer outre et dire, lorsque l’une des superficies du verre est donnée, pourvu qu’elle ne soit que toute plate, ou composée de sections coniques ou de cercles, comment on doit faire son autre superficie, afin qu’il transmette tous les rayons d’un point donné à un autre point aussi donné. Car ce n’est rien

440

368-369

Œuvres de Descartes.

de plus difficile que ce que je viens d’expliquer, ou plutôt c’est chose beaucoup plus facile à cause que le chemin en est ouvert.

Mais j’aime mieux que d’autres le cherchent, afin que s’ils ont encore un peu de peine à le trouver, cela leur fasse d’autant plus estimer l’invention des choses qui sont ici démontrées.

Comment on peut rapporter tout ce qui a été dit des lignes courbes décrites sur une superficie plate, à celles qui se décrivent dans un espace qui a trois dimensions ou bien sur une superficie courbe

Au reste je n’ai parlé en tout ceci que des lignes courbes qu’on peut décrire sur une superficie plate, mais il est aisé de rapporter ce que j’en ai dit à toutes celles qu’on saurait imaginer être formées par le mouvement régulier des points de quelque corps dans un espace qui a trois dimensions : à savoir, en tirant deux perpendiculaires de chacun des points de la ligne courbe qu’on veut considérer, sur deux plans qui s’entre-coupent à angles droits, l’une sur l’un et l’autre sur l’autre. Car les extrémités de ces perpendiculaires décrivent deux autres lignes courbes, une sur chacun de ces plans, desquelles on peut en la façon ci-dessus expliquée déterminer tous

les points et les rapporter à ceux de la ligne droite qui est commune à ces deux plans, au moyen de quoi ceux de la courbe qui a trois dimensions sont entièrement déterminés. Même si on veut tirer une ligne droite qui coupe cette courbe au point donné à angles droits, il faut seulement tirer deux autres lignes droites dans les deux plans, une en chacun, qui coupent à angles droits les deux lignes courbes qui y sont aux deux points où tombent les perpendiculaires qui viennent de ce point donné. Car ayant élevé deux autres plans, un sur chacune de ces lignes droites, qui coupe à angles droits le plan où elle est, on aura l’intersection de ces deux plans

369

441

La Géométrie - Livre II.

plans pour la ligne droite cherchée. Et ainsi je pense n’avoir rien omis des éléments qui sont nécessaires pour la connaissance des lignes courbes.

L’alinéa qui précède est, dans la Géométrie de Descartes, le seul endroit où il aborde réellement un problème concernant les trois dimensions. Or précisément, la solution qu’il indique est erronée, et il est singulier qu’aucun de ses contemporains ne l’ait remarqué. Non seulement, en un point donné d’une courbe gauche, il y a une infinité de normales situées dans un même plan ; mais encore la droite construite par Descartes ne peut être normale que dans des cas très particuliers, comme on le voit aisément si, au lieu d’une courbe, on considère une droite dans l’espace et ses projections sur deux plans rectangulaires.

La théorie des ovales (p. 424-431 ci-avant) fera l’objet d’une Note dans le volume des Œuvres contenant les écrits posthumes.

Quant à l’élégante construction de la normale à la conchoïde (pp. 423- 424), elle a récemment été l’objet d’une remarquable divination de M. Zeuthen {Nyt Tidsskrift for Matematik de C. Juel et V. Trier, Copenhague, 1900, pp. 49-58). Cette normale est la diagonale d’un parallélogramme dont les côtés, dirigés suivant le rayon vecteur CA et la perpendiculaire CH à la droite fixe BH, sont inversement proportionnels aux vitesses de variation (ou aux différentielles) de AC et de CH. On a, en effet, aisément : (AC — EC) CH = EC . AB ; d’où

$- \frac{d.AC}{d.CH} = \frac{AC - EC}{CH} = \frac{FG}{FC}$ . ==

La Géométrie

==

LIVRE TROISIÈME.

De la construction des problèmes qui sont solides, ou plus que solides

De quelles lignes courbes on peut se servir en la construction de chaque problème.

Encore que toutes les lignes courbes qui peuvent être décrites par quelque mouvement régulier doivent être reçues en la géométrie, ce n’est pas à dire qu’il soit permis de se servir indifféremment de la première qui se rencontre pour la construction de chaque problème, mais il faut avoir soin de choisir toujours la plus simple par laquelle il soit possible de le résoudre. Et même il est à remarquer que par les plus simples on ne doit pas seulement entendre celles qui peuvent le plus aisément être décrites, ni celles qui rendent la construction ou la démonstration du problème proposée plus facile, mais principalement celles qui sont du plus simple genre qui puisse servir à déterminer la quantité qui est cherchée.

Exemple touchant l’invention de plusieurs moyennes proportionnelles.

Comme, par exemple, je ne crois pas qu’il y ait aucune façon plus facile pour trouver autant de moyennes proportionnelles qu’on veut, ni dont la

370-371.

443

La Géométrie. — Livre III.

démonstration soit plus évidente, que d’y employer les lignes courbes qui se décrivent par l’instrument XYZ ci-dessus expliqué. Car, voulant trouver deux moyennes proportionnelles entre YA et YE, il ne faut que décrire un cercle dont le diamètre soit YE, et pource que ce cercle coupe la courbe AD au point D,

YD est l’une des moyennes proportionnelles cherchées, dont la démonstration se voit à l’œil par la seule application de cet instrument sur la ligne YD ; car, comme YA ou YB, qui lui est égale, est à YC, ainsi YC est à YD, et YD à YE.

Tout de même pour trouver quatre moyennes proportionnelles entre YA et YG, ou pour en trouver six entre YA et YN, il ne faut que tracer le cercle YFG qui, coupant AF au point F, détermine la ligne droite YF qui est l’une de ces quatre proportionnelles; ou YHN qui, coupant AH au point H, détermine YH l’une des six; et ainsi des autres.

Mais pourceque la ligne courbe AD est du second

444

371-372.

Œuvres de Descartes.

genre, et qu’on peut trouver deux moyennes proportionnelles par les sections coniques qui sont du premier ; et aussi pourcequ’on peut trouver quatre ou six moyennes proportionnelles par des lignes qui ne sont pas de genres si composés que sont AF et AH, ce serait une faute en géométrie que de les y employer. Et c’est une faute aussi, d’autre côté, de se travailler inutilement à vouloir construire quelque problème par un genre de lignes plus simple que sa nature ne permet.

De la nature des équations.

Or, afin que je puisse ici donner quelques règles pour éviter l’une et l’autre de ces deux fautes, il faut que je dise quelque chose en général de la nature des équations, c’est-à-dire des sommes composées de plusieurs termes partie connus, et partie inconnus, dont les uns sont égaux aux autres, ou plutôt qui, considérés tous ensemble, sont égaux à rien : car ce sera souvent le meilleur de les considérer en cette sorte.

Combien il peut y avoir de racines en chaque équation.

Sachez donc qu’en chaque équation, autant que la quantité inconnue a de dimensions, autant peut-il y avoir de diverses racines, c’est-à-dire de valeurs de cette quantité ; car, par exemple, si on suppose x égale à 2, ou chaque bien x - 2 égal à rien; et derechef x = 3, ou bien x – 3 = 0; en multipliant ces deux équations

x - 2 = 0, et x - 3 = 0,

l’une par l’autre, on aura

x² - 5x + 6 = 0,

ou bien

x² = 5x - 6,

qui est une équation en laquelle la quantité x vaut 2 et tout ensemble vaut 3. Que si derechef on fait

372-373.

445

La Géométrie. — Livre III.

x – 4 = 0,

et qu’on multiplie cette somme par

x² - 5x + 6 = 0,

on aura

x³ - 9x² + 26x – 24 = 0,

qui est une autre équation en laquelle x, ayant trois dimensions, a aussi trois valeurs, qui sont 2, 3 et 4.

Quelles sont les fausses racines.

Mais souvent il arrive que quelques-unes de ces racines soient fausses ou moindres que rien ; comme si on suppose que x désigne aussi le défaut d’une quantité qui soit 5, on a

x + 5 = 0,

qui, étant multiplié par

x³ - 9x² + 26x – 24 = 0,

fait

x⁴ - 4x³ – 19x² + 106x - 120 = 0

pour une équation en laquelle il y a quatre racines, à savoir trois vraies qui sont 2, 3, 4, et une fausse qui est 5.

Comment on peut diminuer le nombre des dimensions d’une équation, lorsqu’on connaît quelqu’une de ses racines.

Et on voit évidemment de ceci que la somme d’une équation qui contient plusieurs racines peut toujours être divisée par un binôme composé de la quantité inconnue moins la valeur de l’une des vraies racines, laquelle que ce soit, ou plus la valeur de l’une des fausses ; au moyen de quoi on diminue d’autant ses dimensions.

Comment on peut examiner si quelque quantité donnée est la valeur d’une racine

Et réciproquement que si la somme d’une équation ne peut être divisée par un binôme composé de la quantité inconnue + ou - quelque autre quantité, cela témoigne que cette autre quantité n’est la valeur d’aucune de ses racines. Comme cette dernière

x⁴ - 4x³ – 19x² + 106x – 120 = 0

peut bien être divisée, par x - 2, et par x - 3, et par

446

373-374.

Œuvres de Descartes.

x - 4, et par x + 5 ; mais non point par x + ou - aucune autre quantité. Ce qui montre qu’elle ne peut avoir que les quatre racines 2, 3, 4, et 5.

Combien il peut y avoir de vraies racines dans chaque équation.

On connaît aussi de ceci combien il peut y avoir de vraies racines, et combien de fausses en chaque Équation. À savoir il y en peut avoir autant de vraies, que les signes + et - s’y trouvent de fois être changés ; et autant de fausses qu’il s’y trouve de fois deux signes + ou deux signes - qui s’entresuivent. Comme en la dernière, à cause qu’après + x⁴ il y a - 4x³, qui est un changement du signe + en -, et après –19x² il y a +106x, et après +106x il y a –120 qui sont encore deux autres changements, on connaît qu’il y a trois vraies racines ; et une fausse, à cause que les deux signes -, de 4x³ et 19x² s’entresuivent.

Comment on fait que les fausses racines deviennent vraies, et les vraies fausses.

De plus il est aisé de faire en une même Équation, que toutes les racines qui étaient fausses deviennent vraies, et par même moyen que toutes celles qui étaient vraies deviennent fausses : à savoir en changeant tous les signes + ou - qui sont en la seconde, en la quatrième, en la sixième ou autres places qui se désignent par les nombres pairs, sans changer ceux de la première, de la troisième, de la cinquième et semblables qui se désignent par les nombres impairs. Comme si au lieu de
+ x⁴ - 4x³ – 19x² + 106x – 120 = 0 on écrit
+ x⁴ + 4x³ – 19x² - 106x – 120 = 0

on a une Équation en laquelle il n’y a qu’une vraie

374-375.

447

La Géométrie. — Livre III.

racine, qui est 5, et trois fausses qui sont 2, 3 et 4.

Comment on peut augmenter ou diminuer les racines d’une équation sans les connaître

Que si sans connaître la valeur des racines d’une Équation, on la veut augmenter, ou diminuer de quelque quantité connue, il ne faut qu’au lieu du terme inconnu en supposer un autre, qui soit plus ou moins grand de cette même quantité, et le substituer partout en la place du premier.

Comme si on veut augmenter de 3 la racine de cette Équation
x⁴ + 4x³ – 19x² -106x – 120 = 0 il faut prendre y au lieu d’ x, et penser que cette quantité y est plus grande qu’ x de 3, en forte que y - 3 est égal à x, et au lieu d’ x², i1 faut mettre le carré d’ y - 3 qui est y² - 6y + 9 et au lieu d’ x³ il faut mettre son cube qui est y³ - 9y² + 27y - 27, et enfin au lieu d’ x⁴ il faut mettre son carré de carré qui est y⁴ – 12y³ + 54y² – 108y + 81. Et ainsi décrivant la somme précédente en substituant par tout y au lieu d’ x on a

y⁴	- 12y³	+ 54y²	- 108y	+ 81
	+ 4y³	- 36y²	+ 108y	- 108
		- 19y²	+ 114y	- 171
			- 106y	+ 318
				- 120
----	----	----	----	----
y⁴	- 8y³	- y²	+ 8y	* ^[12]	= 0

ou bien y³ – 8y² - y + 8 = 0,

où la vraie racine qui était 5 est maintenant 8, à cause du nombre trois qui lui est ajouté.

