Euclide - Les Œuvres, (trad Peyrard), 1814, I/Éléments - Livre 4/Proposition 15
C. F. Patris, (1, p. 279-282).
| ΠΡΟΤΑΣΙΣ ιεʹ. | PROPROSITIO XV. |
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Εἰς τὸν δοθέστα κύκλον ἐξάγωνον ἰσόπλευρόν τε καὶ ἰσογώνιον ἐγγράψαι. |
In dato circulo hezagonum æquilaterumque et æquiangulum inscribere. |
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Εστω ὁ δοθεὶς κύκλος ὁ ΑΒΓΔΕΖ. δεῖ δὴ εἰς τὸν ΑΒΓΔΕΖ κύκλον ἐξάγωνον ἰσόπλευρόν τε καὶ ἰσογώνιον ἐγγράψαι. |
Sit datus circulus ABΓAEZ ; oportet igitur in ABΓAEZ circulo hexagonum æquilaterumque et æquiangulum inscribere. |
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Ηχθω τοῦ ΑΒΓΔΕΖ κύκλου διάμετρος ἡ ΑΔ, καὶ εἰλήφθω τὸ κέντρον τοῦ κύκλου τὸ Η, καὶ κέντρῳ μὲν τῷ Δ, διαστήματι δὲ τῷ ΔΗ κύκλος γεγράφθω ὁ ΒΗ͂ΓΘ, καὶ ἐπιζευχθεῖσαι αἱ ΕΗ͂, ΓΗ διήχθωσαν ἐπὶ τὰ Β, Ζ σημεῖα, καὶ ἐπε- ζεύχθωσαν αἱ ΑΒ, ΒΓ, ΓΔ, ΔΕ, ΕΖ, ΖΑ. λέγω ὅτι τὸ ΑΒΓΔΕΖ ἐξάγωνον ἰσόπλευρόν τε ἐστὶ καὶ ἰσογώνιον. |
Ducatur ABΓAEZ circuli diameter AΔ, et sumatur centrum circuli H, et centro qui- dem 4, intervallo vero AH circulus descri- batur EHΓP, et junctá EH, ΓH producantur ad B, Z puncta, et jungantur AB, BΓb, Γ, AE, EZ, ZA ; dico ABΓAEZ hexagonum æqui- laterumque esse et æquiangulum. |
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Επεὶ γὰρ τὸ Η σημεῖον κέντρον ἐστὶ τοῦ ΑΒΓΔΕΖ κύκου, ἴση ἐστὶν ἡ ΗΒ τῇ ΗΔ. Πάλιν, ἐπεὶ τὸ |
Quoniam enim H punctum centrum est ABΓAEZ circuli, æqualis est HE ipsi HΔ. Rur-
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Δ σημεῖον κίιντρον ἐστὶι του ΒΗΓΘ κύκλου, ἰση ἐστὶν ἡ ΔΕ τῇ ΔΗ. Αλλ 1ξ τῇ ΗΔ ἐδείχθη ἴση, καὶ ἡ Η- ἀρὰ τῇ ΕΔ ἴσῃ ἐστίν1. ἰσόπλευρον ἄρα ἐστὶ τὸ ΒΗ͂Δ τρίγωνον, καὶ αἱ τρεῖς ἀρὰ αὐυτοὺ γωνίαι αἱ ὑπὸ ΕΗ͂Δ, ΗΔΕ, ΔΕΗ͂ ἴσαι ἀλλήλαις εἰσὶν, ἐπειδήπερ τῶν ἰσοσκελὼν πτριγώνων αἱ πρὸς τῇ βάσει γωνίαι ἴσαι ἀλλήλαις εἶσί, Καί εἰσιν αἱ τρεῖς τοῦ τριγώνου γωνίαι δυσὶν ὀρθαῖς ἴσαι. ἡ ἄρα ὑπὸ ΒΗΔ γωνία τρίτον ἐστὶ δύο ὀρθῶν. |
