Page:Fourier - Théorie analytique de la chaleur, 1822.djvu/235

203

CHAPITRE III.

volume. La variation de la température du même point, dans le premier solide, sera ${\frac {d}{c.\mathrm {M} }}dt,$ et elle sera ${\frac {\mathrm {D} }{c.\mathrm {M} }}dt$ dans le second, les lettres $d$ et $\mathrm {D}$ représentant la quantité de chaleur positive ou négative que la molécule acquiert en vertu de l’action de toutes les molécules voisines. Or il est facile de reconnaître que $\Delta$ équivaut à $d+\mathrm {D} .$ Pour s’en convaincre il suffit de considérer la quantité de chaleur que le point in reçoit d’un autre point m’ appartenant à l’intérieur de la lame, ou aux arêtes qui la limitent.

Le point m, dont la température initiale est désignée par $f,$ transmettra, pendant l’instant $dt,$ à la molécule m, une quantité de chaleur exprimée par $q_{1}(f_{1}-f)dt,$ le facteur $q_{1}$ représentant une certaine fonction de la distance des deux molécules. Ainsi la quantité totale de chaleur acquise par m sera $\textstyle \sum q_{1}(f_{1}-f)dt,$ le signe $\textstyle \sum$ exprimant la somme de tous les termes que l’on trouverait en considérant les autres points $m_{2},$ $m_{3},$ $m_{4}$ etc. qui agissent sur m ; c’est-à-dire, en mettant $q_{2},\,f_{2},$ ou $q_{3},\,f_{3},$ ou $q_{4},\,f_{4},$ ainsi de suite, à la place de $q_{1},f_{1}.$ On trouvera de même $\textstyle \sum q_{1}(\mathrm {F} _{1}-\mathrm {F} )dt$ pour l’expression de la quantité totale de chaleur acquise par le même point m du second solide ; et le facteur $q_{1}$ est le même que dans le terme $\textstyle \sum q_{1}(f_{1}-f)dt,$ puisque les deux solides sont formés de la même matière, et que la situation des points est la même ; on a donc

$d=\sum q_{1}(f_{1}-f)dt\quad \mathrm {et} \quad \mathrm {D} =\sum q_{1}(\mathrm {F} _{1}-\mathrm {F} )dt.$

On trouvera par la même raison

$\Delta =\sum q_{1}\left(f_{1}-\mathrm {F} _{1}-(f+\mathrm {F} )\right)dt\,;$