de S′ si l’on sait les déterminer pour la semi-surface S. En particulier, si S′ est une semi-quadrique, il en est de même de S, et l’on voit que l’on peut obtenir les lignes de courbure des anticaustiques des surfaces du second ordre, les rayons incidents étant parallèles, proposition que j’avais déjà démontrée dans mon Mémoire Sur une surface de quatrième classe, etc. (Journal de Mathématiques, 3° série, t. II, p. 145).
M. Darboux qui, dans une Note présentée à l’Académie dans sa dernière séance, a bien voulu rappeler ce résultat, a démontré de plus que ces anticaustiques sont les surfaces les plus générales de la quatrième classe, qui ont pour ligne double l’ombilicale.
Des propositions qui précèdent il résulte qu’elles peuvent être considérées comme les transformées des semi-quadriques; or, si l’on considère une semi-surface quelconque de quatrième classe ayant pour ligne double l’ombilicale, et pour autre ligne double la conique le , on voit que chaque point M de est le sommet de deux semi-cônes de révolution circonscrits à ; tous ces semi-cônes peuvent, par une transformation convenable, être transformés en droites se partageant en deux systèmes tels qu’une droite quelconque de l’un des systèmes rencontre toutes les droites de l’autre système. D’où il suit que la transformée est une semi-quadrique, ce qui démontre le beau théorème de M. Darboux; on voit également, comme l’a énoncé ce géomètre, que peut être, de quatre façons différentes, considérée comme anticaustique d’une quadrique.
La surface la plus générale de quatrième classe, qui a pour ligne double l’ombilicale, est donc la transformée par directions réciproques d’une semi-quadrique, et un grand nombre de ses propriétés métriques se déduisent immédiatement des propriétés des génératrices rectilignes des quadriques et des propriétés des cônes de révolution qui leur sont circonscrits.