sus, quoniam ^ punctum centrum est EHΓG circuli, æqualis est AE ipsi AH. Sed HE ipsi HΔ ostensa est æqualis, HE igitur ipsi EA æ- qualis est ; æbquilaterum igitur est EHΔ trian. gulum, et tres igitur ipsius anguli EHΔ, HAE, AEH æquales inter se sunt, quiaisoscelium trian. gulorum ad basim anguli æquales inter se sunt, Et sunt tres trianguli anguli duobus rectis æ. quales ; ipse igitur EHΔ angulus tertia par ; |
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Ομοίως δὴ δειχθήσεται καὶ ἡ ὑπὸ ΔΗΓ τρίτον δύο ὀρθῶν. Καὶ ἐπεὶ ἡ Γμ εὐθεῖα ἐπὶ τὴν ΕΒ σταθεῖσα τὰς ἐφεξῆς γωνίας τὰς ὑπὸ ΕΗΓ, ΓΗΒ δυσὶν ὀρθαῖς ἴσας ποιεῖ, . καὶ λοιπὴ ἄρα ἡ ὑπὸ ΓΗΒ τρίτον ἐστὶ δύο ὀρθῶν. αἱ ἄρα ὑπὸ ΕΗ͂Δ, ι, ΔἝΗ͂Γ, ΓΗΒ γωνίαι ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν. - ὥστε καὶ αἱ κατὰ κορυφὴν αὐυὐταῖς αἱ ὑπὸ ΒΗ͂ΑΙ, ΑΗΖ, ΖΗΕ ἴσαι εἰσὶ ταῖς ὑπὸ ΕΗΔ, ΔΗ͂Γ, ΓΗ͂Β. αἱ ἐξ ἄρα γωνίαι αἱ ὑπὸ ΕΒΗΔ, ΔΗΓ, ΓΗ͂Β, ΒΗΑ, ΑΗΖ, |
est duorum rectorum. Similiter utique ostende- tur et AHΓ tertia pars duorum rectorum. Et que- niam ΓH recta super EB insistens deinceps an- gulos EHΓ, ΓHB duobus rectis æquales facit, et reliquus igitur ΓHB terlia pars est duorum rectorum ; ipsi igitur EHΔ, AHΓ, ΓHB anguli æquales inteff se sunt ; quare et ad vetti- cem ipsi BHA, AHZ, ZHE æquales sunt ip- sis EHΔÜ, AHΓ, ΓEHB ; sex igitur anguli EHΔ, |
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ZHE ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν. Αἱ δὲ ἴσαι γωνίαι ἐπὶ ἴσων περιφερειῶν βεδήκασιν. αἱ ἐξ ἄρα περιφέρειαι αἱ ΑΒ, ΒΙ, ἹΔ, ΔΕ, ΕΖ, ΖΑ ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν. Υπὸ δὲ τὰς ἴσας περιφερείας αἴ32 ἴσαι εὐ-- θειαι ὑποτείνουσιν » αἱ ἐξ ἄρα εὐθεῖαι ἴσαι ἀλλή. λαις εἰσινο ἰσοπλευρὸν ἀρὰ ἐστί τὸ ΑΒΓΔΕΖ ἐξα- γωνον. λέγω δὴ ὁτι καὶ ἰσογώνιον. Ἐπεὶ γὰρ ἴση ἐστὶν ἡ ΖΑ περιφέρεια τῇ ΕΔ περιφερείᾳ, κοινὴ προσκείσθω ἡ ΑΒΓΔ περιφέρεια. ὅλη ἄρα ἡ ΖΑΒΓΔΡ ὅλῃ τῇ ΕΔΓΒΑΖά ἐστὶν ἴση, καὶ βέϊηκε ἐπὶ μὲν τῆς ΖΑΒΓΔ περιφερείας ἡ ὑπὸ ΖΕΔ γωνία, ἐπὶ δὲ τῆς ΕΔΙΒΑ περιφερείαςϑ8 ἡ ὑπὸ ΑΖΕ γωνία ἴση ἄρα ἡ ὑπὸ ΑΖΕ γων » ἴα τῇ ὑπὸ ΖΕΔ. Ομοίως δὴδ δειχϑήσεται ὅτι καὶ αἱ λοιπαὶ γωνίαι τοῦ ΑΒΓΔΕΖ ἐξαγωνου κατὰ μίαν ἴσαι εἰσὶν ἐκατέρᾳ τῶν ὑπὸ ΑΖΕ, ΖΕΔ γωνιῶν. ἰσογώνιον ἄρα ἐστὶ7 τὸ ΑΒΓΔΕΖ ἐξάγωνον. Εδείχθη δὲ καὶ ἰσόπλευ- ρὸν, καὶ ἐγγέγραπται εἰς τὸν ΑΒΓΔΕΖ κύκλον. |
