Page:Becquerel - Exposé élémentaire de la théorie d’Einstein et de sa généralisation.djvu/201

197

RELATIVITÉ GÉNÉRALISÉE

propriétés intrinsèques du continuum. On n’en voit pas d’autres jouissant des mêmes propriétés.

Pour introduire les $g_{\mu \nu },$ il faut adopter un système de jauges. Nous définissons la longueur $l$ d’un déplacement $\mathrm {A} ^{\mu }$ par

(16-14)

$l^{2}=g_{\mu \nu }\mathrm {A} ^{\mu }\mathrm {A} ^{\nu }.$

$l^{2}$ est un invariant à l’égard du système de coordonnées ; $g_{\mu \nu }$ est un tenseur symétrique. Un système de coordonnées étant adopté, les $\mathrm {A} ^{\mu }$ sont des nombres purs ; mais $l^{2}$ dépend, par les $g_{\mu \nu },$ du système de jauges : la longueur n’est pas un invariant absolu, c’est une convention purement géométrique.

Posons

(16-15)

$2\varphi _{\mu }=\mathrm {S} _{\sigma \mu }^{\sigma }$

et soit $\varphi _{\mu \nu }$ la dérivée covariante du quadrivecteur $\varphi _{\mu }.$

On peut écrire

(16-16)

$\;\mathrm {B} _{\mu \nu }={\frac {^{\ast }\mathrm {R} _{\mu \nu }+{}^{\ast }\mathrm {R} _{\nu \mu }}{2}},\qquad \mathrm {F} _{\mu \nu }=\,{\frac {^{\ast }\mathrm {R} _{\mu \nu }-^{\ast }\mathrm {R} _{\nu \mu }}{2}}\cdot$

(16-17)

${}^{\ast }\mathrm {R} _{\mu \nu }=\mathrm {B} _{\mu \nu }+\mathrm {F} _{\nu \mu }.$

$\mathrm {B} _{\mu \nu }$ est symétrique et $\mathrm {F} _{\mu \nu }$ symétrique gauche. On démontre que

(16-18)

$\mathrm {F} _{\mu \nu }=\varphi _{\mu \nu }-\varphi _{\nu \mu }={\frac {\partial \varphi _{\mu }}{\partial x_{\nu }}}-{\frac {\partial \varphi _{\nu }}{\partial x_{\mu }}}\quad$ (rot. de $\varphi _{\mu }$).

Les tenseurs $\mathrm {B} _{\mu \nu }$ et $\mathrm {F} _{\mu \nu }$ sont des tenseurs absolus.

Le tenseur $^{\ast }\mathrm {R} _{\mu \nu \sigma \rho }$ se divise de même en deux tenseurs

(16-19)

$^{\ast }\mathrm {R} _{\mu \nu \sigma \rho }=\mathrm {B} _{\mu \nu \sigma \rho }+\mathrm {F} _{\mu \nu \sigma \rho },$

le premier symétrique gauche en $\mu$ et $\rho$, le second symé-