↑ est appliquée Desc.
↑ Lire « l’égalité de la somme ou de la différence »
↑ Titre dans la table des matières
↑ y⁶-2by⁵+(b²-2cd+d²)y⁴+(4bcd-2d²v)y³+(c²d²-d²s²+d²v²-2b²cd)y²-2bc²d²y+b²c²d²=0
↑ Titre dans la table des matières
↑ Page 415
↑ y⁶-2by⁵+(b²-2cd+d²)y⁴+(4bcd-2d²v)y³+(c²d²-d²s²+d²v² -2b²cd)y² -2bc²d²y +b²c²d²=0.
↑ y⁶ + (f-2e)y⁵ + (g²-2ef+e²)y⁴ + (h³-2eg²+e²f)y³ + (k⁴-2eh³+e²g²)y² + (-e²h³-2ek⁴)y + e²k⁴
↑ Étant donné une directrice (BH), un pôle A non situé sur (BH), et un module b, à partir d’un point B de la directrice, on construit les deux points D et D’ de la droite (AB) situés à une distance b de P tels que : AD = AD’ = b. La conchoïde de droite est le lieu géométrique des points D et D’ lorsque le point B parcourt (BH).
↑ Géométriquement identique à la 3^e, comme la 1^re l'est à la 4^e
↑ Page 422
↑ Descartes emploie l’astérisque pour désigner la place des termes manquants ;

448

375.

Œuvres de Descartes.

Que si on veut au contraire diminuer de trois la racine de cette même Équation , il faut faire y + 3 = x et y² + 6y + 9 = x² et ainsi des autres de façon qu’au lieu de

x⁴ + 4x³ – 19x² -106x – 120 = 0

on met

y⁴	+ 12y³	+ 54y²	+ 108y	+ 81
	+ 4y³	+ 36y²	+ 108y	+ 108
		- 19y²	- 114y	- 171
			- 106y	- 318
				- 120
----	----	----	----	----
y⁴	+ 16y³	+ 71y²	- 4y	- 420	= 0

Qu’en augmentant ainsi les vraies racines on diminue les fausses, ou au contraire.

Et il est à remarquer qu’en augmentant les vraies racines d’une Équation, on diminue les fausses de la même quantité ; ou au contraire en diminuant les vraies, on augmente les fausses. Et que si on diminue soit les unes soit les autres, d’une quantité qui leur soit égale, elles deviennent nulles, et que si c’est d’une quantité qui les surpasse, de vraies elles deviennent fausses, ou de fausses vraies. Comme ici en augmentant de 3 la vraie racine qui était 5, on a diminué de 3 chacune des fausses , en sorte que celle qui était 4 n’est plus que 1, et celle qui était 3 est nulle, et celle qui était 2 est devenue vraie et est 1, à cause que - 2 + 3 fait + 1. C’est pourquoi en cette Équation y³ – 8y² - y + 8 = 0

il n’y a plus que 3 racines, entre lesquelles il y en a

375-376

449

La Géométrie. — Livre III.

deux qui sont vraies, 1 et 8, et une fausse qui est aussi 1.

Et en cette autre

y⁴ + 16y³ + 71y² - 4y – 420 = 0

il n’y en a qu’une vraie qui est 2, à cause que + 5 - 3 fait + 2, et trois fausses qui sont 5, 6 et 7.

Comment on peut ôter le second terme d’une équation.

Or par cette façon de changer la valeur des racines sans les connaître, on peut faire deux choses, qui auront ci-après quelque usage : la première est qu’on peut toujours ôter le second terme de l’Équation qu’on examine, à savoir en diminuant les vraies racines, de la quantité connue de ce second terme divisée par le nombre des dimensions du premier, si l’un de ces deux termes étant marqué du signe +, l’autre est marqué du signe - ; ou bien en l’augmentant de la même quantité, s’ils ont tous deux le signe +, ou tous deux le signe -. Comme pour ôter le second terme de la dernière Équation qui est

y⁴ + 16y³ + 71y² - 4y – 420 = 0

ayant divisé 16 par 4, à cause des 4 dimensions du terme y⁴ , il vient derechef 4, c’est pourquoi je fais z - 4 = y, et j’écris

z⁴	- 16z³	+ 96z²	- 256z	+ 256
	+ 16z³	- 192z²	+ 768z	- 1024
		+ 71z²	- 568z	+ 1136
			- 4z	+ 16
				- 420
___	______	_______	_______	______
z⁴	*	- 25z²	- 60 z	- 36	= 0

où la vraie racine qui était 2 est 6, à cause qu’elle

450

376-377.

Œuvres de Descartes.

est augmentée de 4 ; et les fausses qui étaient 5, 6, et 7, ne sont plus que 1, 2 et 3 ; à cause qu’elles sont diminuées chacune de 4.

377

Livre Troisième.

Tout de même si on veut ôter le second terme de

x⁴ - 2ax³ + (2a² - c²)x² -2a³x + a⁴ = 0,

pourceque divisant 2a par 4 il vient $\textstyle\frac 12 a$ il faut faire $z + \textstyle\frac 12 a = x$ et écrire

z⁴	+ 2 az³	+ 3/2a²z²	+ 1/3a³z	+ 1/16a⁴
	- 2 az³	- 3a²z²	- 3/2a³z	+ 1/4a⁴
		+ 2a²z²	+ 2a³z	+ 1/2a⁴
		- c²z²	- 2ac²z	- 1/4a²c²
			- 2a³z’	- a⁴
				+ a⁴
___	______	__________	___________	_______________
z⁴	*	+(1/2a²-c²)z²	-(a³+ac²)z	+5/16a⁴ - 1/4a²c²	=0

et si on trouve après la valeur de z, en lui ajoutant $\textstyle\frac 12 a$ on aura celle de x.

Comment on peut faire que toutes les fausses racines d’une équation deviennent vraies sans que les vraies deviennent fausses.

La seconde chose, qui aura ci-après quelque usage est, qu’on peut toujours en augmentant la valeur des vraies racines, d’une quantité qui soit plus grande que n’est celle d’aucune des fausses, faire qu’elles deviennent toutes vraies, en sorte qu’il n’y ait point deux signes + ou deux signes - qui s’entrent-suivent, et outre cela que la quantité connue du troisième terme soit plus grande

que le carré la moitié de celle du second. Car encore que cela se fasse, lorsque ces fausses racines sont inconnues, il est aisé néanmoins

377-378.

451

La Géométrie. — Livre III.

de juger à peu près de leur grandeur, et de prendre une quantité, qui les surpasse d’autant, ou de plus, qu’il n’est requis à cet effet.

Comme si on a

x⁶ + nx⁵ - 6n²x⁴ + 36n³x³ – 216n⁴x² + 1296n⁵x – 7776n⁶ = 0 ;

en faisant y - 6n = 0, on trouvera

y⁶	-36n}y⁵	+540n²}y⁴	-4320n³}y³	+19440n⁴’}’y²	+46656n⁵}y	+46656n⁶
	+ n	- 30n²	+ 360n³	-2160n⁴	+6480n⁵	-7776n⁶
		- 6n²	+ 144n³	-1296n⁴	+5184n⁵	-7776n⁶
			+ 36n³	- 648n⁴	+ 3888n⁵	- 7776n⁶
				- 216n⁴	+ 2592n⁵	- 7776n⁶
					+ 1296n⁵	- 7776n⁶
						- 7776n⁶
__	______	_________	__________	__________	__________	________
y⁶	- 35ny⁵	+ 504n²y⁴	- 3780n³y³	+ 15120n⁴y²	+ 27216n⁵y	* = 0 ;

Où il est manifeste, que 504n², qui est la quantité connue du troisième terme est plus grande, que le carré de $\frac {35}{2} n$ , qui est la moitié de celle du second. Et il n’y a point de cas, pour lequel la quantité, dont on augmente les vraies racines, ait besoin à cet effet d’être plus grande, à proportion de celles qui sont données, que pour celui-ci.

Comment on fait que toutes les places d’une équation soient remplies.

Mais à cause que le dernier terme s’y trouve nul, si on ne désire pas que cela soit, il faut encore augmenter tant soit peu la valeur des racines ; et ce ne saurait être de si peu, que ce ne soit assez pour cet effet. Non plus que lorsqu’on veut accroître le nombre des dimensions de quelque Équation, et faire que toutes les places de ses termes soient remplies. Comme si au lieu de

x⁵ * * * * - b = 0,

on veut avoir une Équation, en laquelle la quantité inconnue ait six dimensions, et dont aucun des termes ne soit nul, il faut premièrement pour

x⁵ * * * * - b = 0,

452

378-379.

Œuvres de Descartes.

écrire

x⁶ * * * * - bx = 0 ;

puis ayant fait y - a = x, on aura

y⁶ - 6ay⁵ + 15a²y⁴ - 20a³y³ + 15a⁴y² - (6a⁵ + b)y + a⁶ + ab = 0 ;

où il est manifeste que tant petite que la quantité a soit supposée, toutes les places de l’Équation ne laissent pas d’être remplies.

Comment on peut multiplier ou diviser les racines d’une équation.

De plus on peut, sans connaître la valeur des vraies^[1] racines d’une Équation, les multiplier ou diviser toutes, par telle quantité connue qu’on veut. Ce qui le fait en supposant que la quantité inconnue étant multipliée, ou divisée, par celle qui doit multiplier ou diviser les racines est égale à quelque autre. Puis multipliant, ou divisant la quantité connue du second terme, par cette même qui doit multiplier, ou diviser les racines, et par son carré, celle du troisième, et par son cube, celle du quatrième, et ainsi jusqu’au dernier.

Comment on réduit les nombres rompus d’une équation à des entiers.

Ce qui peut servir pour réduire à des nombres entiers et rationaux, les fractions, ou souvent aussi les nombres sourds, qui se trouvent dans les termes des équations. Comme si on a

$x^3 - \sqrt{3}x^2 + \frac{26}{27} x - \frac{8}{27 \sqrt{3}} = 0$ ,

et qu’on veuille en avoir une autre en sa place, dont tous les termes s’expriment par des nombres rationaux ; il faut supposer $y = x\sqrt{3}$ , et multiplier par $\sqrt{3}$

379-380.

453

La Géométrie. — Livre III.

la quantité connue du second terme, qui est aussi $\sqrt{3}$ , et par son carré qui est 3 celle du troisième qui est $\frac{26}{27}$ , et par son cube qui est $3\sqrt{3}$ ; celle du dernier, qui est $\frac{8}{27\sqrt{3}}$ . Ce qui fait

y³ – 3 y² + $\frac{26}{9} y - \frac{8}{9} = 0$ .

Puis si on en veut avoir encore une autre en la place de celle-ci, dont les quantités connues ne s’expriment que par des nombres entiers ; il faut supposer z = 3y, et multipliant 3 par 3, $\frac{26}{9}$ par 9, et $\frac 89$ par 27 on trouve

z³ - 9z² + 26z – 24 = 0,

où les racines étant 2, 3 et 4, on connaît de là que celles de l’autre d’auparavant étaient $\frac 23$ , 1, et $\frac 43$ et que celles de la première étaient $\frac 29 \sqrt 3$ , $\frac 19 \sqrt 3$ et $\frac 49 \sqrt 3$ .

Comment on rend la quantité connue de l’un des termes d’une équation égale à telle autre qu’on veut.

