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THÉORIE DE LA CHALEUR.

${\begin{array}{lcrrr}\mathrm {on} \;\mathrm {aura} &\quad &\varphi \;\;0=0&\;\;\mathrm {et} &\varphi '\;\;0=\mathrm {A} \\&&\varphi ''0=0&&\varphi '''\;0=\mathrm {B} \\&&\varphi ^{IV}0=0&&\varphi ^{V}\;0=\mathrm {C} \\&&\varphi ^{VI}0=0&&\varphi ^{VII}0=\mathrm {D} \\&&\mathrm {etc.} \quad &&\mathrm {etc.} \quad \\\end{array}}$

Si maintenant on compare l’équation précédente à celle-ci

$\varphi x=a\sin .x+b\sin .2x+c\sin .3x+d\sin .4x+e\sin .5x+\mathrm {etc.}$

En développant le second membre par rapport aux puissances de $x$, on aura les équations

${\begin{aligned}\mathrm {A} &=a+2\;b\,+3\;c\,+4\;d\,+5\;e\,+\mathrm {etc.} \\\mathrm {B} &=a+2^{3}b+3^{3}c+4^{3}d+5^{3}e+\mathrm {etc.} \\\mathrm {C} &=a+2^{5}b+3^{5}c+4^{5}d+5^{5}e+\mathrm {etc.} \\\mathrm {D} &=a+2^{7}b+3^{7}c+4^{7}d+5^{7}e+\mathrm {etc.} \\\mathrm {E} &=a+2^{9}b+3^{9}c+4^{9}d+5^{9}e+\mathrm {etc.} \qquad ({\boldsymbol {a}})\\\end{aligned}}$

Ces équations doivent servir à trouver les coëfficients $a,$ $b,$ $c,$ $d,$ $e,$ etc., dont le nombre est infini. Pour y parvenir, on regardera d’abord comme déterminé et égal à $m$ le nombre des inconnues, et l’on conservera un pareil nombre $m$ d’équations ; ainsi l’on supprimera toutes les équations qui suivent les $m$ premières, et l’on omettra dans chacune de ces équations tous les termes du second membre qui suivent les $m$ premières que l’on conserve. Le nombre entier $m$ étant donné, les coëfficients $a,$ $b,$ $c,$ $d,$ $e\dots$ etc.