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CHAPITRE III.

en une suite infinie de sinus ou de cosinus d’arcs multiples. Cette question est liée à la théorie des équations aux différences partielles et a été agitée dès l’origine de cette analyse. Il était nécessaire de la résoudre pour intégrer convenablement les équations de la propagation de la chaleur ; nous allons en exposer la solution.

On examinera, en premier lieu, le cas où il s’agit de réduire en une série de sinus d’arcs multiples, une fonction dont le développement ne contient que des puissances impaires de la variable. Désignant une telle fonction par $\varphi x$, on posera l’équation

$\varphi x=a\sin .x+b\sin .2x+c\sin .3x+d\sin .4x+\dots \mathrm {etc.}$

et il s’agit de déterminer la valeur des coëfficients $a,b,c,d,$ etc. On écrira d’abord l’équation

$\varphi x=x\varphi '0+{\tfrac {x^{2}}{2}}\varphi ''0+{\tfrac {x^{3}}{2.3}}\varphi '''0+{\tfrac {x^{4}}{2.3.4}}\varphi ^{IV}0+{\tfrac {x^{5}}{2.3.4.5}}\varphi ^{V}0+\dots \mathrm {etc.}$

dans laquelle $\varphi '0,\;\varphi ''0,\;\varphi '''0,\;\varphi ^{IV}0,$ etc. désignent les valeurs que prennent les coëfficients

${\frac {d.\varphi x}{dx}},\quad {\frac {d^{2}.\varphi x}{dx^{2}}},\quad {\frac {d^{3}.\varphi x}{dx^{3}}},\quad {\frac {d^{4}.\varphi x}{dx^{4}}},\;\mathrm {etc.}$

lorsqu’on y suppose $x=0$. Ainsi en représentant le développement selon les puissances de $x$ par l’équation

$\varphi x=\mathrm {A} x-\mathrm {B} {\frac {x^{3}}{2.3}}+\mathrm {C} {\frac {x^{5}}{2.3.4.5}}-\mathrm {D} {\frac {x^{7}}{2.3.4.5.6.7}}+\mathrm {E} {\frac {x^{9}}{2.3.4.5.6.7.8.9}}-\,\mathrm {etc.}$