Euclide - Les Œuvres, (trad Peyrard), 1814, I/Éléments - Livre 3/Proposition 12

Euclide

Les Éléments - Livre 3

Traduction par F. Peyrard.
C. F. Patris, 1814 (1, p. 194-195).

ΠΡΟΤΑΣΙΣ ιβʹ.	PROPOSITIO XII.
Εὰν δύο κύκλοι ἐφρΡάπτωνται1 ἀλλήλων ἐκτὸς, ἡ ἐπὶ τὰ κέντρα αὐτῶν ἐπιζευγμένη εὐθε2α2λ διεὰ τῆς ἐπαφῆς ἐλεύσεται.	Si duo circuli sese contingant extra, centr ipsorum cunjungens recta per contactum tran. sibit.
Δύο γὰρ κύκλοι οἱ ΑΒΓ, ΑΔΕ ἐφαπτέσθωσαν ἀλλήλων ἐκτὸς κατὰ τὸ Α σημεῖον, καὶ εἰληήφθω τοῦ μὲν ΑΒΓ κύκλου3 κέντρον, τὸ Ζ, τοῦ δὲ ΑΔΕ τὸ Η. " λέγω ὅτι ἡ ἀπὸ ταῦ Ζ ἐπὶ τὸ Η ἐπιζευγνυ- μένη εὐθεῖα διὰ τῆς κατὰ τὸ Α ἐπαφῆς ἐλεύσεται.	Duo enim circuli ABΓ, AAΔE sese contin. gant extra in A puncto, et sumatur quidem ipsius ABΓ circuli centrum Z, ipsius vero AΔg ipsum H ; dico a Z ad H conjungentem rectam per contactum ad A transire.

Μὴ γὰρ, ἀλλ᾽ εἰ δυνατὸν, ἐρχέσθω ὡς αἱ ΖΓΔΗ, καὶ ἐπεζεύχϑωσαν αἱ ΖΑ, ΔΗ.	Non enim, sed si possibile, eat ut Zz ? H, et jungantug ZA, AH.
Βπεὶ οὖν τὸ Ζ σημεῖον κέντρον ἐστὶ τοῦ ΑΒΓ κύκλου, ἴση ἐστὶν ἡ ΖΑ τῇ ΖΓ. Πάλιν, ἐπεὶ τὸ Η σημεῖον κέντρον ἐστὶ τοῦ ΑΔΕ κύκλου, ἴση ἐστὶν ἡ ΑΗ τῇ ΗΔ. Βδείχθη δὲ καὶ ἡ ΖΑ τῇ Ζ2Γ	Quoniam igitur Z punctum centrum est ipsius ABΓ circuli, æqualis est ZÀ ipsi Zr. Rursu, , quoniam H punctum centrum est ipsius AΔ circuli, æqualis est AH ipsi HΔ. Ostensa eit
ἰσηΚ αἱ ἄρα ΖΑ, ΑΗ ταῖς ΖΤ, ΔΗ ἴσαι εἰσὶν" ὥστέε ὁλη ἡ ΖΗ τωνΖΑ, Αἢῆ μείδων ἐστίν. Αλλα καὶ ἐλάττων, ὅπερ ἀδύυύνατον. Οὐκ ἄρα ἡ ἀπο τοῦ Ζ ἐπὶ τὸ Η ἐπιζευγνυμένη εὐθεῖα διὰ τῆς κατὰ τὸ Α ἐπαφῆς οὐκ ελεύσεται. δὲ αυτῆς ἀρα, Εὰν ἄρα δυο κύκλοι, καὶ τὰ εξζῆς.	est autem ZA ipsi ZΓ æqualis ; ipsæ igitur Za, AH ipsis ZΓ, AH æquales sunt ; quare tota ZH ipsis Zí, AH mqajor est. Séd et minor, quod impossibile. Non igitur a Z ad H ducta recta por contactum ad A non transibit ; per ipsum igitur. S$t : igitur duo circuli, etc.

PROPOSITION XII.

Si deux cercles se touchent extérieurement, la droite qui joint leurs centres passera par le contact.

Que les deux cercles ΑΒΓ, ΛΔΕ se touchent extérieurement au point Α ; prenons le centre Ζ du cercle ΑΒΓ, et le centre Η du cercle ΑΔΕ; je dis que la droite menée du point Z au point H passera par le contact en Α.

Car que cela ne soit point, mais, s’il est possible , quelle tombe comme ΖΓΔΗ, et joignons ZA, iH. δ

Puisque le point z est le centre du cercle ÛΑBΓ, la droite ΖΑ est égale à 7T. De plus, puisque le point m est le centre du cercle Αδὲ, la droite Αἢ est égale à ΗΔ, Mais on a démontré que ΖΑ est égal à la droite zû ; donc las droites Z4 AK sont égales aux droites ΖΓ, ΔΗ ; donc la droite entière ZH est plus grande que les droites ΖΑ, ΑΗ. Mais au contraire, elle est plus petite (20. 1) , ce qui est impossible. Donc la droite menée du point Z au point H ne peut pas ne pas passer par le contact en ; donc elle y passe. Donc, etc.