Euclide - Les Œuvres, (trad Peyrard), 1814, I/Éléments - Livre 4/Proposition 16

Euclide

Les Éléments - Livre 4

Traduction par F. Peyrard.
C. F. Patris, 1814 (1, p. 282-283).

ΠΡΟΤΑΣΙΣ ις.	PROPOSITIO XV.
Εςς τὸν δοθέντα κύκλον πεντεκαιδεκάγχωνον ἰσοπλευρὸν τέ Και Ισογῶν [οὐν ἐγγράψαι.	In dato circeulo quindecagonum æquilaterum- que et æquiangulum inscribere.
Εστω οἡ δοθεὶς κύκλος ὁὸ ΑΒΓΔ. δεὶῖ δὴ εἰς τὸν ΑΒΓΔ κυκλον πεντεκαιδεκαγωνον ἰσοπλευρὸν τε καὶ ἰσογώνιον ἐγγράψαι.	Sit datus circulus ABΓΔ ; oportet igitur in ABΓΔ circulo quindecagonum æquilaterumque et æquiangulum inscribere.
Εγγεγράφθωι εἰς τὸν ΑΒΓΔ κύκλον τριγώνου μὲν ἰσοπλεύρου τοῦ εἰς αὐτὸν ἐγγραφομένου πλευρὰ ἡ ΑΓ, πενταγώνου δὲ ἰσοπλεύρου ἡ ΑΒ. οἴων ἄρα ἐστὶν ὁ ΑΒΓΔ αύκλος ἴσων τμημάτων δεκαπέντε, τοιούτων ἡ μὲν ΑΒΓ περιφέρεια τρί- τὸν οὖὐσα τοῦ κύκλου ἔσται πέντε. ἡ δὲ ΑΒ πε- ριφέρεια. πεμπτὸν οὖὐσα τοῦ κύκλου, ἔσται τριῶν. λοιπὴ ἄρα ἡ ΒΓ τῶν ἴσων δύο. Τετμήσθω	Inscribatur in ABΓΔ circulo trianguli quidem æquilateri in ipso inscripti latus AΓ, pentagoni vero æquilateri ipsum AB ; qualium igitur est ABΓs circulus æqualium segmentorum quindc- cim, talium ABΓ quidem circumferentia tertia pars existens circuli erit quinque ; AB vero cir- cumferentia, quinta existens circuli, erit trium ; reliqua igitur BΓ æqualium duarum. Secetur

ἡ ΒΓ δῖίχα κατὰ τὸ Ε, ἐκατέρα ἄρα τῶν ΒΕ, ΕΓ πεέεριΦερειωῶν πεντεκαιδέκατον ἔσταιΞ2, τοῦ ΑΒΓΔ κύκλου. Ἐὰαν αρὰ ἐπιζεύξαντες τὰς ΒΕ, ἘΓ ευυ- εἰας“. ἰσὰς αὐταις κατα δΖ0ὐ συνέχες εὐθείαςὦ ἐναρμόσωμεν εἰς τὸν ΑΒΓΔ κύκλον, ἐσται εἰς αυτὸν ἐγγεγραμμεένον πεέντεκαιδεγωνον ἰσόὀπλευρόν τέ καὶ ἰσογώνιον. ΟΖερ ἔδει ποιῆσαι.

BΓ bifarram in E, utraque igitur ipsarum BE, EΓ circumferentiarum quintadecima erit ABΓΔ circuli. Si igitur jungentes ipsas BE, EΓ rectas, æquales ipsis in continuum rectas aptemus in ABΓWX£ circulo, erit in ipso inscriptum quindeca- gonum æquilaterumque et æquiangulum. Quod oportebat facere.

PROPOSITION XVI.

Inscrire dans un cercle donné un quindécagone équilatéral et équiangle. Soit ΑΒΓΔ le cercle donné ; il faut dans ce cercle inscrire un quindécagone équilatéral et équiangle. Inscrivons dans le cercle ABΓΔ le côté ΑΓ d’un triangle équilatéral inscrit, et le côté AΓ d’un pentagone équilatéral. Puisque la circonférence entière ABΓàÜ doit être partagée en quinze parties égales, l’arc ΑΒΓ qui est la troisième partie de la circonférence, en contiendra cinq, et Parc ΑΒ qui est le cinquième de la circonférence, en contiendra trois ; donc BParc restant BΓ en contiendra deux. Partageons l’arc restan BΓ en deux parties égales au point E (30. 3) , chacun des arcs BE, ΕΓ sera la quinzième partie de la circonférence du cercle ABΓs. Donc, si ayant joint les droites BE, ΒΓ, nous adaptons dans le cercle ABΓA, à la suite les unes des autres, des droites égales à ces droites (1. 4) , on aura inscrit dans ce cercle un quindécagone équilatéral et équiangle. Ce qu’il fallait faire.