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chapitre XIV. — théorie de la gravitation et dynamique.

Condition d’intégrabilité de la direction. — On peut envisager sous un autre aspect la signification du tenseur de Riemann-Christoffel.

Supposons d’abord un domaine euclidien à deux dimensions seulement, constitué par une surface plane. Nous savons que si un segment de droite a été tracé à partir d’un point $\mathrm {A} ,$ on peut à partir d’un autre point $\mathrm {B}$ quelconque mener un segment parallèle au premier (postulatum d’Euclide). Mais si, au lieu d’un plan, nous considérons une surface courbe (domaine non euclidien à deux dimensions), la solution devient impossible ; des êtres à deux dimensions, qui ne percevraient pas directement la troisième dimension de l’espace, confondant en chaque point la surface courbe avec son plan tangent, ne se rendraient pas compte immédiatement de l’impossibilité du problème et trouveraient que la direction qu’ils ont cru transporter en $\mathrm {B}$ parallèlement (au sens de la géométrie euclidienne) à la direction en $\mathrm {A}$ dépend du chemin qu’ils ont suivi entre $\mathrm {A}$ et $\mathrm {B} ,$ et s’ils revenaient en $\mathrm {A}$ après avoir décrit un contour fermé, tout en cherchant à conserver la direction du vecteur, ils trouveraient au retour une direction différente de la direction initiale et qui dépendrait du chemin suivi. Autrement dit, sur une surface, la direction n’est en général pas intégrable.

Ces notions s’étendent à une multiplicité quadridimensionnelle. Soit $\mathrm {A} ^{\mu }$ un quadrivecteur, que nous supposons contrevariant ; faisons lui décrire un circuit fermé par « déplacement parallèle » (au sens généralisé du n^o 70), c’est-à-dire par déplacement tel que la dérivée covariante $\mathrm {A} _{\nu }^{\mu }$ soit constamment nulle :

(2-14)

${\frac {\partial A^{\mu }}{\partial x_{\nu }}}+{\begin{Bmatrix}\nu \alpha \\\mu \end{Bmatrix}}\mathrm {A} ^{\alpha }=0.$

La variation de ce vecteur est

(3-14)

$\left[A^{\mu }\right]_{\text{initial}}^{\text{final}}=\delta \mathrm {A} ^{\mu }=\oint {\frac {\partial A^{\mu }}{\partial x_{\nu }}}\,dx_{\nu }=-\oint {\begin{Bmatrix}\nu \alpha \\\mu \end{Bmatrix}}\mathrm {A} ^{\alpha }dx_{\nu }.$

Posons

(4-14)

$d\mathrm {S} ^{\nu \sigma }=-d\mathrm {S} ^{\sigma \nu }=dx^{\nu }dx^{\sigma },$

$d\mathrm {S} _{\nu \sigma }$ est un tenseur symétrique gauche qui fait correspondre à l’aire élémentaire une direction positive du parcours sur le con-