AHΓ, ΓHB, BHÁ, AHZ, ZHE æquales inter se sunt. JEquales flutem anguli æqualibus circum- ferentiis iasistunt ; sex igitur circumferentiæ AB, BΓ, ΓΔ, AE, EZ, ZA æquales inter se sunt. Aiuales autem circumferentias æquales rectæ subtendunt ; sex igitur rectæ æquales inter se sunt ; æquilaterum igitur est ABΓAEZ liexago- num ; dico etiam et æquiangulum. Quoniam enim æqualis est ZA circumferentia ipsi EAcir- cumferentiæ, communis addatur ABΓΔ circum- fcrentia ; tota igitur ZABΓA toti EAΓBA est æÀqua- lis, et insistit quidem ipsi ZABΓA circumferen- tiæm ipse ZEΔ angulus, ipsi vero EAΓBA circum- ferentim ipse AZE angulus. JZqualis igitur AZE angulus ipsi ZER. Similiter utique ostendetur et reliquos angules ipsius ABΓAEZ hexagoni secun- dum unum æquales esse alterutri ipsorum AZE, ZEΔangulorum, Jquiangulum igitur est ABΓAEZ hexagonum. Ostensum est autem et æquilate- rum, et inscriptum est in ABΓAEZ circulo. |
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Εἰς ἄρα τῶν δοθέντα κύκλον ἐξαάγωνον ἰσύ. πλευρόν τε καὶ ἰσογώνιον ἐγγέγραπται. ΟΖσερ ἐδεὶ ποιῆσαι. |
In dato igitur circulo hexagonum 7æquilate- rumque et æquiangulum inscriptum est. Quod oportebat facere. |
| ΠΟΡΙΣΜΑ. | COROLLARIUM. |
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Εκ τούτου φανερὸν ὅτι ἡ τοῦ ἐξαγώνου πλευρὰ. Ιση ἐστὶ τη ἐκ τοῦυ κεντρου τοὺ κυκλου. |
Ex hoc manifestum hexagoni latus ? quale esse ipsi ex circuli centro. |
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Καὶ ἐὰν διὰ τῶ Α, Β, Γ, Δ, Ε, Ζ ση- μείωνδ ἐφαπτομένας τοῦ κύκλου ἀγάγωμεν, πέ-- ρΙγραφήσεται περὶ τὸν κύκλον ἐξώγχωνον ἰσοπλευ- ρύν τέ καὶ ἰσογῶνιον, ἀκολούθως τοῖς ἐπὶ τοῦ πενταγώνου εἰρημένοις. Καὶ ἐτι διὰ τῶν ομοίων τοῖς ἐπὶ τοῦ πενταγώνου εἰρημένοις, εὶς τὸ δεθὲν εξζάγωνον κύκλον ἐγγράψομέν τε καὶ περιγράψο. - μενϑ. |
Et si per A, B, Γ, Δ, E, Z punceta contingentes circuelum ducamus, circumsceribetur circa eirculum hexagonum æquilaterumque et æquiangulum, congruenter eis de pentagono dictis. Et etiam congtuenter eis de pentagono dictis, in dato hexagono circulum inscriberus. que et circumscribemus. |
Inscrire dans un cercle donné un hexagone équilatéral et équiangle.
