De ce que a par b, ou b par a donnent le même produit, il s’ensuit que de quelque maniere qu’on multiplie l’une par l’autre trois quantites a, b, c, elles donneront le même produit ; car 1°. , donc 1°. ; 2°. ; 3°. , & ; 4°. ; 5°. , &c. donc on verra que tous les produits a b c, a c b, b a c, b c a, c a b, c b a sont égaux. Il en seroit de même si on prenoit quatre quantités a, b, c, d, & ainsi de suite. Voyez Produit. (O)
MULTIPLICATION, s. f. en Arithmétique, c’est une opération par laquelle on prend un nombre autant de fois qu’il est marqué par un autre, afin de trouver un résultat que l’on appelle produit. Si l’on demandoit, par exemple, la somme de 329 liv. prises 58 fois ; l’opération par laquelle on a coûtume, en Arithmetique, de déterminer cette somme, est appellée multiplication. Le nombre 329, que l’on propose de multiplier, se nomme multiplicande ; & le nombre 58, par lequel on doit multiplier, est appellé multiplicateur ; & enfin on a donné le nom de produit au nombre 19082, qui est le résultat de cette opération. Voici comment elle s’exécute.
| Multiplicande, | 329. | |
| Multiplicateur, | 58. | |
| 2632. | ||
| 1645. | ||
| 19082. | Produit. |
Après avoir disposé le multiplicateur 58 sous le multiplicande 329, c’est-à-dire les unités de l’un sous les unités de l’autre, les dixaines sous les dixaines, &c. & avoir tiré une ligne, je dis 8 fois 9 = 72 ; je pose 2 & je retiens 7, comme dans l’addition ; ensuite 8 fois 2 = 16, auxquels ajoutant 7 j’ai 23 ; je pose donc 3 & retiens 2 ; après quoi je dis, 8 fois 3 = 24 & 2 retenus font 26 ; j’écris 6 & pose 2 en avançant vers la gauche.
Quand j’ai opéré sur le multiplicande 329 avec le premier nombre 8 du multiplicateur ; je répete une opération semblable avec le nombre suivant 5, ayant soin de mettre le premier chiffre de ce nouveau produit sous les dixaines, parce qu’alors ce sont des dixaines qui multiplient ; & faisant ensuite l’addition des deux produits 2632 & 1645 disposés comme on le voit dans l’exemple, je trouve que le produit total est 19082.
S’il y avoit eu trois chiffres au multiplicateur, on auroit agi sur le multiplicande avec le troisieme chiffre du multiplicateur, de même que l’on a fait avec les deux premiers, observant de placer le premier chiffre de ce troisieme produit sous le chiffre qui multiplie ; ce qui est une loi générale dont la raison est bien évidente ; car à la troisieme place ce sont des cent qui commencent à multiplier des unités, ils produisent donc des cent, & par conséquent il faut en placer le premier chiffre sous la colonne des cent, &c.
On voit donc que toute la difficulté de la multiplication consiste à trouver sur le champ le produit d’un chiffre par un autre chiffre. Ainsi il n’y a qu’à apprendre par cœur la table de multiplication. Voyez Table de Pythagore.
La théorie de cette regle est sujette à des difficultés qui embarrassent les commençans : 45 ouvriers ont fait chacun 26 toises d’ouvrage, quel est le produit total ? quoique le bon sens dise bien clairement qu’il faut multiplier 26 par 45, il paroît toûjours étrange que des toises multiplient des ouvriers. Effectivement cela ne peut pas être. C’est pourquoi quand on propose de multiplier 26 toises par 45 ouvriers, la question se réduit uniquement à prendre
26 toises 45 fois ; & par-là on apperçoit évidemment qu’il n’y a que multiplication de toises.
Cette opération se fait avec beaucoup de célérité, quand il y a plusieurs zéros de suite, soit au multiplicateur soit au multiplicande, sur-tout quand les zéros commencent par la place des unités. Vous avez, par exemple, 2000 à multiplier par 300 ; ne faites pas d’abord attention aux trois zéros du multiplicande, ni aux deux zéros du multiplicateur ; faites simplement l’opération sur les deux chiffres 2, 3, pour avoir leur produit 6, à la suite duquel vous placerez tant les zéros du multiplicande que ceux du multiplicateur, c’est-à-dire cinq zéros en ce cas ; & vous aurez 600000, qui est le produit de 2000 par 300.
Quand les zéros sont mélés avec les chiffres significatifs, vous prendrez toûjours pour multiplicateur celui des deux nombres où il y a moins de chiffres significatifs ; parce que les zéros ne multiplicant jamais, l’opération va plus vîte. Vous avez, par exemple, 500203 à multiplier par 80009 : disposez les nombres comme vous le voyez ici.
| 500203. | |
| 80009. | |
| 4501827. | |
| 4001624. | |
| 40020741827. |
où vous remarquerez qu’après avoir fait agir le 9 du multiplicateur l’on a passé tout-d’un-coup à son chiffre 8, qui est à la cinquieme place, & cela par la raison que les zéros ne sauroient rien produire.
Parlons maintenant de la multiplication composée, c’est-à-dire de celle où il y a des quantités de différente espece. On demande à combien reviennent 35 aunes d’étoffe à 24 liv. 15 s. l’aune.
| 35 | aunes | |||||
| à 24 | l. | 15 | s. | l’aune. | ||
| 140 | ||||||
| 70 | ||||||
| 840 | ||||||
| Pour 10 s. | 17 | 10 | ||||
| Pour 5 s. | 8 | 15 | ||||
| 866 | l. | 5 | s. | |||
Sans faire d’abord attention aux 15 s. on multipliera 35 par 24, dont le produit est 840 liv. après quoi on cherchera ce que produiront 35 aunes à 15 s. l’aune. On observera donc que 15 s. = 10 s. + 5 s. prenons 35 aunes à 10 s. il est certain que si 10 s. valoient une livre, 35 aunes vaudroient 35 livres : mais 10 s. ne sont que la moitié d’une livre ; par conséquent 35 aunes ne vaudront que la moitié de 35 liv. = 17 liv. 10 s. On placera donc ces nombres ainsi que l’opération l’indique ; & l’on prendra ensuite la valeur de 35 aunes à 5 s. mais comme 35 aunes à 10 s. ont produit 17 liv. 10 s. il est évident que 35 aunes à 5 s. produiront la moitié de 17 liv. 10 s. = 8 liv. 15 s. que l’on écrira sous le produit précédent ; faisant ensuite l’addition des différens produits, on trouvera que le produit total est 866 l. 5 s.
Cette maniere de multiplier s’appelle multiplication par les parties aliquotes. Les parties aliquotes d’une quantité sont celles qui divisent exactement & sans reste la quantité dont elles sont parties : ainsi 10 s. est une partie aliquote de la livre, ils en sont la deuxieme partie ; 5 s. en sont le quart, 2 s. le dixieme, & 1 s. le vingtieme. Mais 9 s. ou 7 s. ne sont pas des parties aliquotes de la livre, parce que 9 & 7 ne divisent pas 20 s. valeur de la livre exa-
