ctement & sans reste : mais il est facile de transformer ces quantités en parties aliquotes de la livre ; car 9 s. = 4 s. + 5 s. parties aliquotes de la livre.
La preuve de la multiplication se fait en divisant le produit par un des deux facteurs, l’autre facteur doit venir au quotient si l’opération est bien faite ; savoir le multiplicande, si on a divisé par le multiplicateur, & le multiplicateur si on a divisé par le multiplicande. Ou bien mettez le multiplicateur en la place du multiplicande, & faisant l’opération à l’ordinaire, vous devez retrouver le même produit qu’auparavant : car il est clair que 6 × 8 ou 8 × 6 produisent également 48.
La multiplication en croix est une méthode promte & facile pour multiplier des choses de différentes especes ou dénominations par d’autres de différente espece aussi, par exemple des sols & des deniers par des sols & des deniers, des piés & des pouces par des piés & des pouces ; ce qui est fort usité dans la mesure des terreins. En voici la méthode.
| Piés. | pouces. | |
Supposons qu’on ait 5 piés 3 pouces à multiplier par 2 piés 4 pouces ; dites, 2 fois 5 piés font 10 piés, & 2 fois 3 pouces font 6 pouces ; ensuite 4 fois 5 font 20 pouces, ou 1 pié 8 pouces ; enfin 4 fois 3 font 12 parties de pié, ou 1 pouce : la somme de ces trois produits sera 12 piés 3 pouces. |
5 | 3 |
| 2 | 4 | |
| 10 | 6 | |
| 1 | 8 | |
| 1 | ||
| 12 | 3 |
On pourroit encore faire cette opération d’une maniere assez commode, en considérant les pouces comme des fractions de pié ; ce qui réduiroit l’exemple proposé à cette forme, 5 piés 2 piés ; car 3 pouces sont le quart d’un pié, & 4 pouces en sont le tiers ; après quoi réduisant chaque terme à une seule fraction, l’on auroit ; produit qui revient précisément au même que le précédent, puisque de pié = 3 pouces.
La multiplication, en Géométrie, se fait en supposant qu’une ligne ab (Pl. Géométr. fig. 9.) qu’on appelle décrivante, se meuve perpendiculairement le long d’une autre, qu’on appelle la directrice ou dirigente. Voyez Décrivant, &c.
Par ce mouvement la décrivante forme le rectangle adcb ; & si on divise la décrivante & la directrice en un certain nombre de parties égales, on formera par le mouvement autant de petits rectangles qu’il y a d’unités dans le produit du nombre des parties de la décrivante par le nombre des parties de la directrice ; par exemple, ici, 21. Voy. Directrice. En effet, quand la ligne ab a parcouru une partie de ad, les trois parties de la ligne ab ont formé trois petits rectangles dans la premiere colonne. Quand la ligne ab a parcouru deux parties de ad, il y a trois rectangles nouveaux de plus, & ainsi de suite. C’est pour cette raison que la multiplication s’exprime souvent en latin par le mot ducta, conduite ; & c’est delà que vient aussi le mot produit. Ainsi pour dire que ab est multiplié par bc, on dit ab ducta in bc, parce qu’on imagine qu’une de ces lignes se meuve perpendiculairement & parallelement le long de l’autre, pour former un rectangle : de sorte qu’en Géométrie rectangle & produit sont la même chose.
Maintenant comme dans toute multiplication l’unité est à un des facteurs comme l’autre est au produit, on peut faire ainsi la multiplication en lignes. Supposons qu’on ait ab = 2 (fig. 10.) à multiplier par ad = 3. On fera un angle à volonté ; sur un des côtés de cet angle, on prendra la ligne au = 1, & sur le même côté on prendra ad pour le multiplicateur (3) ; ensuite on prendra sur l’autre côté de l’angle ab (2) pour le multiplicande ; on tirera ub, & par le point d la ligne dc parallele à ub : je dis
que ac est égal à 6, & est par conséquent le produit ; car au : ad ∷ ab : ac.
La multiplication algébrique est beaucoup plus simple que la numérique ; car pour multiplier une grandeur algébrique par une autre, il ne s’agit que d’écrire ces quantités les unes à côté des autres sans aucun signe ; ainsi a multiplié par b produit ab ; cd multiplié par m donne cdm : mais pour s’exprimer avec plus de facilité, on observera que le signe × signifie multiplié par, & que celui ci = veut dire égale ou vaut : ainsi a × b = ab, signifient que a multiplié par b égale ab, &c. où l’on voit que des quantités algébriques sont censées multipliées l’une par l’autre, dès qu’elles sont écrites les unes immédiatement à côté des autres, sans aucun signe ; ce qui est une pure convention : mais les grandeurs algébriques sont presque toûjours précédées de coëfficiens & des signes + ou −. Voyez Coefficiens & Signe. En ce cas 1°. , en disant , ensuite ; enfin ; ensorte que est le produit de .
2°. Si l’on a une grandeur négative à multiplier par une grandeur positive, le produit doit être affecté du signe − : ainsi , en disant ; après cela , que l’on écrira à la suite du signe −, & : le produit total de est donc .
3°. Le produit d’une grandeur positive par une négative doit aussi être affecté du signe − ; c’est pourquoi ; ce que l’on détermine en disant + × − = − : 4 × 1 (que l’on suppose toûjours précéder la quantité qui n’en est pas accompagnée) = 4 : enfin . Ainsi le produit de +4rs par −bd = −4bdrs; ce qui suppose que + × − = − ; nous allons bientôt le démontrer.
4°. Deux grandeurs négatives ou affectées du signe − donnent + à leur produit, lorsqu’elles se multiplient ; : & c’est ce qui ne paroît pas aisé à concevoir. Comment moins par moins peut-il donner plus ? Examinons la maniere dont les signes agissent les uns sur les autres.
Démonstration des regles précédentes. La multiplication des coefficiens ne fait aucune difficulté ; ce sont des nombres qui se multiplient, comme dans l’Arithmétique ; celle des quantités algébriques est de pure convention. Il n’y a donc que la multiplication des signes qui mérite une bonne explication ; il faut prouver que + × + = + ; que + × − = − ; que − × + = − ; que − × − = +.
1°. +3 × +4 doit donner +12 ; car le multiplicateur +4 étant affecté du signe +, montre qu’il faut prendre la quantité +3 positive autant de fois qu’il est marqué par 4 ; c’est-à-dire qu’il la faut prendre 4 fois telle qu’elle est : or 4 fois × 3 = +3 +3 +3 +3 = +12 ; ainsi + × + = +.
2°. +3 × −4 = −12. Remarquez que le multiplicateur 4 étant affecté du signe − fait connoître qu’il faut retrancher la grandeur +3 quatre fois ; or pour retrancher du positif il faut mettre du négatif : on écrira donc . On voit donc pourquoi + × − = −.
3°. −3 × +4 = −12 ; car le multiplicateur 4 étant positif signifie qu’il faut prendre-3 quatre fois, & par conséquent écrire : ainsi − × + = −.
5°. −3 × −4 = +12. On doit toûjours se régler sur le signe du multiplicateur ; son signe étant négatif, le multiplicateur −4 indique qu’il faut retrancher −3 quatre fois : or pour ôter − on écrit + (Voyez Soustraction.) Donc pour ôter −3 quatre fois, on écrira + 3 + 3 + 3 + 3 = +12. Ce n’est