Cette opération peut aussi servir pour rendre la quantité connue de quelqu’un des termes de l’équation égale à quelque autre donnée, comme si ayant

x³ - b²x + c³ = 0.

On veut avoir en sa place une autre Équation, en laquelle la quantité connue, du terme qui occupe la troisième place, à savoir celle qui est ici b²,soit 3 a², il faut supposer $y = x \sqrt{\frac {3a^2}{b^2}}$

puis écrire $y^3 - 3a^2y + \frac {a^3b^3}{c^3} \sqrt 3 = 0$ .

Que les racines, tant vraies que fausses, peuvent être réelles ou imaginaires.

Au reste tant les vraies racines que les fausses ne sont pas toujours réelles ; mais quelquefois seulement imaginaires c’est-à-dire que l’on peut toujours en imaginer autant que j’ai dit en chaque équation, mais qu’il n’y a quelquefois aucune quantité qui corres-

434

380-381.

Œuvres de Descartes.

ponde à celle qu’on imagine. Comme encore qu’on en puisse imaginer trois en celle-ci,

x³ - 6x² + 13x - 10 = 0,

il n’y en a toutefois qu’une réelle, qui est 2, et pour les deux autres, quoi qu’on les augmente, ou diminue, ou multiplie en la façon que je viens d’expliquer, on ne saurait les rendre autres qu’imaginaires.

La réduction des équations cubiques lorsque le problème est plan.

Or quand pour trouver la construction de quelque problème, on vient à une Équation, en laquelle la quantité inconnue a trois dimensions ; premièrement si les quantités connues, qui y sont, contiennent quelques nombres rompus, il les faut réduire à d’autres entiers, par la multiplication tantôt expliquée ; et s’ils en contiennent de sourds, il faut aussi les réduire à d’autres rationaux, autant qu’il sera possible, tant par cette même multiplication, que par divers autres moyens, qui sont assez faciles à trouver. Puis examinant par ordre toutes les quantités, qui peuvent diviser sans fraction le dernier terme, il faut voir, si quelqu’une d’elles, jointe avec la quantité inconnue par le signe + ou -, peut composer un binôme, qui divise toute la somme ; et si cela est le Problème est plan, c’est-à-dire il peut être construit avec la règle et de compas ; car ou bien la quantité connue de ce binôme est la racine cherchée ; ou bien l’équation étant divisée par lui, se réduit à deux dimensions, en sorte qu’on en peut trouver après la racine, par ce qui a été dit au premier livre.

Par exemple, si on a

y⁶ – 8y⁴ – 124y² – 64 = 0,

↑ Schooten a omis, avec raison, de traduire ce mot « vraies ».

381-382.

455

La Géométrie. — Livre III.

le dernier terme, qui est 64, peut être divisé sans fraction par 1, 2, 4, 8, 16, 32 et 64. C’est pourquoi il faut examiner par ordre si cette Équation ne peut point être divisée par quelqu’un des binômes, y² - 1 ou y² + 1, y² - 2 ou y² + 2, y² -4 etc. et on trouve qu’elle peut l’être par y² - 16, en cette sorte :

+ y⁶	– 8y⁴	– 124y²	– 64 = 0
- y⁶	– 8y⁴	– 4y²	_______
_______	_______	_______	- 16
0	– 16y⁴	– 128y²
	_______	_______
	- 16	- 16^[1]
_______	_______	_______	_______
	y⁴	+ 8y²	+ 4 = 0.

La façon de diviser une équation par un binôme qui contient sa racine.

Je commence par le dernier terme, et divise -64 par –16 ce qui fait +4, que j’écris dans le quotient, puis je multiplie +4 par +y², ce qui fait - 4y² ; c’est pourquoi j’écris –4y² en la somme, qu’il faut diviser car il y faut toujours écrire le ligne + ou - tout contraire a celui que produit la multiplication et joignant que je divise derechef par - 16, et j’ai +8y², pour mettre dans le quotient et en le multipliant par y², j’ai -8y⁴, pour joindre avec le terme qu’il faut diviser, qui est aussi - 8y⁴, et ces deux ensemble font - 16y⁴, que je divise par -16, ce qui fait +y⁴ pour le quotient, et -y⁶ pour joindre avec +y⁶, ce qui fait 0, et montre que la division est achevée. Mais s’il était resté quelque quantité, ou bien qu’on n’eut pu diviser sans fraction quelqu’un des termes précédents, on eut par là reconnu, quelle ne pouvait être faite.

↑ Les deux membres 16 de cette ligne devraient ce semble être affectés du signe -.

456

382-383.

Œuvres de Descartes.

Tout de même si on a

y⁶ + (a² - c²)y⁴ + (-a⁴ + c⁴)y² - (a⁶ + 2a⁴c² + a²c⁴) = 0,

le dernier terme se peut diviser sans fraction par a, a², a² + c²,
a³ + ac² et semblables.

Mais il n’y en a que deux qu’on ait besoin de considérer, à savoir a², a² + c² ; car les autres donnant plus ou moins de dimensions dans le quotient, qu’il n’y en a en la quantité connue du pénultième terme, empêcheraient que la division ne s’y pût faire. Et notez, que je ne compte ici les dimensions de y⁶, que pour trois, à cause qu’il n’y a point de y⁵, ni de y³, ni de y en toute la somme. Or en examinant le binôme y² - a² - c² = 0, on trouve que la division se peut faire par lui en cette sorte.

+ y⁶	+ a²} y⁴	- a⁴} y²	- a⁶ }
	-2c²}	+ c⁴}	-2a⁴c²} = 0
			- a²c⁴ }
- y⁶	-2a²} y⁴	- a⁴} y²	- a⁶ }
	+ c²}	- a²c²}	-’a²y⁴}
_______	_________	_________	___________
0	÷ - a²- c²	÷ - a²- c²	÷ - a²- c²
_______	_________	_________	___________
	+ y⁴	+2a²} y²	+ a⁴ } = 0
		- c²}	+a²c²}

ce qui montre que la racine cherchée est a² + c². Et la preuve en est aisée à faire par la multiplication.

Quels problèmes sont solides lorsque l’équation est cubique.

Mais lorsqu’on ne trouve aucun binôme, qui puisse ainsi diviser toute la somme de l’équation proposée, il est certain que le Problème qui en dépend est so-

383-384.

457

La Géométrie. — Livre III.

lide. Et ce n’est pas une moindre faute après cela, de tâcher à le construire sans y employer que des cercles et des lignes droites, que ce serait d’employer des sections coniques à construire ceux auxquels on n’a besoin que de cercles : car enfin tout ce qui témoigne quelque ignorance s’appelle faute.

La réduction des équations qui ont quatre dimensions lorsque le problème est plan ; et quels sont ceux qui sont solides.

Que si on a une Équation dont la quantité inconnue ait quatre dimensions, il faut en même façon, après en avoir ôté les nombres sourds et rompus s’il y en a, voir si on pourra trouver quelque binôme, qui divise toute la ont somme, en le composant de l’une des quantités, qui divisent sans fraction le dernier terme. Et si on en trouve un, ou bien la quantité connue de ce binôme est la racine cherchée ; on du moins après cette division, il ne reste en l’équation que trois dimensions, en suite de quoi il faut derechef l’examiner en la même sorte. Mais lorsqu’il ne se trouve point de tel binôme, il faut en augmentant, ou diminuant la valeur de la racine, ôter le second terme de la somme, en la façon tantôt expliqué. Et après la réduire à une autre, qui ne contienne que trois dimensions. Ce qui se fait en cette sorte.

Au lieu de + x⁴ ± px² ± qx ± r = 0

il faut écrire + y⁶ ± py⁴ + (p² ± 4r)y² - 4q = 0

Et pour les signes + ou - que j’ai omis, s’il y a

eu +p en la précédente Équation, il faut mettre en celle-ci +2p,ou s’il y a eu -p, il faut mettre -2p. et au contraire s’il y a eu +r, il faut mettre -4r, ou s’il y

458

384.

Œuvres de Descartes.

a eu -r, il faut mettre +4r, et soit qu’il y ait eu +q, ou - q, il faut toujours mettre – q², et +p², au moins si on suppose que x⁴, et y⁶ sont marqués du signe +, car ce serait tout le contraire si on y supposait le signe -.

Par exemple si on a

x⁴ - 4x² - 8x + 35 = 0

il faut écrire en son lieu

y⁶ - 8y⁴ - 124y² - 64 = 0,

car la quantité que j’ai nommé p étant -4, il faut mettre -8y⁴ pour 2py⁴ ; et celle, que j’ai nommée r étant 35, il faut mettre (16 – 140)y², c’est-à-dire -124y², au lieu de (p² - 4r)y² ; et enfin q étant 8, il faut mettre -64, pour -q². Tout de même au lieu de

x⁴ - 17x² - 20x – 6 = 0

il faut écrire

y⁶ - 34y ⁴ + 313y² - 400 = 0 ;

Car 34 est double de 17, et 313 en est le carré joint au quadruple de 6, et 400 est le carré de 20.

Tout de même aussi au lieu de

$z^4+\left( \frac{1}{2}a^2-c^2 \right) z^2-\left( a^2 +ac^2 \right) z-\frac{5}{16}a^4-\frac 14 a^2c^2 = 0$ ,

Il faut écrire

y⁶ + (a² - 2c²)y ⁴ + (c⁴ - a⁴)y² - a⁶ - 2a⁴c² - a²c⁴ = 0 ;

Car p est à $\frac 12$ a² - c², et p² est $\frac 14$ a⁴ - a²c² + c⁴,

et 4 r est $-\frac 54$ a⁴ + a²c²,

et enfin -q² est -a⁶ - 2a⁴c² - a²c⁴.

384-385.

459

La Géométrie. — Livre III.

Après que l’équation est ainsi réduite à trois dimensions, il faut chercher la valeur de y² par la méthode déjà expliquée ; et si elle ne peut être trouvée, on n’a point besoin de passer outre ; car il suit de là infailliblement que le problème est solide. Mais si on la trouve, on peut diviser par son moyen la précédente Équation en deux antres, en chacune desquelles la quantité inconnue n’aura que deux dimensions, et dont les racines seront les mêmes que les siennes. À savoir, au lieu de

x⁴ ± px ² ± qx ± r = 0,

il faut écrire ces deux autres

$x^2 - yx + \frac 12 y^2$ ± $\frac 12 p$ ± $\frac{q}{2y}$ ,

et

$x^2 + yx + \frac 12 y^2$ ± $\frac 12 p$ ± $\frac{q}{2y}$ .

Et pour les signes + et - que j’ai omis, s’il y a +p en l’équation précédente, il faut mettre $\frac 12 p$ en chacune de celles-ci ; et $-\frac 12 p$ , s’il y a en l’autre -p. Mais il faut mettre $-\frac{q}{2y}$ en celle où il y a -yx ; et $+ \frac{q}{2y}$ en celle où il y a +yx, lorsqu’il y a +q en la première ; et au contraire s’il y a -q, il faut mettre $-\frac{q}{2y}$ , en celle où il y a -yx; et $+\frac{q}{2y}$ en celle où il y a +yx. Ensuite de quoi il est aisé de connaître toutes les racines de l’équation proposée, et par conséquent de construire le problème, dont elle contient la solution, sans y employer que des cercles, et des lignes droites.

Par exemple à cause que faisant y⁶ - 34y⁴ + 313y² - 400 = 0,

pour x⁴ - 17x² - 20x – 6 = 0,

460

385-386.

Œuvres de Descartes.

on trouve que y² est 16, on doit au lieu de cette équation

x⁴ - 17x² - 20x – 6 = 0,

écrire ces deux autres

+ x² - 4x – 3 = 0,

et

+ x² + 4x + 2 = 0,

car y est 4, $- \frac 12 y^2$ est 8, p est 17, et q est 20, de façon que

$+\frac 12 y^2 - \frac 12 p - \frac{q}{2y}$ fait –3,

et $+\frac 12 y^2 - \frac 12 p + \frac{q}{2y}$ fait +2.

