Page:Fourier - Théorie analytique de la chaleur, 1822.djvu/184

152

THÉORIE DE LA CHALEUR.

et mettant pour

$\left({\frac {dr}{dx}}\right)^{2}+\left({\frac {dr}{dy}}\right)^{2}+\left({\frac {dr}{dz}}\right)^{2}$

la valeur 1, on a

${\frac {d^{2}r}{dx^{2}}}+{\frac {d^{2}r}{dy^{2}}}+{\frac {d^{2}r}{dz^{2}}}={\frac {2}{r}}\cdot$

Faisant les substitutions dans l’équation $(a),$ on aura l’équation

${\frac {dv}{dt}}={\frac {\mathrm {K} }{\mathrm {C.D} }}\left({\frac {d^{2}v}{dr^{2}}}+{\frac {2}{r}}\!\cdot \!{\frac {dv}{dr}}\right),$

qui est la même que celle de l’art. 114.

L’équation contiendrait un plus grand nombre de termes, si l’on ne supposait point que les molécules également éloignées du centre ont reçu la même température initiale.

On pourrait aussi déduire de l’équation déterminée (B), celles qui expriment l’état de la surface dans les équations particulières, où l’on suppose qu’un solide d’une forme donnée, communique sa chaleur à l’air atmosphérique ; mais le plus souvent ces équations se présentent d’elles-mêmes, et la forme en est très-simple, lorsque les coordonnées sont choisies convenablement.

SECTION IX.

Remarques générales.

157.

La recherche des lois du mouvement de la chaleur, dans les solides consiste maintenant à intégrer les équations que nous avons rapportées ; c’est l’objet des chapitres suivants ;