Euclide - Les Œuvres, (trad Peyrard), 1814, I/Éléments - Livre 4/Proposition 2

Euclide

Les Éléments - Livre 4

Traduction par F. Peyrard.
C. F. Patris, 1814 (1, p. 248-249).

ΠΡΟΤΑΣΙΣ β'.	PROPOSITIO II.
Εἰς τὸν δοθέντα κύκλον τῷ δοθέντι τριγώνῳ ἰσογώνιον τρίγωνον ἐγγράψαι.	In dato circule dato triangule æquiangulum triangulum inscribere.
Εστω ὁ δοθεὶς κύκλος ὁ ΑΒΓ, τὸ δὲ δοθὲν τρίγωνον τὸ ΔΕΖ. δὲεὶῖ δὴ εἰς τὸν ΑΒΓ κύκλον τῷ ΔΕΖ͂ τριγώνῳ ἰσογώνιον τρίγωνον ἐγγράψαι.	Sit datus circulus ABΓ, datum vero trian. . gulum AEZ ; oportet igitur in ABΓ circulo Ipsi AEZ triaugulo æquiangulum triangulum inscribere.

Ηχϑω τοῦ ΑΒΓ κύκλου ἐφαπτομένη ἡ ΗΘ κατὰ το, καὶ συνἐεστατω σρὸς τη ΑΘ εὐθείᾳ καὶ τῷ σρὸς αὐυτῇῃ σημείῳ τῷ Α τῇ υπὸο ΔΕζ γωνία ἴση ἡ ὑπὸ ΘΑΓ" πάλιν, πρὸς1 τῇ ΗΑ εὐθείᾳ καὶ τῷ πρὸς αὐυτῇ σημείῷ τῷ Α τῇ υτπσὸο ZΔΕ5 ἴση ἡ ὑπὸ ΒΑΒ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΒΓ.	Ducatur ABΓ circulum coutingens ipsaH ih Á, etconstituatur ad AΘ" rectam et ad punc- tum in eà & ipsi AEZ angulo æqualis ipse G4Γ ; rursus, ad HA rectam et ad punctum in ei 4 ipsi ZAE æqualis HAB, et jungatur BΓ.
Ἐπεὶ οὖν κύκλου τοῦ ΑΒΓ ἐφάπτεταί τις εὐ- θεῖχ ἡ ΘΑ. καὶ ἀπὸ τῆς κατὰ τὸ Α ἐπαφῆς εἰς τὸν κύκλον δηῆκται εὐθεῖα ἡ ΑΤή". ἡ ἄρα ὑπὸ ΘΑΓ ἴση ἐστὶ τῇ ἐν τῷ ἐναλλὰξ τοῦ κύκλου τμᾗμοιτι γωνίᾳ. τῇ ὑπὸ ΑΒΓ. Αλλ ὴ ὑπὸ ΘΑΓ τῇ ὑπὸ ΔΕΖ εστιν ἄση" καὶ ἡ ὑπὸ ΑΒΓ αρω γω- γία τῇ ὑπὸ ΔΕΖ ἰστὶν ἴση. Διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἡ ὑπὸ ΑΤΒ τῃ ὑπὸ 2ΔῈ ἐστὶν ἴση. καὶ λοιπὴ αροι ἡ ὑπὸ ΒΑΤ λο, πῇ τῇ ὑπὸ ἘΖΔ ἐστὶν ἔση" ἰσο- γώνιον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΒΓ τρέήγωνον τῷ ΔΕΖ τρι-. γώνῳ. , καὶ ἐγγέγραπται εἰς τὸν ΑΒΓ κύκλον",	Quoniam igitur ABT circulum contingit ali^ qua recta OA, a contactu autem ad A in cir- culo ducta est recta AT, ipse utique GATʼ zqua. lis est 1ipsi in alterno circuli segmento angülo ABT. Sed ipse OAT ipsi AEZ est æqualis ; et ABT igitur angulusipsi AEZ est æqualis. Prop- ier eadem utique et ipse ATʼB ipsi ZAE est - qualis, et rcliquus igitur BATʼ reliquo EZA est zqualis. Zquiangulum igitur est. ABD triangu- lum ipsi AEZ triangulo, et inscriptum estin ABT circulo.
Εἰς τὸν δοθέγτα ἄρα κύκλον τῷ δοθέντι τρι- γώνῳ ἰσογῶνιον τρίγωνον ἐγγέγραπται. Οπερ ἔδὲ ποιῆσαι.	In dato igitur circulo dato triangulo zquian- gulum triangulum descriptum est. Quod opor- lebat facere.

PROPOSITION II.

Dans un cercle donné, inscrire un triangle qui soit équiangle avec un triangle donné.

Soit ΑΒΓ le cercle donné, et ΔΕΖ le triangle donné ; il faut dans le cercle ABI inscrire un triangle qui soit équiangle avec le triangle donné ΔΕΖ.

Menons la droite H, de manière quelle touche le cercle ΑΒΓ en un point, et sur la droite ΑΘ, et au point A de cette droite faisons l’angle ΘAT égal à lʼangle ΔΕΖ (23. 1 : ) De plus sur la droite HA, et au point de cette droite faisons l’angle HAB égal à l’angle ΖΔΕ, et joignons BT. Puisque la droite ΘΑ touche le cercle ΑΒΓγ, et que la droite A a été menée dans le cercle du point de contact Α, l’angle ΘΑΓ est égal à langle çBΓ placé dans le segment alterne du cercle (32. 3) . Mais l’angle ΘΑΓ est égal à l’angle ΔΕΖ͂ ; donc l’angle ΑΒΓ est égal à l’angle ΔΕΖ Par la même raison l’angle ΑΓΒ 6δ1 égal à l’angle ΖΔΕ ; donc l’angle restant BAΓ est égal à l’angle restant £È (32. 1) ; donc le triangle ABΓ est équiangle avec le triangle ΔΕΖ, et il est inscrit dans le cercle ABr (déf. 3. 4) -

Donc dans le cercle donné, on a inscrit un triangle équiangle avec un triangle donné. Ce qu’il fallait faire.