Euclide - Les Œuvres, (trad Peyrard), 1814, I/Éléments - Livre 4/Proposition 4

Euclide

Les Éléments - Livre 4

Traduction par F. Peyrard.
C. F. Patris, 1814 (1, p. 252-253).

ΠΡΟΤΑΣΙΣ δʹ.	PROPOSITIO IV.
Eἰς τὸ δοθὲν τρίγωνον κύκλον ἐγγράψαι.	In dato triangulo circulum inscribere.
Εστω τὸ δοθὲν τρίγωνον τὸ ΑΒΓ. δὲϊ δὴ εἰς τὸ ΑΒΓ τρίγωνον κύκλον ἐγγράψαι.	Sit datum triangulum AΓB ; oportet igitur in ABΓ triangulo circulum inscribere.
Τετμήσθωσαν αἱ ὑπὸ ΑΒΓ, ΑΓΒ γωνίαι δίχα ταῖς ΒΔ, ΓΔ εὐθείαις, καὶ συμἝαλλέτωσαν ἀλ- λήλαις κατὰ τὸ Δ σημεῖον, καὶ ἤχθωσαν ἀπὸ τοῦ Δ ἐπὶ τὰς ΑΒ, ΒΓ, ΓΑ εὐθείας κάθετοι αἱ ΔΕ, ΔΖ, ΔΗ.	Secentur ABΓ, AΓB anguli bifariam ab ipsis BB) , EΓW rectis, et conveniant inter se in A puncto, et ducantur a Δ ad AB, BΓ, ΓA rectas perpendiculares AE, AZ, ΔH.

Καὶ ἐπεῖ ἰση ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΑΒΔ γωνία τῇ ὑπὸ ΔΒΓΙ, ἐστὶ δὲ καὶ ὀρθὴ ἡ ὑπὸ ΒΕΔ ορθῇ τῃ ὑπὸ ΒΖΔ ἴση. δύο δὴ τρίγωνά ἐστι τὰ ΕΒΔ, ΖΒΔ, τὰς δύο γωνίας ταῖς2 δυσὶ γωνίαις ἴσας ἔχοντα, καὶ μίαν πλευρὰν μιᾷᾳᾷ “πλευρᾷ ἴσην, τὴν3 ὑποτείνουσαν ὑπὸ μίαν τῶν ἰσὼν γωγιῶν, κοιγὴν αὐτῶν τὴν ΒΔ,	Et quoniam æqualis est ABΔ angulus ipsi ABà, est autem et rectus BEΔ recto BZΔ æqualis ; duo igitur triangula sunt EBΔ, ZB^, duos an- gulos duobus angulis æquales habentia, et unum latus uni lateri æquale, sustendens unum æqua- lium angulorum, commune iis ipsum BΔ Et
καὶ τὰς λοιπὰς ἄρα πλευρὰς ταῖς λοιπαῖς σλευ- ραῖς ἴσας ἐξουσιν. - ἴση ἄρα ἡ ΔῈ τῇ ΔΖ. Διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἡ ΔΗ τῇ ΔΖ ἐστὶν ἴση. Αἱ τρεῖς ἄρα εὐθείαι αἱ ΔΒΕ, ΔΖ, ΔΗ ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν1. ὁ ἄρα κέντρῳ τῷ Δ, καὶ5 διαστήματι ἐνὶ τῶν ΔΕ, ΔΖ, ΔΗ͂ κύκλος γραφόμενος ἥξει καὶ δυὰ τῶν λοιπῶν σημείων, καὶ ἐφάψεται τῶν ΑΒ, ΒΓ, ΓΑ εὐθειῶν, διὰ τὸ ὀρθὰς εἶναι τὰς πρὸς τοῖς Ε, Ζ, Η σημείοις γωνίας. Εἰ γὰρ τεμεῖ αὐτὰς, ἔσται ἡ τῇ διαμέτρῳ τοῦ κύκλου πρὸς ὀρθὰς ἀπ᾽ ἄκρὰς ἀγομένη ἐντὸς πίπτουσα τοῦ κύκλου, ὅπερ ἄτοπον ἐδείχθηθ. οὐκ ἄρα 67 κέν- τρῳ Δ, διαστήματι δὲ ἐνὶ τῶν ΔΕ, ΔΖ, ΔΗ γρα- φόμενος κύκλος τέμνει τὰς ΑΒ, ΒΓ, ΓΑ εὐθείας. ὀφάψεται ἄρα αὐυτῶν καὶ ἔσται κύκλος ἐγγεγραμ- μένος εἰςὅ τὸ ΑΒΓ τρίγωνον. Ἐγγεγράφθω ὡς ΖΕΗΘ.	reliqua igitur latera reliquis lateribus æqualia habebunt ; æqualis igitur AE ipsi Az. Propter eadem utique et AH ipsi aZ est æqualis. Tres igitur rectæ ΔE, ΔZ, ΔH æquales inter se sunt ; ergo centro Δ, et intervallo unà ipsarum ΔE, ΔZ, ΔH circulus descriptus transibit et per reliqua puncta, et contingett AB, BΓ, ΓA rectas, propterea quod recti sunt ad E, Z, H puncta anguli. Si enim secet ipsas, erit ipsa diametro circuli ad rectos ab extremitate ducta intra ipsum cadens circulum, quod absurdum ostensum est ; non igitur centro Δ, intervallo autem uná ipsarum AE, 9Z, AB descriptus circulus secat AB, BΓ, ΓA rectas ; contingit igitur ipsas, , et erit cir- culus descriptus in ABΓ triangulo. Inscribatur ut ZHE-
Εἰς ἄρα τὸ δοθὲν τρίγωνον τὸ ΑΒΓ κύκλος ἐγγέγραπται ὁ6ι10 ΒΖώΗ. Οπερ ἔδει ποιῆσαι.	In dato igitur triangulo ABΓ circulus ins- criptus est EZH. Quod oportebat facere.

