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CHAPITRE III.

{\begin{aligned}a{\frac {(2^{2}-1^{2})(3^{2}-1^{2})(4^{2}-1^{2})(5^{2}-1^{2})\dots }{2^{2}.3^{2}.4^{2}.5^{2}\dots }}&=\mathrm {A} -\mathrm {BP} _{1}+\mathrm {CQ} _{1}-\mathrm {DR} _{1}+\mathrm {ES} _{1}-\mathrm {FT} _{1}+\mathrm {etc.} \\2b{\frac {(1^{2}-2^{2})(3^{2}-2^{2})(4^{2}-2^{2})(5^{2}-2^{2})\dots }{1^{2}.3^{2}.4^{2}.5^{2}\dots }}&=\mathrm {A} -\mathrm {BP} _{2}+\mathrm {CQ} _{2}-\mathrm {DR} _{2}+\mathrm {ES} _{2}-\mathrm {etc.} \\3c{\frac {(1^{2}-3^{2})(2^{2}-3^{2})(4^{2}-3^{2})(5^{2}-3^{2})\dots }{1^{2}.2^{2}.4^{2}.5^{2}\dots }}&=\mathrm {A} -\mathrm {BP} _{3}+\mathrm {CQ} _{3}-\mathrm {DR} _{3}+\mathrm {ES} _{3}-\mathrm {etc.} \\4d{\frac {(1^{2}-4^{2})(2^{2}-4^{2})(3^{2}-4^{2})(5^{2}-4^{2})\dots }{1^{2}.2^{2}.3^{2}.5^{2}\dots }}&=\mathrm {A} -\mathrm {BP} _{4}+\mathrm {CQ} _{4}-\mathrm {DR} _{4}+\mathrm {ES} _{4}-\mathrm {etc.} \\&\mathrm {etc.} \end{aligned}}

En distinguant quels sont les facteurs qui manquent aux numérateurs et aux dénominateurs pour y compléter la double série des nombres naturels, on voit que la fraction se réduit, dans la première équation, à ${\frac {1}{1}}\cdot {\frac {1}{2}}\,;$ dans la seconde à $-{\frac {2}{2}}\cdot {\frac {2}{4}}\,;$ dans la troisième à ${\frac {3}{3}}\cdot {\frac {3}{6}}\,;$ dans la quatrième à $-{\frac {4}{4}}\cdot {\frac {4}{8}}\,;$ en sorte que les produits qui multiplient

a,\;2b,\;3c,\;4d,\;\mathrm {etc.} ,

sont alternativement ${\frac {1}{2}}$ et $-{\frac {1}{2}}$ . Il ne s’agit donc plus que de trouver les valeurs de

\mathrm {P_{1}Q_{1}R_{1}S_{1}} \;\,\mathrm {P_{2}Q_{2}R_{2}S_{2}} \;\,\mathrm {P_{3}Q_{3}R_{3}S_{3}} \dots \mathrm {etc.}

Pour y parvenir, on remarquera que l’on peut faire dépendre ces valeurs de celles des quantités $\mathrm {P\,Q\,R\,S\,T\dots }$ etc., qui représentent les différents produits que l’on peut former avec les fractions $\textstyle {\frac {1}{1^{2}}}\,{\frac {1}{2^{2}}}\,{\frac {1}{3^{2}}}\,{\frac {1}{4^{2}}}\,{\frac {1}{5^{2}}}\,{\frac {1}{6^{2}}}\dots$ etc., sans en omettre