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THÉORIE DE LA CHALEUR.

aucune. Quant à ces derniers produits, leurs valeurs sont données par les séries des développements de sinus. Nous représenterons donc les séries

${\begin{array}{ll}{\frac {1}{1^{2}}}+{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}+{\frac {1}{4^{2}}}+{\frac {1}{5^{2}}}+\mathrm {etc.} &\!\!\mathrm {par} \;\mathrm {P} ,\\{\frac {1}{1^{2}.2^{2}}}+{\frac {1}{1^{2}.3^{2}}}+{\frac {1}{1^{2}.4^{2}}}+{\frac {1}{2^{2}.3^{2}}}+{\frac {1}{2^{2}.4^{2}}}+{\frac {1}{2^{2}.4^{2}}}+\mathrm {etc.} \!\!&\!\!\mathrm {par} \;\mathrm {Q} ,\\{\frac {1}{1^{2}.2^{2}.3^{2}}}+{\frac {1}{1^{2}.2^{2}.4^{2}}}+{\frac {1}{1^{2}.3^{2}.4^{2}}}+{\frac {1}{2^{2}.3^{2}.4^{2}}}+\mathrm {etc.} \!\!&\!\!\mathrm {par} \;\mathrm {R} ,\\{\frac {1}{1^{2}.2^{2}.3^{2}.4^{2}}}+{\frac {1}{1^{2}.2^{2}.4^{2}.5^{2}}}+{\frac {1}{1^{2}.2^{2}.3^{2}.5^{2}}}+\mathrm {etc.} \!\!&\!\!\mathrm {par} \;\mathrm {S} ,\\\end{array}}$

ainsi de suite.

La série $\sin .x=x-{\frac {x^{3}}{2.3}}+{\frac {x^{5}}{2.3.4.5}}+{\frac {x^{7}}{2.3.4.5.6.7}}+\mathrm {etc.}$ nous fournira les quantités $\mathrm {P} \,\mathrm {Q} \,\mathrm {R} \,\mathrm {S} \,\mathrm {T}$ etc. En effet, la valeur du sinus étant exprimée par l’équation

$\sin .x=x\left(1\!-\!{\frac {x^{2}}{1^{2}\!.\!\pi ^{2}}}\right)\left(1\!-\!{\frac {x^{2}}{2^{2}\!.\!\pi ^{2}}}\right)\left(1\!-\!{\frac {x^{2}}{3^{2}\!.\!\pi ^{2}}}\right)\left(1\!-\!{\frac {x^{2}}{4^{2}\!.\!\pi ^{2}}}\right)\left(1\!-\!{\frac {x^{2}}{5^{2}\!.\!\pi ^{2}}}\right)\mathrm {etc.}$

on aura $1-{\frac {x^{2}}{2.3}}+{\frac {x^{4}}{2.3.4.5}}-{\frac {x^{6}}{2.3.4.5.6.7}}+\mathrm {etc.}$

$=\left(1-{\frac {x^{2}}{1^{2}\!.\!\pi ^{2}}}\right)\left(1-{\frac {x^{2}}{2^{2}\!.\!\pi ^{2}}}\right)\left(1-{\frac {x^{2}}{3^{2}\!.\!\pi ^{2}}}\right)\left(1-{\frac {x^{2}}{4^{2}\!.\!\pi ^{2}}}\right)\dots \mathrm {etc.} ,$

d’où l’on conclut immédiatement