Et tirant les racines de ces deux Équations, on trouve toutes les mêmes, que si on les tirait de celle où est x⁴, à savoir on en trouve vue vraie, qui est $\sqrt 7 + 2$ , et trois fausses, qui sont $\sqrt 7 - 2$ , $2 + \sqrt 2$ et $2 - \sqrt 2$ .

Ainsi ayant x⁴ *^[1] - 4x² - 8x + 35 = 0,

pourceque la racine de

y⁶ - 8y⁴ 124y² - 64 = 0,

est derechef 16, il faut écrire

x² - 4x + 5 = 0

et

x² + 4x + 7 = 0,

Car ici

$+\frac 12 y^2 - \frac 12 p - \frac{q}{2y}$ fait 5,

et $+\frac 12 y^2 - \frac 12 p + \frac{q}{2y}$ fait 7.

↑ L'astérisque, omis par Descartes, a été rétabli par Schooten.

Et pourcequ’on ne trouve aucune racine, ni vraie, ni fausse, en ces deux dernières Équations, on connaît delà que les quatre de l’Équation dont elles procèdent sont imaginaires ; et que le Problème, pour lequel on l’a trouvée, est plan de sa nature ; mais qu’il ne saurait en aucune façon être construit, à cause que les quantités données ne peuvent se joindre.

Tout de même ayant

$z^4 +\left(\frac 12 a^2-c^2\right)z^2-\left(a^2+ac^2\right)z-\frac{5}{16}a^4-\frac 14 a^2c^2 = 0$ ,

pourcequ’on trouve a² + c² pour y², il faut écrire

$z^2-\sqrt{a^2+c^2}z+\frac 34 a^2-\frac 12 a\sqrt{a^2+c^2} = 0$ ,

et $z^2+\sqrt{a^2+c^2}z+\frac 34 a^2+\frac 12 a\sqrt{a^2+c^2} = 0$ .

Car y est $\sqrt{a^2+c^2}$ et $\frac 12 y^2 + \frac 12 p$ est $\frac 34 a^2$ , et $\frac{q}{2y}$ est $\frac 12 a\sqrt{a^2+c^2}$ .

D’où on connaît que la valeur de z est

$\frac 12\sqrt{a^2+c^2}+ \sqrt{-\frac 12 a^2+\frac 14 c^2+\frac 12 a\sqrt{a^2+c^2}}$ ,

ou bien

$\frac 12\sqrt{a^2+c^2}- \sqrt{-\frac 12 a^2+\frac 14 c^2+\frac 12 a\sqrt{a^2+c^2}}$ .

Et pourceque nous avons fait ci-dessus $z + \frac 12 a = x$ , nous apprenons que la quantité x, pour la connaissance de laquelle nous avons fait toutes ces opérations, est

$\frac 12 a+\sqrt{\frac 14 a^2+\frac 14 c^2}-\sqrt{\frac 14 c^2-\frac 12 a^2+\frac 12 a\sqrt{a^2+c^2}}$ .

Exemple de l’usage de ces réductions

Mais afin qu’on puisse mieux connaître l’utilité

462

387-388.

Œuvres de Descartes.

de cette règle, il faut que je l’applique à quelque problème.

Si le carré AD et la ligne BN étant donnés, il faut prolonger le côté AC jusqu’à E, en sorte que EF, tirée de E vers B, soit égale à NB : on apprend de Pappus, qu’ayant premièrement prolongé BD jusqu’à G, en sorte que DG soit égale à DN, et ayant décrit un cercle dont le diamètre soit BG, si on prolonge la ligne droite AC, elle rencontrera la circonférence de ce cercle au point E qu’on demandait. Mais pour ceux qui ne sauraient point cette construction, elle serait assez difficile à rencontrer ; et, en la cherchant par la méthode ici proposée, ils ne s’aviseraient jamais de prendre DG pour la quantité inconnue, mais plutôt CF ou FD, à cause que ce sont elles qui conduisent le plus aisément à l’équation ; et lors ils en trouveraient une qui ne serait pas facile à démêler sans la règle que je viens d’expliquer. Car posant a pour BD ou CD, et c pour EF, et x pour DF, on a CF = a - x, et comme CF ou a - x est à FE ou c, ainsi FD ou x est à BF, qui par conséquent est $\frac {cx}{a - x}$ . Puis à cause du triangle rectangle BDF dont les côtés sont l’un x et l’autre a, leurs carrés, qui sont x² + a², sont égaux à celui de la base, qui est $\frac {cx}{x^2 -2ax + a^2}$ ; de façon que, multipliant le tout par x² - 2ax + a², on trouve que l’équation est

x⁴ - 2ax³ + 2a²x² - 2a³x + a⁴ = c²x²,

, ou bien

x⁴ - 2ax³ + (2a² - c²) x² - 2a³x + a⁴ = 0.

Et on connaît par les règles précédentes que sa racine, qui est la longueur de la ligne DF, est

$\frac{1}{2} a + \sqrt{\frac{1}{4} a^2 + \frac{1}{4} c^2} - \sqrt{\frac{1}{4} c^2 - \frac{1}{2} a^2 + \frac{1}{2}a \sqrt{a^2 + c^2}}$ .

Que si on posait BF, ou CE^[1], ou BE, pour la quantité inconnue, on viendrait derechef à une équation en laquelle il y aurait quatre dimensions, mais qui serait plus aisée à démêler ; et on y viendrait assez aisément, au lieu que si c’était DG qu’on supposât, on viendrait beaucoup plus difficilement à l’équation, mais aussi elle serait très simple. Ce que je mets ici pour vous avertir que, lorsque le problème proposé n’est point solide, si en le cherchant par un chemin on vient à une équation fort composée, on peut ordinairement venir à une plus simple en le cherchant par un autre.

Je pourrais encore ajouter diverses règles pour démêler les équations qui vont au cube ou au carré de carré, mais elles seraient superflues ; car lorsque les problèmes sont plans on en peut toujours trouver la construction par celles-ci.

Règle générale pour réduire toutes les équations qui passent le carré de carré.

Je pourrais aussi en ajouter d’autres pour les équations qui montent jusqu’au sursolide, ou au carré de cube, ou au-delà, mais j’aime mieux les comprendre toutes en une, et dire en général que,

464

389-390.

Œuvres de Descartes.

lorsqu’on a tâché de les réduire à même forme que celles d’autant de dimensions qui viennent de la multiplication de deux autres qui en ont moins, et qu’ayant dénombré tous les moyens par lesquels cette multiplication est possible, la chose n’a pu succéder par aucun, on doit s’assurer qu’elles ne sauraient être réduites à de plus simples ; en sorte que si la quantité inconnue a trois ou quatre dimensions, le problème pour lequel on la cherche est solide, et si elle en a cinq ou six, il est d’un degré plus composé, et ainsi des autres.

Au reste, j’ai omis ici les démonstrations de la plupart de ce que j’ai dit, à cause qu’elles m’ont semblé si faciles que, pourvu que vous preniez la peine d’examiner méthodiquement si j’ai failli, elles se présenteront à vous d’elles-mêmes ; et il sera plus utile de les apprendre en cette façon qu’en les lisant.

Façon générale pour construire tous les problèmes solides réduits à une équation de trois ou quatre dimensions.

Or quand on est assuré, que le Problème proposé est solide, soit que l’équation par laquelle on le cherche monte au carré de carré, soit qu’elle ne monte que jusqu’au cube, on peut toujours en trouver la racine par l’une des trois sections coniques, laquelle que ce soit ou même par quelque partie de l’une d’elles, tant petite qu’elle puisse être ; en ne se servant au reste que de lignes droites et de cercles. Mais je me contenterai ici de donner vue règle générale pour les trouver toutes parle moyen d’une Parabole, à cause qu’elle est en quelque façon la plus simple.

Premièrement il faut ôter le second terme de l’équation proposée, s’il n’est déjà nul, et ainsi la réduire à telle forme :

z³ = ± apz² ± a²q, si la quantité inconnue n’a que trois dimensions ;

ou bien à telle z⁴ = ± apz² ± a²qz ± a³r, si elle en a quatre ;

ou bien en prenant a pour l’unité, à telle z³ = ± az ± q,

et à telle z⁴ = ± pz² ± qz ± r.

Après cela supposant que la Parabole FAG est déjà décrite, et que son essieu est ACDKL, et que son côté droit est a ou 1, dont AC est la moitié, et enfin que le point C est au dedans de cette Parabole, et que A en est le sommet ; il faut faire CD = $\frac 12 p$ , et la prendre du même côté, qu’est le point A au regard du point C^[2], s’il y a + p en l’équation ; mais s’il y a - p il faut la prendre de l’autre côté.

Et du point D, ou bien, si la quantité p était nulle, du point C il faut élever une ligne à angles droits jusqu’à E, en sorte qu’elle soit égale à $\frac 12 q$ . Et enfin, du centre E il faut décrire le cercle FG, dont le demi-diamètre soit AE, si l’équation n’est que cubique, en sorte que la quantité r soit nulle.

Mais quand il y a + r il faut dans cette ligne AE prolongée, prendre d’un côté AR égale à r, et de l’autre AS égale au coté droit de la Parabole qui est r, et ayant décrit un cercle dont le diamètre soit RS, il faut faire AH perpendiculaire sur AE, laquelle AH rencontre ce cercle RHS au point H, qui est celui par où l’autre cercle FHG doit passer.

Et quand il y a - r il faut après avoir ainsi trouvé la ligne AH, inscrire AI, qui lui soit égale, dans un autre cercle, dont AE soit le diamètre, et lors, c’est par le point I que doit passer FIG le premier cercle cherché. Or ce cercle FG peut couper, ou toucher la Parabole en 1, ou 2, ou 3, ou 4 points, desquels tirant des perpendiculaires sur l’essieu^[3], on a toutes les racines de l’équation tant vraies, que fausses. À savoir si la quantité q est marqué du signe +, les vraies racines seront celles de ces perpendiculaires, qui se trouveront du même côté de la parabole, que E le centre du cercle, comme FL ; et les autres, comme GK, seront fausses : mais au contraire si cette quantité q est marquée du signe -, les vraies seront celles de l’autre côté ; et les fausses, ou moindres que rien seront du côté où est E le centre du cercle. Et enfin si ce cercle ne coupe, n’y ne touche la Parabole en aucun point, cela témoigne qu’il n’y a aucune racine ni vraie ni fausse en l’équation, et qu’elles sont toutes imaginaires. En sorte que cette règle est la plus générale, et la plus accomplie qu’il soit possible de souhaiter.

Et la démonstration en est fort aisée. Car si la ligne GK, trouvée par cette construction, se nomme z, AK sera z² à cause de la Parabole, en laquelle GK doit être moyenne proportionnelle, entre AK, et le côté droit qui est 1 ; puis si de AK j’ôte AC, qui est $\frac 12$ , et CD qui est $\frac 12 p$ ,

il reste DK, ou EM, qui est $z^2 - \frac 12 p - \frac 12$ ,

dont le carré est :

z⁴ – pz² – z² + $\frac 14 p^2 + \frac 12 p + \frac 14$ ; et à cause que DE, ou KM est $\frac 12 q$ , la toute GM est $z + \frac 12 q$ ,

dont le carré est $z^2 + qz + \frac 14 q^2$ ,

et assemblant ces deux carrés, on a

z⁴ – pz² + qz + $\frac 14 q^2 + \frac 14 p^2 + \frac 12 p + \frac 14$ ,

pour le carré de la ligne GE, à cause qu’elle est la base du triangle rectangle EMG.

