Page:Fourier - Théorie analytique de la chaleur, 1822.djvu/172

140

THÉORIE DE LA CHALEUR.

autre côté la surface ω laisse échapper dans l’air, pendant l’instant $dt,$ une quantité de chaleur égale à $h\,v\,\omega \,dt\,;$ $h$ étant la conducibilité relative à l’air atmosphérique. Ainsi le flux de chaleur à l’extrémité de la normale a deux expressions différentes, savoir : $h\,v\,\omega \,dt$ et $-k{\frac {w-v}{\alpha }}\omega \,dt\,;$ donc ces deux quantités sont égales ; et c’est en exprimant cette égalité, que l’on introduira dans le calcul la condition relative à la surface.

147.

On a $w=v+\delta v=v+{\frac {dv}{dx}}\delta x+{\frac {dv}{dy}}\delta y+{\frac {dv}{dz}}\delta z.$ Or, il suit des principes de la géométrie, que les coordonnées $\delta x,\,\delta y,\,\delta z,$ qui fixent la position du point ν de la normale par l’apport au point µ, satisfont aux conditions suivantes :

$p\,\delta x=m\,\delta z,\quad p\,\delta y=n\,\delta z.$

On a donc

$w-v={\frac {1}{p}}\left(m{\frac {dv}{dx}}+n{\frac {dv}{dy}}+p{\frac {dv}{dz}}\right)\delta z\,;$

on a aussi

$\alpha ={\sqrt {\delta x^{2}+\delta y^{2}+\delta z^{2}}}={\frac {1}{p}}\left(m^{2}+n^{2}+p^{2}\right)^{\frac {1}{2}}\delta z,$

ou $\alpha ={\frac {q}{p}}\delta z,$ en désignant par $q$ la quantité

$\left(m^{2}+n^{2}+p^{2}\right)^{\frac {1}{2}}\,;$

donc

${\frac {w-v}{\alpha }}=\left(m{\frac {dv}{dx}}+n{\frac {dv}{dy}}+p{\frac {dv}{dz}}\right){\frac {1}{q}}$

par conséquent l’égalité

$h\,v\,\omega \,dt=-k\left({\frac {w-v}{\alpha }}\right)\omega \,dt$