Euclide - Les Œuvres, (trad Peyrard), 1814, I/Éléments - Livre 4/Proposition 3

Euclide

Les Éléments - Livre 4

Traduction par F. Peyrard.
C. F. Patris, 1814 (1, p. 249-251).

ΠΡΟΤΑΣΙΣ γ.	PROPOSITIO III.
Περὶ τὸν δοῦέρντα κύκλον τῷ δοθέντι τριγώνῳ ἰσογώνιον τρίγωνον πιριγράψαι.	Circa datum circulum dato triangulo æqui- angulum triangulum circumscribere.
Εστω ὁ δοθεὶς κύκλος ὁ ΑΒΓ, τὸ δὲ δοθὲν τρί- γωνον τὸ ΔΕΖ. ’ δεῖ δὴ περὶ τὸν ΑΒΓ κύκλον τῷ ΔΕΖ τριγώνῳ ἰσογώνιον τρίγωνον περιγράψαι.	Sit datus circulus ABΓ, datum autem trian- gulum AEZ ; oportet igitur circa ABΓ circulum ipsi AEZ triangulo æquiangulum triangulum cir- cumscribere.
Εκϐεϐλήσθω ἡ ΕΖ ἐ ἐκάτερα τὰ μέρη κατὰϊ τὰ. Η, Θ σημεῖα, καὶ εἰλήφθω τοῦ ΑΒΓ κύκλου κέ:- τρὸον τὸ Κ, καὶ διήχθω ὡς ἔτυχεν εὐθεῖα ἡ ΚΒ, καὶ συνεστάτω πρὸς τῇ ΚΒ εὐθείᾳ καὶ τῷ πρὸς	Producatur EZ ex utráque parte ad H, Θ puncta, et sumatur ABΓ circuli centrum K, et ducatur uteunque recta KB, et constituatur ad KB rectam et ad punctum in ei K ipsi qui

αὐτῇ σημείῳ τῷ Κ τῇ μὲν ὑπὸ ΔΕΗ͂ γωνίᾳ ἴση ἡ ὑπὸ ΒΚΑ, τῇ δὲ ὑπὸ ΔΖΘ ἴση ἡ ὑπὸ ΒΚΓ, καὶ διὰ τῶν Α, Β, Γ σημείων ἤχθωσαν ἐφαπτό- μέναι τοῦ ΑΒΓ κύκλου αἱ ΛΑΜ, ΜΒΝ, ΝΓΛ.	dem AEH angulo æqualis BKA, ipsi vero AZo æqualis BKΓ, et per A, B, Γ puncta ducan- tur tangentes ipsum ABΓ circulum ipse AAM, MEN, NΓA.
Καὶ ἐπεὶ ἐφράπτονται τοῦ ΑΒΓ κύκλου αἱ ΛΜ, ο ΜΝ, ΓΜΔΛ κατὰ τὰᾳΑ, Β, Γ σημεῖα, καὶ3 ἐπι- ζευγνύμεναί εἰσιν αἱ ΚΑ, ΚΒ, ΚΓ. ὀρθαὶ ἄρα εἰσὶν αἱ πρὸς τοῖς Α, Β, Γ σημείοις γωνίαι. Καὶ ἐπεὶ τοῦ ΑΜΒΚ τετραπλεύρου αἱ τέσσαρες γωνίαι	Et quoniam contingunt ABΓ circulumipsæ AM, MN, NA inA, B, Γ punctis, etjunctæ sunt KA, KB, KΓ ; recti utique sunt ipsi ad A, B, Γ puncia anguli. Et quoniam AMBK quadrilateri quatuor anguli quatuor rectis Àæquales sunt, quandoqui-
τέτρατσιν ὀρθαῖς ἴσαι εἰσὶν, ἐπεὶ δήπερ καὶ εἰς δύο τρίγωνα διαιρεῖται τὸ ΑΜΒΚ, καὶ εἴσιν ὀρβαὶ αἱ ὑπὸ ΜΑΚ, ΚΒΜ γωνίαι3. λοιπαὶ ἄρα αἱ ὑπὸ ΑΚΒ, ΑΜΒ δυσὶν ὀρθαῖς ἴσαι εἰοίν. Εἰσὶ δὲ καὶ αἱ ὑπὸ ΔΕΗ͂, ΔΕΖ δυσὶν ὀρθα ; ς ἴσαι. αἱ ἄρα ὑπὸ ΑΚΒ, ΑΜΒ ταῖς ὑπὸ ΔΕΗ͂, ΔΕΖ͂ ἴσαι εἰσὶν, ὧν ἡ ὑπὸ ΑΚΒ τῇ ὑπὸ ΔΕΗ ἐστὶν ἴση λοιπὴ ἄρα ἡ ὑπὸ ΑΜΒ λοιπῇ τῇ ὑπὸ ΔΡΖ ἐστὶν ἴση. Ομοίως δὴ δειχθήσεται ὅτι καὶ ἡ ὑπὸ ΛΗ͂Μ τῇ ὑπὸ ΔΖΕ ἐστὶν ἴση » καὶ λοιπὴ ἄρα ἡ ὑπὸ ΜΛΝ λοιπῃίῪ. τῇ ὑπὸ ΕΔΖ ἐστὶν ἴση. Ισογώνιον ἄρα ἐστὶ τὸ ΛΜΝ τρίγωνον τῷ ΔΕΖ τριγώνῳ, καὶ περιγέγραπται περὶ τὸν ΑΒΓ κύκλον.	dem et in duo triangula dividitur AMBKE, et sunt recti MAK, KBM anguli ; reliqui igitur AKB, AMB duobus rectis æquales sunt ; sunt autem et AEH, AEZ duobus rectis æquales ; ipsi igitur AEB, AMB ipsis AEH, AEZ æquales sunt, quorum AKEB ipsi AEH est æqualis ; reliquus igitur AMB reliquo AEZ est æmqualis. Similiter utique ostendetur et ipsum ANM ipsi AZE esse æqualem ; et reliquus igitur MAN reliquo EΔZ est æqualis. J/quiangulum igitur est AMN trian- gulum ipsi AEZ triangulo, et circumscribitur circum ABΓ circelum.
Περὶ τὸν δοθέντα ἄρα κύκλον τῷ δοθέντι τρι- γώνῳ ἰσογώνιον τρίγωνον περιγέγραπται. ΟΖερ ἔδει ποιῆσαι.	Circa datum igitur circulum dato triangulo æquiangulum triangulum circumscriptum est. Quod oportebat facere.