Mais à cause que cette même ligne GE est le demi-diamètre du cercle FG, elle se peut encore expliquer en d’autres termes, à savoir ED étant $\frac 12 q$ ,

et AD étant $\frac 12 q + \frac 12$ ,

EA est $\sqrt {\frac 14 q^2 + \frac 14 p^2 + \frac 12 p + \frac 14}$ , à cause de l’angle droit ADE, puis HA étant moyenne proportionnelle entre AS qui est 1 et AR qui est r, elle est $\sqrt r$ . et à cause de l’angle droit EAH, le carré de HE, ou EG est

$\frac 14 q^2 + \frac 14 p^2 + \frac 12 p + \frac 14 + r$ ;

si bien qu’il y a Équation entre cette somme et la précédente, ce qui est le même que

z⁴ = pz² – qz + r.

et par conséquent la ligne trouvée GK qui a été nommée z est la racine de cette Équation, ainsi qu’il fallait démontrer. Et si vous appliquez ce même calcul à tous les autres cas de cette règle, en changeant les signes + et - selon l’occasion, vous y trouverez votre compte en même sorte, sans qu’il soit besoin que je m’y arête.

L’invention de quatre moyennes proportionnelles.

Si on veut donc suivant cette règle trouver deux moyennes proportionnelles entre les lignes a et q ; chacun sait que posant z pour l’une, comme a est à z, ainsi z à $\frac{z^2}{a}$ , et $\frac{z^2}{a}$ à $\frac{z^3}{a^2}$

de façon qu’il y a Équation entre q et $\frac{z^3}{a^2}$ , c’est-à-dire

z³ = a²q.

Et la Parabole FAG étant décrite, avec la partie de son essieu AC, qui est $\frac 12 a$ la moitié du côté droit ; il faut du point C élever la perpendiculaire CE égale à $\frac 12 q$ et du centre E par A, décrivant le cercle AF, on trouve FL et LA, pour les deux moyennes cherchées.

La façon de diviser un angle en trois.

Tout de même si on veut diviser l’angle NOP, ou bien l’arc, ou portion de cercle NQTP, en trois parties égales ; faisant NO = 1, pour le rayon du cercle et, pour la subtendue de l’arc donné, et NQ = z pour la subtendue du tiers de cet arc ; l’équation vient

z³ = 3z - q.

Car ayant tiré les lignes NQ, OQ, OT, et faisant

QS parallèle à TO, on voit que comme NO est à NQ, ainsi NQ à QR, et QR à RS ; en sorte que NO étant 1, et NQ étant z, QR est z², et RS est z³ ; et à cause qu’il s’en faut seulement RS ou z³ que la ligne NP, qui est q, ne soit triple de NQ, qui est z, on a

q = 3z - z³

ou bien

z³ = 3z - q.

Puis la Parabole FAG étant décrite et CA la moitié de son côté droit principal étant $\frac 12$ on prend CD = $\frac 32$ et la perpendiculaire DE = $\frac 12 q$ , et que du centre E, par A, on décrive le cercle FAgG, il coupe cette Parabole aux trois points F, g et G, sans compter le point A qui en est le sommet. Ce qui montre qu’il y a trois racines en cette Équation, à savoir les deux GK et gk, qui sont vraies ; et la troisième qui est fausse, à savoir FL. Et de ces deux vraies c’est gk la plus petite qu’il faut prendre pour la ligne NQ qui était cherchée. Car l’autre GK est égale à NV, la subtendue de la troisième partie de l’arc NVP, qui avec l’autre arc NQP achève le cercle. Et la fausse FL est égale à ces deux ensemble QN et NV, ainsi qu’il est aisé à voir par le calcul.

Que tous les problèmes solides se peuvent réduire à ces deux constructions.

Il serait superflu que je m’arrêtasse à donner ici d’autres exemples ; car tous les Problèmes qui ne sont que solides se peuvent réduire à tel point, qu’on n’a aucun besoin de cette règle pour les construire, sinon en tant qu’elle sert a trouver deux moyennes proportionnelles, ou bien à diviser un angle en trois parties égales. Ainsi que vous connaîtrez en considérant, que leurs difficultés peuvent toujours être comprises en des Équations, qui ne montent que jusqu’au carré de carré, ou au cube : et que toutes celles qui montent au carré de carré, se réduisent au carré, par le moyen de quelques autres, qui ne montent que jusqu’au cube : et enfin qu’on peut ôter le second ternie de celles-ci. En sorte qu’il n’y en a point qui ne se puisse réduire à quelqu’une de ces trois formes :

z³ = - pz + q.

z³ = + pz + q.

z³ = + pz - q.

Or si on a z³ = - pz + q, la règle dont Cardan attribue l’invention à un nommé Scipio Ferreus, nous apprend que la racine est :

$\sqrt[3]{\frac12 q +\sqrt{\frac14 q^2 + \frac{1}{27}p^3}}-\sqrt[3]{-\frac12 q +\sqrt{\frac14 q^2+\frac{1}{27}p^3}}$ ^[4].

Comme aussi lorsqu’on a z³ = + pz + q, et que le carré de la moitié du dernier terme est plus grand que le cube du tiers de la quantité connue du pénultième, une pareille règle nous apprend que la racine est :

$\sqrt[3]{\frac12 q +\sqrt{\frac14 q^2 + \frac{1}{27}p^3}}+\sqrt[3]{\frac12 q -\sqrt{\frac14 q^2-\frac{1}{27}p^3}}$ .

D’où il parait qu’on peut construire tous les Problèmes, dont les difficultés se réduisent à l’une de ces deux formes, sans avoir besoin des sections coniques pour autre chose, que pour tirer les racines cubiques de quelques quantités données, c’est-à-dire pour trouver deux moyennes proportionnelles entre ces quantités et l’unité.

Puis si on a z³ = +pz + q, et que le carré de la moitié du dernier terme ne soit point plus grand que le cube du tiers de la quantité connue du pénultième, en supposant le cercle NQPV, dont le demi-diamètre NO soit $\sqrt {\frac 13 p}$ , c’est-à-dire la moyenne proportionnelle entre le tiers de la quantité donnée p et l’unité ; et supposant aussi la ligne NP inscrite dans ce cercle qui soit $\frac {3q}{p}$ , c’est-à-dire qui soit à l’autre quantité donne q comme l’unité est au tiers de p ; il ne faut que diviser chacun des deux arcs NQP et NVP en trois parties égales, et on aura NQ, la subtendue du tiers de l’un, et NV la subtendue du tiers de l’autre, qui jointes ensemble composeront la racine cherchée.

Enfin si on a z³ = pz - q, en supposant derechef le cercle NQPV, dont le rayon NO soit $\sqrt{\frac 13 p}$ et l’inscrite NP soit $\frac {3p}{q}$ , NQ la subtendue du tiers de l’arc NQP sera l’une des racines cherchées, et NV la sustendue du tiers de l’autre arc sera l’autre. Au moins si le carré de la moitié du dernier terme, n’est point plus grand, que le cube du tiers de la quantité connue du pénultième. car s’il était plus grand, la ligne NP ne pourrait être inscrite dans le cercle, à cause quelle serait plus longue que son diamètre: Ce qui serait cause que les deux vraies racines de cette Équation ne seraient qu’imaginaires, et qu’il n’y en aurait de réelles que la fausse, qui suivant la règle de Cardan serait^[5]

$\sqrt[3]{\frac12 q +\sqrt{\frac14 q^2 + \frac{1}{27}p^3}}+\sqrt[3]{\frac12 q -\sqrt{\frac14 q^2+\frac{1}{27}p^3}}$ ^[6]

La façon d’exprimer la valeur de toutes les racines des équations cubiques, et ensuite de toutes celles qui ne montent que jusqu’au carré de carré.

Au reste, il est à remarquer que cette façon d’ex- primer la valeur des racines par le rapport qu’elles ont aux côtés de certains cubes dont il n’y a que le contenu qu’on connaisse, n’est en rien plus intelligible, ni plus simple, que de les exprimer par le rapport qu’elles ont aux subtendues de certains arcs, ou portions de cercles, dont le triple est donné. En sorte que toutes celles des Équations cubiques qui ne peuvent être exprimées par les règles de Cardan, le peuvent être autant ou plus clairement par la façon ici proposée.

Car si par exemple, on pense connaître la racine de cette Équation :

z³ = + pz + q,

à cause qu’on sait qu’elle est composée de deux lignes, dont l’une est le côté d’un cube, duquel le contenu est $\frac 12 q$ , ajouté au côté d’un carré, duquel derechef le contenu est $\frac 14 q^2 - \frac {1}{27}p^3$ ; et l’autre est le côté d’un autre cube, dont le contenu est la différence qui est entre $\frac 12 q$ , et le côté de ce carré dont le contenu est $\frac 14 q^2 - \frac {1}{27}p^3$ , qui est tout ce qu’on en apprend par la règle de Cardan. Il n’y a point de doute qu’on ne connaisse autant ou plus distinctement la racine de celle-ci

z³ = + pz - q,

en la considérant inscrite dans un cercle, dont le demi-diamètre est $\sqrt {\frac13 p}$ , et sachant qu’elle y est la subtendue d’un arc dont le triple a pour subtendue $\frac {3q}{p}$ . Même ces termes mes sont beaucoup moins embarrassés que les autres, et ils se trouveront beaucoup plus cours si on veut user de quelque chiffre particulier pour exprimer ces subtendues, ainsi qu’on fait du chiffre $\sqrt C$ pour exprimer le côté des cubes.

Et on peut aussi, en suite de ceci, exprimer les racines de toutes les Équations qui montent jusqu’au carré de carré, par les règles ci-dessus expliquées. En sorte que je ne sache rien de plus à désirer en cette matière. Car enfin la nature de ces racines ne permet pas qu’on les exprime en termes plus simples, ni qu’on les détermine par aucune construction qui soit ensemble plus générale et plus facile.

Pourquoi les problèmes solides ne peuvent être construits sans les sections coniques, ni ceux qui sont plus composés sans quelques autres lignes plus composées.

Il est vrai que je n’ai pas encore dit sur quelles raisons je me fonde, pour oser ainsi assurer si une chose est possible ou ne l’est pas. Mais, si on prend garde comment, par la méthode dont je me sers, tout ce qui tombe sous la considération des Géomètres se réduit à un même genre de Problèmes, qui est de chercher la valeur des racines de quelqu’Équation, on jugera bien qu’il n’est pas malaisé de faire un dénombrement de toutes les voies par lesquelles on les peut trouver, qui soit suffisant pour démontrer qu’on a choisi la plus générale et la plus simple.

Et particulièrement pour ce qui est des Problèmes solides, que j’ai dit ne pouvoir être construis, sans qu’on y emploie quelque ligne plus composée que la circulaire, c’est chose qu’on peut assez trouver, de ce qu’ils se réduisent tous à deux constructions ; en l’une desquelles il faut avoir tout ensemble les deux points, qui déterminent deux moyennes proportionnelles entre deux lignes données, et en l’autre les deux points, qui divisent en trois parties égales un arc donné : car d’autant que la courbure du cercle ne dépend, que d’un simple rapport de toutes ses parties, au point qui en est le centre ; on ne peut aussi s’en servir qu’à déterminer un seul point entre deux extrêmes, comme à trouver une moyenne proportionnelle entre deux lignes droites données, ou diviser en deux un arc donné ; au lieu que la courbure des sections coniques, dépendant toujours de deux diverses choses, peut aussi servir à déterminer deux points différents.

Mais pour cette même raison, il est impossible qu’aucun des Problèmes qui sont d’un degré plus composés que les solides, et qui présupposent l’invention de quatre moyennes proportionnelles, ou la division d’un angle en cinq parties égales, puissent être construits par aucune des sections coniques. C’est pourquoi je croirai faire en ceci tout le mieux qui se puisse, si je donne une règle générale pour les construire, en y employant la ligne courbe qui se décrit par l’intersection d’une Parabole et d’une ligne droite en la façon ci-dessus expliquée. Car j’ose assurer qu’il n’y en a point de plus simple en la nature, qui puisse servir à ce même effet ; et vous avez vu comme elle suit immédiatement les sections coniques, en cette question tant cherchée par les anciens, dont la solution enseigne par ordre toutes les lignes courbes, qui doivent être reçues en Géométrie.

