Page:Fourier - Théorie analytique de la chaleur, 1822.djvu/168

136

THÉORIE DE LA CHALEUR.

Enfin cette molécule reçoit, par le premier rectangle $dy\,dz$ une quantité de chaleur égale à $-\mathrm {K} {\frac {dv}{dx}}.dy\,dz\,dt,$ et ce qu’elle perd à travers le rectangle opposé, qui passe par m’, a pour expression

$-\mathrm {K} {\frac {dv}{dx}}dy\,dz\,dt-\mathrm {K} {\frac {d\left({\dfrac {dv}{dx}}\right)}{dx}}dx\,dy\,dz\,dt.$

Il faut maintenant prendre la somme des quantités de chaleur que la molécule reçoit, et en retrancher la somme de celles qu’elle perd. On voit par-là qu’il s’accumule durant l’instant $dt$ dans l’intérieur de cette molécule, une quantité totale de chaleur égale à $\mathrm {K} \left({\frac {d^{2}v}{dx^{2}}}+{\frac {d^{2}v}{dy^{2}}}+{\frac {d^{2}v}{dz^{2}}}\right)dx\,dy\,dz\,dt.$ Il ne s’agit plus que de connaître quel est l’accroissement de température qui doit résulter de cette addition de chaleur.

$\mathrm {D}$ étant la densité du solide, ou le poids de l’unité de volume, et $\mathrm {C}$ la capacité spécifique, ou la quantité de chaleur qui élève l’unité de poids de la température 0 à la température 1 ; le produit $\mathrm {C.D} \,dx\,dy\,dz$ exprime combien il faut de chaleur pour élever de 0 à 1 la molécule dont le volume est $dx\,dy\,dz.$ Donc en divisant par ce produit la nouvelle quantité de chaleur que la molécule vient d’acquérir, on aura son accroissement de température. On obtient ainsi l’équation générale

${\frac {dv}{dt}}={\frac {\mathrm {K} }{\mathrm {C.D} }}\left\{{\frac {d^{2}v}{dx^{2}}}+{\frac {d^{2}v}{dy^{2}}}+{\frac {d^{2}v}{dy^{2}}}\right\}\qquad ({\boldsymbol {\mathrm {A} }})$

qui est celle de la propagation de la chaleur dans l’intérieur de tous les corps solides.