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de même nature qui peut se réduire à un cylindre de révolution ou à une droite.

On peut toujours effectuer une transformation telle que quatre semi-sphères données se transforment en quatre points.

Si trois semi-surfaces touchent un semi-plan aux points $a,b,c$ et si les semi-surfaces réciproques touchent le semi-plan réciproque aux points $\alpha ,\beta ,\gamma$, les triangles $abc$ et $\alpha \beta \gamma$ sont égaux.

Les lignes de courbure des semi-surfaces sont conservées dans la transformation.

Deux cas sont particulièrement à remarquer. En premier lieu, si le plan fondamental est à l’infini, la transformée est une semi-surface parallèle à la semi-surface donnée; en second lieu, si un cône isotrope a pour réciproque un cylindre droit dont l’axe est perpendiculaire au plan fondamental, on a la transformation remarquable due à M. Bonnet.^[1]

3. Si l’on prend une surface algébrique quelconque et si l’on fixe arbitrairement la région que l’on regarde comme extérieure, la semi-surface ainsi obtenue ne forme généralement un être géométrique que si on lui adjoint la semi-surface opposée; elle doit être considérée comme une semi-surface composée de deux feuillets superposés et opposés entre eux, ces feuillets formant les deux nappes de l’enveloppe d’une sphère de rayon infiniment petit dont le centre décrit la surface. Une quadrique, par exemple, doit être regardée comme une semi-quadrique de quatrième classe. Cependant quelques semi-surfaces, composées d’une seule nappe, forment un être géométrique distinct: telles sont celles qui proviennent du plan, de la sphère, et en général de toutes les anticaustiques des surfaces algébriques.

4. La transformée d’une semi-surface S est une anticaustique; abaissons, en effet, de chaque point M de S une perpendiculaire MP sur le plan fondamental, et prenons sur MP un point M′ tel que le rapport de M′P à MP soit constant: le point M′ décrit une surface S′. Cela posé, si, l’indice de réfraction étant convenablement choisi, des rayons perpendiculaires au plan fondamental se réfractent sur S′, la réciproque de S est une des catacaustiques de S′; on obtiendra, du reste toutes ses catacaustiques en déplaçant le plan fondamental parallèlement à lui-même.

Il résulte de la que l’on sait déterminer les lignes de courbure des anticaustiques

1. Note sur un genre particulier de surfaces réciproques. (Comptes rendus, t. XLII, p. 485).