Façon générale pour construire tous les problèmes réduits à une équation qui n’a point plus de six dimensions.

Vous savez déjà comment, lorsqu’on cherche les quantités qui sont requises pour la construction de ces Problèmes, on les peut toujours réduire a quelque Équation, qui ne monte que jusqu’au carré de cube, ou au sursolide. Puis vous savez aussi comment, en augmentant la valeur des racines de cette Équation, on peut toujours faire qu’elles deviennent toutes vraies et avec cela que la quantité connue du troisième terme soit plus grande que le carré de la moitié de celle du second ; et enfin comment, si elle ne monte que jusqu’au sursolide, on la peut hausser jusqu'au carré de cube ; et faire que la place d’aucun de ses termes ne manque d’être remplie.

Or afin que toutes les difficultés, dont il est ici question, puissent être résolues par une même règle, je désire qu’on face toutes ces choses, et par ce moyen qu’on les réduise toujours à une Équation de telle forme

y⁶ - py⁵ + qy⁴ - ry³ + sy² - ty + v = 0

et en laquelle la quantité nommée q soit plus grande que le carré de la moitié de celle qui est nommée p.

Puis ayant fait la ligne BK indéfiniment longue des deux côtés du point B ayant tiré la perpendiculaire AB, dont la longueur soit $\textstyle\frac 12 p$ il faut dans un plan séparé décrire une Parabole, comme CDF dont le côté droit principal soit

$\sqrt{\frac{1}{\sqrt u}+q-\frac14 p^2}$

que je nommerai n pour abréger.

Après cela il faut poser le plan dans lequel est cette Parabole sur celui ou sont les lignes AB

478

404-405.

Œuvres de Descartes.

et BK, en sorte que son essieu DE se rencontre justement au-dessus de la ligne droite BK ; et ayant pris la partie de cet essieu, qui est entre les points E et D, égale à $\textstyle\frac{2\sqrt u}{pn}$ , il faut appliquer sur ce point E une longue règle, en telle façon qu’étant aussi appliquée sur le point A du plan de dessous, elle demeure toujours jointe à ces deux points, pendant qu’on haussera ou baissera la Parabole tout le long de la ligne BK, sur laquelle son essieu est appliqué au moyen de quoi l’intersection de cette Parabole et de cette règle, qui se fera au point C, décrira la ligne courbe ACN, qui est celle dont nous avons besoin de nous servir pour la construction du Problème proposé. Car après qu’elle est ainsi décrite, si on prend le point L en la ligne BK, du côté vers lequel est tourné le sommet de la Parabole, et qu’on face BL égale à DE, c’est-à-dire à $\textstyle\frac {2\sqrt u}{pn}$ ; puis du point L, vers B, qu’on prenne en la même ligne BK, la ligne LH, égale à $\textstyle\frac {t}{2n\sqrt u}$ , et que du point H ainsi trouvé, on tire à angles droits, du côté qu’est la courbe ACN, la ligne HI, dont la longueur soit

$\frac{r}{2n^2} + \frac {\sqrt u}{n^2} + \frac {pt}{4n^2\sqrt u}$ ,

qui pour abréger sera nommée $\textstyle\frac {m}{n^2}$ ; et après, ayant joint les points L et I, qu’on décrive le cercle LPI, dont IL soit le diamètre ; et qu’on inscrive en ce cercle la ligne LP dont la longueur soit $\sqrt{\frac{s+p\sqrt u}{n^2}}$ ;

Puis enfin du centre I, par le point P

ainsi trouvé, qu’on décrive le cercle PCN. Ce cercle coupera ou touchera la ligne courbe ACN, en autant de points qu’il y aura de racines en l’équation : en sorte que les perpendiculaires tirées de ces points sur la ligne BK, comme CG, NR, QO et

405-407.

479

La Géométrie. — Livre III.

semblables, seront les racines cherchées. Sans qu’il y ait aucune exception ni aucun défaut en cette règle. Car si la quantité s était si grande, à proportion des autres p, q, r, t et v, que la ligne LP se trouvât plus grande que le diamètre du cercle IL, en sorte qu’elle n’y put être inscrite, il n’y aurait aucune racine en l’équation proposée qui ne fût imaginaire ; non plus que si le cercle IP était si petit, qu’il ne coupât la courbe ACN en aucun point. Et il la peut couper en six différents ainsi qu’il peut y avoir six diverses racines en l’équation. Mais lorsqu’il la coupe en moins, cela témoigne qu’il y a quelques unes de ces racines qui sont égales entre elles, ou bien qui ne sont qu’imaginaires.

Que si la façon de tracer la ligne ACN par le mouvement d’une Parabole vous semble incommode, il est aisé de trouver plusieurs autres moyens pour la décrire.

Comme si ayant les mêmes quantités que devant pour AB et BL ; et la même pour BK, qu’on avait posée pour le côté droit principal de la Parabole, on décrit le demi-

480

407-409.

Œuvres de Descartes.

cercle KST dont le centre soit pris à discrétion dans la ligne BK, en sorte qu’il coupe quelque part la ligne AB, comme au point S, et que du point T, du il finit, on prenne vers K la ligne TV, égale à BL; puis ayant tiré la ligne SV, qu’on en tire une autre, qui lui soit parallèle, par le point A, comme AC; et qu’on en tire aussi une autre par S, qui soit parallèle à BK, comme SC ; le point C, ou ces deux parallèles se rencontrent, sera l’un de ceux de la ligne courbe cherchée. Et on en peut trouver, en même sorte, autant d’autres qu’on en désire.

Or la démonstration de tout ceci est assez facile. car appliquant la règle AE avec la Parabole ED sur le point C ; comme il est certain qu’elles peuvent y être appliquées ensemble , puisque ce point C est en la courbe ACN, qui est décrite par leur intersection ; si CG se nomme y, GD sera $\frac {y^2}{n}$ , à cause que le côté droit, qui est n, est à CG, comme CG à GD, et ôtant DE, qui est $\frac {2\sqrt u}{pn}$ de GD, on a $\frac{y^2}{n} - \frac{2\sqrt u}{pn}$ , pour GE. Puis à cause que AB est a BE comme CG est à GE ; AB étant $\frac 12 p$ BE est $\frac{py}{2n} - \frac{\sqrt u}{ny}$

Et tout de même en supposant que le point C de la courbe a été trouvé par l’intersection des lignes droites, SC parallèle à BK, et AC parallèle à SV. SB gui est égale à CG, est y : et BK étant égale au côté droit de la Parabole, que j’ai nommé n, BT est $\frac {y^2}{n}$ car comme KB est à BS, ainsi BS est à BT. Et TV étant la même que BL, c’est à dire $\frac {2\sqrt u}{pn}$ , BV est $\frac {y^2}{n} - {2\sqrt u}{pn}$ et comme SB est à BV, ainsi AB est à BE, qui est par conséquent

$\frac{py}{2n} - \frac{2\sqrt u}{pn}$ comme devant,

409.

481

La Géométrie. — Livre III.

D’où on voit que c’est une même ligne courbe qui se décrit en ces deux façons.

Après cela, pourceque BL et DE sont égales, DL et BE le sont aussi : de façon qu’ajoutant LH, qui est $\frac {t}{2n\sqrt u}$ , à DL qui est $\frac{py}{2n} - \frac{2\sqrt u}{pn}$ ,

on a la toute DH, qui est $\frac{py}{2n} + \frac {\sqrt u}{ny} + \frac {t}{2n\sqrt u}$

et en ôtant GD , qui est $\frac {y^2}{n}$

on a GH, qui est

$\frac{py}{2n} + \frac {\sqrt u}{ny} + \frac {t}{2n\sqrt u} - \frac{y^2}{n}$

Ce que j’écris par ordre en cette sorte

$GH = \frac {-y^2+\frac 12 py^2+\frac {ty }{2n\sqrt u}-\sqrt u}{ny}$ .

482

49-411.

Œuvres de Descartes.

Et le carré de GH est

$\textstyle\frac {y^6-py^5+\left(\frac 14 p^2-\frac{t}{\sqrt u}\right)y^4+\left(2\sqrt u +\frac{pt}{2\sqrt u}\right)y^3+\left(\frac{t^2}{4u}-p\sqrt u\right)y^2-ty+u}{n^2y^2}$ ,

Et en quelque autre endroit de cette ligne courbe qu’on veuille imaginer le point C, comme vers N, ou vers Q, on trouvera toujours que le carré de là ligne droite, qui est entre le point H et celui où tombe la perpendiculaire du point C sur BH, peut être exprimé en ces mêmes termes, et avec les mêmes signes + et -.

De plus IH étant $\frac {m}{n^2}$ et LH étant $\frac {t}{2n\sqrt u}$ ,

IL est $\sqrt{\frac{m^2}{n^4} + \frac{t^2}{4n^2u}}$

à cause de l’angle droit IHL ;

et LP étant $\sqrt{\frac{s}{n^2} + \frac{p\sqrt u }{n^2}}$

IP ou IC est

$\sqrt{\frac{m^2}{n^4} + \frac{t^2}{4n^2u} - \frac{s}{n^2} - \frac{p\sqrt u}{n^2}}$

à cause aussi de l’angle droit IPL. Puis ayant fait CM perpendiculaire sur IH, IM est la différence qui est entre IH et HM ou CG, c’est a dire entre $\frac {m}{n^2}$ et y,

en sorte que son carré est toujours

$\frac{m^2}{n^4} - \frac{2my}{n^2} + y^2$

qui étant ôté du carré de de IC il reste

$\frac{t^2}{4n^2u} - \frac{s}{n^2} - \frac{p\sqrt u}{n^2} - \frac{2my}{n^2} - y^2$

pour le carré de CM, qui est égal au carré de GH déjà trouvé. Ou bien en faisant que cette somme soit divisée comme l’autre par n²y², on a

$\frac{-n^2y^4+2my^3-p\sqrt u y^2-sy^2+\frac{t^2}{4u}y^2}{n^2y^2}$

puis remettant

$\frac{t}{\sqrt u}y^4 + q y^4 - \frac14 p^2y^4$ , pour n²y⁴ ;

Et $ry^3 + 2\sqrt u y^3 +\frac{pt}{2\sqrt u} y^3$ pour 2my³ ;

et multipliant l’une et l’autre somme par n²y², on a :

$\textstyle{y^6-py^5+\left(\frac 14 p^2-\frac{t}{\sqrt u}\right)y^4+\left(2\sqrt u +\frac{pt}{2\sqrt u}\right)y^3+\left(\frac{t^2}{4u}-p\sqrt u\right)y^2-ty+u}$ ,

égal à

$\textstyle{\left(\frac 14 p^2-q-\frac{t}{\sqrt u}\right)y^4+\left(r+2 \sqrt u+\frac{pt}{2\sqrt u}\right)y^3+\left(\frac{t^2}{4u}-s-p\sqrt u\right)y^2}$ ;

C’est à dire qu’on a

y⁶ - py⁵ + qy⁴ - ry³ + sy² - ty + u = 0.

D’où il paraît que les lignes CG, NR, QO, et semblables sont les racines de cette Équation, qui est ce qu’il fallait démontrer.

Créer quatre moyennes proportionnelles^[7]

Ainsi donc si on veut trouver quatre moyennes proportionnelles entre les lignes a et b, ayant posé x pour la première, l’Équation est :

x⁵ - a⁴b = 0,

ou bien x⁶ - a⁴bx = 0. Et faisant y – a = x il vient

y⁶ - 6ay⁵ + 15a²y⁴ - 20 a³y³ + 15 a⁴y² - (6a⁵ + a⁴b) + a⁶ + a⁵b = 0.