PROPOSITION IV.

Inscrire un cercle dans un triangle domné.

Soit ABΓ le triangle donné ; il faut dans le triangle ABΓ inscrire un cercle.

Partageons en deux parties égales les angles ΑΒΓ, ΑΓΒ par les droites Bñ, ΓΔ ; que ces droites se rencontrent au point Δ, et du point Δ menons aux droites ΑΒ, ΒΓ, ΓΑ les perpendiculaires ΔΕ, ΔΖ, DH (12. 1) .

Puisque l’angle ABA est égal à l’angle Ûô”Γ, et que l’angle droit BEÛ est égal ; à Vangle droit BZA, les deux triangles EBA, ΖΒΔ ont deux angles égaux à deux angles, et un côté égal à un côté, le côté commun BΔ qui soutend un des angles égaux ; ils ont donc les côtés restants égaux aux côtés restants (26. 1) ; donc ΔE est égal à ΔΖ, Par la même raison ΔΗ est égal à nZ. Donc les trois droites JE, ΔΖ, ΔΗ sont égales entr’elles ; donc le cercle décrit du point Δ et d’un intervalle égal à une des droites ΔΕ, ΔΖ, ) H passera par les autres points, et touchera les droites ΑΒ, ΒΓ, ΓΑ, les angles étant droits en E, Z, H. Car si le cercle coupait ces droites, une perpendiculaire au diamètre d’un cercle et menée d’une de ses extrémités tomberait dans ce cercle, ce qui a été démontré absurde (16. 3) ; donc le cercle décrit du point Δ et d’un inter- valle égal à une des droites ΔΒΕ, nZ, nH ne coupera point les droites ΑΒ, ΒΓ, ΓΑ ; donc elle les touchera, et ce cercle sera inscrit dans letriangle ABΓ (déf. 5. 4) . Qu’il soit inscrit comme ZHE.

Donc dans le triangle donné ABΓ, on a inscrit le cercle EZH. Ce qu’il fallait faire.