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APPENDICE

seulement du chemin suivi, mais de l’orientation du vecteur pendant son déplacement. L’Univers n’est assujetti qu’à une condition : celle de posséder une structure géométrique ; c’est le moins qu’on puisse supposer, et l’on ne saurait s’élever à un plus haut degré de généralisation.

Théorie géométrique. — Prendre au système de coordonnées signifie choisir 4 familles d’espaces pour diviser l’Univers en cellules ; dans chacune de ces familles, chaque espace peut être caractérisé par un nombre. Un déplacement $dx_{\mu }$ est donc un vecteur absolu, puisqu’il peut s’exprimer par des nombres purs, indépendants de tout système de jauges.

M. Eddington a montré qu’en supprimant toute restriction, et conservant seulement la condition (évidemment nécessaire) que l’Univers ait une structure géométrique, et possède en chaque point un Univers euclidien tangent, la formule (16-2) est remplacée par

(16-12)

$\delta \mathrm {A} ^{\mu }={\frac {1}{2}}\iint \,^{\ast }\mathrm {R} _{\rho \nu \sigma }^{\mu }\mathrm {A} ^{\rho }d\mathrm {S} ^{\nu \sigma }$

où $^{\ast }\mathrm {R} _{\rho \nu \sigma }^{\mu }$ tenseur de Riemann-Christoffel généralisé, est absolu, c’est-à-dire indépendant de tout système de jauges. Dans ce tenseur, les symboles de Christoffel du tenseur ordinaire sont remplacés par des symboles généralisés, qui sont absolus, parce qu’ils s’introduisent sans que le système de jauges intervienne. On a

(16-13)

$\sideset {^{\ast }}{}{\begin{Bmatrix}\mu \nu \\\tau \\\end{Bmatrix}}={\begin{Bmatrix}\mu \nu \\\tau \\\end{Bmatrix}}+\mathrm {S} _{\mu \nu }^{\tau }$

$\mathrm {S} _{\nu \mu }^{\tau }$ étant un tenseur symétrique en $\mu$ et $\nu$ (non absolu). Contractant $^{\ast }\mathrm {R} _{\rho \nu \sigma }^{\mu },$ on obtient la généralisation de $\mathrm {R} _{\rho \nu }.$

Les deux tenseurs absolus $^{\ast }\mathrm {R} _{\rho \nu \sigma }^{\mu }$ et $^{\ast }\mathrm {R} _{\rho \nu }$ traduisent les