C’est pourquoi il faut prendre 3a pour la ligne AB, et

$LH = \sqrt{\frac{6a^3+a^2b}{\sqrt{a^2+ab}}+6a^2}$

pour BK ou le côté droit de la parabole que j’ai nommé n, et $\frac{2a}{3n}\sqrt{a^2+ab}$ pour DE ou BL. Et après avoir décrit la ligne courbe ACN sur la mesure de ces trois, il faut faire

$LH = \frac{6a^3+a^2b}{2n\sqrt{a^2+ab}}$

et $HI = \frac{10a^3}{n^2} + \frac{a^2}{n^2}\sqrt{a^2+ab} + \frac{18a^4+3a^3b}{2n^2\sqrt{a^2+ab}}$

et $LP = \frac{a}{n}\sqrt{15a^2+6a\sqrt{a^2+ab}}$ ,

car le cercle qui, ayant son centre au point I passera par le point P ainsi trouvé, coupera la courbe aux deux points C et N, desquels ayant tiré les perpendiculaires NR et CG, si la moindre NR est ôtée de la plus grande CG, le reste sera x, la première des quatre moyennes cherchées.

Il est aisé en même façon de diviser un angle en cinq parties égales, et d’inscrire une figure de onze ou treize côtés égaux dans un cercle, et de trouver une infinité d’autres exemples de cette règle.

Toutefois il est à remarquer qu’en plusieurs de ces exemples il peut arriver que le cercle coupe si obliquement la parabole du second genre, que le point de leur intersection soit difficile à reconnaître, et ainsi

412-413.

485

La Géométrie. — Livre III.

que cette construction ne soit pas commode pour la pratique ; à quoi il serait aisé de remédier en composant d’autres règles à l’imitation de celle-ci, comme on en peut composer de mille sortes.

Mais mon dessein n’est pas de faire un gros livre, et je tâche plutôt de comprendre beaucoup en peu de mots, comme on jugera peut-être que j’ai fait, si on considère qu’ayant réduit à une même construction tous les problèmes d’un même genre, j’ai tout ensemble donné la façon de les réduire à une infinité d’autres diverses, et ainsi de résoudre chacun d’eux en une infinité de façons ; puis outre cela, qu’ayant construit tous ceux qui sont plans en coupant d’un cercle une ligne droite, et tous ceux qui sont solides en coupant aussi d’un cercle une parabole, et enfin tous ceux qui sont d’un degré plus composés en coupant tout de même d’un cercle une ligne qui n’est que d’un degré plus composée que la parabole, il ne faut que suivre la même voie pour construire tous ceux qui sont plus composés à l’infini : car, en matière de progressions mathématiques, lorsqu’on a les deux ou trois premiers termes, il n’est pas malaisé de trouver les autres. Et j’espère que nos neveux me sauront gré, non seulement des choses que j’ai ici expliquées, mais aussi de celles que j’ai omises volontairement, afin de leur laisser le plaisir de les inventer.

FIN.

Livre premier

Des problèmes qu’on peut construire sans y

employer que des cercles et des lignes droites

Comment le calcul d’arithmétique se rapporte aux opérations de géométrie ..... page 369

Comment se font géométriquement la multiplication, la division et l’extraction de la racine carrée ..... page 370

Comment on peut user de chiffres en géométrie ..... page 371

Comment il faut venir aux équations qui servent à résoudre les problèmes ..... page 372

Quels sont les problèmes plans, et comment ils se résolvent ..... page 374

Exemple tiré de Pappus ..... page 377

Réponse à la question de Pappus ..... page 380

Comment on doit poser les termes pour venir à l’équation en cet exemple ..... page 382

Comment on trouve que ce problème est plan lorsqu’il n’est point proposé en plus de cinq lignes..... page 385

Discours second.
DE LA NATURE DES LIGNES COURBES.

Quelles sont les lignes courbes qu’on peut recevoir en géométrie ..... page 388

La façon de distinguer toutes ces lignes courbes en certains genres, et de connaître le rapport qu’ont tous leurs points à ceux des lignes droites ..... page 392^[8]

Note : Les numéros de page de l’édition de 1637 ont été remplacés par ceux de cette édition Adam et Tannery.

Page:Descartes - Œuvres, éd. Adam et Tannery, VI.djvu/534 Page:Descartes - Œuvres, éd. Adam et Tannery, VI.djvu/535

TABLE DE LA GEOMETRIE

Façon générale pour construire tous les problèmes solides réduits à une équation de trois ou quatre dimensions ..... page 464
L’invention de deux moyennes proportionnelles ..... page 469
La division de l’angle en trois ..... page 470
Que tous les problèmes solides se peuvent réduire à ces deux constructions ..... page 471
La façon d’exprimer la valeur de toutes les racines des équations cubiques, et ensuite de toutes celles qui ne montent que jusqu’au carré de carré ..... page 473
Pourquoi les problèmes solides ne peuvent être construits sans les sections coniques, ni ceux qui sont plus composés sans quelques autres lignes plus composées ..... page 475
Façon générale pour construire tous les problèmes réduits à une équation qui n’a point plus de six dimensions..... page 476

L’invention de quatre moyennes proportionnelles ..... page 483

FIN^[9]

Traduction du texte grec de Pappus, d’après l’édition de Fr. Hultsch

(Pappi Alexandrini Collectionis quœ supersunt, vol. II, Berlin, Weidmann, 1877, pp. 676-680).

Nous donnons tout d’abord le passage, visé dans ce texte, du préambule du livre I des Coniques d’Apollonius :

« Le livre III contient nombre de théorèmes remarquables, qui sont

» utiles pour la synthèse des lieux plans et la détermination des condi-

» tions de possibilité des problèmes. La plupart de ces théorèmes et les

» plus beaux sont nouveaux ; leur découverte nous a fait reconnaître

» qu’Euclide n’a pas effectué la synthèse du lieu à 3 et 4 lignes, mais seu-

» lement celle d’une partie de ce lieu prise au hasard, et qu’il ne s’en est

» même pas heureusement tiré ; c’est que, sans nos découvertes, il n’était

» pas possible de faire la synthèse complète. »

Pappus : « Mais ce lieu à 3 et 4 lignes, dont Apollonius dit, à propos

» de son livre III, qu’Euclide ne l’a pas complètement traité, lui-même,

» pas plus qu’aucun autre, n’aurait pu l’achever, ni même rien ajouter à

» ce qu’Euclide en a écrit, du moins en s’en tenant exclusivement aux

» Éléments des Coniques déjà démontrés au temps d’Euclide... »

« Voici quel est ce lieu à 3 et 4 lignes, à propos duquel Apollonius se

» décerne de grands éloges pour ses additions et dont il aurait dû savoir

» gré au premier qui en a écrit. Si, trois droites étant données de posi-

» tion, on mène d’un même point, sur ces trois droites, trois autres sous

» des angles donnés, et qu’on donne le rapport du rectangle compris sous

» deux des menées au carré de la troisième, le point se trouvera sur un

» lieu solide donné de position, c’est-à-dire sur l’une des trois coniques.

» Si c’est sur quatre droites données de position que l’on mène des droites

» sous des angles donnés, et qu’on donne le rapport du rectangle de deux

» des menées à celui des deux autres, le point se trouvera de même sur

» une section conique donnée de position. D’autre part, si les droites

» sont seulement au nombre de deux, il est établi que le lieu est plan ; mais,

» s’il y a plus de quatre droites, le lieu du point n’est plus de ceux qui

» soient connus ; il est de ceux qu’on appelle simplement lignes (sans en

» savoir davantage sur leur nature ou leurs propriétés), et on n’a fait la 722 Note sur le Problème de Pappus.

» synthèse d’aucune de ces lignes, ni montré qu’elle servît pour ces lieux,

» pas même pour celle qui semblerait la première et la plus indiquée.

» Voici comment on propose ces lieux. »

« Si d’un point on mène à cinq droites données de position d’autres

» droites sous des angles donnés, et qu’on donne le rapport entre le paral-

» lelépipède rectangle compris sous trois des menées et le parallélépipède

» rectangle compris sous les deux autres et sous une donnée, le point se

» trouvera sur une ligne donnée de position. »

« Si les droites données sont au nombre.de six, et que l’on donne le

» rapport du solide compris sous trois des menées au solide compris sous

» les trois autres, le point se trouvera de même sur une ligne donnée de

» position. »

« S’il y a plus de six droites, on ne peut plus dire que l’on donne le

» rapport entre quelque objet compris sous quatre droites et le même

» compris sous les autres, puis qu’il n’y a rien qui soit compris sous plus

» de trois dimensions. Cependant, peu de temps avant nous, on s’est

» accordé la liberté de parler ainsi, sans rien désigner pourtant qui soit

» aucunement intelligible, en disant le compris sous telles droites par

» rapport au carré de telle droite ou au compris sous telles autres. Il était

» cependant aisé, au moyen des rapports composés, d’énoncer et de

» prouver en général les propositions précitées et celles qui suivent.

» Voici comment : »

« Si d’un point on mène à des droites données de position d’autres

» droites sous des angles donnés et que l’on donne le rapport composé de

» celui de l’une des menées à une autre, de celui des menées d’un second

» couple, de celui des menées d’un troisième, enfin de celui de la der-

» nière à une donnée, s’il y a sept droites en tout, ou bien de celui des

» deux dernières, s’il y en a huit, le point se trouvera sur une ligne

» donnée de position. »

» On pourra dire de même, quel que soit le nombre des droites, pair

» ou impair. Mais, comme je l’ai dit, pour aucun de ces lieux qui suivent

» celui à 4 droites, il n’y a eu une synthèse faite qui permette de con-

» naître la ligne. »

OBSERVATIONS.

Nous avons déjà, dans le tome IV de la Correspondance (éclaircissement, p. 364-366), discuté le passage particulièrement obscur du texte de Pappus (ci-avant, p. 378, 1. 6-10), et nous en avons donné une traduction un peu différente de celle qui précède, pour laquelle nous avons suivi la leçon des manuscrits.

Nous ajouterons ici quelques autres remarques, d’abord sur le passage de Pappus, puis sur la solution de Descartes.

I. La façon dont les anciens traitaient le lieu à trois et quatre droites a

Note sur le Problème de Pappus. 723

été magistralement élucidée dans le remarquable ouvrage de M. Zeuthen, de Copenhague, ouvrage traduit en allemand par M. von Fischer-Benzon, sous le titre : Die Lehe von den Kegelschnitten in Altertum (Copenhague, Höst, 1886). Nous relèverons donc seulement, ici, ce qui, dans le langage d’Apollonius et de Pappus, pouvait induire en erreur, au XVII^e siècle, sur l’histoire réelle de ce problème.

Il a dû être posé et résolu, par les procédés d’analyse géométrique des anciens, dans un ouvrage un peu antérieur à Euclide, les cinq Livres des Lieux Solides d’Aristée (lesquels contenaient d’ailleurs certainement les éléments de nombre de théories qui font défaut dans les Coniques d’Apollonius, et que, par suite, on a cru à tort ignorées de lui, comme les propriétés du foyer de la parabole, des directrices des coniques, etc.).

La synthèse, dont la marche était tout indiquée par l’analyse, n’offrait d’intérêt que comme exercice ou application à des données particulières ; mais il importait de réunir et d’établir les divers théorèmes nécessaires, soit pour la faciliter, soit pour la rendre complète. Ce fut le but (et non pas la synthèse elle-même) que paraît s’être proposé Euclide dans une partie de ses quatre Livres des Coniques, ouvrage qui n’était déjà plus étudié au temps de Pappus ; Euclide semble s’y être borné à réunir les travaux synthétiques des géomètres plus anciens, et cela, pour faciliter en particulier l’étude des Lieux Solides d’Aristée. Apollonius accomplit, dans son troisième Livre, la théorie laissée imparfaite (un des grands progrès qu’il réalisa fut, en particulier, la considération simultanée des deux hyperboles opposées, ou, comme nous le disons, des deux branches d’une même hyperbole) ; mais ce Livre ne pouvait être utilisé, pour le lieu à trois ou quatre droites, que si l’on connaissait déjà la solution analytique, qui, seule, pouvait mettre en lumière la véritable portée des théorèmes d’Apollonius et la façon de les appliquer.

