Dans une Note insérée dans le Bulletin de la Société mathématique (Sur la Géométrie de direction, t. VIII, p. 196), j’ai fait connaître une transformation nouvelle qui présente la plus grande analogie avec la transformation par rayons vecteurs réciproques; je me propose d’exposer brièvement comment on peut l’étendre à l’espace.
1. Une surface S, étant donnée, partage l’espace en deux régions, et l’on peut fixer arbitrairement celle de ces régions que l’on regarde comme extérieure à la surface; je désignerai sous le nom de semi-surface une surface ainsi définie. A un plan correspondent, par exemple, deux semi-plans que l’on peut appeler opposés et que l’on doit regarder comme deux semi-surfaces distinctes; à une sphère correspondent également deux semi-sphères opposées.
Pour que deux semi-surfaces se touchent en un point, il faut non seulement qu’elles aient même tangente en ce point, mais encore que les régions extérieures aux deux surfaces soient les mêmes dans le voisinage de ce point. De là résultent immédiatement les propositions suivantes:
On ne peut mener à une semi-sphère qu’un semi-plan parallèle à un semi-plan donné, une semi-sphère est déterminée par la condition qu’elle touche quatre semi-plans donnés, et un semi-cône de révolution par la condition qu’il touche trois semi-plans donnés.
Cela posé, la transformation par directions réciproques est entièrement définie par les conditions suivantes:
Deux semi-plans réciproques se coupent sur un plan fixe que j’appellerai plan fondamental; deux couples de semi-plans réciproques forment un système de quatre semi-plans tangents à un semi-cône de révolution.
La transformation est évidemment déterminée quand on se donne le plan fondamental et deux semi-plans réciproques.
2. Voici les propriétés fondamentales de cette transformation :
A un système de semi-plans parallèles correspond un système de semi-plans parallèles; à une semi-sphère correspond une semi-sphère qui peut se réduire à un point; à un semi-cône de révolution, une semi-surface