PROPOSITION III.

À un cercle donné, circonscrire un triangle équiangle avec un triangle donné. Soit ΑΒΓ le cercle donné, et Αzz le triangle donné ; il faut au cercle ΑΒΓ cir- conscrire un triangle équiangle avec le triangle ΔΕΖ.

Prolongeons la droite EZ de part et d’autre vers les points H, (dem. 2) , pre- nons le centre K du cercle ΑΒΓ (1. 3) , menons d’une manière quelconque la droite KB, faisons sur la droite KB, et au point K de cette droite, un angle ΒΚΑ égal à l’angle ΔΕΗ͂, et l’angle ΒΚΓ égal à Vangle ΔΖΘ (23. 1) , par les points A, B, T menons les droites ΛΑΜ, ΜΒΝ, ΝΓΔ tangentes au cercle ABT (17. 3) .

Puisque les droites ΔΜ, ΜΝ, N| touchent le cercle ABΓ aux points Α, B, Γ, et que lon a joint KA, KB, ΚΓ les angles aux points Α, B, T se- ront droits (13. 3) . Et puisque les quatre angles du quadrilatère ΑΜΒΚ sont égaux à quatre angles droits (32. 1) , car le quadrilatère ΑΜΒΚ peut se di- viser en denx triangles ; mais parmi les angles de ce quadrilatère, les angles ΜΑΚ, KBM sont droits ; donc les angles restants AŒKB, ΑΜΒ sont égaux à deux droits. Mais les angles Û) EH, ΔΕΖ sont égaux à deux droits (13- 1) ; donc les angles ΑΚΒ, AMB sont égaux aux angles ΔΕΗ, ΔΕΖ ; mais l’angle AxB est égal à l’angle ôEH ; donc l’angle restant AMB est égal à J’angle restant ΔΕΖ. Nous démontrerons semblablement que l’angle ôNM est égal à Pangle azz ; donc Pangle restant MAN est égal à l’angle restant ΕΔΖ (32. 1) . Donc le triangle AMN est équiangle avec le triangle ΔΕΖ, et il est circonscrit au cercle ΑΒΓ (déf. 4. 4).

Donc un triangle équiangle avec un triangle donné a été circonscrit à un cercle donné. Ce qu’il fallait faire.