Au commencement du XVII^e siècle, les géomètres, n’ayant plus l’ouvrage d’Aristée, pas plus que les Coniques d’Euclide, ne disposant que des quatre premiers Livres d’Apollonius et des indications très insuffisantes de Pappus, avaient donc, pour résoudre la question du lieu à trois et quatre droites, à retrouver l’analyse ancienne, dont ils ignoraient les procédés, ou à essayer une divination réellement difficile.

Aussi Descartes ne pouvait guère mieux choisir que ce lieu pour illustrer, par un exemple frappant, l’emploi de la méthode analytique nouvelle qu’il avait conçue pour faciliter l’application du calcul algébrique à la géométrie.

Le problème avait été proposé par Golius à Mydorge, au moins dès 1630 (Correspondance, tome I, p. 256, 1. 18), et à Descartes en 1631 (Ibid., p. 232-235). Dès avant la publication de sa Géométrie, Descartes l’indique à Mersenne, en t632 et 1 634, comme un problème à poser à Roberval (Ibid., p. 256 et 288). Avant 1637, Fermat (Œuvres de F., II, p. 105, 1. 2) l’avait résolu à la façon des anciens ; sa solution, très élégante, pour le lieu à trois droites, se trouvé seule conservée. Roberval ne parait

s’en être occupé que plus tard, mais le 4 août 1640 (Ibid., p. 201, 8), il 724 Note sur le Problème de Pappus.

écrit à Fermat : « Depuis cette invention (celle de sa méthode des tan-

» gentes), je me suis appliqué aux lieux solides ad tres et quatuor lineas,

» lesquels j’ai entièrement restitués, quoique, pour n’y rien oublier, il ne

» faille guère moins de discours qu’aux six premiers Livres des Elé-

» ments. » Il avait donc dû faire la synthèse complète.

2. Le problème général, tel que l’énonce Pappus pour un nombre quelconque de droites, peut aisément se poser comme suit. Soient :

A₁ = 0, A₂ = 0, ….. A_n = 0, B₁ = 0, B₂ = 0, ….. B_n = 0,

les équations de 2n droites en coordonnées rectangulaires ou obliques, λ un coefficient arbitraire, l’équation du lieu à 2n droites sera :

A₁ A₂ … A_n-1 A_n ± λ B₁ B₂ … B_n-1 B_n = 0,

tandis que celle du lieu à 2n - 1 droites serait :

A₁ A₂ … A_n-1 A_n ± λ B₁ B₂ … B_n-1 = 0.

Dans les deux cas, l’équation est du degré n, mais, à cause du double signe λ, elle représente l’ensemble de deux courbes de ce même degré, circonstance que n’a pas relevée l’auteur de la Géométrie.

Il est à remarquer que la définition de Pappus pour le lieu en général, quand le nombre des droites est impair, ne concorde pas avec sa définition particulière pour le lieu à trois droites, qui revient à l’équation :

A₁ A₂ ± λ B² = 0.

Enfin, c’est par suite d’une heureuse erreur, puisqu’elle lui a fait aborder au moins deux cas simples du lieu à cinq lignes, que Descartes a interprété la traduction de Commandin comme si les anciens avaient traité l’un de ces cas. Quoique le texte de Pappus reste douteux, il a certainement voulu dire tout le contraire.

3. Dans sa solution générale, Descartes reconnaît nettement la nature algébrique de la courbe et le degré de l’équation ; seulement, de même qu’il classe les problèmes d’après le degré de la courbe à employer pour les résoudre avec un cercle et non avec une ligne droite, il comprend sous un même genre, d’ordre n, les courbes de degré 2n et 2n - 1. Cette nomenclature amène quelques ambiguïtés.

D’autre part, il affirme que toute courbe du genre n (degré 2n) peut être lieu pour 4n droites. Ceci est vrai pour n = 1 ; il suffit de remarquer, pour les courbes du second degré, que, le lieu passant en général par chacune des intersections d’une droite A avec une droite B, on a ici quatre points et que le coefficient λ donne la cinquième condition pour déterminer la conique. La proposition est encore vraie pour n = 2 (lieu à huit droites). Mais, pour les valeurs supérieures de n, le nombre des conditions nécessaires pour déterminer la courbe générale du degré 2n, dépasse celui des conditions du problème. Il n’y a donc en général, si

n > 2, que certaines espèces de courbes du degré 2n qui jouissent de la Note sur le Problème de Pappus. 725

propriété que leur équation puisse se mettre sous la forme de l’équation du lieu à 4 n droites.

4. Descartes explique très clairement sa solution pour le premier cas simple du lieu à cinq lignes qu’il a traité ; quant au second, ce qu’il dit est d’une obscurité probablement volontaire, et même inexact, si on le prend à la lettre. Car, supposant le lieu rapporté à un diamètre (soit l’axe des x) et à l’axe conjugué passant par le sommet (l’axe des y) , il dit que les ordonnées y sont égales à celles d’une section conique, dont les abscisses z formeraient, avec les abscisses correspondantes x du lieu, un produit constant, soit m². C’est-à-dire que l’on aurait :

y² = 2 pz – p/a z² et zx = m².

Mais il est clair qu’à moins de supposer nul le terme en z², l’équation en x et y sera alors du quatrième degré et non du troisième, comme elle doit être pour un lieu à cinq lignes ; que, d’autre part, si la conique est simplement une parabole y² = 2 pz, l’équation du lieu prendra la forme xy² = k³ qu’on ne voit pas le moyen de mettre sous celle qui correspond au cas examiné par Descartes.

Il a dû supposer les quatre droites parallèles symétriques par rapport à l’axe des x, et prendre la droite les traversant comme axe des y ; les équations des cinq droites sont alors :

y - a = 0, y + a = 0, y - b = 0, y + b = 0, x = 0,

et celle du lieu :

x (y² - b²) = m (y² - a²)

En posant ma² = b²c, c - m = n, x = c + x’ , on ramène cette équation à la forme y² = (b²x’ )/(x’ + n).

En posant maintenant x’ + n = n²/z on a y² = (b²/n) (n - z). On arrive bien ainsi à l’équation d’une parabole ; seulement l’abscisse du lieu n’est pas, comme le dit Descartes, comptée à partir du sommet, mais bien à partir de la rencontre de l’axe des x avec une perpendiculaire, asymptote de deux branches de la courbe.

5. En ce qui concerne l’analyse du lieu à quatre droites, que Descartes a présentée sous forme d’une discussion générale de l’équation du second degré à deux inconnues, on peut remarquer qu’il a omis de considérer le cas où le coefficient de y² est nul. Il a lui-même reconnu cette omission et l’a signalée dans sa lettre à Debeaune du 20 fév. 1639 (t. II de cette édition, p. 511, 1. 3) ; il y fait déjà probablement allusion le 31 mars 1638 (t. II, p. 84, 1. 7), plutôt qu’au cas que nous avons supposé visé, dans la note sur ce passage.

Paul Tannery.

FIN.

TABLE DES MATIÈRES

———

Avertissement v

Frontispice des ESSAIS xiii

Discours de la Méthode 1

La Dioptrique 79

Les Météores 229

La Géométrie 367

Tables 487

Frontispice des Specimina Philosophiæ 517

Indices 519

Dissertatio de Methodo 540

Dioptrice 584

Meteora 651

Note sur le Problème de Pappus 721

Achevé d’imprimer
par LÉOPOLD CERF
12, rue Sainte-Anne, à Paris
le 20 novembre 1902

↑ Schooten supprime ici ou CE, qu’il rajoute après FD page 462. l. 19.
↑ Lire « qu'est le point C au regard du point A ».
↑ Axe.
↑ Nous écrivons ces formules de Cardan avec C =1
↑ En valeur absolue conformément à l’habitude de Descartes quand il énonce des racines fausses (négatives).
↑ Nous écrivons cette formule de Cardan avec C = 1.
↑ Il semble qu'il faille restituer cette manchette
↑
Ce titre se trouve en haut de la page suivante
↑
Après Les fautes de l’impression, qui occupent une page, on lit : On trouvera aussi en plusieurs endroits des définitions fort mal mises, et quantité d’autres fautes de peu d’importance : lesquelles on excusera facilement quand on saura que l’Auteur ne fait pas profession d’être Grammairien, et que le Compositeur dont le Libraire s’est servi n’entend pas un mot de Français.

[1] . « Voir la figure en la page 6l. « (P. l39 ci-avant.)

[2] Sous-entendez unité.

[3] z⁴ = + az³ + b²z² + c³z + d⁴(Schooten)

[4] . On voit qu’en tout ce passage, Descartes ne reconnaît nullement les racines négatives des équations.

[5] Voir, à la fin du volume, la Note I, où est donnée la traduction de ce passage latin et où il est commenté. Descartes reproduit le texte de la version, parfois inexacte, de Commandin : Pappi Alexandrini mathema- ticce collectiones a Federico Commaiidino Vrbinate in latinum conversa et commentariis illustratœ. — Pisauri, apud Hieronymum Concordiarn, 1588(1602). — Venetiis, apud Franciscurn de Franciscis Senensem, 1589. — Même édition sous trois tirages différents.

[6] Nous ajoutons le signe - qui manque dans l’édition princeps et aussi bien dans les éditions latines de Shooten.

[7] Les mots entre crochets ont été supprimés par Schooten dans l’édition de 1659.

[8] Ce second cas est celui où IL, ne rencontrant pas la conique, n’était pas alors considérée comme un diamètre.

[9] st appliquée Desc.

[10] Lire « l’égalité de la somme ou de la différence »

[11] Titre dans la table des matières

[12] y⁶-2by⁵+(b²-2cd+d²)y⁴+(4bcd-2d²v)y³+(c²d²-d²s²+d²v²-2b²cd)y²-2bc²d²y+b²c²d²=0

[13] Titre dans la table des matières

[14] Page 415

[15] y⁶-2by⁵+(b²-2cd+d²)y⁴+(4bcd-2d²v)y³+(c²d²-d²s²+d²v² -2b²cd)y² -2bc²d²y +b²c²d²=0.

[16] y⁶ + (f-2e)y⁵ + (g²-2ef+e²)y⁴ + (h³-2eg²+e²f)y³ + (k⁴-2eh³+e²g²)y² + (-e²h³-2ek⁴)y + e²k⁴

[17] Étant donné une directrice (BH), un pôle A non situé sur (BH), et un module b, à partir d’un point B de la directrice, on construit les deux points D et D’ de la droite (AB) situés à une distance b de P tels que : AD = AD’ = b. La conchoïde de droite est le lieu géométrique des points D et D’ lorsque le point B parcourt (BH).

[18] Géométriquement identique à la 3^e, comme la 1^re l'est à la 4^e

[19] Page 422

[20] Descartes emploie l’astérisque pour désigner la place des termes manquants ;

[21] Schooten a omis, avec raison, de traduire ce mot « vraies ».

[22] Les deux membres 16 de cette ligne devraient ce semble être affectés du signe -.

[23] L'astérisque, omis par Descartes, a été rétabli par Schooten.

[24] Schooten supprime ici ou CE, qu’il rajoute après FD page 462. l. 19.

[25] Lire « qu'est le point C au regard du point A ».

[26] Axe.

[27] Nous écrivons ces formules de Cardan avec C =1

[28] En valeur absolue conformément à l’habitude de Descartes quand il énonce des racines fausses (négatives).

[29] Nous écrivons cette formule de Cardan avec C = 1.

[30] Il semble qu'il faille restituer cette manchette

[31] 
Ce titre se trouve en haut de la page suivante

[32] 
Après Les fautes de l’impression, qui occupent une page, on lit : On trouvera aussi en plusieurs endroits des définitions fort mal mises, et quantité d’autres fautes de peu d’importance : lesquelles on excusera facilement quand on saura que l’Auteur ne fait pas profession d’être Grammairien, et que le Compositeur dont le Libraire s’est servi n’entend pas un mot de Français.

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Œuvres de Descartes/Édition Adam et Tannery/Tome 6/Texte entier

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