50 LE PREMIER LIVRE DES ÉLEMENTS DʼEUCLIDE.
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ἐναλλαξ γωνίας τεῖς ὑπὸ ΑΗΘ΄. ΗΘΔ ἰσὰς σοιεῖ. καὶ τὴν ἐκτὸς γωνίαν τὴν υὑτὸ ἘΗῊΒ τῇ ἐντὸς καὶ ἀπενάντιον καὶ πίὶ τὰ αὐτῶ μερῆ τῇ υ7ὸ ΗΘΔ, σηὴν. καὶ τὰς εἐντὺς καὶ ἐπὶ τὰ ἀυτὰ μέρη τὰς ὑπὸ ΒΗΘ, ΗΘΔ ϑυσὶν ὀρθαῖς ἴσας. |
facere, et exteriorem angulum EHB interiori et opposito et ad easdem partes HOA æqualem, et interiores ad easdem partes BHO, HOÀ duobus rectus æquales. |
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Εἰ γὰρ ἀνισὸς ἐστιν ἡ ὑπὸ ΑῊΘ τῇ ὑπ0ῆ9ΘΔ, μία αὐτῶν μείζων ἐστίν. Ἑστω μείζων ἢ υπὸ ΑΗΟ τῆς ὑπὸ ΗΘΔ΄, Κοινῆ ʼπροσʼκεισθω ἢ υὑπὸ ΒΗΘ᾽ α, ὡρὰ υπὸ ΔΗηΘ. ΒΗΘ τῶν υσο ΒΗΘ. ΗΘΔ μείζονές εἰσιν. Αλλα᾽ αἱ ὑπὸ ΑΗΘ. ΒΗΘ δυσὶν ορθοως ἴσαι εἰσίν" αἱ“ ἀρα ὑπὸ ΒΗΘ, ΗΦΘΔ δὺο ᾳρθων ἐλάσσονίς εἶσιν. Αἱ δὲ ἀπ ἐλασσόνων ἢ δύυο ορθων ἐκίζαλλόμεναι εἰς ἀπειρον συμπιίπτουσιν" αἱ αρεί ΑΒ. Γὰ ξκζαλλομεναι εἰς ἄπειρον συμπεσοῦνται" οὐ συμπίπτουσι δὲ, διὰ τὸ παραλλήλους αὐτὰς ὑποκεῖσθαι ! " οὐκ ἀρὰ ἄνίφὸος ἐστιν η υπὸο ΔῊΘ τῇ ὑπὸ ΗΘΔ", σῇ ἀρώ- |
Si enim inxqualis est AHO ipsi HOA, unus eorum major est ; sit major AHO 1pso HOA. Com- munis addatur BHO ; ergo AHO, BHO ipsis BHO, HOA majores sunt. Sed AHO, BHO duobus recüs æquales sunt ; et igitur BHO, HOA duobus rectis minores sunt. Recie autem a minoribus quam duobus rectis producte 1n infinitum con- currunt. ipse igitur AB, TʼA producte in infi- nitum concurrent ; non autem concurrunt, quia parallel : ponuntur ; non igitur inzsqualis est AHO ipsi HOA ; æqualis igitur. |
lʼangle HΘA intérieur opposé et placé du même côté, et les angles ΒΗΘ, ΗΘΔ intérieurs et placés du même côté, égaux à deux droits.
Car si l’angle AHΘ n’est pas égal à l’angle H64, l’un d’eux est plus grand. Que l’angle AHΘ soit plus grand que HΘA. Ajoutons l’angle commun BH6, les angles AHΘ, BHΘ seront plus grands que les angles BHΘ, HΘA ; mais les angles AHΘ, BHΘ sont égaux à deux droits (13) ; donc les angles BHΘ, HΘA sont moindres que deux droits. Mais si deux droites sont prolongées à lʼinfini du côté où les angles intérieurs sont plus petits que deux droits, ces droites se rencontrent (dem. 5) ; donc les droites AB, rA prolongées à lʼinfini se rencontreront. Mais elles ne se rencontreront pas, puisquʼelles sont parallèles ; donc les angles AHΘ,
