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EtEMBNT. 441
Sangle dcAB, B C, eft medial, par le coroll. de la 24^ prop. io. le double reâangle de AB,BC, qui luy eft commenfurable, c’eft à dire le reftangle HF, fera aufti medial. Derechef,puis que les quarrez des mediales AB, B C font commenf. le conipofé d’iceux, c’eft : â fçauoir le reftangle DG, fera aufti commenfurable àvn chacun d’iceux par la 16. prop. 10. Mais chacun d’iceux quarrez des mediales AB, BC, eft medial ; Donc par le coroll. de la 24. prop. 10. le reftangle D G fera aulïï medial : Ainfi les deux reftangles DG 8c HF eftans médiaux,& appliquez fur la rationelle DE, (car GHeltegale à la rationelle DE,) leursautrescoftez EG 8c FÇ ferontrationaux commenfurables en puiftànc ? feulement à D H, par 1a 2 ;. pr.io. Maintenant le rectangle de AB& BC eft au quarré de BCcommeABefta BC, parla i. prop. <5. c’eft à dire incommenlurable par la io. prop. 10. ôc partant le double dis reftangle de A B ôc BC fera aufli incommenf.au quarré deBC ; ôc les deux quarrez de AB ôc BC eftans commenfurables entr’eux,les deux enfemble feront commenfurables au feul dc BC, par la 16. prop. 10. & par la 14. prop 10. les deux quarrez de AB ôc BC feront incommenfurabies à deux fois le reftangle de AB ôc BC ; ôc par confequent aufti leurs égaux reftaogles DG Ôc HF : ôc par la i.p.£.&io.p.io.EG &FG lignes rationelles feront incommenfurabies en longitude : elles feront donc commenfurables en puiffance feulement i ( car autrement elles ne feroient rationelles iî elles eftoient incommenfurabies,) ôc par la 37. p. 10. la toute compofee EF fera irrationelie : ôc le reftangle D r fera irratione ! ; car s’il eftoit rationel la ligne DE eftant rationelle, il faudroir par la 21. prop. 10. que, l’autre cofté EF fut aufli rationel, ce qui n’eft pas :DF eft donc irrationel ; & partant aufli irrationel fon égal quatré de AC} Ôc par confequent la ligne AC irratio* nel !c,qui fera appellee bimediale fécondé. Si donc deux mediales commenfurables en puiffauce feulement, &c. Ce qu’il falloit deraonftrer. ÇO^OL
il eft manifefie paf cecy y«e le re&angle compris d’vne ligne rationelle (y d’une irratio» nettet efi aufii irrationel. Car il a efiè aemonfre c[He le reftangle D F compris delà rationelle DEt&* irrationelie E F, ne petit efire rationel. S C H 0 L 1 E.
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Soit W18, SC yVB : la tonte j£c fera VV18+yy8, qui efi irrationelie} appelles bimediale féconde.
THEOR. i8. PROP. XL.
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Si on adioufte enfemble deux lignes droites incommenfurabies en puifl&nce, comprenant vn re&angle medial, mais le compôle de leurs quarrez foie rationel > la toute lèra irrationelie : & foie icelle appellee ligne majeure.
Soient aflèmblees les deux lignes AB ôc BC incom- ’ ^ O menfur. en puiftance.comprenant vn reftangle medial, &le compofé de leurs quarrez rationel, trouuees par la 54. prop. xo. Ie disquo la toute AC eft irrationelie. • lilCk
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