Soit ABΓΔEZ le cercle donné ; il faut dans ce cercle inscrire un hexagone équilatéral et équiangle.
Menons le diamètre ΑΔ du cercle ΑΒΓΔΕΖ, prenons le centre H de ce cercle, du centre Δ, et de l’intervalle nH ! décrivons le cercle ΕΗΓΘ (dém. 3) , joignons les droites EH, ΓH, prolongeons-les vers les points B, Z, et joignons AB, PT, n, ΔΕ, EZ, ZA ; je dis que l’hexagone ΑΒΓΔΕΖ est équilatéral et équiangle-
Puisque le point H est le centre du cercle ΑΒΓΔΕΖ, la droite HE est égale à ΗΔ. De plus, puisque le point Δ est le centre du cercle EHΓΘ, la droite ΔΒ est égale à nH. Mais on a démontré que HE est égal à ΗΔ ; donc HE est égal à En ; donc le triangle ΕΗΔ est équilatéral ; donc les trois angles EHA, HJE, ΔΕΗ sont égaux entr’eux, puisque dans les triangles isocèles, les angles à la base sont égaux entr’eux. (5. 1) . Mais les trois angles d’un triangle sont égaux à deux droits (32. 1) ; donc l’angle EHÛ est le tiers de deux droits. Nous démontrerons semblablement que ΔΗΓ est le tiers de deux droits. Mais la droite ΓΗ͂ tombant sur la droite EB fait : les angles de suite ΕΗΓ, ΓbB égaux à deux droits (13. 1) ; donc l’angle restant ΓΗΒ est le tiers de deux droits ; donc les angles EHA, ΔΗΓ, ΓῊΒ sont égaux entr’eux ; mais les angles BHA, AHZ, ZHE sont égaux aux angles EHA, ΔΗΓ, ΓῆΒ, parce que ces angles sont opposés par le sommnet (15. 1) , donc les six angles EHAX, ΔΗΓ, ΓΗΒ, ΒΗΑ AHZ, ZHE sont égaux entr’eux. Mais des angles égaux s’appuient sur des arcs égaux (20. 3) ; donc les six arcs ÆB, ΒΓ, ΓΔ, ΔE, EZ, ZA sont égaux entreux. Mais des arcs égaux sont soutendus par des droites égales (29. 3) ; donc ces six droites sont égales entr’elles ; donc l’hexagone ABΓAVEZ est équilatéral. Je dis qu’il est équiangle. Car puisque l’arc ΖΑ est égal à l’arc ΕΔ, ajoutons l’arc commun ΑΒΓΔ, l’arc entier ΖΑΒΓΔ sera égal à l’arc entier ΕΔΓΒΑ. Mais l’angle ΖΕΣΔ s’appuie sur l’arc zaBΓΔ, et l’angle ΑΖΕ s’appuie sur l’arc EATBA ; donc lʼangle ΑΖΕ est égal à DP’angle ΖΕΔ (27. 3) : On démontrera semblablement que les angles restants de lʼhexagone ΑΒΓΔΕΖ sont égaux un à un à l’un et à lʼautre des angles AZE, ZEA ; donc l’hexagone ABΓZEZ est équiangle. Mais on a démontré qu’il est équilatéral, et il est inscrit dans le cercle ABΓΔEZ.
Donc on a inscrit un hexagone équilatéral et équiangle dans le cercle donné. Ce qu’il fallait faire.
De là il est évident que le côté de l’hexagone est égal au rayon du cercle.
Semblablement si par les points Α, Β, Δ, Γ, E, Z nous menons des tangentes au cercle, on circonscrira à ce cercle un hexagone équilatéral et équiangle, conformément à ce qui a été dit pour le pentagone. Ü’est aussi conformément à ce qui a été dit pour le pentagone, que nous inscrirons, et que nous circonscrirons un cercle à un hexagone donné.