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Si l’on remplace respectivement les nombres 2 et 3 par des nombres quelconques, l’on vérifiera que leur somme est indépendante de l’ordre dans lequel ils sont écrits.

Mais vérifier n’est pas démontrer, car « il n’y a de science que du général (1) » et pour vérifier il faut choisir deux nombres particuliers.

Soient donc deux nombres entiers quelconques, a et b. Nous voulons démontrer le théorème :

$a + b = b + a$.

M. Poincaré a prouvé péremptoirement qu’il n’est qu’une démonstration valable, celle-ci :

L’on part de l’identité :

(1)

$1 + 1 = 1 + 1$.

L’on vérifie par des raisonnements analytiques que si l’on a

(2)

$a + 1 = 1 + a$,

cela reste vrai lorsque a est remplacé par le nombre entier suivant (a + 1).

Alors l’on peut dire :

Puisque l’égalité (2) a lieu pour a = 1, [d’après l’identité (1)] elle a lieu encore pour a = 2.

Puisqu’elle a lieu pour a = 2 [d’après ce qui précède], elle a lieu pour a = 3… et ainsi indéfiniment.

Donc l’égalité (2) a lieu quel que soit (a). Poursuivons et partons de :

(2)

$a + 1 = 1 + a$.